2023屆甘肅省通渭縣高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)二滿足(z-i)(—i)=5,則z=()

A.6/B.-6zC.-6D.6

2.某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.0

3.下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)何種變換可以得到y(tǒng)=sin2x的圖象()

A.向左平移|?個(gè)單位B.向右平移？個(gè)單位

C.向左平移J個(gè)單位D.向右平移?個(gè)單位

66

4.如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2,除此之外每個(gè)數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則

該"數(shù)字塔''前10層的所有數(shù)字之積最接近(lg2“。3)()

2

22

242

2882

21664162

A.10MoB.IO?C.IO500D.IO600

5.我國(guó)南北朝時(shí)的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先

入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問(wèn)各得金幾何？”則在該問(wèn)題中，

等級(jí)較高的二等人所得黃金比等級(jí)較低的九等人所得黃金（）

A.多1斤B.少1斤C.多:斤D.少，斤

33

6.函數(shù)y=‘—ln（x+l）的圖象大致為（）

X

nit

A.向左平移3個(gè)單位B.向左平移6個(gè)單位

7171

C.向右平移3個(gè)單位D.向右平移6個(gè)單位

8.已知數(shù)列｛4｝是公比為q的等比數(shù)列，且囚，的，的成等差數(shù)列，則公比q的值為（）

1一1一1

A.一一B.-2C.一1或一D.1或一一

222

f2I.

9.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系黃少中，尸是橢圓二+v4=13＞人＞0）的右焦點(diǎn)，直線y=?與橢圓交于8,。兩

aZr2

點(diǎn)，且N3FC=90。，則該橢圓的離心率是（）

3A/3

V6D.

V42~T

10.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(l+i)(2+i),則其共筑復(fù)數(shù)口()

A.l+3zB.l-3zC.-1+3/D.-l-3z

11.一只螞蟻在邊長(zhǎng)為4的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于2的區(qū)域內(nèi)的概率為（）

A16兀Q3下）兀八1

A.1-----B.—C.----D.—

6464

12.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長(zhǎng)、寬、高分別為2,。b,且2。+。='!（?！?,/?>0）,

則此三棱錐外接球表面積的最小值為（）

D.57r

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=V在點(diǎn)（1,1）處的切線與x軸及直線x=。所圍成的三角形面積為4，則實(shí)數(shù)。=

6

14.已知各棱長(zhǎng)都相等的直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）所有頂點(diǎn)都在球。的表面上.若球。的表面積為

28肛則該三棱柱的側(cè)面積為.

3

15.在ABC中，角A6,C的對(duì)邊分別為a,6,c,且c=2,2sinA=sinC.若8為鈍角，cos2C=——，貝I]ABC

4

的面積為.

16.若非零向量8滿足（。,可=看，|小6,卜+*w，則小.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）等比數(shù)列｛%｝中，4=2,%=4%.

（1）求｛叫的通項(xiàng)公式；

（H）記S”為｛4｝的前〃項(xiàng)和.若￡=126,求加.

18.（12分）已知函數(shù)/（x）=ae'—sinx,其中aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)。=1時(shí)，證明：對(duì)Vxe[0,+oo）J（x）..l；

（2）若函數(shù)〃x）在[o,1^上存在極值，求實(shí)數(shù)”的取值范圍。

19.（12分）中國(guó)古建筑中的窗飾是藝術(shù)和技術(shù)的統(tǒng)一體，給人于美的享受.如圖（1）為一花窗；圖（2）所示是一

扇窗中的一格，呈長(zhǎng)方形，長(zhǎng)30cm,寬26cm,其內(nèi)部窗芯（不含長(zhǎng)方形邊框）用一種條形木料做成，由兩個(gè)菱形和

六根支條構(gòu)成，整個(gè)窗芯關(guān)于長(zhǎng)方形邊框的兩條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱.設(shè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm和ycm,窗芯

所需條形木料的長(zhǎng)度之和為L(zhǎng).

（1）試用x,y表示L；

（2）如果要求六根支條的長(zhǎng)度均不小于2cm,每個(gè)菱形的面積為130cm2,那么做這樣一個(gè)窗芯至少需要多長(zhǎng)的條形

木料（不計(jì)禪卯及其它損耗）？

20.（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，且S”是/與一的等差中項(xiàng).

⑴證明：代｝為等差數(shù)列，并求S.：

,1,、

(2)設(shè)勿=^——數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為T(mén)“，求滿足［25的最小正整數(shù)〃的值.

