2023教師版 步步高 大二輪 數(shù)學(xué) 新高考四　立體幾何

ZHUANTISI

專題四立體幾何

第1講空間幾何體

［考情分析］空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考

的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式考查，難度中等或偏上.

考點(diǎn)一空間幾何體的折展問題

【核心提煉】

空間幾何體的側(cè)面展開圖

1.圓柱的側(cè)面展開圖是矩形.

2.圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.

3.圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán).

例1(1)“莫言下嶺便無難，賺得行人空喜歡.”出自南宋詩(shī)人楊萬里的作品《過松源晨炊

漆公店》.如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為40km,山高為

404石km,B是山坡SA上一點(diǎn)，且AB=40km.為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條從A到8的環(huán)

山觀光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，下坡路段長(zhǎng)為()

A.60kmB.12^6km

C.72kmD.\2y［\5km

答案C

解析該圓錐的母線長(zhǎng)為N(40W^)2+4()2=160,

所以圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為壽鏟勺扇形,

如圖，展開圓錐的側(cè)面，連接A'B,

A'K

SBA

由兩點(diǎn)之間線段最短，知觀光公路為圖中的A'B,A'B=yjSA'2+SB2=AJ1602+1202=200,

過點(diǎn)S作A'B的垂線，垂足為H,

記點(diǎn)P為A'B上任意一點(diǎn)，連接PS,當(dāng)上坡時(shí)，P到山頂S的距離PS越來越小，當(dāng)下坡

時(shí)，P到山頂S的距離PS越來越大，

則下坡段的公路為圖中的H8,

由Rt^SA'BsRtAHSB,

他SB21202

侍/7B=A7-B=20072（km）-

（2）（2022?深圳檢測(cè)）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC=小，AB=\,AD=\,

AB±AC,ABLAD,ZCAE=30°,則cosN尸CB等于（）

11-33

A.2B.gC.gD.]

答案D

解析由題意知，AE—AD—AB—X,BC—2,

在中，由余弦定理知，

CE2=AE2+AC2-2AEACcosZCAE

、巧

=l+3-2XlX#X^-=l,

：.CE=CF=\,而BF=BD=巾,BC=2,

.?.在△BCF中，由余弦定理知，

BG+Cl^—BF24+1—23

cosZFCB=2BCCF—=2X2X1，

規(guī)律方法空間幾何體最短距離問題，一般是將空間幾何體展開成平面圖形，轉(zhuǎn)化成求平面

中兩點(diǎn)間的最短距離問題，注意展開后對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)和邊.

跟蹤演練1（1）（多選）如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法中

正確的是（）

CA

A.CRGH

B.CD與EF是共面直線

C.AB//EF

D.GH與M是異面直線

答案ABD

解析由圖可知，還原正方體后，點(diǎn)C與G重合，

即CWGH,

又可知CO與E尸是平行直線，即C。與E廠是共面直線，AB與E尸是相交直線（點(diǎn)8與點(diǎn)尸

重合），GH與EF是異面直線，故A,B,D正確，C錯(cuò)誤.

（2）如圖，在正三棱錐P-ABC中，ZAPB=ZBPC=ZCPA=30°,PA=PB=PC=2,一只蟲

子從4點(diǎn)出發(fā)，繞三棱錐的三個(gè)側(cè)面爬行一周后，又回到A點(diǎn)，則蟲子爬行的最短距離是（）

答案D

解析將三棱錐由物展開，如圖所示，則NAah=90。,

所求最短距離為A4i的長(zhǎng)度，?.?唐=2,

...由勾股定理可得

AA\=\22+22=2^2.

，蟲子爬行的最短距離為2吸.

考點(diǎn)二表面積與體積

【核心提煉】

1.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積

（1）53）柱側(cè)=2兀兒S/柱表=2兀&?+/）（r為底面半徑，I為母線長(zhǎng)）.

（2）S215MM="/,S/鯉表=”（，?+/）（，為底面半徑，/為母線長(zhǎng)）.

（3）S球表=4兀/?2柒為球的半徑）.

2.空間幾何體的體積公式

（1）丫柱=5力（5為底面面積，h為高）.

（2）V抒=]S/z（S為底面面積，/z為高）.

（3）巾6=g（S上+、S上S+S"（S上,SF為底面面積，〃為高）.

4

⑷憶產(chǎn)開心但為球的半徑）.

例2（1）（2022.全國(guó)甲卷）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)

面積分別為S中和5乙，體積分別為V中和V乙若*=2,則會(huì)等于（）

3乙7乙

A邛B.2y[2C.V10

答案C

解析方法一因?yàn)榧?、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，所以結(jié)合各=2,可知甲、乙兩個(gè)圓錐

側(cè)面展開圖的圓心角之比是2：1.

不妨設(shè)兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為/=3,甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為打，72,高分別為歷，

〃2,

則由題意知，兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好可以拼成一個(gè)周長(zhǎng)為6兀的圓，

所以2n,1=4兀，2兀/"2=27：,得八=2,,-2=1.

