2022年天津市南開區(qū)普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬試題（含答案解析）

2022年天津市南開區(qū)普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬

試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)全集/={0,1,2,3},集合M={0,l,2},N={0,2,3},則=

A.{1}B.{2,3}C.{0,1,2}D.0

2.從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0.2,該同學(xué)

的身高在［160,175］（單位：cm）內(nèi)的概率為0.5,那么該同學(xué)的身高超過(guò)175cm的概率

為（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

3.tan540。的值為（）.

A.-1B.0C.1D.不存在

4.下列函數(shù)中，在（0,+◎上單調(diào)遞增的是（）.

1

A.y=]x\B.y=-x2C.y=2-xD.y=~r

5.已知向量￡=。,2),\=(%,-1)若￡_1_),則實(shí)數(shù)X的值為（）

A.-2B.2C.-1D.1

6.設(shè)C為復(fù)數(shù)集，若xeC,且i（l+i）=x（i—1）（i為虛數(shù)單位），則工=（）.

A.1B.l+iC.4D.1-i

7.在下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=3*-x-3的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）.

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

8.某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級(jí)有30名，高二年級(jí)有40名.現(xiàn)用分層抽

樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了6名，則在

高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為

A.6B.8C.10D.12

9.函數(shù)y=sin2xcos2x是

A.周期為g7T的奇函數(shù)B.周期為gjr的偶函數(shù)

2

C.周期為萬(wàn)的奇函數(shù)D.周期為萬(wàn)的偶函數(shù)

10.如圖，D,E,尸分別是AABC的邊AB,BC,C4的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的

是（）

A

B.麗=L

A.DE^FC

2

C.DE+EF=DFD.DE+EC+CF^O

11.某校100名學(xué)生的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)分布直方圖如圖所示，分?jǐn)?shù)不低于a即為優(yōu)秀,

如果優(yōu)秀的人數(shù)為20人，則。的估計(jì)值是（）.

D.137

12.將函數(shù)y=2sin(x+?)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g(縱坐標(biāo)不變),

所得圖象對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為()

A.y=2sin(；x+§B.y=2sin(gx+?)

C.y=2sin(2x-i--)D.y=2sin(2x+—)

33

13.在△ABC中，。=2,6=及，44=f,則N8=

4

71

A"n「，冗-5乃'九

A.-B.-c.z或zD.7或工

366633

14.設(shè)a=21og9e,b=log3正,c=(log3e『，其中e為自然對(duì)數(shù)的底，貝ij().

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

15.如圖，在正方體中，E為線段aa的中點(diǎn)，則異面直線OE與

BC所成角的大小為（）

二、填空題

16.某班有60名學(xué)生，其中女生24人，現(xiàn)任選一人，則選中男生的概率為

17.在AABC中，若BC=2a,AC=3,NC=45。，則A8的長(zhǎng)為.

18.已知|￡|=2,|加=3,|￡+加=加，則|：-.|=.

19.表面積為4百的正四面體外接球的體積為.

20.若x<l,則x+一1的最大值是.

x-l

三、解答題

21.已知cose..ae[-],。).

(1)求cos2a的值；

(2)求sin-a)的值.

22.已知復(fù)數(shù)z=Ai(AeRb三是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位.

(1)求復(fù)數(shù)z；

(2)若復(fù)數(shù)5+z)2所表示的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

23.如圖，四棱錐P-A8co的底面ABC。是菱形，ZBCD=60°,尸A_L平面ABC。,

E是AB的中點(diǎn)，尸是PC的中點(diǎn).

(1)求證：平面P/)E_L平面片記.

(2)求證：8尸〃平面POE.

24.已知函數(shù)/'(x)=2/+(x-a)2.

⑴若/(x+1)為偶函數(shù)，求”的值；

⑵若在［0,1］上有最小值9,求。的值.

參考答案:

I.A

【解析】

【詳解】

?.?全集/={0,1,2,3},N={0,2,3},.??汽={1},又“={0,1,2},則

Mc@N={l},故選A.

