3.2雙曲線 講義 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性 學(xué)生

課題：雙曲線知識(shí)點(diǎn)11．雙曲線定義：到兩個(gè)定點(diǎn)F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（＜|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡．（（為常數(shù)）．這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)．【（1）距離之差的絕對值．（2）2a＜|F1F2|，這兩點(diǎn)與橢圓的定義有本質(zhì)的不同】2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（焦點(diǎn)在x軸上）和（焦點(diǎn)在y軸上）（a＞0，b＞0）．這里，其中||=2c．要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同．標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a>0，b>0）圖形3．雙曲線的內(nèi)外部：（1）點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部．（2）點(diǎn)在雙曲線的外部．（3）（，其中||=2c，焦點(diǎn)位置看誰的系數(shù)為正數(shù)）焦點(diǎn)在x軸上：（a＞0，b＞0）；焦點(diǎn)在y軸上：（a＞0，b＞0）；；）PPPPHHF2xF1oy雙曲線第二定義：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到一定點(diǎn)F（c，0）的距離和它到一定直線的距離之比是常數(shù)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡是雙曲線．其中定點(diǎn)F（c，0）是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，定直線叫雙曲線的一條準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率．雙曲線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的線段稱為焦半徑．知識(shí)點(diǎn)31．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)：－=1（a＞0，b＞0）（1）范圍：|x|≥a，y∈R；（2）對稱性：關(guān)于x、y軸均對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱；（3）頂點(diǎn)：軸端點(diǎn)A1（－a，0），A2（a，0）（4）漸近線：①若雙曲線方程為漸近線方程；②若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為；③若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在x軸上，，焦點(diǎn)在y軸上）；=4\*GB3④與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是；=5\*GB3⑤與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a>0，b>0）性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1（－a,0），A2（a,0）A1（0，－a），A2（0，a）漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈（1，＋∞），其中c＝eq\r(a2＋b2)實(shí)虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫作雙曲線的實(shí)半軸長，b叫作雙曲線的虛半軸長．a(chǎn)、b、c的關(guān)系c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b>0）2．弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則＝，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝．【注1】1．（1）當(dāng)|MF1|－|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對應(yīng)的一支；（2）當(dāng)|MF1|－|MF2|=－2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對應(yīng)的一支；（3）當(dāng)2a=|F1F2|時(shí)，軌跡是一直線上以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；（4）當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則焦點(diǎn)在y軸上．對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．3．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個(gè)問題：（1）正確判斷焦點(diǎn)的位置；（2）設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解．【注2】1．雙曲線的軌跡類型是；2．雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法是”待定系數(shù)法”，“先定型，后計(jì)算”．【注3】1．與雙曲線共漸進(jìn)線（）的雙曲線系方程是2．等軸雙曲線：（實(shí)虛軸相等，即a=b）（1）形式：（）（2）離心率（3）兩漸近線互相垂直，為y=；3．等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng)．4．共軛雙曲線：（以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線）【注4】1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中對a、b的要求只是a＞0，b＞0易誤認(rèn)為與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，則雙曲線的離心率e∈（1，eq\r(2)）；若a＝b＞0，則雙曲線的離心率e＝eq\r(2)；若0＜a＜b，則雙曲線的離心率e＞eq\r(2)．2．注意區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓a、b、c關(guān)系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2．3．等軸雙曲線的離心率與漸近線關(guān)系：雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝eq\r(2)?雙曲線的兩條漸近線互相垂直（位置關(guān)系）．4．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛半軸長b5．漸近線與離心率：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的一條漸近線的斜率為eq\f(b,a)＝eq\r(\f(b2,a2))＝eq\r(\f(c2－a2,a2))＝eq\r(e2－1)．可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實(shí)質(zhì)都表示雙曲線張口的大小．典型例題例1在一個(gè)平面上，設(shè)、是兩個(gè)定點(diǎn)，P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足P到的距離與P到的距離差為，即，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（

）A．一條線段 B．一條射線 C．一個(gè)橢圓 D．雙曲線的一支例2設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線上，且，則（

）A．5 B．1 C．3 D．1或5例3已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，，為雙曲線右支上的點(diǎn)，若的長等于虛軸長的2倍，點(diǎn)在線段上，則的周長為（

）A．28 B．36 C．44 D．48例4設(shè)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的面積等于（

）A．24 B． C． D．30例5設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn)，M?N分別是兩圓和上的點(diǎn)，則的最大值為（

）A．6 B．9 C．12 D．14例6雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，雙曲線上一點(diǎn)到的距離為8，則點(diǎn)到的距離為（）A．2或12 B．2或18 C．18 D．2例7設(shè)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上且滿足，則的面積為（）A．2 B． C．4 D．例8是雙曲線=1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓和=4上的點(diǎn)，則的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．9例9已知為雙曲線的左焦點(diǎn)，為雙曲線同一支上的兩點(diǎn)．若，點(diǎn)在線段上，則的周長為（

）A． B． C． D．例10已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，M為雙曲線C右支上任意一點(diǎn)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最大值為（

