重慶市北碚區(qū)縉云教育聯(lián)盟高三上學(xué)期零診試題數(shù)學(xué)

重慶縉云教育聯(lián)盟2024年高考第零次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷考生須知：1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，在試卷上作答無效；3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回；4.全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，是虛數(shù)單位，則（）A.且 B.C. D.或3.某校在開展“深化五育并舉、強(qiáng)大核心素養(yǎng)”活動中，選派了名學(xué)生到三個勞動實(shí)踐點(diǎn)去勞動，每個勞動實(shí)踐點(diǎn)至少1人，每名學(xué)生只能去一個勞動實(shí)踐點(diǎn)，不同的選派方法種數(shù)有（）A. B. C. D.4.設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍為（）A. B. C. D.5.已知橢圓，直線，若橢圓上存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A. B.C. D.6.已知，，，則（）A. B.C. D.7.若，且，則的最小值為（）A. B. C. D.8.17到19世紀(jì)間，數(shù)學(xué)家們研究了用連分式求解代數(shù)方程的根，并得到連分式的一個重要功能：用其逼近實(shí)數(shù)求近似值．例如，把方程改寫成①，將再代入等式右邊得到，繼續(xù)利用①式將再代入等式右邊得到……反復(fù)進(jìn)行，取時，由此得到數(shù)列，，，，，記作，則當(dāng)足夠大時，逼近實(shí)數(shù)．?dāng)?shù)列的前2024項(xiàng)中，滿足的的個數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）A.1007 B.1009 C.2014 D.2018二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.9.在棱長為2正方體中，M為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A.與所成角的余弦值為B.過三點(diǎn)A、M、的截面面積為C.四面體的內(nèi)切球的表面積為D.E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，過E、M、F三點(diǎn)的截面是六邊形．10.已知直線和三點(diǎn)，，，過點(diǎn)C的直線與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（）A.P在直線l上，則的最小值為B.直線l上一點(diǎn)使最大C.當(dāng)最小時的方程是D.當(dāng)最小時的方程是11.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.12.已知互不相同的30個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的28個樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為;去掉的兩個數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為﹔原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，若=，則下列說法正確的是（

）A.B.C.剩下28個數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)D.剩下28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知單位向量的夾角為，向量，，則向量，夾角的余弦值為______.14.已知球的兩個平行截面的面積分別為，且兩個截面之間的距離是，則球的表面積為_________．15.已知的三個內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)的邊分別是a、b、c，其中A、C、B成等差數(shù)列，，，則的面積為________．16.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：對于實(shí)數(shù)，符號表示不超過的最大整數(shù)，例如，，定義函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)開_____.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．（1）求A；（2）若，求的面積．18.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，記為數(shù)列前項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求，.19.為了解學(xué)生中午的用餐方式（在食堂就餐或點(diǎn)外賣）與最近食堂間的距離的關(guān)系，某大學(xué)于某日中午隨機(jī)調(diào)查了2000名學(xué)生，獲得了如下頻率分布表（不完整）：學(xué)生與最近食堂間的距離合計在食堂就餐015

點(diǎn)外賣

合計

并且由該頻率分布表，可估計學(xué)生與最近食堂間的平均距離為（同一組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）.（1）補(bǔ)全頻率分布表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生中午的用餐方式與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近有關(guān)（當(dāng)學(xué)生與最近食堂間的距離不超過時，認(rèn)為較近，否則認(rèn)為較遠(yuǎn)）：（2）已知該校李明同學(xué)的附近有兩家學(xué)生食堂甲和乙，且他每天中午都選擇食堂甲或乙就餐.（i）一般情況下，學(xué)生更愿意去飯菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明準(zhǔn)備去食堂就餐.此時，記他選擇去甲食堂就餐為事件，他認(rèn)為甲食堂的飯菜比乙食堂的美味為事件，且、均為隨機(jī)事件，證明：：（ii）為迎接為期7天的校慶，甲食堂推出了如下兩種優(yōu)惠活動方案，顧客可任選其一.①傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案：校慶期間，顧客任意一天中午去甲食堂就餐均可獲得元優(yōu)惠；②“饑餓型”優(yōu)惠方案：校慶期間，對于顧客去甲食堂就餐若干天（不必連續(xù)）中午，第一天中午不優(yōu)惠（即“饑餓”一天），第二天中午獲得元優(yōu)惠，以后每天中午均獲得元優(yōu)惠（其中，為已知數(shù)且）.校慶期間，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均為（），且是否去甲食堂就餐相互獨(dú)立.又知李明是一名“激進(jìn)型”消費(fèi)者，如果兩種方案獲得的優(yōu)惠期望不一樣，他傾向于選擇能獲得優(yōu)惠期望更大的方案，如果兩種方案獲得的優(yōu)惠期望一樣，他傾向于選擇獲得的優(yōu)惠更分散的方案.請你據(jù)此幫他作出選擇，并說明理由.附：，其中.20.已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線，過曲線與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)作兩條直線分別交曲線于點(diǎn)（異于），且直線，的斜率之積為.（1）求曲線的方程；（2）證明：直線過定點(diǎn).21.如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥、、、，、分別為、的中點(diǎn)，．（1）證明：平面平面；（2）若與所成角為，求二面角的余弦值．22.已知函數(shù)．（1）求的最值；（2）若方程有兩個不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

