彈性euler型梁-柱結(jié)構(gòu)的廣義hamilon變分原理及其非線性模型

彈性euler型梁-柱結(jié)構(gòu)的廣義hamilon變分原理及其非線性模型

在動(dòng)力和變形中的應(yīng)用梁柱結(jié)構(gòu)在科學(xué)和技術(shù)中得到了廣泛應(yīng)用。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，結(jié)構(gòu)被輕、細(xì)、長、大變形和材料的非線性，結(jié)構(gòu)的非線性問題需要進(jìn)一步分析，以提供更合適的設(shè)計(jì)理論基礎(chǔ)。與線性系統(tǒng)相比，非線性系統(tǒng)具有更復(fù)雜的性質(zhì)。為了揭示梁柱結(jié)構(gòu)的非線性現(xiàn)象，解釋其機(jī)理，最重要的問題是建立合理的數(shù)學(xué)模型。通過各種方法，建立了梁柱結(jié)構(gòu)的非線性分析理論。例如，陳志達(dá)、antran等人利用弧長和方向子理論建立了彈性微桿大變形理論。這些理論的優(yōu)點(diǎn)是精細(xì)、美觀，能夠分析和解釋簡單問題，但它們的主要缺點(diǎn)是難以應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)和復(fù)雜加載。朱正宇、朱媛媛等人以弧長為參數(shù)，建立了大變形梁結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，這些模型可以滿足初始位移和無序結(jié)構(gòu)的條件，并以結(jié)構(gòu)的大變形和穩(wěn)定性問題。胡玉佳、朱媛媛等提出了該模型的方法，并利用了結(jié)構(gòu)框架的不連續(xù)性條件和初始傾角結(jié)構(gòu)的大型變形動(dòng)態(tài)分析。同時(shí)，提出了一種方法來求解非線性差分橫截面。包括集中力和分布力影響的框架和組合框架的大變形動(dòng)力學(xué)問題。不過,在工程技術(shù)中,一般遇到的梁-柱型結(jié)構(gòu)的大變形往往是中等程度的,即和軸向位移相比,撓度是比較大的,而且撓度與截面的寬度或者厚度是同量級(jí)的,所以應(yīng)該考慮撓度引起的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)軸向變形的影響,因此建立相應(yīng)的非線性理論是需要的.本文在保守力和有限變形的假設(shè)下,首先建立了位于非線性彈性基礎(chǔ)上具有3次非線性彈性Euler型梁-柱結(jié)構(gòu)的廣義Hamilton變分原理,并由此導(dǎo)出了相應(yīng)的3維非線性數(shù)學(xué)模型.作為模型的退化和推廣,可以得到許多不同類型的數(shù)學(xué)模型以適合工程技術(shù)的不同需要.作為模型的應(yīng)用,分析了位于彈性基礎(chǔ)上均質(zhì)等截面梁的非線性穩(wěn)定性和后屈曲問題,并結(jié)合打靶法和Newton法,給出了一種通過計(jì)算原問題的攝動(dòng)問題的正常解的方法,來計(jì)算原問題分支解的新的數(shù)值計(jì)算方法,并對(duì)一些給定的參數(shù),成功地實(shí)現(xiàn)了一端完全固支一端部分固支并受軸力作用的線性彈性梁的非線性穩(wěn)定性計(jì)算,包括前屈曲狀態(tài)(平凡解)、臨界載荷(分支點(diǎn))和后屈曲狀態(tài)(分叉解).可以看到,雖然在本文中求解的常微分方程組是以一個(gè)特定的問題為背景,但是所給出的數(shù)值計(jì)算方法對(duì)其他類似問題也是適當(dāng)?shù)?1力端邊界條件考察置于非線性彈性基礎(chǔ)上承受任意橫向載荷作用的均質(zhì)彈性梁-柱結(jié)構(gòu)(圖1所示).