4.2.1 等差數(shù)列的概念（八大題型）

4．2．1等差數(shù)列的概念【題型歸納目錄】題型一：等差數(shù)列的判斷題型二：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用題型三：等差數(shù)列的證明題型四：等差中項(xiàng)及應(yīng)用題型五：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用題型六：的應(yīng)用題型七：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用題型八：等差數(shù)列中對(duì)稱設(shè)項(xiàng)法的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、等差數(shù)列的定義文字語(yǔ)言形式一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示．知識(shí)點(diǎn)詮釋：⑴公差一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來(lái)求；⑵共同特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)（即公差）；符號(hào)語(yǔ)言形式對(duì)于數(shù)列，若（，，為常數(shù)）或（，為常數(shù)），則此數(shù)列是等差數(shù)列，其中常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差．知識(shí)點(diǎn)詮釋：定義中要求“同一個(gè)常數(shù)”，必須與無(wú)關(guān)．等差中項(xiàng)如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)就是兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)．任意兩實(shí)數(shù)，的等差中項(xiàng)存在且唯一．②三個(gè)數(shù)，，成等差數(shù)列的充要條件是．知識(shí)點(diǎn)二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首相為，公差為的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，推導(dǎo)過(guò)程：（1）歸納法：根據(jù)等差數(shù)列定義可得：，所以，，，……當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立所以歸納得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（）．（2）疊加法：根據(jù)等差數(shù)列定義，有：，，，…把這個(gè)等式的左邊與右邊分別相加（疊加），并化簡(jiǎn)得，所以．（3）迭代法：所以．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①通項(xiàng)公式由首項(xiàng)和公差完全確定，一旦一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差確定，該等差數(shù)列就唯一確定了．②通項(xiàng)公式中共涉及、、、四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過(guò)解方程，便可求出第四個(gè)量．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣已知等差數(shù)列中，第項(xiàng)為，公差為，則．證明：因?yàn)?，所以所以由上可知，等差?shù)列的通項(xiàng)公式可以用數(shù)列中的任一項(xiàng)與公差來(lái)表示，公式．可以看成是時(shí)的特殊情況．知識(shí)點(diǎn)三、等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列中，公差為，則①若，且，則，特別地，當(dāng)時(shí)．②下標(biāo)成公差為的等差數(shù)列的項(xiàng)，，，…組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為．③若數(shù)列也為等差數(shù)列，則，，（k，b為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列．④仍是等差數(shù)列．⑤數(shù)列（為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列．【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列中對(duì)稱設(shè)項(xiàng)法的應(yīng)用1、某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個(gè)數(shù)為：，，公差為；2、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：，，，公差為；3、四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成，，，，公差為．【典型例題】題型一：等差數(shù)列的判斷例1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個(gè)數(shù)是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】設(shè)的公差為，對(duì)于①，，是等差數(shù)列，故①正確；對(duì)于②，，是等差數(shù)列，故②正確；對(duì)于③，，是等差數(shù)列，故③正確；對(duì)于④，若，則不是等差數(shù)列，故④錯(cuò)誤；故選：C．例2．（2023·湖北孝感·高二校聯(lián)考期末）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)積，則“”是“是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則；當(dāng)時(shí)，.所以，對(duì)任意的，，則，此時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，故“”能得出“是等差數(shù)列”；若“是等差數(shù)列”，不妨設(shè)，則，即“是等差數(shù)列”不能得出“”.所以“”是“是等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.例3．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列數(shù)列中等差數(shù)列的是（

）A． B． C．【答案】A【解析】對(duì)于A，，相鄰兩項(xiàng)的差為常數(shù)，是等差數(shù)列；對(duì)于B，，相鄰兩項(xiàng)的差不為常數(shù)，不是等差數(shù)列；對(duì)于C，，相鄰兩項(xiàng)的差不為常數(shù)，不是等差數(shù)列；故選：A變式1．（2023·廣東惠州·高二統(tǒng)考期末）在數(shù)列中，若（為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，下列是對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷：①若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列；②不是等方差數(shù)列；③若是等方差數(shù)列，則（為常數(shù)）也是等方差數(shù)列；④若既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列.其中正確命題序號(hào)為（