由勾股定理得，

h\=ylP—ry=y[5,h?=木=H=2巾.,

V甲甲齊〃1

所以

V乙一1

于,

方法二設(shè)兩圓錐的母線長(zhǎng)為/,甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為n,r2,高分別為小，力2,

側(cè)面展開圖的圓心角分別為〃2,

M.I占S目?！?2兀

則由&一〃2/_也進(jìn)—2，

27r

%琮=2

由題意知〃1+改=2兀,

所以，?1=彗，?2=y,

47t27r

所以2兀門=丁/,2nr2=~l,

得力=|/,r2=|/.

由勾股定理得，加=4百=雪/,

hi—yjp—riI,

斫,"單軸小4小r-

所以I_L，/一2曠加

（2）（多選）（2022.新高考全國(guó)H）如圖，四邊形4BCO為正方形，EOJ_平面ABC。，F(xiàn)B//ED,

AB=ED=2FB.記三棱錐E—AC。，F(xiàn)-ABC,F-ACE的體積分別為％,V2,3,貝4（）

A.V3=2V2B.V3=Vi

C.V3=Vi+V2D.2V3=3W

答案CD

解析如圖，連接BZ）交AC于O,連接OE,OF.

設(shè)AB=ED=2FB=2,

則AB=BC=CD=AD=2,

FB=1.

因?yàn)镋￡>_L平面ABC。，F(xiàn)B//ED,

所以尸8_L平面ABCD,

所以■=VE-ACD=^S&ACD-EO=：XCDE￡)=《X；X2義2義2=4，

丫2—VF-ABC=^S^ABC-FB=；X^AB-BCFB=TX^X2X2X1=^.

因?yàn)镋D_L平面ABC。，ACU平面ABC。，

所以ED±AC,

^ACLBD,

且E￡>nB￡>=。，ED,B￡>U平面BQEF,所以AC_L平面BOEF.

因?yàn)镺E,。/u平面8OEF,

所以AC1_OE,ACLOF.

易知AC=BD=^AB=2版

OB=OD=^BD=yf2,

OF=yjOB2+FB2=-^3,

OE=7O4+ED2=#,

EF=yjBD2+(ED-FB)2

=、(2啦)2+(2-1)2=3,

所以E/MO戌+O產(chǎn)，所以O(shè)F_LOE.

又OECAC=O,OE,ACU平面ACE,

所以。尸，平面ACE,

所以V3=VF-ACE=^SAACE-OF

=gx；ACO￡OF

=京卜2吸義,乂木=2,

所以匕W2v2,Vi^V3,3=弘+笆,2匕=3匕，

所以選項(xiàng)A,B不正確，選項(xiàng)C,D正確.

規(guī)律方法空間幾何體的表面積與體積的求法

(1)公式法：對(duì)于規(guī)則的幾何體直接利用公式進(jìn)行求解.

(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，或把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不

熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體.

(3)等體積法：選擇合適的底面來求體積.

跟蹤演練2(1)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線S4,S8所成角的余弦值為《7，弘與圓錐底面所成

O

角為45。，若△SAB的面積為5灰，則該圓錐的側(cè)面積為()

A.8(A/2KB.40

C.4M兀D.4即兀

答案C

解析由圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,S3所成角的余弦值為提7

O

V15

可得sin/AS5=

8

又△SAB的面積為5仃，

可得;S/PsMNASB=5仃,

1近

即

-幺2X

28=5灰，可得SA=4小,

由SA與圓錐底面所成角為45。，

可得圓錐的底面半徑為乎X44=2回,

則該圓錐的側(cè)面積為nX2s5X4小=40血兀

(2)(2022?連云港模擬)如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是1和2,則該

圓臺(tái)的體積是()

答案B

解析如圖，設(shè)上底面的半徑為r,下底面的半徑為R,高為〃，母線長(zhǎng)為/,

則2兀r=兀?1,2兀/?=兀2

解得r=3，R=l,

/=2-1=1,

上底面面積S'=*

下底面面積5=兀?12=兀,

則該圓臺(tái)的體積為g（S+S'+小/）/1=

小7仍兀

考點(diǎn)三多面體與球

【核心提煉】

求空間多面體的外接球半徑的常用方法

（1）補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長(zhǎng)

方體中去求解；

（2）定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，

找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.

例3（1）（2022?煙臺(tái)模擬）如圖，三棱錐V—A8C中，四_L底面ABC,/BAC=90。，AB=AC

=3=2,則該三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）

（2一?。?（2小一3）：1

（小-1）：3（小一1）:2

答案C

解析因?yàn)轫輄L底面ABC,A8,ACU底面ABC,

所以VA±AB,VA1AC,

又因?yàn)镹BAC=90。，

所以AB_LAC,而AB=AC=%=2,

所以三條互相垂直且共頂點(diǎn)的棱，可以看成正方體中共頂點(diǎn)的長(zhǎng)、寬、高，因此該三棱錐外

接球的半徑

R=gX-\/22+22+22=A/3,

設(shè)該三棱錐的內(nèi)切球的半徑為r,

因?yàn)镹BAC=90。，

所以BC^yjAB^AC2-^22+22=2小,

因?yàn)閁4_L4B,VA±AC,AB=AC=VA=2,

所以VB=VC^yjVA2+AB2^^/22+22-2y[2,

由三棱錐的體積公式可得，

3x|x|x2X2-r+|x|x2V2X2V2X^r=1x|x2X2X2=>r=^Y^,

3—*\/3

所以r：^3=（^3-1）:3.

