2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題試題及答案

絕密★啟用前

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新高考全國I卷

）

數(shù)學(xué)

試卷類型：A

本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號

和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置

上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的

答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答

在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指

定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1,已知集合,={-2TQL2},二小卜2—>6之0},則MCN=（）

A.{-2,-1,0,1}B,{0,1,2}C.{-2}D.2

答案：c

方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據(jù)交集的運算解出.

方法二：將集合M中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出.

解：方法一：因為％=卜,2一％—620}=（-8,-2]33，+8），而"={-2,-1,0,1,2},

所以McN={—2}.

故選：C.

方法二：因為M={-2,—1,0,1,2},將—2,—1,0,1,2代入不等式f—x—620,只有—2使

不等式成立，所以McN={-2}.

故選：C.

1-i_

2已知z=-----,貝iJz-z=()

2+2i

A.-iB.iC.OD.1

答案：A

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出z,再由共輒復(fù)數(shù)的概念得到三，從而解出.

解：因為z=-=立苛高=丁=一A所以z=A即Z-

故選:A.

3.已知向量a=(l,l),b=(l,T),若(。+碼_L(a+咐，則()

A.4+〃=1B.幾+〃=—1

C.辦=1D.///=-1

答案：D

根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出〃+助，a+必再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

解：因為4==,所以Q+2)=(1+%1->1),Q+〃Z?=(1+4,1-〃)，

由(a+2人)_L(Q+4人)可得，(a+4〃),(a+〃b)=0,

即(l+4)(l+〃)+(I_4)(l_〃)=0,整理得：辦=7.

故選：D.

4.設(shè)函數(shù)/(x)=2#引在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(-oo,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+a>)

答案：D

利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.

解：函數(shù)y=2'在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/(》)=2"的在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)丁=龍(尤—a)=(x—@)2-土在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，因此^21,解得。22,

242

所以。的取值范圍是[2,+8).

故選：D

5.設(shè)橢圓G：與+丁=13>1）,。,：土+丁=1的離心率分別為4?.若q=日,則

a"4

。=（）

A.￥B.V2C.6D.V6

答案：A

根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計算作答.

解：由e,=J5q,得e；=3e：,因此土1=3x°」，而。>1,所以

4a23

故選：A

6.過點（0,一2）與圓*2+丫2-4》-1=0相切的兩條直線的夾角為a,貝ijsina=（）

A.1B.C,D,星

444

答案：B

方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切

線長，結(jié)合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式可得

公+8%+1=0,利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運算求解.

解:方法一：因為f+V-4》一1=0,即（X-2）2+丁=5,可得圓心C（2,0），半徑r=,

過點。（0,-2）作圓C的切線，切點為A3,

因為|PC|=百+（一2『=272，則|PA|=yl\PCf-r2=下）,

可得MPC蓋普,cMPC妥咚

則sinNAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosNAPC=2x-x—=—,

444

cosZAPS=cos2ZAPC=cos2NAPC-sin2ZAPC

即/APB為鈍角,

所以sina=sin（兀一ZAPB）-sinZAPB=

4

法二：圓f+y2-4x-l=0的圓心C（2,0）,半徑廠=逐，

過點F（0,-2）作圓C的切線，切點為連接AB，

可得|PC|="2+（-2）2=2V2，則|PA|=|PB|=Jpcf-F=￡，

因為|尸川2+歸卻2_2|R4HplB|cosZAP8=|C4『+\CBf-2|C4|?\CB\COSZACB

且ZACB=TI—ZAP3,貝IJ3+3—6cosZA尸5=5+5-10cos（7i-ZAP3）,

即3-cosZAP8=5+5cosZAPB,解得cosNAP8=-!<0,

4

即/AP3為鈍角，貝Ucosa=COS（7C-ZAP8）=-COSNAP8=；,

且a為銳角，所以sina=

4

方法三：圓f+y2-4x-l=0的圓心C（2,0）,半徑r=逐，

若切線斜率不存在，則切線方程為y=0,則圓心到切點的距離。=2>人不合題意;