重慶縉云教育聯(lián)盟2024年高考第零次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷考生須知：1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，在試卷上作答無效；3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回；4.全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】解不等式可得或，根據(jù)取值的范圍大小即可知“”是“”的充分不必要條件.【詳解】由不等式可得或；易知是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A2.如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，是虛數(shù)單位，則（）A.且 B.C. D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，即得，從而求解.【詳解】由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得解得:.故選:C.3.某校在開展“深化五育并舉、強(qiáng)大核心素養(yǎng)”活動中，選派了名學(xué)生到三個勞動實(shí)踐點(diǎn)去勞動，每個勞動實(shí)踐點(diǎn)至少1人，每名學(xué)生只能去一個勞動實(shí)踐點(diǎn)，不同的選派方法種數(shù)有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】按照先分組，再分配的方法，即可求解.【詳解】將5名學(xué)生分成3組，3，1，1或是2，2，13，1，1的分組有種方法，2，2，1的分組有種方法，所以分組方法共有種，再分配到3個勞動點(diǎn)，則有種方法.故選：D4.設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】易得為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，可將不等式化為，解不等式即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，所以，所以或故選：D.5.已知橢圓，直線，若橢圓上存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)橢圓上兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則可設(shè)直線方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，令，可算出的范圍，又線段的中點(diǎn)也在直線上，結(jié)合韋達(dá)定理可以算出的關(guān)系式，從而得解.【詳解】設(shè)，線段的中點(diǎn)，若此橢圓上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以直線的方程可以設(shè)為，聯(lián)立，化為，，解得，而，所以，即，代入直線可得，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D.6.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)單調(diào)性得到，再構(gòu)造函數(shù)，得到其單調(diào)性，得到，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，比較出大小.【詳解】因?yàn)?，而在上單調(diào)遞減，故，又在上單調(diào)遞增，故，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，，故，即，故，又，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故，故，因?yàn)椋?，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故，又，故，故故選：D【點(diǎn)睛】構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)，結(jié)合代數(shù)式的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小.7.若，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡解析式，得函數(shù)最大最小值與周期，利用條件轉(zhuǎn)化為與最值的關(guān)系，再由最值與周期的關(guān)系可得.【詳解】，的周期為，且令，則，則，由的值域?yàn)?，故，則，故，由知，，或.即為函數(shù)的最大與最小值，或最小與最大值，當(dāng)對應(yīng)圖象上相鄰兩最值點(diǎn)時，的值最小，故.故選：B.8.17到19世紀(jì)間，數(shù)學(xué)家們研究了用連分式求解代數(shù)方程的根，并得到連分式的一個重要功能：用其逼近實(shí)數(shù)求近似值．例如，把方程改寫成①，將再代入等式右邊得到，繼續(xù)利用①式將再代入等式右邊得到……反復(fù)進(jìn)行，取時，由此得到數(shù)列，，，，，記作，則當(dāng)足夠大時，逼近實(shí)數(shù)．?dāng)?shù)列的前2024項(xiàng)中，滿足的的個數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：）A.1007 B.1009 C.2014 D.2018【答案】D【解析】【分析】作差討論的符號與的關(guān)系，結(jié)合可得，，然后討論奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的單調(diào)性，再驗(yàn)證前8項(xiàng)哪些滿足題意，結(jié)合單調(diào)性即可解答.