模型E04 修橋選址模型（解析版）

修橋選址模型修橋選址模型模型講解模型講解已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側(cè),且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)（1）點A、B在直線m兩側(cè)：過A點作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。（2）點A、B在直線m同側(cè)：過A點作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關(guān)于m的對稱點B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。方法點撥一、題型特征：AP+PQ+QB（其中PQ長度一定）①兩動點在一直線上運動，且兩動點間的距離不變，兩定點分居兩動點所在直線的兩側(cè)；②過任一定點作兩動點所構(gòu)成線段的平行且相等，將這一定點經(jīng)行平移；③將平移后得到的點與另一定點相連二、模型本質(zhì)：兩點之間，線段最短。例題演練例題演練1．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD邊的中點，點P、Q為BC邊上的兩個動點，且PQ＝2，當(dāng)BP＝（）時，四邊形APQE的周長最?。瓵．3 B．4 C．5 D．2【解答】解：如圖，在AD上截取線段AF＝PQ＝2，作F點關(guān)于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點．∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，∴∠GEH＝45°，∴∠CEQ＝45°，設(shè)BP＝x，則CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，在△CQE中，∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，∴CQ＝EC，∴6﹣x＝2，解得x＝4．故選：B．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2018?如東縣二模）如圖，正方形ABCD的邊長為6，E，F(xiàn)是對角線BD上的兩個動點，且EF＝，連接CE，CF，則△CEF周長的最小值為4．【解答】解：如圖作CH∥BD，使得CH＝EF＝2，連接AH交BD由F，則△CEF的周長最?。逤H＝EF，CH∥EF，∴四邊形EFHC是平行四邊形，∴EC＝FH，∵FA＝FC，∴EC+CF＝FH+AF＝AH，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵CH∥DB，∴AC⊥CH，∴∠ACH＝90°，在Rt△ACH中，AH＝＝4，∴△EFC的周長的最小值＝2+4，故答案為2+4．2．（2020?陜西模擬）如圖，正方形ABCD的對角線上的兩個動點M、N，滿足AB＝MN，點P是BC的中點，連接AN、PM，若AB＝6，則當(dāng)AN+PM的值最小時，線段AN的長度為2．【解答】解：過P作PE∥BD交CD于E，連接AE交BD于N'，過P作PM'∥AE交BD于M'，當(dāng)M、N分別與M'、N'重合時，此時AN+PM＝A'+EN'＝AEN'+PM'＝AE的值最小，∵P是BC的中點，∴E為CD的中點，∴PE＝BD，∵AB＝BD，AB＝PE，∴PE∥BD，PM'∥AE，∴四邊形PEN'M'是平行四邊形，∴PE＝M'N'，∴AB＝M'N'＝MN，滿足題中條件，∵AE＝＝3，∵AB∥CD，∴△ABN'∽△EDN'，∴＝2，∴AN'＝2，即AN＝2．3．如圖，G、B為直線l上兩個動點，且GB＝2，P、Q為直線l外兩定點，請在直線l上作出使得四邊形PGBQ周長最小的G、B．【解答】解：如圖，四邊形PG′B′Q即為所求．4．（2019秋?開福區(qū)校級期末）已知：如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E為直線BC上一點．