若切線斜率存在，設(shè)切線方程為丁=依一2,即日一y一2=0,

則絲二1=逐，整理得上2+8左+1=0,且△=64—4=60>0

“2+1

設(shè)兩切線斜率分別為附左2，則4+%=-8/#2=1，

可得%_右|=｛（匕+k2）2-4秘2=2715，

所以tana=也!~—=V15,即包=可得cosa="”，

1+左#2COS6ZV15

則sin2a+cos2a=sin2a+S^na=1,

15

且aw[（）,]],則sina>0,解得sina=

故選：B

S

7.記S〃為數(shù)列｛4｝的前〃項和，設(shè)甲：｛為｝為等差數(shù)列；乙：｛才｝為等差數(shù)列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案：C

利用充分條件、必要條件定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前〃項和與第〃項的關(guān)系推

理判斷作答.，

解：方法1,甲：&｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項為％,公差為d,

—1)S〃n-\d

則5.二叫4-+----/：+1邑

2212n+1n2

因此｛字｝為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；

n

反之，乙：｛&｝為等差數(shù)列，即辿“二〃aI為常數(shù),設(shè)為匕

n/i+lnn(n+l)n(n+l)

na^—S

即~-rr=t，則S”="4+1—J"(〃+1)，有S?.,=(/?-l)a?-t-n[n-Y),n>2,

n(n+l)

兩式相減得：an=nan+x-(n-l)a?-2tn,即a“+1—a“=2f,對〃=1也成立，

因此｛q｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛《,｝的首項外,公差為d,即S,,=叫+歿也d,

則2=a+"Dd=@〃+q—因此｛腦｝為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；

n222n

qvvs

反之，乙：｛d｝為等差數(shù)列，即也一區(qū)=。,.=E+(〃-1)。，

nn+\nn

即S“=吟+〃(〃一1)0,S,i=+(〃-1)(九-2)。，

當(dāng)〃22時，上兩式相減得：S“一S,i=5+2(〃—1)。，當(dāng)a=1時，上式成立,

于是4=?,+2(n-l)D,又a“+|-a“=ax+2nD-[ai+2(〃-1)0=2。為常數(shù),

因此｛為｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

8,已知sin(a-p)=Lcosasin/=，,貝iJcos(2tz+2/7)=().

答案：B

根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(c+/7),再利用二倍角的余弦公式計

算作答.

解：因為sin(c-4)=sinacos夕一cosasinp=，,而cosasin￡=,，因此

36

C1

sinacosp=—,

2

則sin(a+夕)=sinacos(5+cosasin尸=§,

所以cos(2a+2夕)=cos2(a+/7)=l-2sirr(a+0=l-2x(§)2=_

故選：B

方法點睛：三角函數(shù)求值的類型及方法

(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角

總有一定關(guān)系.解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函

數(shù).

(2)“給值求值”：給出某些角三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變

角”，使其角相同或具有某種關(guān)系.

(3)“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式

子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0

分.

9.有一組樣本數(shù)據(jù)內(nèi),乙,…，玉,，其中玉是最小值，4是最大值，則()

A.x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于玉,工2,…，4的平均數(shù)

B./,演，》4，入5的中位數(shù)等于玉，々，…，*6的中位數(shù)

C.%，“3，”4，“5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于，無2,.■“6的標(biāo)淮差

D.馬,七/4，％5的極差不大于玉，馬,…,玉,的極差

答案：BD

根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項分析判斷.

解：對于選項A:設(shè)工2，工3，》4，毛的平均數(shù)為加，%，工2,…的平均數(shù)為"，

則〃-AH=%+-2+尤3+*4+15+4_々+±+%+/_2(內(nèi)+%)一(工5+“2+”3+”%)

''74-12~

因為沒有確定2(%+%),為+與+F+尤4的大小關(guān)系，所以無法判斷帆,n的大小，

例如：1,2,3,4,5,6,可得加=〃=3.5；

例如1,1,1,1,1,7,可得加=1,九=2；

例如1,2,2,2,2,2,可得〃?=2,〃=U；故A錯誤；

6

對于選項B：不妨設(shè)玉4元3<Z<尤54工6，

可知々，*3，Z，%的中位數(shù)等于X]，々…,4的中位數(shù)均為"；:，故B正確；

對于選項C：因為玉是最小值，升是最大值，

則々,X3，/，%的波動性不大于%，々,…,天的波動性，即々，*3，%，七的標(biāo)準(zhǔn)差不大于

%,工2,…，入6的標(biāo)準(zhǔn)差，

例如：2,4,6,8,10,12,則平均數(shù)〃=,(2+4+6+8+10+12)=7,

6

標(biāo)準(zhǔn)差5,二J1[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(1O-7)2+(12-7)2]=當(dāng)豆，