取Ox軸為截面的中性軸,Oy、Oz為截面的慣性主軸.假設(shè)截面關(guān)于慣性主軸y和z都是對(duì)稱的,但是可變的,截面面積為A,長度為l,密度為ρ.并假設(shè)在x,y和z方向作用于結(jié)構(gòu)上的載荷分別為qu(x,t),qv(x,t)和qw(x,t),同時(shí),在端部x=l可以受軸力N、剪切力和力矩的作用.假設(shè)u,v,w是中性軸的位移,y,z是到中性軸的距離,則Euler型梁-柱結(jié)構(gòu)的位移模式為在有限變形的框架下,彎曲應(yīng)變和位移的關(guān)系為假設(shè)結(jié)構(gòu)的材料是一種3次非線性彈性材料,彎曲應(yīng)力和彎曲應(yīng)變之間的關(guān)系為式中,E1,E2,E3分別是材料的線性和廣義非線性彈性模量,它們可以是x的函數(shù).假設(shè)基礎(chǔ)的材料也是3次非線性彈性材料,則沿坐標(biāo)軸方向基礎(chǔ)對(duì)結(jié)構(gòu)的反力可表示為其中,ks1,ks2,ks3是基礎(chǔ)的相應(yīng)線性和非線性剛度系數(shù),這里s=u,v,w分別表示x,y和z方向.對(duì)于圖1所示的梁-柱結(jié)構(gòu),可定義結(jié)構(gòu)的動(dòng)能T,應(yīng)變能U和外力的功W為式(5a)中的第4項(xiàng)和第5項(xiàng)分別為考慮中面轉(zhuǎn)動(dòng)慣性影響引起的動(dòng)能,為橫截面對(duì)y軸和z軸的慣性矩.Hamilton變分原理在滿足幾何約束和位移邊界條件,并在初始和終止時(shí)刻具有指定運(yùn)動(dòng)的一切可能位移中,真實(shí)的位移u,v,w使泛函取駐值,式中H=-(U-W-T)為Hamilton函數(shù),其中T,U和W由式(5)給定.對(duì)式(5)中的T,U和W進(jìn)行變分,并將所得結(jié)果代入變分方程δΠ=0中(為了節(jié)省篇幅,這里略去了推導(dǎo)過程和所得的表達(dá)式),注意到在初始和終止時(shí)刻結(jié)構(gòu)具有指定的運(yùn)動(dòng),同時(shí)注意到在梁的內(nèi)部δu,δv,δw的任意性,在力端處的任意性,則可推得梁-柱結(jié)構(gòu)的位移u,v,w滿足的3維非線性運(yùn)動(dòng)微分方程和力端的邊界條件.對(duì)于均質(zhì)等截面非線性彈性Euler型梁-柱結(jié)構(gòu),式(5)中的系數(shù)與x無關(guān),這時(shí),運(yùn)動(dòng)微分方程為式中,A1(u,v,w),B(v,w),C1(v,w),C2(v,w)是與位移有關(guān)的非線性微分算子,它們的定義為另外,式(7b)和(7c)中項(xiàng)是考慮截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的結(jié)果.而分別為橫截面對(duì)y軸和z軸的高階慣性矩.將運(yùn)動(dòng)微分方程(7)代入變分方程δΠ=0,則得到邊界虛功方程,由此可得到力端的邊界條件.如果結(jié)構(gòu)的兩端均為完全固定的,則當(dāng)x=0,l時(shí),,因此,邊界虛功方程自動(dòng)成立.如x=0或x=l端自由或給定力和力矩,將得到力端的邊界條件.例如,對(duì)于圖1所示的均質(zhì)等截面線彈性梁-柱結(jié)構(gòu)(即令式(3)中的E1=E,E2=E3=0),力端x=l的邊界條件為這里,N為軸力,為端部剪力,為端部力矩,另外注意到功的表達(dá)式(5c),軸力N對(duì)結(jié)構(gòu)的功為因此軸力N已直接進(jìn)入到運(yùn)動(dòng)微分方程(7)中了.