山大電路課件4

重點(diǎn):1.熟練掌握疊加定理、戴維寧和諾頓定理3.了解對(duì)偶原理第4章

電路定理

(CircuitTheorems)2.掌握替代定理、特勒根定理和互易定理1.疊加定理i)響應(yīng)是激勵(lì)的線性函數(shù)應(yīng)用回路法，得電路的回路電流方程為：il1=is

R2il1+(R1+R2)il2=us解得：則a=1/(R1+R2)、b=R1/

(R1+R2)令得到i2=aus

+bis

響應(yīng)是激勵(lì)的線性函數(shù)§4.1疊加定理

(SuperpositionTheorem)

+

R1isusR2il2il1i2ii)疊加定理

當(dāng)is=0,us

0,即電壓源單獨(dú)作用當(dāng)us=0，is

0，即電流源單獨(dú)作用因此各電源單獨(dú)作用在支路

2上產(chǎn)生的電流疊加二電源共同作用i2=aus

+bis

+

usR2R1isR2R1+

usisR2R1在線性電路中，任一支路電流(或電壓)都是電路中各個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí)，在該支路產(chǎn)生的電流(或電壓)的疊加。疊加定理：1.

疊加定理只適用于線性電路求電壓和電流；不適用于非線性電路。2.

獨(dú)立源單獨(dú)作用有兩種方式：一次作用或分組作用。受控源不能單獨(dú)作用，而應(yīng)保留在電路中。關(guān)于疊加定理的幾點(diǎn)說(shuō)明5.功率是u或i的二次函數(shù)，不能使用疊加定理。4.

疊加時(shí)要注意u,i

的參考方向，總量是各分量的代數(shù)和。6.疊加定理的重要性表現(xiàn)在線性電路的理論分析中。如戴維寧定理的推導(dǎo)、非正弦周期電流電路的分析等。例：P＝Gu2=Ri2,以電流為例3.不作用電源置零：電壓源短路代替

電流源

開路代替例1.求圖中電壓u。+–10V4A6

+–4

u解:(1)10V電壓源單獨(dú)作用，4A電流源開路u'=4V(2)4A電流源單獨(dú)作用，10V電壓源短路u"=-42.4=-9.6V共同作用：u=u'+u"=4+(-9.6)=-5.6V+–10V6

+–4

u'4A6

+–4

u''解:Us'=-10I1'+U1'Us"=-10I1"+U1”

例2求電壓Us。+–10V6

I14A+–Us+–10I14

10V+–6

I1'+–10I1'4

+–Us'+–U1'6

I1''4AUs''+–10I1''4

+–U1"+–Us'=-6VUs"=25.6VUs=Us'+Us"=-6+25.6=19.6Vu＋－12V2A＋－1

3A3

6

6V＋－計(jì)算電壓u。畫出分電路圖1

3A3

6

＋－u（1）＋＋－12V2A＋－1

3

6

6V＋－u

(2）i(2)說(shuō)明：疊加方式是任意的，可以一次一個(gè)獨(dú)立源單獨(dú)作用，也可以一次幾個(gè)獨(dú)立源同時(shí)作用，取決于使分析計(jì)算簡(jiǎn)便。3A電流源作用：其余電源作用：例3例4.圖示電路中N0為無(wú)源電阻網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)U1=2V,U2=3V時(shí),IX=20A;

又當(dāng)U1=–2V,U2=1時(shí)，IX=0.若用有源電阻網(wǎng)絡(luò)NS(除源后即為N0)替代N0，當(dāng)U1=U2=0V時(shí)，IX=–10A，試求網(wǎng)絡(luò)變換后，當(dāng)U1=U2=5V時(shí)的電流IX。解：應(yīng)用疊加定理，接N0時(shí)利用已知條件，可得2a＋3b=20–2a＋b=0解得：a=2.5，b=5+–U1U2+–IXN0IX=aU1+bU2接NS時(shí)應(yīng)有IX=aU1+bU2+I‘X

