小學六年級數(shù)學應(yīng)用題分類(答案及詳解)

小學六年級數(shù)學應(yīng)用題分類（答案及詳解）公約公倍問題需要用公約數(shù)、公倍數(shù)來解答的應(yīng)用題叫做公約數(shù)、公倍數(shù)問題?！緮?shù)量關(guān)系】絕大多數(shù)要用最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)來解答?！窘忸}思路和方法】先確定題目中要用最大公約數(shù)或者最小公倍數(shù)，再求出答案。最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的求法，最常用的是“短除法”。例1、一張硬紙板長60厘米，寬56厘米，現(xiàn)在需要把它剪成若干個大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問正方形的邊長是多少?解：硬紙板的長和寬的最大公約數(shù)就是所求的邊長。60和56的最大公約數(shù)是4。答：正方形的邊長是4厘米。例2、甲、乙、丙三輛汽車在環(huán)形馬路上同向行駛，甲車行一周要36分鐘，乙車行一周要30分鐘，丙車行一周要48分鐘，三輛汽車同時從同一個起點出發(fā)，問至少要多少時間這三輛汽車才能同時又在起點相遇?解：要求多少時間才能在同一起點相遇，這個時間必定同時是36、30、48的倍數(shù)。因為問至少要多少時間，所以應(yīng)是36、30、48的最小公倍數(shù)。36、30、48的最小公倍數(shù)是720。答：至少要720分鐘(即12小時)這三輛汽車才能同時又在起點相遇。例3、一個四邊形廣場，邊長分別為60米，72米，96米，84米，現(xiàn)要在四角和四邊植樹，若四邊上每兩棵樹間距相等，至少要植多少棵樹?解：相鄰兩樹的間距應(yīng)是60、72、96、84的公約數(shù)，要使植樹的棵數(shù)盡量少，須使相鄰兩樹的間距盡量大，那么這個相等的間距應(yīng)是60、72、96、84這幾個數(shù)的最大公約數(shù)12。所以，至少應(yīng)植樹(60+72+96+84)÷12=26(棵)答：至少要植26棵樹。例4、一盒圍棋子，4個4個地數(shù)多1個，5個5個地數(shù)多1個，6個6個地數(shù)還多1個。又知棋子總數(shù)在150到200之間，求棋子總數(shù)。解：如果從總數(shù)中取出1個，余下的總數(shù)便是4、5、6的公倍數(shù)。因為4、5、6的最小公倍數(shù)是60，又知棋子總數(shù)在150到200之間，所以這個總數(shù)為60×3+1=181(個)答：棋子的總數(shù)是181個。行船問題行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度;水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和;船只逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮?shù)量關(guān)系】(順水速度+逆水速度)÷2=船速(順水速度-逆水速度)÷2=水速順水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2逆水速=船速×2-順水速=順水速-水速×2【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1、一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時?解：由條件知，順水速=船速+水速=320÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時320÷8-15=25(千米)船的逆水速為25-15=10(千米)船逆水行這段路程的時間為320÷10=32(小時)答：這只船逆水行這段路程需用32小時。例2、甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時;乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間?解：由題意得甲船速+水速=360÷10=36甲船速-水速=360÷18=20可見(36-20)相當于水速的2倍，所以，水速為每小時(36-20)÷2=8(千米)又因為，乙船速-水速=360÷15，所以，乙船速為360÷15+8=32(千米)乙船順水速為32+8=40(千米)所以，乙船順水航行360千米需要360÷40=9(小時)答：乙船返回原地需要9小時。例3、一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，順風飛回需要幾小時?解：這道題可以按照流水問題來解答。(1)兩城相距多少千米?(576-24)×3=1656(千米)(2)順風飛回需要多少小時?1656÷(576+24)=2。76(小時)列成綜合算式[(576-24)×3]÷(576+24)=2.76(小時)答：飛機順風飛回需要2.76小時。工程問題工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)(它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾)，進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量=工作效率×工作時間工作時間=工作量÷工作效率工作時間=總工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)按比例分配問題所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】從條件看，已知總量和幾個部分量的比;從問題看，求幾個部分量各是多少?？偡輸?shù)=比的前后項之和【解題思路和方法】先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾(以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子)，再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。例1、學校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵?解：總份數(shù)為47+48+45=140一班植樹560×47/140=188(棵)二班植樹560×48/140=192(棵)三班植樹560×45/140=180(棵)答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例2、用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米?解：3+4+5=1260×3/12=15(厘米)60×4/12=20(厘米)60×5/12=25(厘米)答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。例3、從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。解：如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶29+6+2=1717×9/17=917×6/17=617×2/17=2答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。方陣問題將若干人或物依一定條件排成正方形(簡稱方陣)，根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題?！緮?shù)量關(guān)系】(1)方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：四周人數(shù)=(每邊人數(shù)-1)×4每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1(2)方陣總?cè)藬?shù)的求法：實心方陣：總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)×每邊人數(shù)空心方陣：總?cè)藬?shù)=(外邊人數(shù))?-(內(nèi)邊人數(shù))?內(nèi)邊人數(shù)=外邊人數(shù)-層數(shù)×2(3)若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：總?cè)藬?shù)=(每邊人數(shù)-層數(shù))×層數(shù)×4【解題思路和方法】方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘;空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。