4,6,8,10,則平均數(shù)旭=：(4+6+8+10)=7,

標(biāo)準(zhǔn)差%=J；[(4_7)2+(6-7)2+(8-7)2+(10_7)2]=不，

顯然亞5>5,即>>S2；故C錯誤；

3

對于選項D：不妨設(shè)玉<x2<x3<x4<x5<x6,

則/一陽2毛一々，當(dāng)且僅當(dāng)玉=X2，毛=4時，等號成立，故D正確；

故選：BD.

10.噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級

4=20xlg2,其中常數(shù)為(為>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.下表為不同聲源

Po

的聲壓級:

聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB

燃油汽車106090

混合動力汽車105060

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為四，2，。3,則

（）.

A.Pi>p2B.p2>10p3

C.p3=100p0D./?!<100p2

答案：ACD

根據(jù)題意可知4,G[60,90],G[50,60],LP!=40,結(jié)合對數(shù)運算逐項分析判斷.

解:由題意可知:41G[60,90],%e[50,60],4,=40,

對于選項A：可得L一4,=20xlg且_20xlg^=20xlg且，

PoPoP2

因為（NL%,則4,=20xlgAN0,即1gaNO,

P2Pl

所以且且P”P2>0,可得月2必，故A正確；

Pl

對于選項B：可得4,一4s=20xlgH—20xlg星=2°xlg上,

■PoPoP3

因為4,一心八=L&-40210,則20xlgU.Z10,即1g匡

PiP32

所以且且2，P3>0,可得P，NRP3,

“3

當(dāng)且僅當(dāng)L%=50時，等號成立，故B錯誤；

對于選項C：因為乙仍=20xlgR=40,即怛匹=2,

PoPo

可得比=100,即p3=100p（）,故C正確；

Po

對于選項D：由選項A可知：4,-4?=20x1g包，

P1

且H<90-50=40,則20xlgA<40,

即1g242,可得且4100,且ppp?＞。，所以P1WIOOP2,故D正確；

P1〃2

故選：ACD.

11.已知函數(shù)“X)的定義域為R,〃取)=y2〃x)+x2〃y),則()

A./(0)=0B.41)=0

C./(X)是偶函數(shù)D,x=0為/(x)的極小值點

答案：ABC

方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇遇性的判斷方法可判斷選項ABC,舉反例/(幻=0即可

排除選項D.

“、x2ln|x|,xw()

方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D,可構(gòu)造特殊函數(shù)/(%)=〈11進(jìn)

0,x=0

行判斷即可.

解：方法一：

因為/(盯)=y2/(x)+//(y),

對于A,令x=y=o,/(0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,/(1)-1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=—l,/(I)=/(-1)+/(-1)-2/(-1),則/(一1)=0,

令y=T,/(-X)=f(x)+x2f(-l)=f(x),

又函數(shù)〃x)的定義域為R,所以/(x)為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,不妨令/(幻=0,顯然符合題設(shè)條件，此時/(x)無極值，故D錯誤.

方法二：

因為/(盯)=y"(x)+x2/(y)，

對于A,令x=y=o,八0)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,/(1)-1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=—l,=+/(-1)-2/(-1),則/(—l)=0,

4y=-1,/(-%)=f(x)+x2/(-l)=/(x),

又函數(shù)/(X)的定義域為R,所以/(x)為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,當(dāng)x2y2H0時，對孫)=//(x)+x2/(^)兩邊同時除以x2y2,得到

/(盯)_/(x)/(y)

x~y2X2y2

x2ln|M，xHO

故可以設(shè)

0,x=0

當(dāng)x>0肘，/(%)-x21nx,則/〈x)=2xlnx+x2，=x(21nx+l),

令f'(x)<0,得0<]<eT令制x)>°，得x>e4；

故/（x）在O,eE上單調(diào)遞減，在e《,+a）上單調(diào)遞增,

\）\/

12.下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不

計）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

答案：ABD

根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項分析判斷.