式中I’X

為NS中所有電源共同作用產(chǎn)生的電流分量。代入已知條件可得I‘X=–10A故當(dāng)U1=U2=5V時(shí)，

IX=2.5×5+

5×5–10＝27.5A即

IX=2.5U1

+

5U2

–10齊性原理（homogeneityproperty)在線性電路中，當(dāng)所有激勵(lì)(電壓源和電壓源)都同時(shí)增大或縮小K倍（K為實(shí)常數(shù)）時(shí)，響應(yīng)(電壓或電流)也將同樣增大或縮小K倍。用齊性定理分析梯形電路特別有效。例5:求圖示梯形電路各支路電流20Ω2Ω+–Us2Ω2Ω20Ω20Ω120Vi1ABDCi2i3i5i4則給定US=120V，根據(jù)齊性定理此法又稱倒退法例5:求圖示梯形電路各支路電流i32Ω+–Us2Ω2Ω20Ω20Ω120Vi1ABDCi2i5i420Ω例7:用齊性定理重解例4圖示電路中N0為無(wú)源電阻網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)U1=2V,U2=3V時(shí),IX=20A;又當(dāng)U1=–2V,U2=1時(shí)，IX=0.若用有源電阻網(wǎng)絡(luò)NS(除源后即為N0)替代N0，當(dāng)U1=U2=0V時(shí)，IX=–10A，試求網(wǎng)絡(luò)變換后，當(dāng)U1=U2=5V時(shí)的電流IX。解：設(shè)U1=2V單獨(dú)作用時(shí)對(duì)IX貢獻(xiàn)為IX1設(shè)U2=3V單獨(dú)作用時(shí)對(duì)IX貢獻(xiàn)為IX2則IX1+IX2=20(1)利用齊性定理，當(dāng)U1=–2V,U2=1時(shí)有–IX1+1/3IX2=0(2)聯(lián)立(1)、(2)式得

IX1=5A,IX2=15A已知NS中所有電源共同作用的貢獻(xiàn)

IX3=–10A當(dāng)U1=U2＝5V時(shí)，再利用齊性定理，得IX=2.5×5+

5/3×15–10=27.5A+–U1U2+–IXN0§4.2替代定理(SubstitutionTheorem)Aik+–uk支路

k

A+–uk注意：第k條支路可以是有源的，也可以是無(wú)源的，但一般不應(yīng)含受控源或受控源的控制量。定理：給定任意一個(gè)線性電阻電路，其中第k條支路的電壓Uk

和電流ik已知，那么這條支路就可以用一個(gè)電壓等于Uk

的獨(dú)立電壓源，或是用一個(gè)電流等于ik的獨(dú)立電流源來(lái)替代，替代后電路電路中全部電壓和電流均將保持原值。ik

A替代定理證明（以電壓源替代為例）∵替代前后兩個(gè)電路的拓?fù)鋱D相同∴兩個(gè)電路的KCL和KVL方程相同∵用us=uk的電壓源替代第k條支路后，不會(huì)引起k條支路所在回路其它支路電壓的變化∴由此推及所有的支路電壓都不會(huì)變化?！叱娲吠馄渌返脑s束關(guān)系不變?！嗥渌返闹冯娏鞑蛔?。∵第k條支路的電壓源對(duì)電流無(wú)約束，決定于外電路，而外電路的電流不變?！嗟趉條支路的電流亦不變。若用電流源替代也可以作類似證明。說(shuō)明1.替代定理適用于線性、非線性電路、定常和時(shí)變電路。ii)被替代的支路和電路其它部分應(yīng)無(wú)耦合關(guān)系i)

原電路和替代后的電路必須有唯一解2.替代定理的應(yīng)用必須滿足的條件:2.5A1.5A1A10V5V2

5

+

+

+

2.5A10V5V2

5v+

+

滿足+

1VAB1V+_1V+-AB1A1A+-?AB不滿足i1=?i2=?定理示例：i1i2i3+6Ω–8Ω4Ω+–4V20V10u3i1i2i3+6Ω–8Ω+–8V20V10i1i2i3+6Ω–8Ω20V101A一個(gè)只含有電阻一端口網(wǎng)絡(luò)可以通過等效變換，等效為一個(gè)電阻，從而簡(jiǎn)化電路分析。如果一個(gè)一端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部不僅含有線性電阻，還包括有獨(dú)立源，這個(gè)一端口網(wǎng)絡(luò)能否加以簡(jiǎn)化，其等效電路又是什么？abN外電路+–ui一.戴維寧定理一個(gè)含獨(dú)立電源、線性電阻和受控源的一端口，對(duì)外電路來(lái)說(shuō)，可以用一個(gè)電壓源和電阻的串聯(lián)組合來(lái)等效置換；此電壓源的電壓等于一端口的開路電壓uoc，電阻Req等于一端口的全部獨(dú)立電源置零后的輸入電阻。abNS外電路+–uiaRequoc+-+–ui外電路b將NS中獨(dú)立源置零4.3戴維寧定理和諾頓定理

