人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修三)同步培優(yōu)講義專題6.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（重難點題型精講）（原卷版）

專題6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（重難點題型精講）1．分類加法計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理的概念完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法，在第2類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法，SKIPIF1<0，在第n類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法，那么完成這件事共有N=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0種不同的方法.

(2)分類加法計數(shù)原理的特點

分類加法計數(shù)原理又稱分類計數(shù)原理或加法原理，其特點是各類中的每一種方法都可以完成要做的事情，我們可以用第一類有SKIPIF1<0種方法，第二類有SKIPIF1<0???????種方法，，第n類有SKIPIF1<0??????????????種方法，來表示分類加法計數(shù)原理，即強調(diào)每一類中的任一種方法都可以完成要做的事，因此一共有SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0種不同方法可以完成這件事.(3)分類的原則

分類計數(shù)時，首先要根據(jù)問題的特點，確定一個適當?shù)姆诸悩藴?，然后利用這個分類標準進行分類，分類時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應(yīng)的類；二是不同類的任意兩種方法必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數(shù)時不重不漏.2．分步乘法計數(shù)原理(1)分步乘法計數(shù)原理的概念

???????完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.

概念推廣：完成一件事需要n個步驟，做第1步有SKIPIF1<0種不同的方法，做第2步有SKIPIF1<0種不同的方法，SKIPIF1<0，做第n步有SKIPIF1<0種不同的方法，那么完成這件事共有N=SKIPIF1<0×SKIPIF1<0×SKIPIF1<0×SKIPIF1<0種不同的方法.

(2)分步乘法計數(shù)原理的特點

分步乘法計數(shù)原理的特點是在所有的各步之中，每一步都要使用一種方法才能完成要做的事，可以利用圖形來表示分步乘法計數(shù)原理，圖中的“SKIPIF1<0”強調(diào)要依次完成各個步驟才能完成要做的事情，從而共有SKIPIF1<0×SKIPIF1<0×SKIPIF1<0×SKIPIF1<0種不同的方法可以完成這件事.

(3)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經(jīng)過哪幾步才能完成這件事；

②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就不可能完成；不能缺少步驟.

③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這n個步驟逐步去做，才能完成這件事，各個步驟既不能重復(fù)也不能遺漏.3．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的辨析(1)聯(lián)系

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解決的都是有關(guān)完成一件事的不同方法的種數(shù)問題.

(2)區(qū)別

分類加法計數(shù)原理每次得到的都是最后結(jié)果，而分步乘法計數(shù)原理每步得到的都是中間結(jié)果，具體區(qū)別如下表：(3)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的合理選擇在解決有關(guān)計數(shù)問題時，應(yīng)注意合理分類，準確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉(zhuǎn)換法的應(yīng)用.【題型1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的辨析】【方法點撥】根據(jù)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的概念，進行判斷，即可得解.【例1】（2022·高二課時練習(xí)）判斷正誤（1）在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．()（2）在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．()【變式1-1】在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．（判斷對錯）【變式1-2】（2022·高二課時練習(xí)）判斷正誤（1）在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事．()（2）在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．()【變式1-3】（2021?概率統(tǒng)計模擬）判斷下列各事件哪些是運用分類計數(shù)原理計數(shù)．（1）一個三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有3本不同的語文書，下層放有2本不同的英語書，從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？（2）一個三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，中層放有3本不同的語文書，下層放，有2本不同的英語書；從書架上任取三本書，其中數(shù)學(xué)書，語文書，英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船，假定火車每日1班，汽車每日3班，輪船每日2班，那么一天中從甲地到乙地有多少種不同的走法？【題型2分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用】【方法點撥】應(yīng)用分類加法計數(shù)原理解題的一般思路：一、分類：將完成一件事的方法分成若干類；二、分步：求出每一類中的方法數(shù)；三、結(jié)論：將每一類的方法數(shù)相加，得出結(jié)果.【例2】（2022秋·遼寧葫蘆島·高二期中）某學(xué)校開設(shè)4門球類運動課程、5門田徑類運動課程和2門水上運動課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有（

）A．40種 B．20種 C．15種 D．11種【變式2-1】（2022·高二課時練習(xí)）某日，甲、乙、丙三個單位被系統(tǒng)隨機預(yù)約到A，B，C三家醫(yī)院接種疫苗且每個單位只能被隨機預(yù)約到一家醫(yī)院，每家醫(yī)院每日至多接待兩個單位．已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的預(yù)約方案種數(shù)為（

）A．27 B．24 C．18 D．16【變式2-2】（2022·高二課時練習(xí)）如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12．設(shè)1≤i<j<k≤12，若k?j=3且j?i=4，則稱ai，aj，ak為大三和弦；若k?j=4且j?i=3，則稱ai，aA．5 B．8 C．10 D．15【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）從數(shù)字1，2，3，4中取出3個數(shù)字（允許重復(fù)），組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．7 B．9 C．10 D．13【題型3分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用】【方法點撥】應(yīng)用分布乘法計數(shù)原理解題的一般思路：一、分步：將完成一件事的過程分成若干步；二、計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；三、結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘，得出結(jié)果.【例3】（2023·全國·高二專題練習(xí)）某省新高考采用“3+1+2”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個科目中選擇2個科目．已知小明同學(xué)必選化學(xué)，那么他可選擇的方案共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種【變式3-1】（2023·高二課時練習(xí)）如圖，要給①、②、③、④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，則不同的涂色方案種數(shù)為（

）．A．180 B．160 C．96 D．60【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，B，C，D，E五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可不使用，則復(fù)合這些要求的不同著色的方法共有（

）ABCDEA．500種 B．520種 C．540種 D．560種【變式3-3】（2022·高二單元測試）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，如圖，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點為陰數(shù)（圖中白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽數(shù)構(gòu)成一個四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往右數(shù)）第一位數(shù)是陽數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽和為7，則這樣的四位數(shù)的個數(shù)有（

）A．120 B．90 C．48 D．12【題型4兩個原理的綜合應(yīng)用】【方法點撥】(1)“類中有步”計數(shù)問題：完成一件事有幾類方案，每一類方案中分若干步，利用分步乘法計數(shù)原理求出每一類方案中的方法數(shù)，再利用分類加法計數(shù)原理把各類方案的方法數(shù)相加，即可得出結(jié)果.(2)“步中有類”計數(shù)問題：完成一件事的過程分成若干步，完成每一步的方法分成若干類，利用分類加法計數(shù)原理求出完成每一步中的方法數(shù)，再利用分步乘法計數(shù)原理把每一步的方法數(shù)相乘，即可得出結(jié)果.【例4】（2022春·湖北十堰·高二階段練習(xí)）某校高二年級舉行健康杯籃球賽，共20個班級，其中1、3、4班組成聯(lián)盟隊，2、5、6班組成聯(lián)盟隊，一共有16支籃球隊伍，先分成4個小組進行循環(huán)賽，決出8強（每隊與本組其他隊賽一場），即每個組取前兩名（按獲勝場次排名，如果獲勝場次相同的就按凈勝分排名）；然后晉級的8支隊伍按照確定的程序進行淘汰賽，淘汰賽第一輪先決出4強，晉級的4支隊伍要決出冠亞軍和第三、四名，同時后面的4支隊伍要決出第五至八名，則總共要進行籃球賽的場次為（

）A．32 B．34 C．36 D．38【變式4-1】（2022·高二課時練習(xí)）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分，如圖所示．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（

）．A．80種 B．120種 C．160種 D．240種【變式