解：對于選項A：因為0.99m<1m,即球體的直徑小于正方體的棱長，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；

對于選項B：因為正方體的面對角線長為J^m，且加>1.4，

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；

對于選項C：因為正方體的體對角線長為gm，且6<1.8，

所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C正確;

對于選項D：因為正方體的體對角線長為百m，且百〉1.2,

設(shè)正方體ABC?！?4GA的中心為。，以A0為軸對稱放置圓柱，設(shè)圓柱的底面圓心。

到正方體的表面的最近的距離為〃m,

如圖，結(jié)合對稱性可知：=；GA=GQ=0G=*一0.6，

則=即/?_2O.，,解得〃=<_華〉0.34〉0.01,

41]C]A--耳2V3

所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確;

點評:：對于C、D：以正方體的體對角線為圓柱的軸，結(jié)合

正方體以及圓柱的性質(zhì)分析判斷.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或

3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

答案：64

分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運算求解.

解：（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有C：C；=16種;

（2）當(dāng)從8門課中選修3門,

①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有C；C；=24種;

②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有C；C；=24種；

綜上所述：不同的選課方案共有16+24+24=64種.

故答案為：64.

14.在正四棱臺ABC。—44GA中，AB=2，A4=1,朋=J5，則該棱臺的體積為

答案:等嗎幾

結(jié)合圖像，依次求得AQ，AO，AM,從而利用棱臺的體積公式即可得解.

解：如圖，過4作垂足為M,易知4M為四棱臺ABC?！?4GA的高,

因為AB=2,A4=1,A4,=y/2,

則AG=-4C(=-xV24^=-,AO=-AC=-xs/2AB=yf2,

22222

故AM=g(AC-4G)=冷，則4M==,；=乎,

776

~7T'

故答案為：亥.

6

15.已知函數(shù)〃x)=cos3X-10>0)在區(qū)間［0,2兀］有且僅有3個零點，則。的取值范圍

是?

答案：［2,3)

令/。)=0,得COS4V=1有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.

解：因為0WxW2兀，所以O(shè)WiyxW207T,

令/(x)=cosox—l=。，則coss:=l有3個根，

令t=sx,則cost=l有3個根，其中te［0,2(iM|,

結(jié)合余弦函數(shù)y=cost的圖像性質(zhì)可得4兀W2即<6兀，故2W切<3,

尸(05/

故答案為：［2,3).

16.已知雙曲線C:=1(“>0/>0)的左、右焦點分別為6,弱.點A在C上，點8在

/b2

2

了軸上，F(xiàn)1A1F}B,F2A=--F2B,則。的離心率為.

答案：述##-V5

55

方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得至小伍|,忸國,忸周,|時|關(guān)于相的

表達(dá)式，從而利用勾股定理求得。=加，進(jìn)而利用余弦定理得到a，c的齊次方程，從而得解.

52

方法二：依題意設(shè)出各點坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運算求得?2=4C2>

將點A代入雙曲線C得到關(guān)于a,b,c的齊次方程，從而得解；

解：方法一：

依題意，設(shè)|A6|=2根，則忸可=3m=忸周,|A國=24+2根，

在Rt中，9，/+（2a+2相>=25〃/,貝ij（a+3/n）（a—加）=0,故&或a=

（舍去），

所以|A耳|=4a,|AE|=2a,忸閭=|防|=3a,則囤=54,

IAFI4a4

故cosN646=身=不=與，

\AB\5a5

1+4/72—4r24

所以在AAE入中，cosZF^=———-———整理得5/=9/,

2x4〃x2a5

坊c3>75

a5

依題意，得耳（一。,0）,工（。,0）,令A(yù)（Xo，y））,3（O,f）,

2252

因為g4=_§尼8,所以（%—C,%）=_§（—c,f）,則x（）=§c,%=_§/,

,82、Q2

又耳48,所以耳4坐8二飛仁一大,/=0,則/=公2,

\JJJ

Zz2os/-24產(chǎn)n,.22

又點A在C上，則99J整理得空—三=1，則警S■16c

今-一號=19a29/9a2薪

所以25c2〃-i6c2〃=9a2b2,即25c2(c2-a2)-l6a2c2=9a2(c2-a2),

2222

整理得25c,一50c+9/=o,則(5c?-9a)(5c一。?)=0,解得5c?=9/或5c?=a,

又e>l,所以e=3叵或e=@(舍去)，故6=地.