（2）（2022.新高考全國(guó)H）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為3小和4小，其頂點(diǎn)

都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.100兀B.1287t

C.144nD.1927t

答案A

解析由題意，得正三棱臺(tái)上、下底面的外接圓的半徑分別為如乎X3小=3,|x乎X4小

=4.

設(shè)該棱臺(tái)上、下底面的外接圓的圓心分別為0|,。2,連接0。2（圖略），則。。2=1,其外接

球的球心。在直線0。2上.

設(shè)球。的半徑為R,當(dāng)球心O在線段002上時(shí)，/?2=32+00?=42+（1-<?01）2,

解得。0|=4（舍去）；

當(dāng)球心。不在線段。。2上時(shí)，R2=42+O（^=32+（1+OC>2）2.解得。。2=3,

所以心=25,

所以該球的表面積為4兀k=100兀

綜上，該球的表面積為100兀.

規(guī)律方法（1）求錐體的外接球問題的一般方法是補(bǔ)形法，把錐體補(bǔ)成正方體、長(zhǎng)方體等求解.

（2）求錐體的內(nèi)切球問題的一般方法是利用等體積法求半徑.

跟蹤演練3（1）（2022.全國(guó)乙卷）已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)

均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

11

AjB.2

答案c

解析該四棱錐的體積最大即以底面截球的圓面和頂點(diǎn)。組成的圓錐體積最大.

設(shè)圓錐的高為〃(()</?<1),底面半徑為r,

則圓錐的體積丫=；兀/力=§兀(1—〃2)/?,

則V=；兀(1一3")，

令V兀(1-3?)=0,得力=坐,

所以V=%(1一爐)/7在(0,由)上單調(diào)遞增，

在停，1)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)/7=半時(shí)，四棱錐的體積最大.

(2)(2022.衡水中學(xué)調(diào)研)將兩個(gè)一模一樣的正三棱錐共底面倒扣在一起，已知正三棱錐的側(cè)棱

長(zhǎng)為2,若該組合體有外接球，則正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為,該組合體的外接球的體

積為.

答案乖"7

解析如圖，連接外交底面BCO于點(diǎn)O,則點(diǎn)。就是該組合體的外接球的球心.

設(shè)三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,

則CO=PO=R=手a,

得也X乎a=2,

所以。=#,R=也,

所以丫=%.(g)3="^兀

專題強(qiáng)化練

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2022?唐山模擬）圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比

值為（）

A.1：1B.1：2

C.2：1D.2：3

答案A

解析設(shè)球的半徑為r,依題意知圓柱的底面半徑也是r,高是2r,圓柱的側(cè)面積為2m2r

=4兀/，球的表面積為4兀戶，其比例為1：1.

2.（2021.新高考全國(guó)I）已知圓錐的底面半徑為噌，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的

母線長(zhǎng)為（）

A.2B.2yliC.4D.46

答案B

解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,因?yàn)樵搱A錐的底面半徑為地，所以2兀/&=兀/,解得/=2吸.

3.某同學(xué)為表達(dá)對(duì)“新冠疫情”抗疫一線醫(yī)護(hù)人員的感激之情，親手為他們制作了一份禮物，

用正方體紙盒包裝，并在正方體六個(gè)面上分別寫了“致敬最美逆行”六個(gè)字.該正方體紙盒

水平放置的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如圖是該正方體

的展開圖.若圖中“致”在正方體的后面，那么在正方體前面的字是（）

A.最B.美C.逆D.行

答案B

解析把正方體的表面展開圖再折成正方體，如圖，面“致”與面“美”相對(duì)，若“致”在

正方體的后面，那么在正方體前面的字是“美”.

4.已知正方體A8CD—ABGOi的棱長(zhǎng)為2,則三棱錐的體積為（）

48

A.§BjC.4D.6

答案B

解析如圖，三棱錐A-BICCI是由正方體ABCQ-ABiCQi截去四個(gè)小三棱錐A-A1,

C-BCD,Bt-ABC,OLACZ）形成的,

DC

A

G

A

又匕IBCO-4B|GDI=2^=8，

匕-4取力一匕Jgca-V^-ABC-VQ-ACD

114

=3X2X23=3,

48

所以匕-83=8-4X3=?

5.(2022?河南聯(lián)考)小李在課間玩耍時(shí)不慎將一個(gè)籃球投擲到一個(gè)圓臺(tái)狀垃圾簍中，恰好被上

底口(半徑較大的圓)卡住，球心到垃圾簍底部的距離為5?而小垃圾簍上底面直徑為24a,下

底面直徑為18〃，母線長(zhǎng)為13“，則該籃球的表面積為()

A.154兀a2B.^^rta2

C.308M2D.616m2

答案D

解析球與垃圾簍組合體的軸截面圖如圖所示.根據(jù)題意，設(shè)垃圾簍的高為兒則

h==(13a)2-(12a—9a)2-4yf\(ja.

所以球心到上底面的距離為4而4.

設(shè)籃球的半徑為r,

則r2=10a2+(12a)2=154a2.

故籃球的表面積為4兀戶=616*2.