例1、在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人?解：22×22=484(人)答：參加體操表演的同學一共有484人。例2、有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。解：10-(10-3×2)=84(人)答：全方陣84人。例3、有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊學生共多少人?解：(1)中空方陣外層每邊人數(shù)=52÷4+1=14(人)(2)中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)=28÷4-1=6(人)(3)中空方陣的總?cè)藬?shù)=14×14-6×6=160(人)答：這隊學生共160人。例4、一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個?解：(1)縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)=4+9=13(只)(2)縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)=(13+1)÷2=7(只)(3)原有棋子數(shù)=7×7-9=40(只)答：棋子有40只。例5、有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹?解：第一種方法：1+2+3+4+5=15(棵)第二種方法：(5+1)×5÷2=15(棵)答：這個三角形樹林一共有15棵樹。追及問題兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)(或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā))作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題?！緮?shù)量關(guān)系】追及時間=追及路程÷(快速-慢速)追及路程=(快速-慢速)×追及時間【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1、好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬?解：(1)劣馬先走12天能走多少千米?75×12=900(千米)(2)好馬幾天追上劣馬?900÷(120-75)=20(天)列成綜合算式75×12÷(120-75)=900÷45=20(天)答：好馬20天能追上劣馬。例2、小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解：小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用[40×(500÷200)]秒，所以小亮的速度是(500-200)÷[40×(500÷200)]=300÷100=3(米)答：小亮的速度是每秒3米。例3、我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人?解：敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是(22-16)小時，這段時間敵人逃跑的路程是[10×(22-6)]千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知追及時間=[10×(22-6)+60]÷(30-10)=220÷20=11(小時)答：解放軍在11小時后可以追上敵人。例4、一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米;一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解：這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車(16×2)千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這個時間為16×2÷(48-40)=4(小時)所以兩站間的距離為(48+40)×4=352(千米)列成綜合算式(48+40)×[16×2÷(48-40)]=88×4=352(千米)答：甲乙兩站的距離是352千米。例5、兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠?解：要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間(從出發(fā)到相遇)內(nèi)哥哥比妹妹多走(180×2)米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走(90-60)米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為180×2÷(90-60)=12(分鐘)家離學校的距離為90×12-180=900(米)答：家離學校有900米遠。例6、孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從家步行去學校，當他走了1千米時，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。解：手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到(10-5)分鐘，后段路程跑步恰準時到學校，說明后段路程跑比走少用了(10-5)分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用[9-(10-5)]分鐘。所以步行1千米所用時間為1÷[9-(10-5)]=0.25(小時)=15(分鐘)跑步1千米所用時間為15-[9-(10-5)]=11(分鐘)跑步速度為每小時1÷11/60=5.5(千米)答：孫亮跑步速度為每小時5.5千米。倍比問題有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題?！緮?shù)量關(guān)系】總量÷一個數(shù)量=倍數(shù)另一個數(shù)量×倍數(shù)=另一總量【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。例1、100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少?解：(1)3700千克是100千克的多少倍?3700÷100=37(倍)(2)可以榨油多少千克?40×37=1480(千克)列成綜合算式40×(3700÷100)=1480(千克)答：可以榨油1480千克。例2、今年植樹節(jié)這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵?解：(1)48000名是300名的多少倍?48000÷300=160(倍)(2)共植樹多少棵?400×160=64000(棵)列成綜合算式400×(48000÷300)=64000(棵)答：全縣48000名師生共植樹64000棵。例3、鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元?全縣16000畝果園共收入多少元?解：(1)800畝是4畝的幾倍?800÷4=200(倍)(2)800畝收入多少元?11111×200=2222200(元)(3)16000畝是800畝的幾倍?16000÷800=20(倍)(4)16000畝收入多少元?2222200×20=44444000(元)答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。溶液濃度問題在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑(水或其它液體)、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分數(shù)叫濃度，也叫百分比濃度?！緮?shù)量關(guān)系】溶液=溶劑+溶質(zhì)濃度=溶質(zhì)÷溶液×100%【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1、爺爺有16%的糖水50克，(1)要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克?