(Thevenin-NortonTheorem)證明的目標(biāo)是含源一端口Ns的u~i關(guān)系與戴維寧等效電路端口的u~i關(guān)系一致。這一目標(biāo)應(yīng)與外電路無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)化證明，外電路設(shè)為一電阻R0。證明NSR0iau–+bReqiauOCb+–R0+–u二、戴維寧定理的證明NSR0iau–+bReqiauOCb+–R0+–uNSau'=uoc

–+bi'=0NSis=iiau–+b替代疊加+電源分組作用is單獨(dú)作用，Ns中所有獨(dú)立源置零：u"=–ReqiN0is=ii"=iu"–+baReqis不作用u'=uoc由疊加定理：u=u'+u"=uoc

–Reqi

也是Req與uoc串聯(lián)組合端口的u~i關(guān)系證明定理得證使用注意：（1）只適用于線性一端口網(wǎng)絡(luò)（2）外電路可以是非線性（3）被等效的一端口網(wǎng)絡(luò)與外電路支路間不具有耦合關(guān)系任何一個(gè)含獨(dú)立電源、線性電阻和線性受控源的一端口，對(duì)外電路來(lái)說(shuō)，可以用一個(gè)電流源和電導(dǎo)的并聯(lián)來(lái)等效替代；其中電流源的電流等于該一端口的短路電流，而電導(dǎo)等于把該一端口的全部獨(dú)立電源置零后的輸入電導(dǎo)。三、諾頓定理及其證明abNS外電路+–uiiab+–uGinIsc外電路abISCNSN0Ginab證明:

顯然，（a）圖與（c)圖等效，isc＝uoc/Rin,諾頓定理得證。abNSi=0GinIscUoc+–Rin戴維寧電源變換（a）（c)（b)

戴維寧定理與諾頓定理統(tǒng)稱等效發(fā)電機(jī)定理。定理說(shuō)明有源一端口網(wǎng)絡(luò)有兩種等效電路，三個(gè)參數(shù)有類似歐姆定律的關(guān)系uoc＝Rinisc，知道其中兩個(gè)可求第三個(gè)。（1）在N0中b）外加電源法：求N0的輸入電阻Rin，Req＝

Rina）N0中不含受控源時(shí)，可用電阻的串并聯(lián)，Δ－Y變換求Req1.兩步法第一步：求開路電壓uoc第二步：求等效電阻Req三.求解戴維寧等效電路（2）開路電壓、短路電流法：在Ns中求uoc和isc

，利用公式注：使用開路電壓、短路電流法求戴維寧等效電阻時(shí)應(yīng)注意參考方向的選取，公式與參考方向配套使用。i0.5i1K

1K

＋–us(b)例1.

求圖示一端口的戴維寧等效電路解：

求uoci＝0，0.5i＝0uoc＝10V

兩種方法求Reqi）外加電壓源us如圖(b)us＝1000×0.5i+1000i＝1500ii'i'=0.5ii0.5i1K

1K

＋–10V(a)＋–uocii）如圖(c)將端口短路求isc

i＝

isci＝–1/150A注意uoc和isc的參考方向。

戴維寧等效電路由KVL：1000×0.5i＋1000i+10＝010V+–1.5K

i0.5i1K

1K

＋–10V(c)isc

例2

在圖示電路中，當(dāng)R=5,R=13

時(shí)分別求電流I.uoc

=uab=uac=2×10+40=60VReq=2+[10∥(8+2)]=7

解：1）開路電壓2）求Req3）原電路等效為如下電路所以R=5

時(shí):I=60/(7+5)=5AR=13

時(shí):I=60/(7+13)=3A＋2

10A–40VR8

10

2

i10A＋2

–40V8

10

2

abuoc

cRi＋–60V7

ab用戴維寧定理求U

。3

3

6

I+–9V+–Uab+–6I例3Uocab+–Req3

U-+解：(1)求開路電壓UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V+–Uoc12方法2：開路電壓、短路電流法(Uoc=9V)6I1+3I=96I+3I=0I=0Isc=I1=9/6=1.5AReq=Uoc/Isc=9/1.5=6

3

6

I+–9VIscab+–6II112(3)等效電路abUoc+–Req3

U-+6

9V計(jì)算含受控源電路的等效電阻是用外加電源法還是短路電流法，要具體問題具體分析，以計(jì)算簡(jiǎn)便為好。例4：將圖示電路N中獨(dú)立源置零，電壓U從25V降到10V，試求在N中有源條件下，用10