21.(12分)如圖，己知圓：》2+(>一=產(chǎn)(廠>0)和雙曲線匕：/一，=l(b>o),記口與)’軸正半軸、X軸

負(fù)半軸的公共點(diǎn)分別為A、B,又記口與『2在第一、第四象限的公共點(diǎn)分別為C、D.

(1)若「=2,且8恰為匚的左焦點(diǎn)，求心的兩條漸近線的方程；

(2)若r=2,且AC+AE>=(m,-5),求實(shí)數(shù)加的值；

(3)若8恰為心的左焦點(diǎn)，求證：在x軸上不存在這樣的點(diǎn)P,使得|/科一|「。|=2.019.

x=6+/

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為《廣G為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半

y=-y/3t

軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為。=4cosO.

(1)求直線/的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)M(0,3),直線，與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,求二■；+工匕的值.

|MA||MB|

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算.

【詳解】

因?yàn)?z-i)(T)=5,所以z=±+i=6i

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.屬于簡(jiǎn)單題.

2.C

【解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù).

【詳解】

由三視圖還原原幾何體如圖，

其中ZVUJC,ABCD,A4DC為直角三角形.

二該三棱錐的表面中直角三角形的個(gè)數(shù)為3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個(gè)解析式為/(x)=sin(2x+g],再根據(jù)平移法則得到答案.

【詳解】

設(shè)函數(shù)解析式為/(x)=Asin?x+e)+h,

T7T7TJE

根據(jù)圖像：A=l,b=O,-=^--—=4,故丁=乃，即⑦=2,

43124

/[gJ=sin[W+q=1，(p=^+2kK,keZ,取Z=0,得到"x)=sin[2x+?

函數(shù)向右平移?個(gè)單位得到y(tǒng)=sin2x.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.

4.A

【解析】

結(jié)合所給數(shù)字特征，我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式，觀察可知，每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布，結(jié)合等比

數(shù)列前"項(xiàng)和公式和對(duì)數(shù)恒等式即可求解

【詳解】

如圖，將數(shù)字塔中的數(shù)寫(xiě)成指數(shù)形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”，前10層的指數(shù)之和為

291010231023lg2

1+2+2+-+2=2-1=1023,所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為2=10“10%

21

2,2,

212221

212'2321

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查與，，楊輝三角，，有關(guān)的規(guī)律求解問(wèn)題，邏輯推理，等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式應(yīng)用，屬于中檔題

5.C

【解析】

設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列{?！皚,則%+%+%=4,%+%+%o=3，由等差數(shù)列的性

_441

質(zhì)得。2_氏=§_]=§，

故選C

6.A

【解析】

確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，計(jì)算x=l時(shí)的函數(shù)值可排除三個(gè)選項(xiàng).

【詳解】

x>0時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，排除B,-l<x<0時(shí)，函數(shù)也是減函數(shù)，排除D,又x=l時(shí)，y=l—ln2>0,排除C,

只有A可滿足.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，可通過(guò)解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等等排除，可通過(guò)

特殊的函數(shù)值，函數(shù)值的正負(fù)，函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除，最后剩下的一個(gè)即為正確選項(xiàng).

7.D

【解析】

兀

八一,v=5io(2.x-^)=Sin(2(x-^)]y=sin<2x-

試題分析：因?yàn)?6,所以為得到3的圖象，只需要將了=$11121?的圖象向右平

71

移6個(gè)單位；故選D.

考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像變換.

8.D

【解析】

由如ava?成等差數(shù)列得2a3=a1+a2,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式展開(kāi)即可得到公比q的方程.

【詳解】

由題意2a3=a]+a2,2aIq2=aIq+a,,.'.2q2=q+l,；.4=1或4=-3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差等比數(shù)列的綜合，利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵，對(duì)于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式也要熟

練.

9.A

【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得3和。的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得3c2=24,由離心率定義可得結(jié)

果.

【詳解】

%2\\/3

,b+F=1俎*=±了"

由1,得J'所以8--丁氏不，,丁'7,

bb12211221

v=—v=—、7

r2r2

(JT./Jo.A

由題意知尸(c,o),所以BF=c+—a,--,CF=c---a,--.

、22)I22J

因?yàn)?BFC=90°,所以J_CF,所以

322

—c~--a=0.

42

所以3c2=242，所以e=￡=，^,

a3

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn)，考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.B

【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算出z,然后再根據(jù)共粗復(fù)數(shù)的概念直接寫(xiě)出I即可.