（1）如圖1，當(dāng)E在線段BC上，且DE＝AD時，求BE的長；（2）如圖2，點E為BC延長線上一點，若BD＝BE，連接DE，M為ED的中點，連接AM，CM，求證：AM⊥CM；（3）如圖3，在（2）條件下，P，Q為AD邊上的兩個動點，且PQ＝5，連接PB、MQ、BM，求四邊形PBMQ的周長的最小值．【解答】解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，∴DE＝AD＝8，在Rt△CDE中，CE＝＝＝2，∴BE＝BC﹣CE＝8﹣2；（2）如圖2，連接BM，∵點M是DE的中點，∴DM＝EM，∵BD＝BE，∴BM⊥DE，∴∠BMD＝90°，∵點M是Rt△CDE的斜邊的中點，∴DM＝CM，∴∠CDM＝∠DCM，∴∠ADM＝∠BCM在△ADM和△BCM中，，∴△ADM≌△BCM（SAS），∴∠AMD＝∠BMC，∴∠AMC＝∠AMB+∠BMC＝∠AMB+∠AMD＝∠BMD＝90°，∴AM⊥CM；（3）如圖3中，過點Q作QG∥BP交BC于G，作點G關(guān)于AD的對稱點G'，連接QG'，當(dāng)點G'，Q，M在同一條線上時，QM+BP最小，而PQ和BM是定值，∴此時，四邊形PBMQ周長最小，∵QG∥PB，PQ∥BG，∴四邊形BPQG是平行四邊形，∴QG＝BP，BG＝PQ＝5，∴CG＝3，如圖2，在Rt△BCD中，CD＝6，BC＝8，∴BD＝10，∴BE＝10，∴BG＝BE﹣BG＝5，CE＝BE﹣BC＝2，∴HM＝1+3＝4，HG＝CD＝3，在Rt△MHG'中，HG'＝6+3＝9，HM＝4，∴MG'＝＝＝，在Rt△CDE中，DE＝＝＝2，∴ME＝，在Rt△BME中，BM＝＝＝3，∴四邊形PBMQ周長最小值為BP+PQ+MQ+BM＝QG+PQ+QM+BM＝MG'+PQ+BM＝+5+3，5．（2018春?寶安區(qū)期末）如圖1，已知平行四邊形ABCO，以點O為原點，OC所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，AB交y軸于點D，AD＝2，OC＝6，∠A＝60°，線段EF所在的直線為OD的垂直平分線，點P為線段EF上的動點，PM⊥x軸于點M點，點E與E′關(guān)于x軸對稱，連接BP、E′M．（1）請直接寫出點A的坐標(biāo)為（﹣2，2），點B的坐標(biāo)為（4，2）；（2）當(dāng)BP+PM+ME′的長度最小時，請直接寫出此時點P的坐標(biāo)為（2，）；（3）如圖2，點N為線段BC上的動點且CM＝CN，連接MN，是否存在點P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的EP的值；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）如圖1中，在Rt△ADO中，∵∠A＝60°，AD＝2，∴OD＝2?tan60°＝2，∴A（﹣2，2），∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴AB＝OC＝6，∴DB＝6﹣2＝4，∴B（4，2）（2）如圖1中，連接OP．∵EF垂直平分線段OD，PM⊥OC，∴∠PEO＝∠EOM＝∠PMO＝90°，∴四邊形OMPE是矩形，∴PM＝OE＝，∵OE＝OE′，∴PM＝OE′，PM∥OE′，∴四邊形OPME′是平行四邊形，∴OP＝EM，∵PM是定值，∴PB+ME′＝OP+PB的值最小時，BP+PM+ME′的長度最小，∴當(dāng)O、P、B共線時，BP+PM+ME′的長度最小，∵直線OB的解析式為y＝x，∴P（2，）．故答案為（2，）（3）如圖2中，當(dāng)PM＝PN＝時，∵△MNC是等邊三角形，∴∠CMN＝∠CNM＝60°，∵PM⊥OC，∴∠PMN＝∠PNM＝30°，∴∠PNF＝30°+60°＝90°，∵∠PFN＝∠BCO＝60°，∴PF＝PN÷cos30°＝2，∵EF＝＝5，∴PE＝5﹣2＝3．如圖3中，當(dāng)PM＝MN時，∵PM＝MN＝CM＝，∴EP＝OM＝6﹣．如圖4中，當(dāng)點P與F重合時，NP＝NM，此時PE＝EF＝5．綜上所述，滿足條件的EP的值為3或6﹣或5．1．（2017?內(nèi)江）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ＝4，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ＝16．【解答】解：作PE⊥l1于E交l2于F