6.(2022?湖北聯(lián)考淀義:24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度.其中小雨(<10mm),

中雨(10mm?25mm),大雨(25mm?50mm),暴雨(50mm?100mm),小明用一個(gè)圓錐形容

器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)()

A.小雨

C.大雨D.暴雨

答案B

解析由題意知，一個(gè)半徑為竽=100（mm）的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為等X指=

50(mm),高為150(mm)的圓錐，

|TTX502X150

所以積水厚度~k~=12.5(mm),屬于中雨.

TlX10(J-

7.（2022?八省八校聯(lián)考）如圖，已知正四面體A8C。的棱長(zhǎng)為1,過點(diǎn)B作截面a分別交側(cè)棱

AC,AD于￡尸兩點(diǎn)，且四面體ABEF的體積為四面體ABC。體積的小則EF的最小值為（）

答案D

解析由題知VB-AE尸=3力-從(7)，

所以SAAEF=|SAACD=|XIX1X1X

記EF=a,AE=b,AF=c,

則，csin600=興,即bc=*

貝ija2=b2+c2—2/?ccos60°N2bc——/?c=bc=g,

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=半時(shí)取等號(hào)，

所以。即EF的最小值為半

8.（2022?新高考全國(guó)I）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體

積為36兀，且3W/W3小，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

答案C

解析方法一如圖，設(shè)該球的球心為O,半徑為R,正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為。，高為/?,

6W）

_4

依題意，得36兀=鏟/?3,

解得R=3.

7=?+俘，2,

由題意及圖可得彳

R2=（h—R）2+（當(dāng)a）,

LPI2

解得1尸

*=2/2-萩，

I1o

所以正四棱錐的體積V^a2h

=I（2"僦=&d）（3WH琬）,

所以V'=/——§（3</W35）.

令V=0,得/=2而，

所以當(dāng)3W/<2#時(shí)，Vz>0；

當(dāng)2加</<3小時(shí)，V<0,

所以函數(shù)丫=6（2一得）（304?。┰冢?,2班）上單調(diào)遞增,

在（2班,3小」上單調(diào)遞減,

27

又當(dāng)/=3時(shí)，曠=①；

當(dāng)/=2加時(shí)，V=—；

Q1

當(dāng)/=3小時(shí)，V=Y>

「2764]

所以該正四棱錐的體積的取值范圍是_了，5_?

方法二如圖，設(shè)該球的球心為O,半徑為七正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為〃，高為九

4

依題意，得36兀=鏟R3,

解得R=3.

7=/?+停，2,

由題意及圖可得<

R2=(h_R)2+愕a

「,尸尸

.一方=不

解曾M

[標(biāo)=2?-南

又3W/W3小，

所以該正四棱錐的體積V=|a2/i

=歌-旗=&一合

=72義奈奈2一給

W72X腎(+(2—郵=與

L3J

(當(dāng)且僅當(dāng)玄=2—即/=2玳時(shí)取等號(hào))，

64

所以正四棱錐的體積的最大值為半，排除A,B,D.

方法三如圖，設(shè)該球的半徑為七球心為。，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為“，高為/?,正四棱錐

的側(cè)棱與高所成的角為仇

p

依題意，得36兀=飆3,

解得R=3,所以正四棱錐的底面邊長(zhǎng)a=g/sin仇高h(yuǎn)=Icos。.

在△OPC中，作OEJ.PC,垂足為E,

_/

則可得COSI，坐,

所以/=6cos0,

所以正四棱錐的體積

V=^a2h=^(-\/2/sin步/cos0

=2（6COS0）3sin20cos0=144（sin0cos20）2.

設(shè)sin夕=/,易得/￡坐］,

則y=sin0cos20=r（l—F）=/一戶，

貝叮'=1一3於.令）,，=o,得—半，

所以當(dāng);<70尊時(shí)，y'>0；

當(dāng)日時(shí)，y'<0,

所以函數(shù)y=f一2在（；，室）上單調(diào)遞增，在停坐）上單調(diào)遞減.

又當(dāng)片當(dāng)時(shí)，y=羋；當(dāng)T時(shí)，y=］；

當(dāng)尸田時(shí)，y邛,

所以坐WyW乎，所以孑WVW竽.

所以該正四棱錐的體積的取值范圍是匡y］.

二、多項(xiàng)選擇題

9.（2022?武漢模擬）一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等,

下列結(jié)論正確的是（）

A.圓柱的側(cè)面積為4兀7?2

B.圓錐的側(cè)面積為2兀審

C.圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等

D.球的體積是圓錐體積的兩倍

答案ACD

解析對(duì)于A,?.?圓柱的底面直徑和高都等于2R,

圓柱的側(cè)面積多=2成-2/?=4欣2,故A正確；

對(duì)于B,：圓錐的底面直徑和高等于2R,

.?.圓錐的側(cè)面積為

S2="RA/R2+4N=小兀R2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,圓柱的側(cè)面積為S=4TTR2,

球的表面積S3=47tR2,即圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等，故C正確；

4

對(duì)于D,球的體積為丫1=鏟/?3,

12

圓錐的體積為丫2=1兀/&2/?=］火/?3,

即球的體積是圓錐體積的兩倍，故D正確.