【詳解】

由z=(l+i)(2+i)=l+3i,所以其共匏復(fù)數(shù)1=1一3八

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共扼復(fù)數(shù)的概念，難度較易.

11.A

【解析】

求出滿足條件的正AABC的面積，再求出滿足條件的正AABC內(nèi)的點(diǎn)到頂點(diǎn)A、B、。的距離均不小于2的圖形的

面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.

【詳解】

滿足條件的正AABC如下圖所示：

其中正AA3C的面積為之時(shí)=*x4?=4百,

滿足到正AABC的頂點(diǎn)A、B、C的距離均不小于2的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,

陰影部分區(qū)域的面積為S=-X^-X22=2^.

2

則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都大于2的概率是P=1-4=1-叵.

4V36

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

12.B

【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長(zhǎng)方體，于是得到三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，進(jìn)而

得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值.

【詳解】

由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體ABC。-A的四個(gè)頂點(diǎn)，即為三棱錐A-C4A，且

長(zhǎng)方體—的長(zhǎng)、寬、高分別為2,。,匕，

.?.此三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體ABCD-ABCR的外接球，

且球半徑為R=也王迅=C,

22

???三棱錐外接球表面積為4%"+k+及=乃(4+。2+〃)=5%(。一i『+也，

I/

.??當(dāng)且僅當(dāng)a=l,時(shí)，三棱錐外接球的表面積取得最小值為m乃.

24

故選B.

【點(diǎn)睛】

(1)解決關(guān)于外接球的問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，同時(shí)要作一圓

面起襯托作用.

(2)長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，對(duì)于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問(wèn)題時(shí)可考慮通

過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體，通過(guò)長(zhǎng)方體的外球球來(lái)研究三棱錐的外接球的問(wèn)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1一

13.a=—或1

3

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，以及切線方程，求得切線與x軸和x=a的交點(diǎn)，由三角形的面積公式可得所

求值.

【詳解】

丁=/的導(dǎo)數(shù)為：/=3/,

可得切線的斜率為3,切線方程為y-1=3(》-1),

可得y=3x-2,可得切線與x軸的交點(diǎn)為哼2，0),切線與x=”的交點(diǎn)為(a,3a-2),

可得彳。一彳/3。-2=工，解得。=1或

23O3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，以及直線方程的運(yùn)用，三角形的面積求法。

14.36

【解析】

只要算出直三棱柱的棱長(zhǎng)即可，在AOaA中，利用aA?+002=04?即可得到關(guān)于X的方程，解方程即可解決.

【詳解】

由已知，4乃/?2=28乃，解得R=J7,如圖所示，設(shè)底面等邊三角形中心為。?,

直三棱柱的棱長(zhǎng)為x,則qA=#x，OQ=gx，故。A2+O1O2=OA2=R2=7,

22

即±+±=7,解得.丫=26，故三棱柱的側(cè)面積為3/=36.

34

故答案為：36.

【點(diǎn)睛】

本題考查特殊柱體的外接球問(wèn)題，考查學(xué)生的空間想象能力，是一道中檔題.

15.我

8

【解析】

轉(zhuǎn)化2《!14=5出。為。=￡,利用二倍角公式可求解得cosC,結(jié)合余弦定理02="+"-2"《??？傻?),再利用

2

面積公式可得解.

【詳解】

因?yàn)閏=2,2sinA=sinC,

所以。=二=1.

2

3

又因?yàn)閏os2C=-“且。為銳角,

所以cosC=，^,sinC=兇^.

44

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC>

即4=l+/-2bx立，解得八￡1

42

所以S"BCLbsmc'xlx也乂叵=晅

22248

377

故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

16.1

【解析】

根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式以及數(shù)量積公式，得出|切2+3|切_4=0,解方程即可得出答案.

【詳解】

|o+￡?|=yl（a+b）2=^|a|-+2?-^+|/?|=V7

/.|z?|+2x>/3xcos—x|^|+3=7,即|6F+3|萬(wàn)|-4=0

解得I切=1或|A|=-4（舍）

故答案為：1

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的數(shù)量積公式以及模長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（1）?！?2"或%=一（一2）”（11）12

【解析】

（1）先設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為4,根據(jù)題中條件求出公比，即可得出通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】

（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為4,

十一生一4

?5

q=±2,

.?9=2"或4=-（一2）".

