四川省綿陽市三臺中學(xué)校高三一模數(shù)學(xué)（理）試題

三臺中學(xué)校2021級高三一診模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題（三）一、單選題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】通過推理得到是的真子集，從而根據(jù)交集，并集和補(bǔ)集的概念進(jìn)行計算，對四個選項一一進(jìn)行判斷正誤.詳解】，故是的真子集，故，，，，故A，B，D均錯誤，C正確.故選：C.2.已知a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項中一定成立的是（）A.ab>ac B.c(b－a)<0C.cb2<ab2 D.ac(a－c)>0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，求得的正負(fù)，再結(jié)合，則問題得解.【詳解】由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0.由b>c，得ab>ac一定成立，即正確；因為，故，故錯誤；若時，顯然不滿足，故錯誤；因為，故，故錯誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，屬簡單題.3.若等比數(shù)列滿足，，（）．A. B. C.8 D.64【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件先求出數(shù)列的首項和公比，即可求出.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，，解得，，.故選：A.4.下列命題正確的是（）A.命題“”為假命題，則命題與命題都是假命題B.命題“若，則”的逆否命題為真命題C.若使得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則為函數(shù)的極值點(diǎn)；D.命題“，使得”的否定是：“，均有”【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合命題的真假判斷A，根據(jù)四種命題的關(guān)系判斷B，根據(jù)極值的定義判斷C，根據(jù)命題的否定判斷D．【詳解】對于A：命題“”為假命題，則命題與命題至少有一個假命題，故A錯誤；對于B：命題“若，則”顯然為真命題，又原命題與逆否命題同真同假，故B正確；對于C：若使得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，如果兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)的符號相反，則為函數(shù)的極值點(diǎn)；否則，不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故C錯誤；對于D：命題“存在，使得”的否定是：“對任意，均有”．故D錯誤.故選：B．5.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：因為，，所以因為所以，所以．故選：B6.若向量，滿足，，則在方向上的投影為（）A.1 B. C. D.－1【答案】B【解析】【分析】先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算求得，再利用投影的定義求解即可.【詳解】因為，，所以，即，則，故在方向上的投影.故選：B.7.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用排除法，先判斷函數(shù)的奇偶性，再取特殊值驗證即可【詳解】因為，所以為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以排除CD，因為，，所以排除B，故選：A8.已知角的終邊落在直線上，則的值為（）A. B. C.±2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角終邊的位置得到，然后將轉(zhuǎn)化為再代入求值即可.【詳解】角的終邊落在直線上，所以，.故選：B.9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A向左平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到、的解析式，然后利用圖象平移的結(jié)論進(jìn)行圖象平移即可.【詳解】根據(jù)圖象可得，周期，因為，所以，，將代入可得，解得，因為，所以，所以，，因為，所以向左平移個單位長度即可得到的圖象.故選：B.10.過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，即可得到切線方程，依題意關(guān)于的方程有兩個不同的解、，利用韋達(dá)定理計算可得.【詳解】因為，所以，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以切線方程為，所以，即，依題意關(guān)于的方程有兩個不同的解、，即關(guān)于的方程有兩個不同的解、，所以.故選：D11.已知函數(shù)的最小正周期為，若在上有兩個實根，，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)可得，將問題轉(zhuǎn)化為在上與有兩個交點(diǎn)且交點(diǎn)橫坐標(biāo)之差，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合確定的取值范圍.詳解】由題設(shè)，，則，即，又在上有兩個實根，，且，上，，則的圖象如下：∴要使，則對應(yīng)，∴當(dāng)時，有兩個交點(diǎn)且.故選：D12.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，.若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可知和都是周期為2的周期函數(shù)，因此可將的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)換為和的交點(diǎn)問題，畫出函數(shù)圖形，找到交點(diǎn)規(guī)律即可找出第10個零點(diǎn)坐標(biāo)，而m的取值范圍就在第10個零點(diǎn)和第11個零點(diǎn)之間.【詳解】由得是一個周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時，，因此，因為是奇函數(shù)，所以，，且的周期為，且，，，，求的零點(diǎn)，即是與的交點(diǎn)，如圖：為與在區(qū)間的交點(diǎn)圖形，因為與均為周期為2的周期函數(shù)，因此交點(diǎn)也呈周期出現(xiàn)，由圖可知的零點(diǎn)周期為，若在區(qū)間上有10個零點(diǎn)，則第10個零點(diǎn)坐標(biāo)為，第11個零點(diǎn)坐標(biāo)為，因此.故選：A【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的零點(diǎn)問題，往往可以轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)的交點(diǎn)的個數(shù)問題，而圖象的刻畫需結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性等來處理.二、填空題13.若，滿足約束條件，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】先作出可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為，要求的最小值，則需求直線在軸上的截距的最大值，由圖可得答案.【詳解】由，滿足約束條件作出可行域,如圖由，解得由，解得由，解得將目標(biāo)函數(shù)化為，則表示直線在軸上的截距的倍.要求的最小值，則需求直線在軸上的截距的最大值.由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時，直線在軸上的截距的最大值.此時的最小值為故答案為：14.當(dāng)時，函數(shù)的值域為________．【答案】【解析】【分析】由，求得，化簡，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因為，可得，又由，當(dāng)，取得最小值；當(dāng)或，取得最大值，即函數(shù)的值域為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的值域的求解，其中解答中熟記三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)，則不等式的解集為______．