(2)若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克?解：(1)需要加水多少克?50×16%÷10%-50=30(克)(2)需要加糖多少克?50×(1-16%)÷(1-30%)-50=10(克)答：(1)需要加水30克，(2)需要加糖10克。例2、要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克?解：假設(shè)全用30%的糖水溶液，那么含糖量就會多出600×(30%-25%)=30(克)這是因為30%的糖水多用了。于是，我們設(shè)想在保證總重量600克不變的情況下，用15%的溶液來“換掉”一部分30%的溶液。這樣，每“換掉”100克，就會減少糖100×(30%-15%)=15(克)所以需要“換掉”30%的溶液(即“換上”15%的溶液)100×(30÷15)=200(克)由此可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液600-200=400(克)答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。最值問題科學的發(fā)展觀認為，國民經(jīng)濟的發(fā)展既要講求效率，又要節(jié)約能源，要少花錢多辦事，辦好事，以最小的代價取得最大的效益。這類應(yīng)用題叫做最值問題?！緮?shù)量關(guān)系】一般是求最大值或最小值?！窘忸}思路和方法】按照題目的要求，求出最大值或最小值。例1、在火爐上烤餅，餅的兩面都要烤，每烤一面需要3分鐘，爐上只能同時放兩塊餅，現(xiàn)在需要烤三塊餅，最少需要多少分鐘?解：先將兩塊餅同時放上烤，3分鐘后都熟了一面，這時將第一塊餅取出，放入第三塊餅，翻過第二塊餅。再過3分鐘取出熟了的第二塊餅，翻過第三塊餅，又放入第一塊餅烤另一面，再烤3分鐘即可。這樣做，用的時間最少，為9分鐘。答：最少需要9分鐘。例2、在一條公路上有五個卸煤場，每相鄰兩個之間的距離都是10千米，已知1號煤場存煤100噸，2號煤場存煤200噸，5號煤場存煤400噸，其余兩個煤場是空的?，F(xiàn)在要把所有的煤集中到一個煤場里，每噸煤運1千米花費1元，集中到幾號煤場花費最少?解：我們采用嘗試比較的方法來解答。集中到1號場總費用為1×200×10+1×400×40=18000(元)集中到2號場總費用為1×100×10+1×400×30=13000(元)集中到3號場總費用為1×100×20+1×200×10+1×400×10=12000(元)集中到4號場總費用為1×100×30+1×200×20+1×400×10=11000(元)集中到5號場總費用為1×100×40+1×200×30=10000(元)經(jīng)過比較，顯然，集中到5號煤場費用最少。答：集中到5號煤場費用最少。時鐘問題時鐘問題就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比?！緮?shù)量關(guān)系】分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。【解題思路和方法】變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1、從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好與分針重合?解：鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格;時針每小時走5格，每分鐘走5/60=1/12格。每分鐘分針比時針多走(1-1/12)=11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為20÷(1-1/12)≈22(分)答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。例2、四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角?解：鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格(包括分針在時針的前或后15格兩種情況)。四點整的時候，分針在時針后(5×4)格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走(5×4-15)格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走(5×4+15)格。再根據(jù)1分鐘分針比時針多走(1-1/12)格就可以求出二針成直角的時間。(5×4-15)÷(1-1/12)≈6(分)(5×4+15)÷(1-1/12)≈38(分)答：4點06分及4點38分時兩針成直角。例3、六點與七點之間什么時候時針與分針重合?解：六點整的時候，分針在時針后(5×6)格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。(5×6)÷(1-1/12)≈33(分)答：6點33分的時候分針與時針重合。列車問題這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度?！緮?shù)量關(guān)系】火車過橋：過橋時間=(車長+橋長)÷車速火車追及：追及時間=(甲車長+乙車長+距離)÷(甲車速-乙車速)火車相遇：相遇時間=(甲車長+乙車長+距離)÷(甲車速+乙車速)【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1、一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米?解：火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。(1)火車3分鐘行多少米?900×3=2700(米)(2)這列火車長多少米?2700-2400=300(米)列成綜合算式900×3-2400=300(米)答：這列火車長300米。例2、一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米?解：火車過橋所用的時間是2分5秒=125秒，所走的路程是(8×125)米，這段路程就是(200米+橋長)，所以，橋長為8×125-200=800(米)答：大橋的長度是800米。例3、一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間?解從追上到追過，快車比慢車要多行(225+140)米，而快車比慢車每秒多行(22-17)米，因此，所求的時間為(225+140)÷(22-17)=73(秒)答：需要73秒。例4、一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間?解：如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。150÷(22+3)=6(秒)答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。例5、一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少?解：車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長?？芍疖囋?88-58)秒的時間內(nèi)行駛了(2000-1250)米的路程，因此，火車的車速為每秒(2000-1250)÷(88-58)=25(米)進而可知，車長和橋長的和為(25×58)米，因此，車長為25×58-1250=200(米)答：這列火車的車速是每秒25米，車身長200米。年齡問題這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化?！緮?shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。【解題思路和方法】可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。①兩個人的年齡差是不變的;②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的;③兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的。常用的計算公式是：成倍時小的年齡=大小年齡之差÷(倍數(shù)-1)幾年前的年齡=小的現(xiàn)年-成倍數(shù)時小的年齡幾年后的年齡=成倍時