（2）4=2時(shí)，5=2（1-2）=2"—2=]26,解得〃=6；

"1-2

4=_2時(shí)，$20一（-2））=[]_（_2）+126,

〃無(wú)正整數(shù)解；

綜上所述〃=6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列，熟記等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.

18.（1）見(jiàn)證明；（2）ae（0,l）

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結(jié)論；

(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對(duì)a分類討論，分別研究a的不同取值下，導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性及值域，從

而得到結(jié)論.法二：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，再利用零點(diǎn)存在定理說(shuō)明函數(shù)存在

極值.

【詳解】

⑴當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=e*-sinx,于是，f'(x)-ex-cosx.

又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，/>1且ccKl.

故當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，，一cosx>0,即/r(x)>0.

所以，函數(shù)"x)=ex-sinr為(0,+oo)上的增函數(shù),于是，/(x)>/(O)=l.

因此，對(duì)X/xe[0,+oo),/(x)>l；

⑵方法一：由題意/(x)在上存在極值，則/'(x)=a/-cow在(0,口上存在零點(diǎn)，

①當(dāng)ae(0,1)時(shí)，=為上的增函數(shù)，

注意到八0)=。-1<0,/圖=">0,

所以，存在唯一實(shí)數(shù)不€(0,1^,使得/'(x0)=0成立.

于是，當(dāng)xe(O,x0)時(shí)，/'(x)<0,/(x)為(0,毛)上的減函數(shù)；

當(dāng)XG10,1時(shí)，f\x)>0,/(X)為(xo，、)上的增函數(shù)；

所以X。為函數(shù)“X)的極小值點(diǎn)；

②當(dāng)aNl時(shí)，/'(x)=ae'-cosx2e、-cosx>0在《)上成立，

所以一(力在(0,上單調(diào)遞增，所以“X)在上沒(méi)有極值；

③當(dāng)aW0時(shí)，f'(x)^aex-cosx<0在尤4]上成立，

所以〃x）在上單調(diào)遞減，所以/（x）在上沒(méi)有極值，

綜上所述，使f（x）在［°，上存在極值的a的取值范圍是（°』）?

方法二：由題意，函數(shù)/（力在（0,?上存在極值，則在（0套）上存在零點(diǎn).

即。=—在〔萬(wàn)J上存在零點(diǎn).

設(shè)g（x）=^,x,0,5,則由單調(diào)性的性質(zhì)可得g（x）為（0,?上的減函數(shù).

即g（x）的值域?yàn)椋?,1）,所以，當(dāng)實(shí)數(shù)ae（O,l）時(shí)，/'（x）=ae'-cosx在（0,口上存在零點(diǎn).

下面證明，當(dāng)a?0,l）時(shí)，函數(shù)”X）在（0,9上存在極值.

事實(shí)上，當(dāng)。€（（）,1）時(shí)，為（o，W］上的增函數(shù)，

注意到r（0）=a-l＜0，/0=心帶＞0,所以，存在唯一實(shí)數(shù)

使得r（與）=。成立.于是，當(dāng)％€（。,不）時(shí),r（x）＜o(jì),“X）為（o,%）上的減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，/（x）＞0,/（x）為（小，3上的增函數(shù)；

即將€（0,?為函數(shù)/（X）的極小值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)。€（（）,1）時(shí)，函數(shù)/（X）在（0,^］上存在極值.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，涉及函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查構(gòu)造法的應(yīng)用，是一

道綜合題.

19.（1）L=82+4次+42-2（-+「）（2）16+4屈

【解析】

試題分析：（1）由條件可先求水平方向每根支條長(zhǎng)15-x,豎直方向每根支條長(zhǎng)為13-』，因此所需木料的長(zhǎng)度之和

2

C-15-x>2,

L^：2(15-X)+4(13-^)+8X^+V=82+4JX2+/-2(X+J)(2)先確定范圍由y可得當(dāng)4定13,

22l5~2~Z，

再由面積為130cm2,得，沖=13,轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)乙=82+4+（"2）2-2（X+出），令/=x+2竺，則

2,xxx

L=82+2M2-520+-/J-。-］在te［33,—］上為增函數(shù)，解得L有最小值16+4屈.

\lr-520+r11

QrxG

試題解析：（D由題意，水平方向每根支條長(zhǎng)為〃2=^^±=15-xcm,豎直方向每根支條長(zhǎng)為

2

“=”子=13—1cm,菱形的邊長(zhǎng)為J（：y+（$2=2t=￡cm.從而，所需木料的長(zhǎng)度之和

L=2(15-X)+4(13--)+8X^A+V=82+47x2+y2-2(x+y)cm.