555

故答案為：述.

5

點評:：雙曲線過焦點的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦

定理得到關(guān)于a,"c的齊次方程，從而得解.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.已知在中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)設(shè)A3=5,求AB邊上的高.

答案：(1)之叵

10

(2)6

(1)根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；

(2)利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求sin8,再由正弦定理求出b,

根據(jù)等面積法求解即可.

【小問1詳解】

A+B=3C，

TT

..71—C=3C,即C=—,

4

又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C),

2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC，

.?.sinAcosC=3cosAsinC,

「.sinA=3cosA,

TT

即tanA=3,所以O(shè)vAv；；,

2

.,sinA3.3710

Vio10

【小問2詳解】

由(1)知，cosA=--^=----，

屈10

2石

由sin8=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC--

<2>/5

,5x----

由正弦定理，-----——,可得人=-3-=2府，

sinCsinBV2

:.-ABh=-ABAC-sinA,

22

h=bsinA=2A/10X=6.

10

18.如圖，在正四棱柱ABC。-A4GA中，AB=2,A41=4.點4，功,G,。2分別在

棱AAj,BB1,CC,,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(1)證明：B2C2//A2D2；

(2)點尸在棱8B1上，當(dāng)二面角P-AZG-A為150。時，求B2P.

答案：(1)證明見解析；

(2)1

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；

(2)設(shè)P(0,2,4)(0?/l?4),利用向量法求二面角，建立方程求出力即可得解.

【小問1詳解】

以C為坐標(biāo)原點，CD,CB,CG所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),&(2,0,2),4(2,2,1),

B)G=(。,—2,1),=(0,-2,1),

B2C2//A2D2,

又B2c2,不在同一條直線上，

,B2C2//A2D2.

【小問2詳解】

設(shè)P(0,2,X)(0</LK4),

則4c2=(-2,-2,2),PC2=(0,-2,3-A),02G=(—2,0,1)，

設(shè)平面P42G的法向量〃=(x，y，z),

n-A2C2=-2%-2y+2z=0

,PC?——2y+(3—A)z—0

令z=2,得y=3_4,x=/l_],

n-(A—1,3—A,2),

設(shè)平面A2C2D2的法向量機(jī)=(a,b,c),

m-AC=-2a-2。+2c=0

則4~

m-D2G=-2a+c=0

令Q=1,得b=l,c=2,

/.m=(1,1,2),

/、n-m__________6

COS(%昉=-H—=|cosl50°|=,

、/n\\m^6^4+(A-1)~+(3-A)2

化簡可得，42-44+3=0,

解得4=1或2=3,

P(0,2,1)或尸(0,2,3),

:.B2P=1.

19.已知函數(shù)〃x)=a(e*+a)-x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

3

(2)證明：當(dāng)。>0時，f(x)>21na+^.

答案：(1)答案見解析

(2)證明見解析

(1)先求導(dǎo)，再分類討論aW0與a>0兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；

(2)方法一：結(jié)合(1)中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為"——Ina>0的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)

2

g(?)=a2-1-ln?(a>0),利用導(dǎo)數(shù)證得g(a)>0即可.

方法二：構(gòu)造函數(shù)〃(%)=6、-%-1,證得6*>x+l，從而得到/(x)>x+lna+l+a2-x,

進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為/Ina〉0的恒成立問題，由此得證.

