第五節(jié)　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

第五節(jié)二次函數(shù)與一元二次方程、不等式1.會從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.2.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，會判斷一元二次方程根的個(gè)數(shù)，以及二次函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.3.掌握利用二次函數(shù)的圖象解一元二次不等式.1．一元二次不等式只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．2．三個(gè)“二次”間的關(guān)系(1)絕對值不等式|x|＞a(a＞0)的解集為(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|＜a(a＞0)的解集為(－a，a)．記憶口訣：大于號取兩邊，小于號取中間．(2)解不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)時(shí)不要忘記當(dāng)a＝0時(shí)的情形．(3)不等式ax2＋bx＋c＞0(＜0)恒成立的條件要結(jié)合其對應(yīng)的函數(shù)圖象決定．2．(蘇教版必修第一冊P62·T5改編)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，則A∪B＝________.答案：R4．(人教A版必修第一冊P58·T6改編)若關(guān)于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．層級一/基礎(chǔ)點(diǎn)——自練通關(guān)(省時(shí)間)基礎(chǔ)點(diǎn)(一)一元二次不等式的解法

[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．已知集合A＝{x|－x2＋x＋2＞0}，B＝{x|x2＋3x－4>0}，則A∩B＝

(

)A．{x|1<x<2} B．{x|－1<x<1}C．{x|－4<x<2} D．{x|x<－4或x>－1}解析：集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|x<－4或x>1}，則A∩B＝{x|1<x<2}．答案：A

4．不等式0<x2－x－2≤4的解集為_____________________________________．[一“點(diǎn)”就過]解一元二次不等式的4個(gè)步驟基礎(chǔ)點(diǎn)(二)三個(gè)“二次”關(guān)系的應(yīng)用

[題點(diǎn)全訓(xùn)]1．已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是{x|－1<x<2}，則不等式cx2＋bx＋a<0的解集是

(

)[一“點(diǎn)”就過](1)一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點(diǎn)值．(2)給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)的開口方向及與x軸的交點(diǎn)，可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù)．層級二/重難點(diǎn)——逐一精研(補(bǔ)欠缺)因沒有掌握分類討論的標(biāo)準(zhǔn)錯(cuò)解含參不等式——————————————————————————————————[典例]解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．對含參的不等式，應(yīng)對參數(shù)進(jìn)行分類討論(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類．(2)根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)．(3)有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論．

[針對訓(xùn)練]解關(guān)于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0.解：∵x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0，∴(x－2a)[x－(a＋1)]>0，令f(x)＝(x－2a)[x－(a＋1)]，則f(x)的圖象開口向上，且與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為2a，a＋1.①當(dāng)2a＝a＋1，即a＝1時(shí)，解得x≠2；②當(dāng)2a>a＋1，即a>1時(shí)，解得x<a＋1或x>2a；③當(dāng)2a<a＋1，即a<1時(shí)，解得x<2a或x>a＋1.綜上，當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為{x|x<2a或x>a＋1}；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為{x|x<2或x>2}；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為{x|x<a＋1或x>2a}．重難點(diǎn)(一)一元二次不等式恒成立問題

考法1在R上的恒成立問題[例1]若關(guān)于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1≥0的解集為空集，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

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)[解析]因?yàn)殛P(guān)于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1≥0的解集為空集，所以關(guān)于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1<0的解集為R，當(dāng)m＝0時(shí)，原不等式為－x－1≥0，即x≤－1，不符合題意，舍去；考法2在給定區(qū)間上的恒成立問題[例2]當(dāng)1≤x≤3時(shí)，關(guān)于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

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)考法3給定參數(shù)范圍的恒成立問題[例3]若mx2－mx－1<0對于m∈[1,2]恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________．(1)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．(2)對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成立．對第一種情況，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象全部在x軸下方；對第二種情況，要充分結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行分類討論(也可采用分離參數(shù)的方法)．[針對訓(xùn)練]1．若不等式x2－tx＋1<0對一切x∈(1,2)恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為

(

)2．函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3，若a∈[4,6]，f(x)≥0恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________________________________________________________________．重難點(diǎn)(二)一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用

[典例]某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元/kW·h，年用電量為akW·h.本年度計(jì)劃將電價(jià)降到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之間，而用戶期望電價(jià)為0.4元/kW·h.經(jīng)測算，下調(diào)電價(jià)后新增的用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比(比例系數(shù)為k)．該地區(qū)電力的成本價(jià)為0.3元/kW·h.(1)寫出本年度電價(jià)下調(diào)后，電力部門的收益y與實(shí)際電價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)k＝0.2a，當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)仍可保證電力部門的收益比上年度至少增長20%?注：收益＝實(shí)際用電量×(實(shí)際電價(jià)－成本價(jià))．求解不等式應(yīng)用題的步驟(1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系．引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，將文字信息轉(zhuǎn)化為符號語言，用不等式表示不等關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．(2)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義．回歸實(shí)際問題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的結(jié)果．

[針對訓(xùn)練]某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本．據(jù)市場調(diào)查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本．要使提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬元，則定價(jià)的最大值為________元．層級三/細(xì)微點(diǎn)——優(yōu)化完善(掃盲點(diǎn))一、全面清查易錯(cuò)易誤點(diǎn)1．(忽視二次項(xiàng)的符號)不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集為

(

)2．(忽視對含參二次項(xiàng)系數(shù)的討論)若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x對任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

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)A．(－2,2) B．(2，＋∞)C．(－2,2] D．[－2,2]4．(創(chuàng)新命題形式)三位同學(xué)合作學(xué)習(xí)，對問題“已知不等式xy≤ax2＋2y2對于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，求a的取值范圍”提出了各自的解題思路．甲說：“可視x為變量，y為常量來分析”．乙說：“尋找x與y的關(guān)系，再作分析”．丙說：“把字母a單獨(dú)放在一邊，再作分析”．參考上述思路，或自己的其他解法，可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍是

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)A．[1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．[－1,4) D．[－1,6]7．(強(qiáng)化開放思維)已知集合A＝{－5，－1,2,4,5}，請寫出一個(gè)一