【答案】【解析】【分析】分別在和的情況下，結(jié)合指數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可解不等式求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)，即時，，，解得：（舍）；當(dāng)，即時，，，解得：，；綜上所述：不等式的解集為.故答案為：.16.數(shù)列的前項和為，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前10項和為______．【答案】65【解析】【分析】由的遞推式可得，結(jié)合已知條件有，即可求數(shù)列的前10項和.【詳解】由知：，則，得，∴，而，∴，故數(shù)列的前10項和為，故答案為：65.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：遞推式的應(yīng)用求條件等式中因式的表達(dá)式，進(jìn)而求數(shù)列的通項，最后求前10項和.三、解答題17.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量，，且．（1）求角B的大?。唬?）若點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，且，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示，再利用正弦定理邊化角及和角的正弦公式求解作答.（2）取CM中點(diǎn)D，連接AD，利用直角三角形邊角關(guān)系及正弦定理求解作答.【小問1詳解】向量，，且，于是，在中，由正弦定理，得，即，整理得，又，因此，而，所以．【小問2詳解】取CM中點(diǎn)D，連接AD，由，得，令，而點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，則，由（1）知，于是，，在中，由正弦定理知，所以．18.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，其前n項和為，數(shù)列前n項和為，從①，，成等比數(shù)列，，②，，這兩個條件中任選一個作為已知條件并解答下列問題.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）條件選擇見解析；，；（2）.【解析】【分析】（1）選條件①：設(shè)數(shù)列的公差為d，根據(jù)等比中項的性質(zhì)建立方程，解之可求得公差d，由等差數(shù)列的通項公式求得，再由，兩式相減得數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得；選條件②：由已知得等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列的通項公式求得，再由求得，注意時是否滿足；（2）由（1）可得：，由錯位相減法可求得.【詳解】解：（1）選條件①：設(shè)數(shù)列的公差為d，由，，成等比數(shù)列，可得：，即，解得：或（舍），所以，∵，∴，，兩式相減整理得：，，又當(dāng)時，有，解得：，∴數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，∵；選條件②：∵，∴等差數(shù)列的公差為，又，∴，又∵，∴當(dāng)時，有，又當(dāng)時，有，也適合上式，∵；（2）由（1）可得：，∴·，又，兩式相減得：整理得：19.設(shè).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，角的對邊分別為,若,求面積的最大值.【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間；單調(diào)遞減區(qū)間是（Ⅱ）面積的最大值為【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求其單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）首先由結(jié)合（Ⅰ）的結(jié)果，確定角A的值，然后結(jié)合余弦定理求出三角形面積的最大值.試題解析：解：（Ⅰ）由題意知由可得由可得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是（Ⅱ）由得由題意知為銳角，所以由余弦定理：可得：即：當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.因此所以面積的最大值為考點(diǎn)：1、誘導(dǎo)公式；2、三角函數(shù)的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.20.已知.（Ⅰ）若在時有極值，求，的值；（Ⅱ）若，求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）答案見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，由題意可得，解方程組求出，的值，再驗證是否在是否取得極值即可.（Ⅱ）由題意求出，討論、或，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.【詳解】解：（Ⅰ）由題意得，則，解得：或，經(jīng)檢驗當(dāng)，時，函數(shù)在處無極值，而，滿足題意，故，；（Ⅱ）故，故時，，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時，函數(shù)在遞增，在遞減，在遞增，當(dāng)時，函數(shù)在遞增，在遞減，在遞增．21.已知函數(shù).（1）求證：；（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）求出，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的最值可得不等式成立.（2）求出，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)的個數(shù)可得最值的符號，從而可得a的取值范圍，注意利用零點(diǎn)存在定理驗證.【小問1詳解】，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上減函數(shù)，故即.【小問2詳解】，故，因為，故，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上減函數(shù)，因為函數(shù)有兩個零點(diǎn)，故即，又當(dāng)時，對任意，有：，故此時在上有且只有一個零點(diǎn).下證：當(dāng)時，總有成立，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，故，即成立.故當(dāng)時有.由（1）可得，故當(dāng)時，，故此時在上有且只有一個零點(diǎn).綜上，當(dāng)有兩個零點(diǎn)時，.22.數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，在極坐標(biāo)系中，曲線被稱為“三葉玫瑰線”（如圖所示）．（1）當(dāng)，求以極點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與三葉玫瑰線交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)P是由（1）中的交點(diǎn)所確定的圓M上的動點(diǎn)，直線，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由可得，然后解出的值即可；（2）將圓和直線l的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后可求出答案.【詳解】（1）由可得，所以或所以或因為，所以所以交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（2）由（1）可得圓M的極坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程為所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為23.已知函數(shù).（1）