人教A版高中數(shù)學(選擇性必修三)同步培優(yōu)講義專題6.5 二項式定理（重難點題型精講）（原卷版）

專題6.5二項式定理（重難點題型精講）1．二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)n，都有

SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(*)

公式(*)叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做SKIPIF1<0的二項展開式，其中各項的系數(shù)SKIPIF1<0(k∈{0,1,2,SKIPIF1<0,n})叫做二項式系數(shù)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0叫做二項展開式的通項，用SKIPIF1<0表示，即通項為展開式的第k+1項：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)二項展開式的規(guī)律

①二項展開式一共有(n+1)項.

②(n+1)項按a的降冪b的升冪排列.

③每一項中a和b的冪指數(shù)之和為n.2．二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)楊輝三角——二項式系數(shù)表

當n依次取1,2,3,SKIPIF1<0時，觀察SKIPIF1<0的展開式的二項式系數(shù)：從中我們可以看出，左側(cè)三角是根據(jù)二項式定理得到的，右側(cè)三角是算出對應(yīng)的組合數(shù)的值后所得結(jié)果，由此我們可以發(fā)現(xiàn)以下性質(zhì)：

①每一行中的二項式系數(shù)是對稱的，如第一項與最后一項的二項式系數(shù)相等，第二項與倒數(shù)第二項的二項式系數(shù)相等.

②每一行兩端都是1，而且從第二行起，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.

③從第二行起，每一行的二項式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大.

④第一行的兩個數(shù)之和為2=SKIPIF1<0，第二行的三個數(shù)之和為4=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第六行的各數(shù)之和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第n行的(n+1)個數(shù)之和為SKIPIF1<0.(2)二項式系數(shù)的性質(zhì)【題型1求展開式的特定項或特定項的系數(shù)】【方法點撥】二項展開式的通項的主要作用是求展開式中的特定項，常見的題型有：①求第k項；②求含SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)的項；③求常數(shù)項；④求有理項.其中求有理項時，一般根據(jù)通項，找出未知數(shù)的指數(shù)，令其為整數(shù)，再根據(jù)整數(shù)的整除性求解.另外，若通項中含有根式，一般把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，以簡化運算.【例1】（2023·北京·高三專題練習）二項式x?23A．80 B．?80 C．?40 D．40【變式1-1】（2023·廣西桂林·一模）x?25的展開式中x3的系數(shù)為（A．40 B．?40 C．80 D．?80【變式1-2】（2022春·湖南邵陽·高二期末）2x?ax6的展開式中的常數(shù)項為-160，則aA．1 B．-1 C．2 D．-2【變式1-3】（2022·全國·模擬預測）x?2x10A．C104 B．C104【題型2用賦值法求系數(shù)和問題】【方法點撥】賦值法是解決二項展開式中項的系數(shù)和問題的常用方法.根據(jù)題目要求，靈活賦值是解題的關(guān)鍵.【例2】（2022秋·廣西梧州·高三期中）1+x4=a0+A．1 B．3 C．0 D．?3【變式2-1】若x+y6=a0yA．0 B．32 C．64 D．128【變式2-2】（2022春·陜西延安·高二階段練習）若(3x?1)7=aA．?1 B．127 C．128 D．129【變式2-3】（2022·全國·高三專題練習）已知Cn3=Cn6，設(shè)A．?1 B．0 C．1 D．2【題型3多項式積的展開式中的特定項問題】【方法點撥】對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當?shù)剡\用分類方法，以免重復或遺漏.【例3】（2023·湖南長沙·統(tǒng)考一模）1x?21?2x4A．?4 B．?6C．?8 D．【變式3-1】（2022·四川綿陽·?？级＃?+1x(1+x)4的展開式中含A．10 B．12 C．4 D．5【變式3-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）二項式(1+x+x2)(1?x)10A．120 B．135 C．140 D．100【變式3-3】（2022秋·廣西柳州·高三階段練習）若2?ax1+x4展開式中x3的系數(shù)為2，則a=A．1 B．?1 C．?13【題型4求展開式中系數(shù)最大的項的方法】【方法點撥】由于展開式中各項的系數(shù)是離散型變量，因此，(1)在系數(shù)符號相同的前提下，求系數(shù)的最大(小)值，只需比較兩組相鄰兩項系數(shù)的大小，根據(jù)通項正確地列出不等式組SKIPIF1<0SKIPIF1<0即可.(2)當各項系數(shù)正負相間時，求系數(shù)的最大值應(yīng)在系數(shù)都為正的各項系數(shù)間構(gòu)造不等式組；求系數(shù)的最小值應(yīng)在系數(shù)都為負的各項系數(shù)間構(gòu)造不等式組.【例4】（2022春·江蘇常州·高二期中）在3x?2y20的展開式中，系數(shù)絕對值最大項是（

A．第10項 B．第9項 C．第11項 D．第8項【變式4-1】（2022·全國·高二假期作業(yè)）若2+axna≠0的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為512，且第6項的系數(shù)最大，則a的取值范圍為（A．?∞,0∪2,3C．2,3 D．1【變式4-2】（2023·全國·高二專題練習）已知x-2xA．-448 B．-1024 C．-1792 D．-5376【變式4-3】（2022春·山東菏澤·高二階段練習）已知2x+1xnA．二項展開式中各項系數(shù)之和為37 B．二項展開式中二項式系數(shù)最大的項為C．二項展開式中無常數(shù)項 D．二項展開式中系數(shù)最大的項為240【題型5利用二項式定理證明整除問題或求余數(shù)】【方法點撥】(1)利用二項式定理證明整除問題，關(guān)鍵是要巧妙地構(gòu)造二項式，其基本做法：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可.(2)用二項式定理處理整除問題時，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切相關(guān)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項式定理展開，只考慮后面(或者是前面)一兩項就可以了，要注意余數(shù)的范圍.【例5】（2023·全國·高三專題練習）250?1除以7的余數(shù)是（A．0 B．1 C．2 D．3【變式5-1】（2023·全國·高三專題練習）設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512021+a能被13整除，則aA．0 B．1 C．11 D．12【變式5-2】（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512021+a能被13整除，則a=（A．0 B．1 C．11 D．12【變式5-3】（2022·高二課時練習）設(shè)n為正奇數(shù)，則5n+CA．?2 B．0 C．3 D．5【題型6楊輝三角問題】【方法點撥】解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路：(1)觀察：對數(shù)據(jù)要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多角度觀察；(2)規(guī)律：通過觀察找出每一行的數(shù)據(jù)之間、行與行的數(shù)據(jù)之間的規(guī)律；(3)表達：將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學式子表達出來；(4)結(jié)論：用數(shù)學表達式寫出結(jié)論.【例6】（2022·全國·高三專題練習）“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，早在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，若第n行中從左至右只有第12個數(shù)為該行中的最大值，則n=（

）A．21 B．22 C．23 D．24【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習）如圖，楊輝三角出現(xiàn)于我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》中，它揭示了(a+b)n（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．由此可得圖中第10行排在偶數(shù)位置的所有數(shù)字之和為（

A．256 B．512 C．1024 D．1023【變式6-2】（2022·江蘇·高三專題練習）我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中錯誤的是（

）A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個二項式系數(shù)相等”猜想：Cnm＝Cnn－mB．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它‘肩上’兩個數(shù)的和”猜想：CC．由