10.設(shè)一空心球是在一個(gè)大球（稱為外球）的內(nèi)部挖去一個(gè)有相同球心的小球（稱為內(nèi)球），已知

內(nèi)球面上的點(diǎn)與外球面上的點(diǎn)的最短距離為1,若某正方體的所有頂點(diǎn)均在外球面上且所有

面均與內(nèi)球相切，則（）

A.該正方體的棱長(zhǎng)為2

B.該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為3+5

C.空心球的內(nèi)球半徑為小一1

D.空心球的外球表面積為（12+65）兀

答案BD

解析設(shè)內(nèi)、外球半徑分別為r,R,則正方體的棱長(zhǎng)為2r,體對(duì)角線長(zhǎng)為2R,.../?=小/，

又由題知R—r—},

?V3±3

,??2，k2'

...正方體棱長(zhǎng)為，5+1,體對(duì)角線長(zhǎng)為3+小，

外接球表面積為4兀/?2=（12+期）兀

11.如圖，已知四棱臺(tái)ABCD-A\B\C\D\的上、下底面均為正方形，其中AB=2?AiB產(chǎn)小,

AA\-BB\—CC\=DD\—2,則下列敘述正確的是（）

A.該四棱臺(tái)的高為小

B.AAiLCCi

C.該四棱臺(tái)的表面積為26

D.該四棱臺(tái)外接球的體積為竽

答案AD

解析將四棱臺(tái)補(bǔ)為如圖所示的四棱錐分別取8C,BG的中點(diǎn)E,Ei,

記四棱臺(tái)ABC。一4BC5的上、下底面中心分別為。”0,連接AC,AiCi,BD\,BQ,

A。，OE,OP,PE,

由條件知4,Ci,。分別為四棱錐的側(cè)棱南，PB,PC,PO的中點(diǎn)，

則以=2A4|=4,OA.=~^AB=y[lA\B\=2,

所以001=；PO=W%2一％2=小,

故該四棱臺(tái)的高為S，故A正確；

由%=PC=4,AC=4,得△R1C為正三角形，

則A4i與CG所成角為60°,故B錯(cuò)誤；

四棱臺(tái)的斜高〃^PE^PO^OE2

=卻(2小叩的2=卑

所以該四棱臺(tái)的表面積為

(26)2+(的2+4XX華

=10+60，故c錯(cuò)誤；

由△出C為正三角形，易知OA|=OA=OC=OC1,OBi=ODi=OB=OD,

所以。為四棱臺(tái)外接球的球心，且外接球的半徑為2,所以該四棱臺(tái)外接球的體積為與X23

=等，故D正確.

12.（2022?聊城模擬）用與母線不垂直的兩個(gè)平行平面截一個(gè)圓柱，若兩個(gè)截面都是橢圓形狀,

則稱夾在這兩個(gè)平行平面之間的幾何體為斜圓柱.這兩個(gè)截面稱為斜圓柱的底面，兩底面之

間的距離稱為斜圓柱的高，斜圓柱的體積等于底面積乘以高.橢圓的面積等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短

半軸長(zhǎng)乘積的兀倍，已知某圓柱的底面半徑為2,用與母線成45。角的兩個(gè)平行平面去截該圓

柱，得到一個(gè)高為6的斜圓柱，對(duì)于這個(gè)斜圓柱，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.底面橢圓的離心率喈

B.側(cè)面積為246兀

C.在該斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的表面積為36兀

D.底面積為4g兀

答案ABD

解析不妨過斜圓柱的最高點(diǎn)。和最低點(diǎn)B作平行于圓柱底面的截面圓，夾在它們之間的幾

何體是圓柱，如圖，矩形A8CD是圓柱的軸截面，平行四邊形BEDE是斜圓柱的過底面橢圓

的長(zhǎng)軸的截面，

由圓柱的性質(zhì)知/ABF=45。，

貝IBF=@AB,

設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2m短軸長(zhǎng)為26,

貝（I2a=yf2-2b,a—yf2b,

所以離心率為e=。等,A正確；

作EG±BF,垂足為G,則EG=6,

易知NEBG=45。，則BE=M，

又CE=AF=AB=4,

所以斜圓柱側(cè)面積為S=2;rX2X（4+6?）一2兀X2X4=24虛兀，B正確；

由于斜圓柱的兩個(gè)底面的距離為6,而圓柱的底面直徑為4,所以斜圓柱內(nèi)半徑最大的球的半

徑為2,球的表面積為4兀X22=16兀，C錯(cuò)誤；

易知2b=4,則b=2,a=2y[2,

所以橢圓面積為?！?。=4/兀，D正確.

三、填空題

13.（2022?湘潭模擬）陀螺是中國(guó)民間的娛樂工具之一，也叫做陀羅.陀螺的形狀結(jié)構(gòu)如圖所示,

由一個(gè)同底的圓錐體和圓柱體組合而成，若圓錐體和圓柱體的高以及底面圓的半徑長(zhǎng)分別為

hi，hz，r,且h\—h2—r,設(shè)圓錐體的側(cè)面積和圓柱體的側(cè)面積分別為Si和S2,則￡=.

答案當(dāng)

解析由題意知,

圓錐的母線長(zhǎng)為/=用〃計(jì)戶=極,

則圓錐的側(cè)面積為Si=Ttrl=y[2m2,

根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，可得圓柱的側(cè)面積為

52=2兀歷2=2兀3，所以稱?=平.