【詳解】由題，，且前8項(xiàng)為1，2，，，，，，，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．又，所以，.因?yàn)椋渲?，所以，所以，，所以，，又因?yàn)?，所以不滿足的分別為，，，，，，.故選：D．【點(diǎn)睛】本題難點(diǎn)在于作差討論的符號與的關(guān)系，從而得到，，這對學(xué)生的思維能力有很高的要求，不易想到，但結(jié)合本題目標(biāo)分析，似乎又是理所當(dāng)然.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分.9.在棱長為2的正方體中，M為邊的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A.與所成角的余弦值為B.過三點(diǎn)A、M、的截面面積為C.四面體的內(nèi)切球的表面積為D.E是邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，過E、M、F三點(diǎn)的截面是六邊形．【答案】AD【解析】【分析】對于A，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式求解；對于B，作出過三點(diǎn)A、M、的截面，即可求其面積；對于C，利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可求解；對于D，利用幾何作圖，作出過E、M、F三點(diǎn)的截面，即可判斷.【詳解】對于A，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則,則，與所成角的范圍為，故與所成角的余弦值為，A正確；對于B，設(shè)N為的中點(diǎn)，連接MN，則，且，則梯形即為過三點(diǎn)A、M、的截面，，則梯形高為，故梯形面積為為，B錯誤；對于C，如圖，四面體的體積等于正方體體積減去四個角上的直三棱錐的體積，即，該四面體的棱長為，其表面積為，設(shè)四面體內(nèi)球球半徑為r，則，故四面體的內(nèi)切球的表面積為，C錯誤；對于D，如圖，延長ME和的延長線交于J，則≌，則，設(shè)H為的中點(diǎn)，則，連接HJ，則≌，則，故G為的中點(diǎn)，故，同理延長交于L，連接LH，交于K，K即為的中點(diǎn)，則K，E在確定的平面內(nèi)，則六邊形即過E、M、F三點(diǎn)的截面，是六邊形，D正確，故選：AD【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了空間幾何中的線線角、截面、以及內(nèi)切球問題，難度較大，解答時要發(fā)揮空間想象能力，明確空間的位置關(guān)系，結(jié)合空間向量以及等體積法和幾何作圖解決問題.10.已知直線和三點(diǎn)，，，過點(diǎn)C的直線與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（）A.P在直線l上，則的最小值為B.直線l上一點(diǎn)使最大C.當(dāng)最小時的方程是D.當(dāng)最小時方程是【答案】BC【解析】【分析】對于A：求出點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，然后通過求最小值；對于B：通過，當(dāng)三點(diǎn)共線時取最大值來求解；對于C：設(shè)，求出坐標(biāo)，表示出，利用基本不等式求最小值；對于D：表示出，利用基本不等式求最小值.【詳解】對于A：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為，則，解得，當(dāng)三點(diǎn)共線時取最小值.A錯誤；對于B：，當(dāng)三點(diǎn)共線時取最大值，又，即，聯(lián)立，解得，即直線l上一點(diǎn)使最大，B正確；對于C：設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，即，C正確；對于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時，即，D錯誤.故選：BC.11.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性判斷即可得解.【詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A符合；函數(shù)為奇函數(shù)，故B不符合；函數(shù)是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C符合；函數(shù)定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故D不符合．故選：AC．12.已知互不相同的30個樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的28個樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為;去掉的兩個數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為﹔原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)為，若=，則下列說法正確的是（