）A．①③④ B．②③④ C．①③ D．①④【答案】A【解析】①是等方差數(shù)列，（為常數(shù)）得到為首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列；故①正確②數(shù)列中，，所以是等方差數(shù)列；故②不正確③因?yàn)槭堑确讲顢?shù)列，所以，把以上的等式相加，得，，即數(shù)列是等方差數(shù)列，故③正確；④是等差數(shù)列，，則設(shè)，是等方差數(shù)列，是常數(shù)，故，故，所以，是常數(shù)，故④正確.正確命題的是①③④，故選：A變式2．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列四個(gè)命題：①公比的等比數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列；②數(shù)列可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的函數(shù)；③在平面直角坐標(biāo)系中，表示數(shù)列的圖象是一些離散的點(diǎn)；④數(shù)列是等差數(shù)列.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】對(duì)于①，對(duì)于數(shù)列，時(shí)，有，，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，對(duì)于數(shù)列1，2，3，4，5，該數(shù)列的定義域?yàn)?，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由數(shù)列的概念可知，數(shù)列可以看作是函數(shù)，該函數(shù)的定義域是正整數(shù)集或其子集，所以表示數(shù)列的圖象是一些離散的點(diǎn)，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)椋?，是常?shù)，故④正確.故選：B.變式3．（2023·陜西咸陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）若數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．?dāng)?shù)列，，，…，…為等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列，，，…，，…為等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列【答案】C【解析】A選項(xiàng)：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以設(shè)（為常數(shù)），又，所以數(shù)列也為等差數(shù)列，故A正確；B選項(xiàng)：，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故B正確；C選項(xiàng)：，不是常數(shù)，故不是等差數(shù)列，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D正確.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】對(duì)于數(shù)列，若（，，為常數(shù)）或（，為常數(shù)），則此數(shù)列是等差數(shù)列，其中常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差．題型二：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用例4．（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學(xué)校聯(lián)考期中）已知等差數(shù)列中，，則公差（

）A．4 B．3 C． D．【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，，所以有．故選：B例5．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知數(shù)列前n項(xiàng)和為．(1)試寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？(3)你能寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？【解析】（1）由得，，，，，所以.（2）由（1）知，所以數(shù)列不是等差數(shù)列.（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上.例6．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）（1）求等差數(shù)列8，5，2，…的第20項(xiàng)；（2）是否為等差數(shù)列，，，…的項(xiàng)？如果是，是該數(shù)列的第幾項(xiàng)？如果不是，說(shuō)明理由．【解析】（1）可以得到公差，故第20項(xiàng)為（2）可以得到公差，故通項(xiàng)公式為，令，解得，故是等差數(shù)列，，，…的第100項(xiàng).變式4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列8，5，2，…．(1)求該數(shù)列的第20項(xiàng)．(2)試問(wèn)是不是該等差數(shù)列的項(xiàng)？如果是，指明是第幾項(xiàng)；如果不是，試說(shuō)明理由．(3)該數(shù)列共有多少項(xiàng)位于區(qū)間內(nèi)？【解析】（1）記該等差數(shù)列為，公差為d，由，，得數(shù)列的通項(xiàng)公式是．該數(shù)列的第20項(xiàng)．（2）由第一問(wèn)，，如果是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，則方程有正整數(shù)解．解這個(gè)方程，得，故是該等差數(shù)列的第44項(xiàng)．（3）由第一問(wèn)，，解不等式，得．因此，該數(shù)列位于區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)從第4項(xiàng)起直至第70項(xiàng)，共有67項(xiàng)．變式5．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】當(dāng)時(shí)，，整理得，，解得；當(dāng)時(shí)，①，可得②，①－②得，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋?，所以，從而是以為首?xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以.變式6．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列中，(1)已知，，求首項(xiàng)與公差；(2)已知，，求通項(xiàng)．【解析】（1）由已知可得，解得.（2）由已知可得，解得.所以，.變式7．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知等差數(shù)列10，7，4，…．(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；(2)是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？呢？如果是，求出是第幾項(xiàng)；如果不是，說(shuō)明理由．【解析】（1）記數(shù)列為，則由題意知，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為．當(dāng)時(shí)，有，因此第10項(xiàng)為．（2）是數(shù)列的第23項(xiàng)，不是數(shù)列中的項(xiàng)，理由如下：設(shè)是數(shù)列中的第n項(xiàng)，則，解得，所以是數(shù)列的第23項(xiàng)．設(shè)是數(shù)列中的第n項(xiàng)，則．解得，由此可知不是數(shù)列中的項(xiàng)．變式8．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列中，，公差為整數(shù)，若，．(1)求公差的值；(2)求通項(xiàng)．【解析】（1）在等差數(shù)列中，由，，可得：，而為整數(shù)，所以.（2）由（1）可知，，所以.變式9．（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則公差（