14.（2022?福州質(zhì)檢）在正三棱柱ABC—481cl中，A8=44i=2,F是線段4田上的動(dòng)點(diǎn)，

則AF+FQ的最小值為.

答案#+啦

解析依題意，把正三棱柱ABC—481G的上底面與側(cè)面矩形放在同一平

面內(nèi)，連接AG,設(shè)AG交于點(diǎn)凡如圖,

此時(shí)點(diǎn)F可使AF+FG取最小值，大小為AG,而NA4Ci=150。,

則ACi=^A4HAiC?-2A4rAiCicosZAAiCi

=^/22+22-23cos150°

=、8+4小=_\/^+"75,

所以AF+尸G的最小值為#+啦.

15.某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)實(shí)心工藝品（如圖所示）.該工藝品可以

看成是一個(gè)球體被一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體的6個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重

合），其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為3兀，則該球的半徑為；現(xiàn)給出定義：球面被平面所

截得的一部分叫做球冠.截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠

的高.如果球面的半徑是R,球冠的高是〃，那么球冠的表面積計(jì)算公式是5=2兀出.由此可

知，該實(shí)心工藝品的表面積是________.

54

答

案

2一727T

解析設(shè)截面圓半徑為r,則球心到某一截面的距離為正方體棱長(zhǎng)的一半，即此距離為2,根

據(jù)截面圓的周長(zhǎng)可得3兀=2”,得—本

故k=產(chǎn)+22=亳得R=|,

所以球的表面積S=25兀

如圖，OA=OB=|,且00尸2,

則球冠的高h(yuǎn)=R~OO\=^

得所截的一個(gè)球冠表面積5=2兀出=2兀乂曰><]=M且截面圓的面積為兀x（*=當(dāng)，

乙乙乙/4

16.（2022?開封模擬）如圖，將一塊直徑為2小的半球形石材切割成一個(gè)正四棱柱，則正四棱柱

的體積取最大值時(shí)，切割掉的廢棄石材的體積為.

答案2小汽—4

解析設(shè)正四棱柱的底面正方形邊長(zhǎng)為。，高為兒則底面正方形的外接圓半徑/=多,

/.屈+/=fj2-\--a23,

：.a2=6-2h2,

，正四棱柱的體積V=crh=(6—2lr)h=-2/?3+6/?(0</?<^3),

/.V'=-6/z2+6=—6(/z+l)(//—1),

.?.當(dāng)(x〃<i時(shí)，V>o；當(dāng)1<〃<小時(shí)，V<o；

；.^=一2〃3+6力在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,4)上單調(diào)遞減,

.,.Vnm=V(l)=4,

又半球的體積為京x(小)3=2#兀，

切割掉的廢棄石材的體積為2小兀-4.

第2講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

［考情分析］高考對(duì)此部分的考查，一是空間線面關(guān)系的命題的真假判斷，以選擇題、填空

題的形式考查，屬于基礎(chǔ)題；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，一

般以選擇題、填空題或解答題的第（1）問的形式考查，屬中檔題.

考點(diǎn)一空間直線、平面位置關(guān)系的判定

【核心提煉】

判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法

（1）根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷，解決問題.

（2）必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關(guān)系，并

結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷.

例1（1）（多選）已知〃?，〃是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的

是（）

A.若a〃夕，%Ua,則

B.若in//n,nA.fi,貝!Ia〃/?

C.若a_L夕，“Ua,“u夕，則m_L〃

D.若m_La,m//n,n//p,則aJ■尸

答案BD

解析A選項(xiàng)，兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線，可能平行，或者異面，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，若nip,則直線，小〃對(duì)應(yīng)的方向向量機(jī)，”可看作a,4的法向量，由于機(jī)〃”，

又a,￡是兩個(gè)不同的平面，則a〃￡,故B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)，若兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩個(gè)平面交線的直線才垂直于另一個(gè)平

面，從選項(xiàng)中無法判斷〃?，”和交線的位置關(guān)系，因此〃?，〃可能相交但不垂直，平行，異面

但不垂直，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，若mClfj,又根據(jù)面面垂直的判定定理，即有a邛,若由于”?〃〃，〃〃產(chǎn),

則〃1〃￡,過，"任作一個(gè)平面，使其和//相交于直線c,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，m//c,

又"?J_a,則c_La,結(jié)合cU￡,即故D選項(xiàng)正確.

（2）（多選）（2022.金麗衢十二校聯(lián)考）每個(gè)面均為正三角形的八面體稱為正八面體，如圖.若點(diǎn)

G,H,M,N分別是正八面體4BCDEF的棱OE,BC,AD,B尸的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的

是（）

E

A.四邊形AECF是平行四邊形

B.GH與MN是異面直線

C.GH〃平面EA8

D.GHLBC

答案AC

解析連接AC,EF,BD,MH,EH,EM,則AC與E尸相交且相互平分，故四邊形AECF

為平行四邊形，故A正確；

所以4E〃C尸.又G,H,M,N分別是正八面體ABCDEF的棱OE,BC,AD,BF的中點(diǎn)，

所以GM〃AE,NH//CF,

且GM=；AE,NH=^CF,

所以GM〃NH,且GM=NH,

所以四邊形MNHG是平行四邊形，故B錯(cuò)誤；

易證平面MNHG〃平面EAB,

又GHU平面MNGH,

所以GH〃平面E48,故C正確；

因?yàn)镋，_L8C,MHLBC,EHQMH=H,

所以BC_L平面EMH,

而GHQ平面EMH,GHCEH=H,

所以GH與BC不垂直，故D錯(cuò)誤.