同時(shí),注意到力端的邊界條件中包括非線性微分算子A1(u,v,w),因此,力端的邊界條件一般是非線性的.初始條件:設(shè)梁-柱結(jié)構(gòu)在t<0處于自然狀態(tài),且當(dāng)t=0時(shí)滿足如下初始條件:其中,u0,u·0,v0,v·0,w0,w·0是僅與坐標(biāo)x有關(guān)的已知函數(shù),當(dāng)初始時(shí)刻結(jié)構(gòu)處于靜止時(shí),這些函數(shù)為0.這樣,在初始條件(9)和適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下的非線性偏微分方程組(7a)~(7c)構(gòu)成了在有限變形條件下分析非線性彈性Euler型梁-柱結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為的一般數(shù)學(xué)模型.2控制微分方程的引進(jìn)下面考察在x=0端完全固支,在x=l端部分固支,并受軸力N作用的線彈性梁的靜態(tài)非線性穩(wěn)定性問題,這時(shí)所有的量與時(shí)間無關(guān),令E1=E.引入無量綱變量和參數(shù)如下:則由式(10),無量綱形式的控制方程和邊界條件為為了便于討論,引進(jìn)如下新的未知函數(shù):將式(12)代入方程(11),控制微分方程(11)轉(zhuǎn)化成一組等價(jià)的一階非線性常微分方程組,可簡寫成這樣,一端完全固支一端部分固支,并受軸力N作用,且位于彈性基礎(chǔ)上的線彈性Euler型梁-柱結(jié)構(gòu)非線性穩(wěn)定性分析的控制微分方程(11)被轉(zhuǎn)化為常微分方程的兩點(diǎn)邊值問題(13),這就是本文最后要討論的控制微分方程.下面提出的方法雖然是針對(duì)計(jì)算問題(13)的平凡解、分支點(diǎn)和分叉解提出的數(shù)值方法,但是它也具有一般性.3類變量聯(lián)立計(jì)算為了對(duì)以無量綱軸力λ為分支參數(shù)的兩點(diǎn)邊值問題(13)進(jìn)行分叉解的計(jì)算和分析,本文將聯(lián)合采用打靶法和Newton迭代法.為此考察如下初值問題:其中β=(β1,β2,β3,β4,β5)T是矢量值參數(shù).對(duì)固定的λ和β,記初值問題(14)的解為y(X,λ,β).顯然,它是問題(13)的解的充要條件是β滿足下列方程:盡管不能得到G(β,λ)的表達(dá)式,但顯然求邊值問題(13)的解等價(jià)于求有限維方程(15)的解.設(shè)當(dāng)λ=λ*時(shí),y(X)是邊值問題(13)的解,令β*=(y2(0),y5(0),y6(0),y9(0),y10(0))T,則y(X)=y(X,λ*,β*),并且G(β*,λ*)=0.這時(shí)如果G(β,λ)的Jacobi矩陣Gβ(β*,λ*)非奇異,則稱y(X)為邊值問題(13)的正常解,反之,則稱為奇異解.為了求邊值問題(13)的正常解,可對(duì)式(15)采用Newton迭代法,其迭代步驟是:選取適當(dāng)?shù)某踔郸?0),若第k次迭代值β(k)已知,則k+1次迭代值β(k+1)可由下式確定:在式(16)的具體計(jì)算中,需要得到G(β(k),λ*)和Gβ(β(k),λ*).為了求得G(β(k),λ*),需要計(jì)算y(1,λ*,β(k)).它可以通過求解常微分方程的初值問題(14)來完成,其中令λ=λ*,β=β(k).為了求得Gβ(β(k),λ*),將初值問題(14)在λ=λ*,β=β(k)處對(duì)βj求導(dǎo),可得ue014y/ue014βj是下面初值問題的解:記式(17)的解為則由式(16)可知因此,迭代公式(16)中Jacobi矩陣Gβ(β(k),λ*)可以通過計(jì)算初值問題(17)中5個(gè)常微分方程組的解得到.