）A．2 B．4 C．3 D．5【答案】B【解析】因?yàn)?，所以?故選：B.變式10．（2023·福建龍巖·高二校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，，則首項(xiàng)與公差分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題得，解得.故選：D【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法與應(yīng)用技巧（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可由首項(xiàng)與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求出首項(xiàng)與公差即可．（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中共含有四個(gè)參數(shù)，即，，，，如果知道了其中的任意三個(gè)數(shù)，那么就可以由通項(xiàng)公式求出第四個(gè)數(shù)，這一求未知量的過(guò)程，我們通常稱之為“知三求一”．（3）通項(xiàng)公式可變形為，可把看作自變量為的一次函數(shù)．題型三：等差數(shù)列的證明例7．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知數(shù)列中，在時(shí)恒成立，求證：是等差數(shù)列．【解析】證明

因?yàn)?，所以．因此，從?項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都相等，所以是等差數(shù)列．例8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中4，，．求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；【解析】的兩邊同時(shí)除以，得2，∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列例9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，若，且（為正整數(shù)）.(1)寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)證明是等差數(shù)列，并求.【解析】（1）由已知條件得，即，,,,故數(shù)列的前5項(xiàng)為1，，，，.（2）證明：∵，∴,∴，其中首項(xiàng)為，∴是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，∴，∴.變式11．（2023·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，．(1)設(shè)，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列．（2）由(1)知，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．變式12．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列滿足，，設(shè).(1)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？試證明；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1）數(shù)列是等差數(shù)列.證明如下：由已知可得，，則，所以.所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）由（1）知，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差.所以，所以，，所以.變式13．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且.(1)求；(2)證明：數(shù)列是等差數(shù)列.【解析】（1）因?yàn)椋?（2）因?yàn)椋?，則，故，又，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.變式14．（2023·海南·高三海南中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且．(1)求證：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正整數(shù)m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】（1）由，得，∴又，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列∴∴（2）∵，∴則，解得，不符合題意∴不存在正整數(shù)，使得.變式15．（2023·河南鄭州·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列{}滿足．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式．【解析】（1）證明：數(shù)列{}滿足．兩邊取倒數(shù)可得：，即，∴數(shù)列{}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為2；（2）由（1）可得：，解得．【方法技巧與總結(jié)】證明等差數(shù)列的方法（1）定義法或數(shù)列是等差數(shù)列．（2）等差中項(xiàng)法數(shù)列為等差數(shù)列．（3）通項(xiàng)公式法數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式形如（，為常數(shù)）數(shù)列為等差數(shù)列．題型四：等差中項(xiàng)及應(yīng)用例10．（2023·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，已知，則．【答案】5【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得，，故答案為：5.例11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）與的等差中項(xiàng)是．【答案】/【解析】設(shè)與的等差中項(xiàng)是，則故答案為：例12．（2023·甘肅白銀·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，則.【答案】【解析】在等差數(shù)列中，，又，，解得，又，而，解得.故答案為：.變式16．（2023·山西大同·高二山西省渾源中學(xué)?？计谀┯懈F等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，則的最小值是.【答案】【解析】由，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立且滿足題設(shè).故答案為：變式17．（2023·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，若，則.【答案】24【解析】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，有，所以由，得，，又，所以.故答案為：24變式18．（2023·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，且，，則．【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以，又因?yàn)?，，所以，解得，故答案為?【方法技巧與總結(jié)】若a，A，b成等差數(shù)列，則；反之，由也可得到a，A，b成等差數(shù)列，所以A是a，b的等差中項(xiàng)．題型五：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例13．（2023·陜西漢中·高二校聯(lián)考期中）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿，芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若立春當(dāng)日日影長(zhǎng)為尺，立夏當(dāng)日日影長(zhǎng)為尺，則春分當(dāng)日日影長(zhǎng)為（