22

15-x>2,.----------

（2）由題意，［孫=13,即丫=變，又由｛.v可得母4人3.所以L=82+4jf+（弛）2一2（x+弛）.

2x13--^->2,11\xx

令r=x+空，其導(dǎo)函數(shù)1-駕<0在剪金區(qū)13上恒成立，故仁x+變?cè)冢鬯?131上單調(diào)遞減，所以可得

XX211X11

te[33,—].則L=82+2[2.(X+——)2-520-(x+——)]

11Vxx

/520

=82+=〃-520+〃-520-r]=82+2[〃-520+三~一

7t-32U+/

,-------520372

因?yàn)楹瘮?shù)〉二「面和1/H在‘eg方讓均為增函數(shù)'所以

I520no

L=82+2[J產(chǎn)-520+7^^—]在fe[33,2生]上為增函數(shù)，故當(dāng)/=33,即x=13,y=20時(shí)L有最小值

V/-520+/11

16+47569.答：做這樣一個(gè)窗芯至少需要16+4歷cm長(zhǎng)的條形木料.

考點(diǎn)：函數(shù)應(yīng)用題

20.（1）見(jiàn)解析，S”=&（2）最小正整數(shù)〃的值為35.

【解析】

(1)由等差中項(xiàng)可知2S,=a“+‘，當(dāng)〃之2時(shí)，得2s整理后可得S；-S,3=1,從而證

明⑶｝為等差數(shù)列，繼而可求S“.

(2)粼=+一品,則可求出7；=用一1，令而1一125,即可求出〃的取值范圍，進(jìn)而

求出最小值.

【詳解】

解析：(D由題意可得2s“=4+',當(dāng)〃=1時(shí)，2S,=?,+—,.?.a；=l,4=1,

%?)

當(dāng)“N2時(shí)，2S“=Sn-S?_,+-,整理可得S：-S；、=1,

3n—o〃一1.

???｛s；｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，.?.S；=S；+(〃-1)="，s,,=〃.

(2)由(1)可得勿=-]=」~7==y/n+l-Vn,

7^,=>/2-Vl+x/3-V2++4n-yjn-l+4n+\~4n-4n+\-1>5?解得〃235,

...最小正整數(shù)”的值為35.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差中項(xiàng)，考查了等差數(shù)列的定義，考查了，與S”的關(guān)系，考查了裂項(xiàng)相消求和.當(dāng)已知有％與S”的

a,,n=l

遞推關(guān)系時(shí)，常代入4=「0進(jìn)行整理.證明數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，一般借助數(shù)列，即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常

Vnn-\

數(shù).

21.(1)y=±0x；(2)’10+2君+何-2石；(2)見(jiàn)解析.

2

【解析】

(1)由圓的方程求出B點(diǎn)坐標(biāo)，得雙曲線的c,再計(jì)算出匕后可得漸近線方程；

(2)設(shè)。(西,苗),。(工2，%)，由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去工后整理，可得弘+必，

PC+尸￡)=(%+9,*+%-6)，由AC+A￡>=O,-5)先求出/7,回代后求得C,。坐標(biāo)，計(jì)算〃7=%+%;

13o2Z?2

(3)由已知得從=:——],設(shè)C(3,y),￡>(/,%),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去X后整理，可解得弘=2,

%=-2匕，求出片=號(hào)+1=駕+1,從而可得|AC|=2,由|B4|Tpqw|Aq=2,可知滿足要求的0點(diǎn)不存

3rb~r

在.

【詳解】

⑴由題意圓方程為f+（＞-1）2=4,令y=0得》=±百，；.8（-百,0）,即c=b，；.h=朽萬(wàn)==夜,

a=1,；?漸近線方程為y=±\f2x.

(2)由(1)圓方程為f+(y-i)2=4,A(0,3),

x2+(y-l)2=4

設(shè)。（內(nèi)，乂）,。（工2，%），由,,y2得，(/+1)/_2/>_2〃=0(*),

X-V=i

2b22b2

x+3廬了＞匹=一百1

AC+AD=(Xy,y1—3)+(x2,y2—3)=(x]+x2,y,+y2—6)=(w,—5),

2b2

所以X+%_6=_5,即-6=-5>解得b=\,

b2+\

方程（*）為2y2-2y-2=0,即j/-,—1=。，^二上且，代入雙曲線方程得f=1+y?=1（）±2石,丁。,。在

2