由于式(17)中出現(xiàn)了由式(14)確定的函數(shù)y(X,λ*,β(k)),所以在計(jì)算y(X,λ*,β(k))及Zj(X,β(k),λ*)時(shí),應(yīng)該同時(shí)對(duì)式(14)和(17)進(jìn)行聯(lián)立計(jì)算.1)平凡解支的計(jì)算設(shè)當(dāng)λ≥0時(shí),y(X,λ)是邊值問題(13)的一個(gè)平凡解,如果平凡解支上的解y(X,λc)是奇異解,則稱λc是平凡解支上的分支點(diǎn)或特征值.可以證明,平凡解支上除了一些孤立的特征值以外都是正常解,所以可采用如下方法實(shí)現(xiàn)平凡解支的數(shù)值計(jì)算:給定步長h,令λk=kh,如果當(dāng)λ=λk-1,λk時(shí),邊值問題(13)的正常解y(X,λk-1),y(X,λk)已經(jīng)求出,則為求λ=λk+1時(shí)的正常解y(X,λk+1),可首先令初值然后按照Newton迭代公式(16)計(jì)算,直到滿足條件時(shí),則y(X,β(k+1),λk+1)就是當(dāng)λ=λk+1時(shí),我們要求的邊值問題(13)的解y(X,λk+1);2)分支點(diǎn)的確定為了確定平凡解支上分支點(diǎn)的位置,可以在計(jì)算平凡解支y(X,λ)的同時(shí),采用二分法求解方程Δ(λ)=detGβ=0的根來實(shí)現(xiàn).為此在計(jì)算平凡解支y(X,λk)的同時(shí),監(jiān)控Δ(λk)=detGβ的正負(fù)號(hào),當(dāng)發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)相鄰的平凡解y(X,λξ)和y(X,λξ+1)使得Δ(λ)的符號(hào)發(fā)生變化時(shí),即Δ(λs)·Δ(λs+1)<0,則在區(qū)間[λs,λs+1]上必有一個(gè)分支點(diǎn)(特征值),這時(shí)對(duì)區(qū)間[λs,λs+1]采用二分法迭代計(jì)算,直到求得λc,使得Δ(λc)≈0,這時(shí)λc就是所要求的近似特征值.3)分叉解支的計(jì)算由于不能得到有限維方程(15)的解析表達(dá)式,所以現(xiàn)有計(jì)算有限維分支方程的分叉解的方法不再適用.本文仍將采用Newton迭代法來計(jì)算分叉解,這里的關(guān)鍵是如何成功獲得邊值問題(13)的一個(gè)分叉解支上某個(gè)正常解的近似值.為了獲得這樣一個(gè)近似值,對(duì)給定邊值問題(13)作小攝動(dòng).設(shè)是平凡解支上接近于奇點(diǎn)的一個(gè)已知的正常解,其中接近于特征值λc,而且.作如下邊值問題:利用上述方法和過程,成功地進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算,得到了當(dāng)梁結(jié)構(gòu)不受分布力,且基礎(chǔ)為各向同性線性彈性材料時(shí),前兩個(gè)分支點(diǎn)和相應(yīng)的分支解.表1和表2列出了基礎(chǔ)反力和慣性矩對(duì)前兩個(gè)分支點(diǎn)的影響.圖2和圖3分別為βz=βy=0.01,Ku1=Kv1=Kw1=1時(shí),第一分支點(diǎn)λ1=0.35和第二分支點(diǎn)λ2=0.60處的平凡解支和分支解支.4均質(zhì)等截面線性euter型梁-柱結(jié)構(gòu)的非線性穩(wěn)定性和后屈曲在有限變形的假設(shè)下,建立了位于3次非線性彈性基礎(chǔ)上,3次非線性彈性Euler型梁-柱