）A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺【答案】D【解析】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長(zhǎng)構(gòu)成的等差數(shù)列為，則立春當(dāng)日日影長(zhǎng)為，立夏當(dāng)日日影長(zhǎng)為，所以春分當(dāng)日日影長(zhǎng)為.故選：D例14．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考三模）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式上，二十四節(jié)氣倒計(jì)時(shí)驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩(shī)詞，將中國(guó)人獨(dú)有的浪漫傳達(dá)給了全世界．我國(guó)古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的晷長(zhǎng)損益相同（晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度），二十四節(jié)氣及晷長(zhǎng)變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量相同，周而復(fù)始．已知雨水的晷長(zhǎng)為尺，立冬的晷長(zhǎng)為尺，則冬至所對(duì)的晷長(zhǎng)為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】B【解析】設(shè)相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量為,則立冬到冬至增加,冬至到雨水減少4,冬至的晷長(zhǎng)為,則,解得,故選：B.例15．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”"起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，以此類推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”，以此類推.今年是辛丑年，也是重慶一中建校90周年，則重慶一中建校的那一年是（

）A．壬酉年 B．壬戊年 C．辛酉年 D．辛未年【答案】D【解析】所以90年前的天干為辛，所以90年前的地支為未，所以重慶一中建校的那一年是辛未年，故選：D.變式19．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一中學(xué)校?？既＃┝?xí)近平總書(shū)記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對(duì)青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開(kāi)展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列（單位萬(wàn)元，），每年開(kāi)展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為（

）A．72萬(wàn)元 B．96萬(wàn)元 C．120萬(wàn)元 D．144萬(wàn)元【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，五年累計(jì)總投入資金為：，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為120萬(wàn)元，故選：C.變式20．（2023·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）單分?jǐn)?shù)（分子為1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)）的廣泛使用成為埃及數(shù)學(xué)重要而有趣的特色，埃及人將所有的真分?jǐn)?shù)都表示為一些單分?jǐn)?shù)的和．例如，，……，現(xiàn)已知可以表示成4個(gè)單分?jǐn)?shù)的和，記，其中，，是以101為首項(xiàng)的等差數(shù)列，則的值為（

）A．505 B．404 C．303 D．202【答案】A【解析】根據(jù)題中拆分后分?jǐn)?shù)的特征以及分出結(jié)果中含，對(duì)分母增大倍數(shù)進(jìn)行拆分，即得結(jié)果.依題意，拆分后的分?jǐn)?shù)，分子都是1，分母依次變大，又中含，故可分解如下：，又，，是以101為首項(xiàng)的等差數(shù)列，故.故.故選：A.變式21．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）“孫子定理”是中國(guó)古代求解整除問(wèn)題的方法，是數(shù)論中一個(gè)重要定理，又稱“中國(guó)剩余定理”．現(xiàn)有如下一個(gè)整除問(wèn)題：將1至2021這2021個(gè)數(shù)中，能被3除余1且被5除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列共有（