）A.B.C.剩下28個數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)D.剩下28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】對于A選項(xiàng)，求出剩下的28個樣本數(shù)據(jù)的和、去掉的兩個數(shù)據(jù)和、原樣本數(shù)據(jù)和，列出方程即可；對于B選項(xiàng)，寫出和的表達(dá)式即可；對于C選項(xiàng)，根據(jù)中位數(shù)定義判斷即可；對于D選項(xiàng)，根據(jù)分位數(shù)定義判斷即可.【詳解】A.剩下的28個樣本數(shù)據(jù)的和為，去掉的兩個數(shù)據(jù)和為，原樣本數(shù)據(jù)和為，所以，因?yàn)?，所以，故A選項(xiàng)正確；B.設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，所以，故B選項(xiàng)正確；C.剩下28個數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)，故C選項(xiàng)錯誤；D.去掉2個數(shù)據(jù)，則剩下28個數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原樣本數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知單位向量的夾角為，向量，，則向量，夾角的余弦值為______.【答案】##【解析】【分析】以，基底展開計算即可求解【詳解】由題意，得，.而，所以.故答案為：14.已知球的兩個平行截面的面積分別為，且兩個截面之間的距離是，則球的表面積為_________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)截面面積得到兩個圓截面的半徑，由于球的對稱性，考慮兩截面與球心的位置關(guān)系分別在球心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況，加以分類討論.【詳解】由球的截面為圓，設(shè)兩個平行的截面圓的半徑分別為，，球的半徑為，因?yàn)椋裕?，所以，?dāng)兩截面在球心的同側(cè)時，，解得，球的表面積為；當(dāng)兩截面在球心的同側(cè)時，，無解；綜上，所求球的表面積為.故答案為：.15.已知的三個內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)的邊分別是a、b、c，其中A、C、B成等差數(shù)列，，，則的面積為________．【答案】##【解析】【分析】由題意首先得出，結(jié)合誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式算出，進(jìn)一步可以算出，結(jié)合以及正弦定理即可算出，最終根據(jù)三角形面積公式即可求解.【詳解】因?yàn)锳、C、B成等差數(shù)列，所以，即，又，所以，解得，則，因?yàn)?，即，所以，又，所以由正弦定理有，即，解得，所以的面積為.故答案為：.16.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：對于實(shí)數(shù)，符號表示不超過的最大整數(shù)，例如，，定義函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)開_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，可得函數(shù)的圖象，即可的解.【詳解】由高斯函數(shù)的定義可得：當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，易見該函數(shù)具有周期性，繪制函數(shù)圖象如圖所示，由圖象知的值域?yàn)?故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．（1）求A；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合二倍角的正弦公式求解即得.（2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理求出，再利用三角形面積公式計算即得.【小問1詳解】在中，由正弦定理、二倍角的正弦公式及，得．又，因此，而，所以．【小問2詳解】由（1）知，由余弦定理得．而，則，，解得，所以的面積．18.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求，.【答案】（1）（2），【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為：,根據(jù)與的關(guān)系及（1）求解出和,即可得的通項(xiàng)公式；（2）分奇偶對和進(jìn)行討論，再根據(jù)求解,.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則.，由，故.因?yàn)?，所以解得，，?【小問2詳解】當(dāng)，時，,所以.當(dāng)，時，，，所以由已知，故，不能同時為奇數(shù)或偶數(shù)，所以，為奇數(shù)與偶數(shù).當(dāng)為奇數(shù)，為偶數(shù)時，則，所以，，；當(dāng)為偶數(shù)，為奇數(shù)時，則，所以，，.因?yàn)?，所以?19.為了解學(xué)生中午的用餐方式（在食堂就餐或點(diǎn)外賣）與最近食堂間的距離的關(guān)系，某大學(xué)于某日中午隨機(jī)調(diào)查了2000名學(xué)生，獲得了如下頻率分布表（不完整）：學(xué)生與最近食堂間的距離合計在食堂就餐