規(guī)律方法對(duì)于線面關(guān)系的存在性問題，一般先假設(shè)存在，然后再在該假設(shè)條件下，利用線

面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足，則假設(shè)成立；

若得出矛盾，則假設(shè)不成立.

跟蹤演練1（1）（多選）（2022?湖南師大附中模擬）在長(zhǎng)方體ABCQ-ASGA中，直線AC與

平面的交點(diǎn)為M,O為線段的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.A,M,O三點(diǎn)共線

B.M,O,Ai，A四點(diǎn)共面

C.B,Bi,0,M四點(diǎn)共面

D.A,0,C,M四點(diǎn)共面

答案ABD

解析如圖，因?yàn)锳4i〃CG,則A,Ai,G,C四點(diǎn)共面.

因?yàn)镸C4C,所以MG平面ACG4,又例?平面ABIDI,則點(diǎn)M在平面ACG4與平面

ABxD\的交線上,

同理，0,A也在平面ACGAi與平面ABIOI的交線上，

所以A,M,。三點(diǎn)共線，從而M,0,Ai,A四點(diǎn)共面，A,0,C,M四點(diǎn)共面.

由長(zhǎng)方體性質(zhì)知，0M,88是異面直線，即B,Bi,0,M四點(diǎn)不共面.

(2)設(shè)點(diǎn)E為正方形A8C。的中心，M為平面A3C。外一點(diǎn)，為等腰直角三角形，且

ZMAB=90°,若尸是線段例8的中點(diǎn)，則()

A.MEWDF,且直線ME,。尸是相交直線

B.尸，且直線ME,。尸是相交直線

C.MEWDF,且直線ME,。尸是異面直線

D.ME=DF,且直線ME,。尸是異面直線

答案B

解析連接EF,

如圖所示，

由題意知AB_LA。，

AB±AM,AM=AD,

A8=AB,

所以BM=BD,

因?yàn)镋,尸分別為BD,8M的中點(diǎn)，則EF//DM,

因?yàn)镕M=，M=；BD=DE,

故四邊形是等腰梯形，

所以ME=Z)F,且直線ME,。尸是相交直線.

考點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系

【核心提煉】

平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

面面平行的判定

面面平行的性質(zhì)

面面垂克的判定

面面垂直的性質(zhì)

例2如圖，四邊形A4iGC為矩形，四邊形CG88為菱形，且平面CGBiB,平面A4CC，

D,E分別為邊4B”GC的中點(diǎn).

(1)求證：8GJ_平面A8C；

(2)求證：OE〃平面ABC.

證明(1)；四邊形A4CC為矩形，

：.ACA-C\C,

又平面CGB山，平面AAiGC,

平面CGB山A平面AA\C\C=CC\,

；.AC_L平面CCiBiB,

平面CG8B,：.AC±CiB,

又四邊形CG5B為菱形，/.BICIBCI,

'：B\Cr\AC=C,ACU平面ABC,

BiCU平面ABiC,

，BCi_L平面AB\C.

(2)如圖，取A4i的中點(diǎn)凡連接OF,EF,

?.?四邊形A4GC為矩形，E,F分別為CiC,A4的中點(diǎn)，

：.EF//AC,又ERI平面ABC,ACU平面A8C,

〃平面ABtC,

同理可得。F〃平面ABC,

EFnDF=F,EFU平面DEF,DFU平面DEF,：.平面DEF//平面ABiC,

:DEC平面DEF,：.OE〃平面ASC.

規(guī)律方法(1)證明線線平行的常用方法

①三角形的中位線定理；②平行公理；③線面平行的性質(zhì)定理；④面面平行的性質(zhì)定理.

(2)證明線線垂直的常用方法

①等腰三角形三線合一；②勾股定理的逆定理；③利用線面垂直的性質(zhì)證線線垂直.

跟蹤演練2(2022?西安模擬)如圖，在直三棱柱ABC—4BiG中，M,N分別是線段48,

AG的中點(diǎn).

⑴求證：MN±AAn

(2)在線段8G上是否存在一點(diǎn)P,使得平面MNP〃平面ABC?若存在，指出點(diǎn)P的具體位

置；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(1)證明連接4C,如圖，因?yàn)樵谥比庵鵄BC—AiBG中，A4CC為平行四邊形，

故4C和AG相交，且交點(diǎn)為它們的中點(diǎn)N,

又因?yàn)镸為Ai8的中點(diǎn)，

所以MN為△AiBC的中位線，

所以MN//BC.

因?yàn)锳A_L平面ABC,BCU平面ABC,

所以44i_LBC,所以AA」MV,

即MNLAAt.

⑵解存在，當(dāng)P為8G的中點(diǎn)時(shí)，

平面MNP〃平面ABC.