電阻替代1A電流源，U值等于多少？解法一：用戴維寧電路等效替代

N，得圖(b)所示電路25=Req

1+Uoc(1)N中電源置零成為無(wú)源一端口U=

Req

1，即聯(lián)立（1）、（2）式得：Req

=10

，Uoc

=15V用10

替代1A電流源時(shí)：(a)baNU=25V1A+–(b)baU=25V1AUoc

+–Rin+–(c)baU+–+–15V10

10

10=

Req

1(2)解法二：N內(nèi)外電源共同作用U=25V1A電源單獨(dú)作用，則：N內(nèi)電源單獨(dú)作用，1A電源不作用故得圖示戴維寧電路baU+–+–15V10

10

解：移去R得到一含源一端口如下圖,應(yīng)用戴維寧定理先求該一端口的戴維寧等效電路.例5.R為何值時(shí)能從電路中獲得最大功率，并求此最大功率。1）求開路電壓uoc：

取結(jié)點(diǎn)如圖，得結(jié)點(diǎn)電壓方程:解結(jié)點(diǎn)電壓方程,得：uoc=80V

5V2A-20

10

5

R10

+15V+-20

+-85V2A5V-20

10

5

10

+15V+-20

+-85V-+uoc

02）求Req3）電路等效R吸收的功率為:

20

20

10

10

5

Req

，解得當(dāng)R=R

eq時(shí)，+–

uoc

R

Req

i說(shuō)明：當(dāng)R=Req時(shí)，稱為最大功率匹配。電子線路（信號(hào)處理）中總希望負(fù)載得到的功率越大越好，但此時(shí)內(nèi)阻消耗的功率也最大，輸電效率只有50％。思考題：（1）若一個(gè)線性含源一端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部結(jié)構(gòu)未知，用一塊電壓表和一個(gè)可調(diào)電阻進(jìn)行測(cè)量，是否能得到此一端口的戴維寧等效電路？（2）是否任意線性含源一端口網(wǎng)絡(luò)都存在戴維寧或者諾頓等效電路？（3）戴維寧或者諾頓等效電路的參數(shù)值是否唯一？§4.4特勒根定理(Tellegen’sTheorem)特勒根定理是電路理論中對(duì)集總電路普遍適用的基本理論,就這個(gè)意義上，它與基爾霍夫定律等價(jià)。特勒根定理有兩種形式。

1.特勒根定理I：對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)和b條支路的電路，設(shè)各支路電流和支路電壓取關(guān)聯(lián)參考方向，并令（i1,i2,…,ib

),（u1,u2,…,ub

)分別為b條支路的電流和電壓，則任何時(shí)間t，有=un1(

i1+

i2+i6)+un2(

i2+

i3+i4)+un2(

i4+

i5

i6)

實(shí)例驗(yàn)證:電路的圖如下，結(jié)點(diǎn)電壓分別為un1、un2、un3。支路電壓可表示為：

u1=

un1

u2=un1

un2

u3=un2

u4=un2

un3u5=un3u6=un1

un3(1)

結(jié)點(diǎn)的KCL方程為：

i1+

i2+i6=0

i2+

i3+i4=0

i4+

i5

i6=0(2)

將(1)式代入(3)式，有：

而（3）0

0

0

所以

由方程(2)

3

6

1

2

4

50特勒根定理可以通過KCL、KVL的矩陣形式（見第十五章）作嚴(yán)格的證明。討論：

特勒根定理對(duì)任何具有線性、非線性、時(shí)不變、時(shí)變?cè)募傠娐范歼m用。

特勒根定理1是功率守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)，它表明任何一個(gè)電路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。物理意義2.特勒根定理IIi)具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的電路

N+–

N+–

123456

ii)

特勒根定理IIN的b條支路的電流和電壓（i1,i2,…,ib

),（u1,u2,…,ub

)

則如果有兩個(gè)具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)和b條支路的電路，并分別記為N、，它們具有相同的圖，但由內(nèi)容不同的支路構(gòu)成。設(shè)各支路電流和電壓都取關(guān)聯(lián)參考方向

的b條支路的電流和電壓驗(yàn)證:*各支路電壓、電流均取關(guān)聯(lián)的參考方向*對(duì)應(yīng)支路取相同的參考方向圖N的KCL方程:(1)

u1=un1

u2=un1

un2

u3=un2

un3u4=un3

un1u5=un2u6=un3(2)