2

【小問1詳解】

因為/(x)=a(e*+a)r,定義域為R,所以/'(x)=ae*-1,

當(dāng)時，由于e*>0，則ae"0，故/'(x)=ae'—1<0恒成立，

所以/(力在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時，令/'(x)=ae*-l=0,解得x=-lna,

當(dāng)x<—lna時，/,(x)<0,則/(x)在(YO,-Ina)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x>—lna時，/")>0,則/(%)在(—Ina,4oo)上單調(diào)遞增;

綜上：當(dāng)aWO時，/(力在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時,/(力在(TO,-Ina)上單調(diào)遞減,/(力在(-Ina,+8)上單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

方法一：

-lna2

由(1)得，/(x)mii=/(-Intz)=a(e+?)+lna=l+<2+ln?,

3i3o1

要證/(x)>21na+5即證1+。+Intz>2In6?H—,即證----lna>0恒成立,

22

令g(Q)=c/一1-lna(a>0),則g'(〃)=2〃一，=——-，

2aa

令g'(a)<0,則o<&<曰；令g'(a)>0,則”>當(dāng)；

所以g(a)在0,孝］上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

?后

---ln^-=lnV2>0,則g(a)>0恒成立,

所以當(dāng)a>0時，/(x)>21na+Z恒成立，證畢.

2

方法二：

令〃(彳)=/一彳一1,則〃(x)=e*-l,

由于y=e*在R上單調(diào)遞增，所以〃'(X)=e*-1在R上單調(diào)遞增，

又“(O)=e°-l=O,

所以當(dāng)x<0時，/?'(x)<0；當(dāng)x>0時，/(x)>0；

所以/i(x)在(田,0)上單調(diào)遞減，在(0,+?)上單調(diào)遞增，

故〃⑼=0,貝叱2x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立，

因為f(x)=a(e"+a)-x—ae"+a--x—ln,z+ci~一xNx+lna+l+ci~一x,

當(dāng)且僅當(dāng)x+lna=0,即x=-lna時，等號成立，

331

所以要證f(x)>21na+；,即證x+InQ+1+Q2T>21110+5,即證/一5-Ina>0,

令g(a)=/---lntz(tz>0),則gf(a\=2a--=,

2aa

令g'(a)<0,則0<a<也；令g'(a)>0,則。>交；

所以g(a)在o,^-匕單調(diào)遞減，在半，+8上單調(diào)遞增,

應(yīng)丫1無

所以g("L=g———ln*=ln亞>0,則g(a)>0恒成立,

277

3

所以當(dāng)。＞0時，/（x）＞21na+5恒成立，證畢.

H2__1_〃

20.設(shè)等差數(shù)列｛叫的公差為d,且d＞l.令包=------，記S”,7；分別為數(shù)列｛%｝,也｝

的前〃項和.

（1）若3%=3卬+。3,53+7；=21,求｛q｝的通項公式；

（2）若也｝為等差數(shù)列，且599-金=99,求小

答案：（1）?！?3〃

（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式建立方程求解即可；

（2）由｛〃,｝為等差數(shù)列得出e="或q=2d,再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得60-40=1,分

類討論即可得解.

【小問1詳解】

3%=3q+/,.=3d=q+2d,解得ax=d,

S3—34=3(q+d)=6d,

又4=4+偽+-弓+捺+13

」,9

/.邑+4=6dH—=21,

d

即2/—7d+3=0,解得d=3或d(舍去),

2

/.=q+(〃-1)?d=3〃.

【小問2詳解】

{〃,}為等差數(shù)列，

12212

/.2仇=4+仇，即—=—I---,

〃21%

//11、6d1。.

「?6(------)=----=—,即q■o■-3clicI+2d"=0,解得q=d或4=2d,

a

a2%。2〃3\

d>1,>0,

又59一7；9=99,由等差數(shù)列性質(zhì)知，99%）-99%=99,即%。一怎二1，

2550,,

??a5o=1，即/°—%（）—2550=0，解得%（）=51或Go=-5°（舍去）

。50

當(dāng)4=2d時，Go=4+49d=51d=51,解得〃=1,與d>l矛盾，無解；

當(dāng)％=d時，Go=4+49d=50d=51,解得d=—.

50

綜上，d=—.

50

21.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中

則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命

中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為05

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

⑶已知：若隨機(jī)變量X,服從兩點分布，且P（X,=1）=1—P（X,=0）=分1=1,2,…〃

則5.記前〃次（即從第1次到第"次投籃）中甲投籃的次數(shù)為y,求E（Y）.