連接*V,PM,如圖，

因?yàn)镹為AG的中點(diǎn)，P為8Ci的中點(diǎn),

所以PN//AB,

又PNQ平面ABC,

A8U平面ABC,

所以尸N〃平面ABC,

又由（1）知MN〃BC,BC<=平面ABC,

MNC平面ABC,故MN〃平面ABC,

又MNCPN=N,MN,PNU平面PMN,

所以平面MNP〃平面ABC.

考點(diǎn)三翻折問題

【核心提煉】

翻折問題，關(guān)鍵是分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變，一般地，位于“折痕”

同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位

置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖

形中解決.

例3（1）（2022?南寧模擬）己知正方形ABC3中E為AB中點(diǎn)，”為AO中點(diǎn)，F(xiàn),G分別為

BC,CO上的點(diǎn)，CF=2FB,CG=2GD,將△ABO沿著8。翻折得到空間四邊形4BCC,則

在翻折過程中，以下說法正確的是（）

A.EF//GHB.EF與G”相交

C.EF與GH異面D.EH與FG異面

答案B

解析如圖，由CF=2FB,CG=2GD,

得FG//BD且FG=|B。，

由E為A8中點(diǎn)，H為AD中點(diǎn)，

得EH//BD且EH=：BD,

所以EH〃FG,且EHWFG,

所以四邊形EFG”為梯形.

梯形EFGH的兩腰E凡“G延長(zhǎng)必交于一點(diǎn)，

所以E尸與G”相交，EH與FG平行,

故選項(xiàng)A,C,D不正確，選項(xiàng)B正確.

B

（2）（多選）（2022?山東名校大聯(lián)考）如圖，在矩形ABC。中，AB=2AD,E為邊A8的中點(diǎn)，將

△AOE沿直線OE翻折成△4QE.若M為線段AC的中點(diǎn)，則在△AOE翻折的過程中，下面

四個(gè)命題中正確的是（）

A.的長(zhǎng)是定值

B.點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡在某個(gè)圓周上

C.存在某個(gè)位置，使OE_L4c

D.Ai不在底面BCD上時(shí)，MB〃平面AQE

答案ABD

解析如圖所示，取C。的中點(diǎn)F,

連接MF,BF,AC,

AEB

易得M/〃4。，BF//DE,

平面AQE,4OU平面AQE,

〃平面A?DE,

同理可得B尸〃平面A0E,

又MFClBF=F,MF,B/U平面BM尸，

平面BMF〃平面AiOE,

：BA/U平面BMF,

〃平面AQE,D選項(xiàng)正確；

又NBFM=NAiDE,

定值，BF=DE=定值，

由余弦定理知，

MB。=MF1+BF2-IMF-BF-cosZMFB,

.?.8M為定值，A選項(xiàng)正確；

...點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)8為圓心，為半徑的圓周上，B選項(xiàng)正確；

?.?AC在平面ABCD中的射影在直線AC上，且AC與QE不垂直，

不存在某個(gè)位置，使C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

易錯(cuò)提醒注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關(guān)系.對(duì)照前后圖形，弄清楚變與不變

的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置

與數(shù)量關(guān)系.

跟蹤演練3（多選）如圖，在矩形ABCO中，BC=1,AB=x,80和AC交于點(diǎn)O,將△BA。

沿直線B。翻折，則下列說法中正確的是（）

A.存在x,在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得ABLOC

B.存在x,在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得ACLLBO

C.存在x,在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得ABL平面AC。

D.存在x,在翻折過程中存在某個(gè)位置，使得月C,平面48。

答案ABC

解析當(dāng)A8=x=l時(shí)，此時(shí)矩形A8C。為正方形，則AC_LB￡>,

將△840沿直線B。翻折，當(dāng)平面ABZ）J_平面BCO時(shí)，

因?yàn)镺C_LB。，OCU平面BCO,平面ABOCI平面BCD=B。，

所以O(shè)C_L平面ABO,又ABU平面48。，

所以ABLOC,故A正確；

又OC_L8O,OA1BD,且OAAOC=O,OA,OCU平面ORC,

所以BC平面。4C,又ACU平面OAC,所以ACLBO,故B正確；

在矩形ABC。中，ABLAD,AC=W+C,

所以將△BAD沿直線8。翻折時(shí)，總有ABJMO,

取x=],當(dāng)將△BAO沿直線BO翻折到AC=竽時(shí)，有A^+AGUBC2,

SPABVAC,S.ACHAD=A,AC,4OU平面AC。，則此時(shí)滿足ABJ_平面AC。，故C正確；

若AC_L平面A8Q,

又AOU平面A8￡）,則4CJ_A0,

所以在△AOC中，OC為斜邊，這與OC=OA相矛盾，故D不正確.

專題強(qiáng)化練

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2022.龍巖質(zhì)檢）己知三條直線a,b,c,若a和6是異面直線，b和c是異面直線，那么

直線。和c的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.平行、相交或異面

答案D

解析畫圖分析可知空間直線的三種位置關(guān)系均有可能，故D正確.

2.（2022?湖北八市聯(lián)考）設(shè)a,“為兩個(gè)不同的平面，則a〃夕的一個(gè)充要條件可以是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行

B.a,尸垂直于同一個(gè)平面

C.a,夕平行于同一條直線

D.a,夕垂直于同一條直線

答案D

解析對(duì)于A,a內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行不能得出a〃夕，a