2.B

【解析】

【詳解】

解：因?yàn)樵撏瑢W(xué)的身高小于160cm的概率為0.2,該同學(xué)的身高在[160,175]cm的概率

為0.5,和該同學(xué)的身高超過(guò)175cm的概率和為1,利用對(duì)立事件可知1-020.5=0.3,選B

3.B

【解析】

【分析】

利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算可得；

【詳解】

解：tan540°=tan(3xl80o+0o)=tan0°=0

故選：B

4.A

【解析】

【分析】

根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】

對(duì)于A中，當(dāng)xe(0,+o>)時(shí)，可得函數(shù)y=x在(0,+8)上單調(diào)遞增，滿足題意；

對(duì)于B中，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)y=在(0,+8)上單調(diào)遞減，不滿足題意；

對(duì)于C中，函數(shù)y=2f=(g『，可得函數(shù)y=在(0,zo)上單調(diào)遞減，不滿足題意；

1.11

對(duì)于D中，函數(shù)y=-，==*2,可得函數(shù)費(fèi)在(0,+8)上單調(diào)遞減，不滿足題意，

故選：A.

答案第1頁(yè)，共10頁(yè)

5.B

【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)椤阩_萬(wàn),所以不5=0,

所以尤—2=0,即x=2.

故選：B

6.A

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算法則計(jì)算可得：

【詳解】

解：因?yàn)閕(l+i)=x(i-l),所以-l+i=x(i—1),所以犬=二1±1=1；

-1+1

故選：A

7.B

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的解析式，利用零點(diǎn)的存在定理，結(jié)合選項(xiàng)，即可求解.

【詳解】

由題意，函數(shù)/(X)=3*7-3,

可得/(())=-2,/(1)=-1,/(2)=4,/(3)=21,/(4)=74,所以/(1>/(2)<0,

結(jié)合零點(diǎn)的存在定理，可得函數(shù)/(力的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間為Q2).

故選：B.

8.B

【解析】

【詳解】

試題分析：根據(jù)題意，由分層抽樣知識(shí)可得：

在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為：40x3=8,

答案第2頁(yè)，共10頁(yè)

故選B.

考點(diǎn)：分層抽樣.

9.A

【解析】

【詳解】

1,,2471

函數(shù)》=sin2xcos2x=—sin4x,「.函數(shù)的周期是一=—，

242

???/(一x)=gsin(-4x)=-gsin4x=-/(x),函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)y=sin2xcos2x是周期為

TT

￡的奇函數(shù)，故選A.

2

10.D

【解析】

根據(jù)三角形中位線性質(zhì)和向量的加法法則進(jìn)行判斷即可

【詳解】

A.項(xiàng)0E=FC且利用中位線性質(zhì)有OE,尸C平行

故方=斤

B.項(xiàng)DF=^BC,且OF,8c平行

故而」及

2

C.項(xiàng)由向量加法運(yùn)算有方后+甌=而

D.項(xiàng)DE+EC+CF=DF,不成立

故選：D

11.C

【解析】

【分析】

根據(jù)頻率分別直方圖性質(zhì)求解即可.

【詳解】

優(yōu)秀的頻率為會(huì)=0.2,

10()

[130,140)的頻率為0.015x10=0.15,[140,150]的頻率為0.01x10=0.1,

所以“的值在[130,140)之間.

答案第3頁(yè)，共10頁(yè)

即（140-a）x0.015=0.1,解得a*133.

故選：C.

12.C

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)y=Asin（Ox+9）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論.

【詳解】

將函數(shù)y=2sin（x+。）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的g（縱坐標(biāo)不變），

JT

所得圖象對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為y=2sin（2x+1）,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)y=Asin（ox+夕）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題.

13.B

【解析】

【詳解】

72

7T

由正弦定理可知ab.nsinAT仄1，-：h<a：.B<A,:.B=-,

-------=sinB=b=-^-x\J2=—6y

sinAsinB----------------a22

故選B.

14.B

【解析】

【分析】

利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及作差法判斷即可；

【詳解】

解：a=21og9e=21og3,e=log3e,又g=log?6<k^e<log?3=1

即La<1,

2

1IIII

b=log3Ve=log3=—log3e=—所以,

2

c=（log3e）=cr,

答案第4頁(yè)，共10頁(yè)

又a-cnlogje-Oogjey=log3e(l-log3e)>0,所以，

2

/?-c=1log,e-(log,e)=log3e-log3<0,所以b<c,

所以a>c>b；

故選：B

15.C

【解析】

【分析】

連接A。，則可得/AOE為異面直線。E與BC所成角的平面角或其補(bǔ)角，然后由題意可

得OE^AE,從而在心1￡。中求解即可

【詳解】

解：連接A。，則AO//8C，故/AQE為異面直線。E與4c所成角的平面角或其補(bǔ)角，

連接。G，則AQ=Z)G，因?yàn)镋為AG的中點(diǎn)，故在MAAE。中，

因?yàn)?而AG=A〃，所以在7?以4即中，\E=-AD,故NAOE=二，

22X6

故選：C.