\/=1）/=1

答案：（1）0.6

(2)

(3)

(1)根據(jù)全概率公式即可求出；

(2)設(shè)P（a）=8,由題意可得回+|=04p,+0.2,根據(jù)數(shù)列知識，構(gòu)造等比數(shù)列即可解

出；

(3)先求出兩點分布的期望，再根據(jù)題中的結(jié)論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出.

【小問1詳解】

記“第i次投籃的人是甲”為事件a，“第i次投籃的人是乙”為事件B,,

所以，尸（鳥）=尸（4鳥）+尸（4坊）=尸（4）尸（為14）+尸（4）產(chǎn)出14）

=0.5x（l-0.6）+0.5x0.8=06

【小問2詳解】

設(shè)P（d）=〃j,依題可知，P（Bj=l-口廠則

尸（4+J=尸（4AM）+P（耳4+J=P（A）尸（AMA）+P（5）尸（4+/片），

即2+1=0.6p,+(l-0.8)x(l-〃J=0.4pj+0.2,

構(gòu)造等比數(shù)列{月+4},

設(shè)化+1+丸=](〃,?十2)，解得a=_；，則P,+i_；=][，,?一；]，

又Pi=',8一!=’，所以[p,一1]是首項為,，公比為2的等比數(shù)列,

2363J65

121rz2Y1

----X-I+-

656573

x<

【小問3詳解】

因為Pj

n

所以當(dāng)〃eN*時,E(y)=Pi+〃2++p“='x+一，

3

故E(y)=a[i-(2]]+-.

18|_l5jJ3

本題第一問直接考查全概率公式的應(yīng)用，后兩問的解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根

據(jù)數(shù)列的基本知識求解.

22.在直角坐標(biāo)系X。)，中，點P到x軸的距離等于點2到點(0,g)的距離，記動點p的軌

跡為W.

(1)求卬的方程；

(2)已知矩形A8C。有三個頂點在W上，證明：矩形A6C。的周長大于3G.

答案：(1)y=x2+—

4

(2)見解析

(I)設(shè)P(x,y),根據(jù)題意列出方程=/,化簡即可；

(2)法一：設(shè)矩形的三個頂點A,Sia<b<c,

分別令原8=。+匕="?<0，怎c=b+c=〃>0，且加〃=一1，利用放縮法得

+設(shè)函數(shù)y(x)=(x+J_](1+V),利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，則得c

的最小值，再排除邊界值即可.

法二：設(shè)直線AB的方程為y=Z(x-a)+/+L,將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長公

4

式和放縮法得|AB|+|AZ)|>利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長最值，再排除邊

界值即可.

法三：利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點，利用三角換元再對角度分類討論，結(jié)合基本不等式即可

證明.

【小問1詳解】

兩邊同平方化簡得,力+；,

設(shè)P(x,y),則3=

故卬：丁=/+上

4

【小問2詳解】

法一：設(shè)矩形的三個頂點+7),3]",。-+[),Cc,c+~^在W上，且a<b<c,

易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0,

--------------=a+b=m<0

b-a

同理令&c=〃+c=〃>。，且/%〃=一1,則相=—

n

設(shè)矩形周長為C,由對稱性不妨設(shè)I)篦閆〃I,k-k=c-a=n-m=n+-,

BCABn

則

1

-C=\AB\+\BC|=0-a)Vl+m2+(c-b^l+n2>(c-a)\ll+n2〃+一J1+/2

2n

〃>0,易知］〃+一A/1+〃2>0

kn

、2、2

則令/(x)=(l+x2),x>0,/(x)=2x+2“一J

X7X7

令r（x）=o,解得》=也

2

當(dāng)xe0,—0<f,f'(x)<0,此時/(x)單調(diào)遞減,

<2,

當(dāng)xe——,+oo,f'(x)>0,此時/(x)單調(diào)遞增,

、2)

則/(X)min=fI~27

T

*苧即八36

ife-C>

2

當(dāng)C=3G時,〃=^-,m=一J5，且(b—a)\l1+ITT-(b-a)。1+,即機(jī)="時等號成

立，矛盾，故C>3j，,

得證.

則設(shè)B4,D4的斜率分別為上和-;，由對稱性，不妨設(shè)網(wǎng)41,

K

71

直線AB的方程為y=-x—Q)+/+—,

4

.1

y=+_

4

則聯(lián)立J