N

123456

0

123456

0N圖N的KVL方程:^再應(yīng)用方程(1),定理的第二部分可用類似方法驗(yàn)證。i)定理II僅僅是對(duì)兩個(gè)具有相同拓?fù)涞碾娐分?，一個(gè)電路的支路電壓和另一個(gè)電路的支路電流，或是同一電路在不同時(shí)刻的相應(yīng)支路電壓和支路電流必須遵循的數(shù)學(xué)關(guān)系；ii)定理II仍具有功率之和的形式，因此又稱為“擬功率定理”。說(shuō)明：將方程(2)代入并整理

000(1)

u1=un1

u2=un1

un2

u3=un2

un3u4=un3

un1u5=un2u6=un3(2)

可得：解:設(shè)電流i1和i2的方向如圖所示。由特勒根定理，得例:已知如圖,求電流ix。R+-10V1AN+-5VixRi2i1

§4.5互易定理(ReciprocityTheorem)互易定理:對(duì)一個(gè)僅含線性電阻的電路，在單一激勵(lì)的情況下，當(dāng)激勵(lì)和響應(yīng)互換位置時(shí)，將不改變同一激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)。如果

，則形式1:激勵(lì)電壓源;響應(yīng)短路電流

(a)N+–us11'i1i222'線性電阻網(wǎng)絡(luò)(b)+–11'22'線性電阻網(wǎng)絡(luò)證明:對(duì)于圖（a）和（b）應(yīng)用特勒根定理，有

由于方框內(nèi)部?jī)H為線性電阻，故

將它們分別代入上式后有：(a)N+–us11'i1i222'線性電阻網(wǎng)絡(luò)(b)+–11'22'線性電阻網(wǎng)絡(luò)對(duì)圖(a):u1＝us,u2=0;代入上式得：即：又，則故有

對(duì)圖(b):(a)N+–us11'i1i222'線性電阻網(wǎng)絡(luò)(b)+–11'22'線性電阻網(wǎng)絡(luò)證明：對(duì)圖(a)和(b)應(yīng)用特勒根定理,仍得到如下的基本關(guān)系式，代入i1=–is，i2=0，,如果，則形式2:激勵(lì)電流源;響應(yīng)開路電壓

有又則1'1線性電阻網(wǎng)絡(luò)is2'2+–u2i1i2(a)N1'1線性電阻網(wǎng)絡(luò)2'2+–(b)形式3:如果在數(shù)值上，則證明：對(duì)圖（a)和(b)應(yīng)用特勒根定理，容易得到:

代入i1=–is，u2=0，即有：如果在數(shù)值上則1'1線性電阻網(wǎng)絡(luò)is2'2i1i2(a)N1'1線性電阻網(wǎng)絡(luò)2'2+–(b)–+(1)適用于線性網(wǎng)絡(luò)只有一個(gè)電源時(shí)，電源支路和另一支路間電壓、電流的關(guān)系。(2)互易時(shí)要注意電壓、電流的方向。(3)含有受控源的網(wǎng)絡(luò)，互易定理一般不成立。說(shuō)明：解：利用互易定理I2=0.5I1=0.5AI=I1-I3=0.75A例1:

電路如圖，求電流I。I1I2I3+–3

I2

4

2

8

10V11'22'+–10V8

3

4

2

2

I1I2I3I3=0.5I2=0.25A11'22'I2

4

2

8

+–10V3

例2:電路如圖，求：I1。解:+_us=2V2

I'=0.25AR互易齊性原理R+_2V2

0.25A(a)R+_10V2

I1(b)由齊性原理，當(dāng)us=10V時(shí)，I'=(10/2)

0.25

=1.25A故I1=

I'=

1.25

解：方法1：諾頓、互易定理由互易定理的第一種形式：方法2：特勒根定理：例3：如圖所示電路（a)中，N0為無(wú)源線性電阻網(wǎng)絡(luò)，試求圖(b)中的電壓U1。N0+_15V5

1.5A6A11’22’(a)N0+_30V4

3A11’22’U1(b)Req4.6對(duì)偶原理

(DualPrinciple)一.網(wǎng)絡(luò)對(duì)偶的概念例1.網(wǎng)孔電流方程：(R1+R2)il=usR2R1+–usil節(jié)點(diǎn)電壓方程：(G1+G2)