2024屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測(cè)試第一部分專題五解析幾何微專題4圓錐曲線中的定點(diǎn)定值存在性問(wèn)題大題考法1定點(diǎn)問(wèn)題

大題考法1定點(diǎn)問(wèn)題(2023·廣東模擬)已知點(diǎn)A(1，eq\f(3,2))為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－1)＝1(a>1)上的一點(diǎn)，點(diǎn)B(－2，0)．(1)求C的離心率；(2)若直線l交C于M，N兩點(diǎn)(M，N不與點(diǎn)B重合)，且直線BM，BN，MN的斜率滿足kMN(kBM＋kBN)＋3＝0，證明：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：(1)因?yàn)锳(1，eq\f(3,2))在C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－1)＝1上，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(9,4（a2－1）)＝1，解得a2＝4或eq\f(1,4)(舍去)，故C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，所以C的離心率為eq\r(\f(4－3,4))＝eq\f(1,2).(2)設(shè)l：y＝kx＋m，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,3x2＋4y2＝12，))消去y可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xN＋xM＝－\f(8km,3＋4k2)，,xNxM＝\f(4m2－12,3＋4k2)，))所以kBM＝eq\f(kxM＋m,xM＋2)，kBN＝eq\f(kxN＋m,2＋xN)，以kBM＋kBN＝eq\f(kxM＋m,xM＋2)＋eq\f(kxN＋m,2＋xN)＝eq\f(（kxM＋m）（2＋xN）＋（kxN＋m）（2＋xM）,（2＋xM）（2＋xN）)＝eq\f(2kxNxM＋（2k＋m）（xN＋xM）＋4m,xNxM＋2（xN＋xM）＋4)＝eq\f(2k（4m2－12）＋（2k＋m）（－8km）＋12m＋16mk2,4m2－12－16km＋12＋16k2)＝eq\f(3m－6k,4k2－4km＋m2)，由題意得k·eq\f(3m－6k,4k2－4km＋m2)＝－3，整理得2k2－3km＋m2＝0，所以k＝m或k＝eq\f(1,2)m，因?yàn)閘：y＝kx＋m不過(guò)點(diǎn)(－2，0)，故k＝m，此時(shí)y＝kx＋m過(guò)定點(diǎn)(－1，0)．圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn).(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).(2023·揭陽(yáng)模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\f(5,3)，點(diǎn)A(a，0)到漸近線的距離為eq\f(12,5).(1)求雙曲線的方程；(2)若直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝0，試探究直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．解：(1)因?yàn)殡p曲線的離心率為eq\f(5,3)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(5,3)，①雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，因?yàn)辄c(diǎn)(a，0)到漸近線的距離為eq\f(12,5)，所以eq\f(|ab|,\r(a2＋b2))＝eq\f(12,5)，②由①②得a2＝9，b2＝16.所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.(2)①若直線l的斜率不存在，設(shè)直線l的方程為x＝t，則M(t，y1)，N(t，－y1)，則eq\f(t2,9)－eq\f(yeq\o\al(2,1),16)＝1，得yeq\o\al(2,1)＝eq\f(16t2,9)－16>0，得t2>9，得t>3或t<－3.易知點(diǎn)A(3，0)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(t－3，y1)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝(t－3，－y1)，因?yàn)閑q\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝(t－3)2－yeq\o\al(2,1)＝(t－3)2＋16－eq\f(16t2,9)＝－eq\f(7,9)t2－6t＋25＝0，解得t＝－eq\f(75,7)或t＝3(舍)，所以直線l過(guò)定點(diǎn)(－eq\f(75,7)，0)．②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，代入eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，可得(16－9k2)x2－18kmx－(9m2＋144)＝0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16－9k2≠0，,Δ>0，))且x1＋x2＝eq\f(18km,16－9k2)，x1x2＝－eq\f(9m2＋144,16－9k2)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x1－3，kx1＋m)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝(x2－3，kx2＋m)，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝(x1－3)(x2－3)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋(km－3)(x1＋x2)＋m2＋9＝eq\f(－（9m2＋144）（1＋k2）＋18km（km－3）,16－9k2)＋m2＋9＝0，化簡(jiǎn)可得7m2－54km－225k2＝0，即(7m－75k)(m＋3k)＝0，得m＝－3k或m＝eq\f(75,7)k，若m＝－3k，則直線l的方程為y＝k(x－3)，