）A．133項(xiàng) B．134項(xiàng) C．135項(xiàng) D．136項(xiàng)【答案】C【解析】能被3除余1且被5除余1的數(shù)就只能是被15除余1的數(shù)，故，由，得，又，故此數(shù)列共有135項(xiàng)，故選：C．【方法技巧與總結(jié)】（1）解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)題意，根據(jù)題目條件，尋找有用的信息．若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時(shí)，則這組數(shù)成等差數(shù)列．合理地構(gòu)建等差數(shù)列模型是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，在解題過(guò)程中，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵的問(wèn)題．（2）能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，抽象出數(shù)列的模型，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn)．題型六：的應(yīng)用例16．（2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）（1）在等差數(shù)列中，已知，，求首項(xiàng)與公差d；（2）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，求．【解析】（1）等差數(shù)列的公差為，∵，，則解得，∴這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．（2）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則由題意得解得，故．例17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，已知求及．【解析】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，故可得；又因?yàn)椋?；．?8．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為．（1）若，，求的值；（2）若，，求公差．【解析】（1）由題意得，解得，故．所以．（2）由，得，∴．由，解得或，∴或．所以公差為3或．變式22．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在等差數(shù)列中：（1）已知，求首項(xiàng)與公差d；（2）已知，求．【解析】（1）由題意得，解得（2）設(shè)等差數(shù)的公差為，則由題意得，所以【方法技巧與總結(jié)】靈活利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可以減少運(yùn)算．令，即變?yōu)?，可以減少記憶負(fù)擔(dān)．題型七：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例19．（2023·安徽馬鞍山·高二統(tǒng)考期中）等差數(shù)列中，若，則的值為（

）A．36 B．24 C．18 D．9【答案】B【解析】令的公差為，則，即，則.故選：B例20．（2023·西藏拉薩·高二?？计谥校┮阎堑炔顢?shù)列，，則等于（

）A．48 B．40 C．60 D．72【答案】B【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算可得，解得；所以可得，故選：B例21．（2023·甘肅嘉峪關(guān)·高二統(tǒng)考期末）若方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則（

）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)方程的四個(gè)根為，則，，又因?yàn)榉匠痰乃膫€(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，設(shè)，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，則等差數(shù)列為，所以，則，故選：C變式23．（2023·北京·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以，所以，則，解得：，故選：C變式24．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）首項(xiàng)為﹣21的等差數(shù)列從第8項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是（

）A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d【答案】D【解析】an＝﹣21+（n﹣1）d．∵從第8項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，解得3＜d．故選：D．變式25．（2023·上海虹口·高二?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在上的嚴(yán)格增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值（

）A．恒為正數(shù) B．恒為負(fù)數(shù) C．恒為 D．可正可負(fù)【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是上的奇函數(shù)且是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，，故．再根據(jù)，所以，則，所以．同理可得，，，所以，故選：．變式26．（2023·遼寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且所以，解得，所以.故選：C變式27．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)為正項(xiàng)等差數(shù)列的公差，若，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意得：，解得：，A正確；，B正確；，，C正確；，D錯(cuò)誤.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列運(yùn)算的兩種常用思路（1）基本量法：根據(jù)已知條件，列出關(guān)于，的方程（組），確定，，然后求其他量．（2）巧用性質(zhì)法：觀察等差數(shù)列中項(xiàng)的序號(hào)，若，且，則．題型八：等差數(shù)列中對(duì)稱設(shè)項(xiàng)法的應(yīng)用例22．（2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）（1）三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的倍，求這三個(gè)數(shù)．（2）四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為，首末兩項(xiàng)的積為，求這四個(gè)數(shù)．【解析】（1）設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為，，，由題意可得：，解得：，所以這三個(gè)數(shù)依次為，，．（2）設(shè)這四個(gè)數(shù)依次為，，，（公差為），由題意可得，解得或（舍），故所求的四個(gè)數(shù)依次為，，，．例23．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)之和為2，首末兩項(xiàng)之積為，求這四個(gè)數(shù)．【解析】因?yàn)檫@四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，所以設(shè)這四個(gè)數(shù)為．由題意知，，解得．故這四個(gè)數(shù)為，或．注意

本例中，也可以設(shè)四個(gè)數(shù)為，然后代入已知條件求解，這是數(shù)列中常用的“基本量法”，但運(yùn)算稍繁．本題解法運(yùn)用“對(duì)稱設(shè)法”，運(yùn)算稍簡(jiǎn)單．一般地，若三個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，常設(shè)為；若五個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，常設(shè)為等．例24．（2023·寧夏·平羅中學(xué)高二階段練習(xí)）四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，四個(gè)數(shù)之和等于，中間兩個(gè)數(shù)之積為，求這四個(gè)數(shù)．【解析】設(shè)四個(gè)數(shù)為，，，，其中，，解得：，四個(gè)數(shù)為，，，．變式28．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（1）已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且是遞增數(shù)列，這四個(gè)數(shù)的平方和為94，首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18，求此等差數(shù)列；（2）已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且其前三項(xiàng)之和為21，前三項(xiàng)之積為231，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1）設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為，，，，則，又該數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，所以，，所以此等差數(shù)列為或．（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則其前三項(xiàng)分別為，，，則，解得或．因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列中對(duì)稱設(shè)項(xiàng)法的應(yīng)用1、某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個(gè)數(shù)為：，，公差為；2、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：，，，公差為；3、四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成，，，，公差為．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則（