點(diǎn)外賣

合計

并且由該頻率分布表，可估計學(xué)生與最近食堂間的平均距離為（同一組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）.（1）補(bǔ)全頻率分布表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生中午的用餐方式與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近有關(guān)（當(dāng)學(xué)生與最近食堂間的距離不超過時，認(rèn)為較近，否則認(rèn)為較遠(yuǎn)）：（2）已知該校李明同學(xué)的附近有兩家學(xué)生食堂甲和乙，且他每天中午都選擇食堂甲或乙就餐.（i）一般情況下，學(xué)生更愿意去飯菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明準(zhǔn)備去食堂就餐.此時，記他選擇去甲食堂就餐為事件，他認(rèn)為甲食堂的飯菜比乙食堂的美味為事件，且、均為隨機(jī)事件，證明：：（ii）為迎接為期7天的校慶，甲食堂推出了如下兩種優(yōu)惠活動方案，顧客可任選其一.①傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案：校慶期間，顧客任意一天中午去甲食堂就餐均可獲得元優(yōu)惠；②“饑餓型”優(yōu)惠方案：校慶期間，對于顧客去甲食堂就餐的若干天（不必連續(xù)）中午，第一天中午不優(yōu)惠（即“饑餓”一天），第二天中午獲得元優(yōu)惠，以后每天中午均獲得元優(yōu)惠（其中，為已知數(shù)且）.校慶期間，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均為（），且是否去甲食堂就餐相互獨(dú)立.又知李明是一名“激進(jìn)型”消費(fèi)者，如果兩種方案獲得的優(yōu)惠期望不一樣，他傾向于選擇能獲得優(yōu)惠期望更大的方案，如果兩種方案獲得的優(yōu)惠期望一樣，他傾向于選擇獲得的優(yōu)惠更分散的方案.請你據(jù)此幫他作出選擇，并說明理由.附：，其中.【答案】（1）頻率分布表見解析，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為學(xué)生中午的用餐方式與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近有關(guān)（2）（i）證明見解析；（ii）當(dāng)時，選擇傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案；當(dāng)時，選擇“饑餓型”優(yōu)惠方案，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全頻率分布表，然后計算，與臨界值表對比即可；（2）（i）證法一：根據(jù)題意得到，，然后結(jié)合條件概率公式得到，最后利用作差法和條件概率公式證明即可；證法二：根據(jù)題意得到，，然后結(jié)合條件概率公式得到，，最后利用作差法和條件概率公式證明即可；（ii）根據(jù)題意得到兩種方案的優(yōu)惠期望，然后分、和三種情況考慮即可.【小問1詳解】（1）設(shè)組的頻率為t，則組的頻率為，估計學(xué)生與最近食堂間的平均距離，解得，故可補(bǔ)全頻率分布表如下：學(xué)生與最近食堂間的距離合計在食堂就餐點(diǎn)外賣合計040據(jù)此結(jié)合樣本容量為2000可列出列聯(lián)表如下：

學(xué)生距最近食堂較近學(xué)生距最近食較堂遠(yuǎn)合計在食堂就餐7003001000點(diǎn)外賣5005001000合計12008002000零假設(shè)：學(xué)生中午的用餐情況與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近無關(guān).注意到.據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即可以認(rèn)為學(xué)生中午的用餐方式與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近有關(guān).【小問2詳解】（i）證法一：由題意得，，結(jié)合，.結(jié)合條件概率公式知，即.，即成立.證法二：由題意得，，所以，同理，于是，故，即成立.（ⅱ）設(shè)李明在校慶期間去食堂甲就餐的次數(shù)為，若選擇傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案獲得的優(yōu)惠為X元，若選擇“饑餓型”優(yōu)惠方案獲得的優(yōu)惠為Y元，則，，對，有，故，，令，結(jié)合得，記為.若，則，，此時李明應(yīng)選擇“饑餓型”優(yōu)惠方案；若，則，，此時李明應(yīng)選擇傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案.若，則，.注意到，.因此，即.此時李明選擇獲得的優(yōu)惠更分散的方案，即獲得的優(yōu)惠方差更大的方案，即“饑餓型”優(yōu)惠方案.綜上所述，當(dāng)時，李明應(yīng)選擇傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案；當(dāng)時，李明應(yīng)選擇“饑餓型”優(yōu)惠方案.20.已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線，過曲線與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)作兩條直線分別交曲線于點(diǎn)（異于），且直線，的斜率之積為.（1）求曲線的方程；（2）證明：直線過定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)設(shè)點(diǎn)代入即可得到曲線的方程；（2）先考慮斜率存在的情況，設(shè)直線聯(lián)立，得到方程，進(jìn)而得到過定點(diǎn)，再考慮斜率不存在的情況，也得到過該定點(diǎn)即可.【小問1詳解】設(shè)，由，得，所以，兩邊平方并化簡，得曲線的方程為.【小問2詳解】由（1）得，設(shè)直線、的斜率分別為，，如圖所示，當(dāng)不垂直于軸時，設(shè)，聯(lián)立，整理得，解得（舍）或，當(dāng)時，，所以，同理得，所以的斜率，因?yàn)?，代入可得，故的方程為，即，故過定點(diǎn)；當(dāng)軸時，設(shè)，則，所以，即，又因?yàn)?，代入可得，解得或（舍），所以（或），所以的方程為，過點(diǎn).綜上，直線過定點(diǎn)21.如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，∥、、、，、分別為、的中點(diǎn)，．（1）證明：平面平面；（2）若與所成角為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，為的中點(diǎn)，得到，再由，利用線面垂直和面面垂直的判定定理證明；（2）以