）A．3 B．1 C． D．例11已知雙曲線C的漸近線方程為，且焦距為10，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．B．C．或D．或例12已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且雙曲線上的一點(diǎn)到雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對值等于6，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．例13過且與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條例14若過點(diǎn)的直線與雙曲線:的右支相交于不同兩點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．例15雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．例16雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)作一條直線分別交C的左右兩支于A，B兩點(diǎn)，若，，則此雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3例17已知，是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一點(diǎn)，且；則C的離心率為（）A．1 B．2 C．3 D．4例18設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．例19已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，曲線上一點(diǎn)到軸的距離為，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．例20（多選）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，是雙曲線上一點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率可以是（）A． B． C． D．2例21已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的斜率的乘積為（

）A． B． C． D．例22直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1例23已知雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為雙曲線上除，外任意一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)，連線的斜率為，，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3例24已知A，B，P是雙曲線（，）上不同的三點(diǎn)，且點(diǎn)A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例25若是雙曲線上一點(diǎn)，則到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為______．例26分別求滿足下列條件的曲線方程（1）以橢圓的短軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓方程；（2）過點(diǎn)，且漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（3）焦點(diǎn)在軸上，虛軸長為，離心率為；（4）頂點(diǎn)間的距離為，漸近線方程為．（5），，焦點(diǎn)在x軸上；（6）焦點(diǎn)為?，經(jīng)過點(diǎn)．例27過雙曲線的左焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線．（1）求證：與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；（2）求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)和．舉一反三1．若點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，，分別為的左、右焦點(diǎn)，則“”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．設(shè)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，當(dāng)時(shí)，面積為（）．A． B． C． D．3．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長的最小值為（）A．B．C．D．4．已知方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．或D．或5．已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線上一點(diǎn)且，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．B．C．D．6．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．7．點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于M?N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長|MN|等于（

）A． B． C． D．9．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為過左焦點(diǎn)作斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OP的斜率為，則b的值是（

）A．2 B． C． D．10．（多選）若三個(gè)數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率可以是（）A． B． C． D．11．設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過，兩點(diǎn)．已知原點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．12．若雙曲線的離心率，則（）A．3 B．12 C．18 D．2713．已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．14．已知，，是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且點(diǎn)A，連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線，的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．15．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一條漸近線的方程為，則它的離心率為（）A． B． C． D．216．已知點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且滿足，，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．17．已知分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)且滿足，則此雙曲線離心率的取值范圍（）A． B． C． D．18．已知點(diǎn)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則該雙曲線的離心率是（）A． B．或 C．2 D．319．設(shè)雙曲線上有兩點(diǎn)，，中點(diǎn)，則直線的方程為________________．20．已知雙曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，且的中點(diǎn)在拋物線上，則實(shí)數(shù)的值為________．21．過雙曲線的左焦點(diǎn)的直線與雙曲線交兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線方程是_______________.22．過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為___________.23．已知是雙曲線右支上的一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為．設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若，則．24．已知雙曲線，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線上且在第一象限，圓M是△F1PF2的內(nèi)切圓．則M的橫坐標(biāo)為，若F1到圓M上點(diǎn)的最大距離為，則△F1PF2的面積為．25．已知雙曲線x2y2=1，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，則∣PF1∣+∣PF2∣的值為．26．與雙曲線具有相同漸近線，且兩頂點(diǎn)間的距離為2的雙曲線方程為______．27．（1）若雙曲線過點(diǎn)，離心率，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為_____．（2）若雙曲線過點(diǎn)，漸近線方程是，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為_____．（3）若雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為_____．28．已知雙曲線（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且雙曲線的焦距為2，則該雙曲線的方程為__________．29．焦點(diǎn)在x軸上，經(jīng)過點(diǎn)P（4，－2）和點(diǎn)Q（2，2）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．30．實(shí)軸在x軸上，實(shí)軸長為12，一條漸近線的方程為的雙曲線方程為______．31．已知，則圓錐曲線的離心率等于______．32．已知雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，則雙曲線的離心率是______．課后練習(xí)1．“k<2”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)，，是雙曲線上一點(diǎn)，，則（）A．1或13 B．1 C．13 D．93．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．9 B．5 C．8 D．44．已知，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且．則的面積為（）A．8 B． C．16 D．5．已知，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該雙曲線上，若，則（）A．4 B．4或6 C．3 D．3或76．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，雙曲線上一點(diǎn)到的距離為11，則點(diǎn)到的距離為（）A．1 B．21 C．1或21 D．2或217．已知，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線與曲線的右支交于兩點(diǎn)，則的周長的最小值為（）A． B． C． D．8．雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．9．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．10．雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．11．在中，，．若以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)C，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在軸上，為等邊三角形，且線段的中點(diǎn)恰在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．13．直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)，則斜率k的取值范圍是（

）A．B．C．D．14．若雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則該雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．15．過雙曲線：（，）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交于A，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．16．已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．17．直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且為AB的中點(diǎn)，則l的斜率為（

）