）A．12 B．18 C．6 D．9【答案】D【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列中，所以，所以.故選：D.2．（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)?？计谥校┰诘炔顢?shù)列中，，，則（

）A．39 B．76 C．78 D．117【答案】C【解析】在等差數(shù)列中，，，則.故選：C.3．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，，則（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【解析】等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，則.故選：B4．（2023·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（

）A．9 B． C．11 D．【答案】B【解析】由數(shù)列滿足，可得，即，因?yàn)?，可得，所以?shù)列表示首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則，所以.故選：B.5．（2023·甘肅嘉峪關(guān)·高二統(tǒng)考期末）若方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則（

）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)方程的四個(gè)根為，則，，又因?yàn)榉匠痰乃膫€(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，設(shè)，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，則等差數(shù)列為，所以，則，故選：C6．（2023·河北保定·高三河北易縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)有一張正方形剪紙，沿只過(guò)其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線將其剪開(kāi)，得到2張紙片，再?gòu)闹腥芜x一張，沿只過(guò)其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線剪開(kāi)，得到3張紙片，……，以此類推，每次從紙片中任選一張，沿只過(guò)其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線剪開(kāi)，若經(jīng)過(guò)10次剪紙后，得到的所有多邊形紙片的邊數(shù)總和為（

）A．33 B．34 C．36 D．37【答案】B【解析】設(shè)沒(méi)剪之前正方形的邊數(shù)為，即，沿只過(guò)其一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線將其剪開(kāi)得到一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，，然后無(wú)論是選擇三角形或四邊形，剪一次后邊數(shù)都增加3，所以可知次剪紙得到的多邊形紙片的邊數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，即，故經(jīng)過(guò)10次剪紙后，得到的所有多邊形紙片的邊數(shù)總和為，故選：B.7．（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學(xué)?？计谥校┰跀?shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，所以，所以，兩邊取倒數(shù)得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，.故選：A8．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為，將各項(xiàng)并在一起，相等的項(xiàng)即為一項(xiàng)，從小到大排列成一個(gè)新的數(shù)列，則（

）A．14155 B．6073 C．4047 D．4045【答案】D【解析】根據(jù)題意，得；；故，把中的項(xiàng)按6個(gè)一組劃分，則第組可表示為，，，，，，，又，故是第組的第一個(gè)數(shù)，則．故選：D．二、多選題9．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差，則下列四個(gè)命題中真命題為（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列【答案】AD【解析】對(duì)于A，等差數(shù)列的公差，則數(shù)列是遞增數(shù)列，正確；對(duì)于B，不妨取，則不是遞增數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不妨取，則不是遞增數(shù)列，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于等差數(shù)列的公差，隨n的增大而增大，隨n的增大而增大，故也隨n的增大而增大，即數(shù)列是遞增數(shù)列，D正確，故選：AD10．（2023·湖南岳陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列單調(diào)遞增，且，則（）A．公差的取值范圍是 B．C． D．【答案】BCD【解析】由題意得,,，所以，解得，所以，故A錯(cuò)誤；由，故B正確；由，故，C選項(xiàng)正確；由等差數(shù)列性質(zhì)，，故D正確.故選：BCD11．（2023·福建三明·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且，.若是等差數(shù)列，則可能取的整數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】，A選項(xiàng)，，，，所以是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，所以，則為常數(shù)列，也是等差數(shù)列.所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，，，所以不是等差數(shù)列.所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，，當(dāng)時(shí)，，所以是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD12．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若正項(xiàng)數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．的取值范圍是C．當(dāng)為整數(shù)時(shí)，的最大值為29 D．公差d的取值范圍是【答案】ABC