【解析】

【分析】

根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得;

【詳解】

答案第5頁(yè)，共10頁(yè)

243

解：依題意選中男生的概率尸=1-刀=：

6（）5

故答案為：j3

17.非

【解析】

【分析】

直接利用余弦定理計(jì)算可得；

【詳解】

解：由余弦定理<?=/+b?-2abcosC,

即c2=（272）2+32-2x2>/2x3x^=5,

所以c=不

故答案為：后

18.不

【解析】

【分析】

根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出々石，再根據(jù)卜4=并一句2計(jì)算可得；

【詳解】

解:因?yàn)閨￡|=2,出|=3,|￡+B|=J歷，所以|￡+刈2=19,

即￡2+2￡石+片=19,即@+275+W=19,所以22+224+32=19,解得力=3;

所以|［，|=并』）2=^a-2a-b+V

=^|a|2-2a-i+|i|2

=V22-2X3+32=5/7

故答案為：不

19.娓兀

【解析】

【分析】

答案第6頁(yè)，共10頁(yè)

設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a,A4?C的外接圓圓心為Q,正四面體外接球的球心為。，半徑為

R，根據(jù)已知條件得到。=2,從而得到外接球半徑R=理，再求外接球體積即可.

2

【詳解】

設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a,AABC的外接圓圓心為。，正四面體外接球的球心為。，

半徑為R,如圖所示：

因?yàn)?x^-=4G,解得Q=2.

22

因?yàn)閊4x7=28,所以8=友,so//嗎=-y[6.

sin603丫(3J3

在RTZ\COZ)中，f-^-A/6—R\+—=R?解得R=.

正四面體外接球的體積丫==瓜幾.

故答案為：瓜7T

20.-1

【解析】

【分析】

變形x+」7=-h-x+J-1+l,利用基本不等式可得最值.

【詳解】

?：x<l,貝!]1一%>0

X4-^-^-=-^l-X+y^—+1<-2^(l-X)———Fl=-1.

當(dāng)且僅當(dāng)1=占，即/0時(shí),等號(hào)成立.

答案第7頁(yè)，共10頁(yè)

即XH----的最大值是-1.

X-1

故答案為：-1.

7

21.(1)——

25

⑵3G+4

10

【解析】

【分析】

(1)直接用二倍角余弦公式即可得結(jié)果；

(2)由三角恒等式求出sina,再根據(jù)兩角差的正弦公式即可得結(jié)果.

(1)

因?yàn)閏osa=|,ae^-y,oj,

97

所以cos2a=2cos2a-1=2x---1=----.

2525

⑵

因?yàn)閏osa=1,aw］一j0),所以sina=-cos2a=一之,

所以=

(3J252I10

22.(1)z=-2i；(2)(-?o,-2).

【解析】

【分析】

(1)先求出三=殍+*i,由題得等=0,即可解出；

(2)求出(，“+z)2=(>-4)-4〃7i,解不等式一即得解.

')-4/n>0

【詳解】

z—2加一2(加-2)(一i)b-2b+2.

(1)Cz=:(bwR),

7+T-1+i-(l+i)(l-i)~~T~

又言是實(shí)數(shù)，.??等=。，得I」■?復(fù)數(shù)z7

(2)由(1)得z=-2i,ntwR,A(m+z)2=(/n-2i)2=(/w2-4)-4zni,

答案第8頁(yè)，共10頁(yè)

?.?復(fù)數(shù)（初+z）2所表示的點(diǎn)在第一象限，.二:：；。，得m<一2.

...實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（F,-2）.

23.（I）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）根據(jù)平幾知識(shí)計(jì)算得DEL再根據(jù)條件由線面垂直得。E_L",最后

根據(jù)線面垂直判定定理得。E_L平面由面面垂直判定定理得結(jié)論（2）取PO的中點(diǎn)

G,由平幾知識(shí)得BF||GE,再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論

試題解析：（1）:底面48co是菱形，ZBCD=60。,

,AABD為正三角形，E是A8的中點(diǎn)，DEYAB,

24J_平面A3CD,O