數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的實(shí)踐研究：讓數(shù)學(xué)抽象拾級(jí)而上

讓數(shù)學(xué)抽象拾級(jí)而上——數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的實(shí)踐研究摘要：數(shù)學(xué)抽象，既是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要組成部分。如何讓核心素養(yǎng)從理論走向?qū)嵺`，從頂層設(shè)計(jì)到基層落地，既需要學(xué)習(xí)，也需要實(shí)踐，一線教師則尤其需要在實(shí)踐中總結(jié)如何讓普適的理論變成可操作，可重復(fù)，可檢驗(yàn)的教學(xué)環(huán)節(jié)。一、問(wèn)題源起，如何讓頂層設(shè)計(jì)扎實(shí)落地?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)有關(guān)，是對(duì)培養(yǎng)人的描述：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。數(shù)學(xué)的眼光是指：數(shù)學(xué)抽象（符號(hào)意識(shí)、數(shù)感），直觀想象（幾何直觀、空間想象能力），保證數(shù)學(xué)的一般性。數(shù)學(xué)思維是指邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，保證數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。數(shù)學(xué)語(yǔ)言是指數(shù)學(xué)模型（模型思想）、數(shù)據(jù)分析（數(shù)據(jù)分析觀念），保證數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性。數(shù)學(xué)抽象，包括數(shù)感和符號(hào)意識(shí)，是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程，包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征（概念內(nèi)涵）。數(shù)學(xué)抽象的具體內(nèi)容為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則；提出數(shù)學(xué)命題和模型；形成數(shù)學(xué)方法與思想；認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系。作為新一期課改的關(guān)鍵詞，核心素養(yǎng)正以多種多樣的方式走進(jìn)一線教師的視野。而作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)抽象，對(duì)所有一線老師來(lái)說(shuō)，既熟悉，也陌生。一方面，抽象作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一大特點(diǎn)，是所有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過(guò)程中時(shí)時(shí)刻刻都要面對(duì)和經(jīng)歷的一種體驗(yàn)，它已經(jīng)內(nèi)化為一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“范式”，是數(shù)學(xué)共同體的一種共識(shí)；另一方面，數(shù)學(xué)抽象從一種思維方式到一個(gè)概念，如何解讀，從一種過(guò)程體驗(yàn)到一種能力獲得，如何培養(yǎng)，從一個(gè)頂層設(shè)計(jì)到基層落地，如何執(zhí)行，這些問(wèn)題由務(wù)虛到務(wù)實(shí)，從感性到理性，從理論到實(shí)踐，都對(duì)一線教師提出了挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)抽象能力，作為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的總體指向之一，當(dāng)然不是一節(jié)課，一個(gè)章節(jié)的教學(xué)目標(biāo)，它的培養(yǎng)必然是循序漸進(jìn)，螺旋上升的。但同時(shí)，這些大目標(biāo)又必須內(nèi)化到每一章知識(shí)，每一節(jié)內(nèi)容中去，只有以知識(shí)為載體，以課堂為抓手，在每一節(jié)課中都不斷啟發(fā)，不斷滲透，不斷訓(xùn)練，才能讓學(xué)生從朦朧的感覺(jué)轉(zhuǎn)向理性的思辨進(jìn)而走向自覺(jué)的批判。以下，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談一談自己對(duì)這些問(wèn)題的思考。二、課堂實(shí)錄：《蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)1必修》“2.5.1函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)片斷1.函數(shù)零點(diǎn)的教學(xué)師：求解方程，畫(huà)出函數(shù)的圖像，標(biāo)出函數(shù)在X軸上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。（學(xué)生操作完后）方程的根是，與兩個(gè)橫坐標(biāo)一樣，是偶然嗎？生1：不是。因?yàn)楹瘮?shù)與X軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0，（把0）代入得到的就是那個(gè)方程。師：很好，換個(gè)視角，如果把方程的左邊看做是函數(shù)（板書(shū)加上），那右邊可以看做是。。。？生1：直線，也就是X軸。師：那你能用它來(lái)解釋方程（）的根與函數(shù)在X軸上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系嗎？生1：可以，方程的根是，（函數(shù)與X軸）交點(diǎn)也是這兩個(gè)。師：根是數(shù)字啊，點(diǎn)可不是數(shù)字，你要不要修正一下？生1：我的意思是橫坐標(biāo)。師：數(shù)學(xué)可來(lái)不得半點(diǎn)馬虎，與根對(duì)應(yīng)的，是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。二次方程和二次函數(shù)我們是很熟悉的，所以這個(gè)結(jié)論不難得到?？墒菙?shù)學(xué)世界里不止二次方程與二次函數(shù)，比如方程（在原題上修改次數(shù)即可）和函數(shù)，方程的根與函數(shù)在X軸交點(diǎn)的橫標(biāo)也一致嗎？生1：我覺(jué)得一樣的。雖然這個(gè)方程不好解，但令函數(shù)的得到的方程是一樣的。師：數(shù)學(xué)世界里有無(wú)數(shù)的方程，我無(wú)法窮盡。但所有的方程都可以用式子來(lái)表示，同樣的，與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)也可以寫(xiě)作，“方程的根（如果有的話）和函數(shù)在X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一致的”，這個(gè)結(jié)論仍然成立嗎？生1：我認(rèn)為是成立的，因?yàn)榻忉屗鼈兊牡览硎且粯拥?。師：在方程中，我們把解出?lái)的的值稱(chēng)為方程的根，在函數(shù)中，我們把這個(gè)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)稱(chēng)為“零點(diǎn)”。（板書(shū)中把橫坐標(biāo)加粗著重）注意，零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？生1：不是?！驹O(shè)計(jì)意圖】：由于有了初中二次函數(shù)的知識(shí)基礎(chǔ)，函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于高中生似乎并不是一個(gè)困難的概念。這使得很多教師在教學(xué)中往往對(duì)概念的生成過(guò)程一帶而過(guò)，把重點(diǎn)放在強(qiáng)調(diào)“零點(diǎn)不是點(diǎn)”這個(gè)細(xì)節(jié)上，然后用幾個(gè)題目來(lái)強(qiáng)化，這其實(shí)是本末倒置，效果也不盡如人意。試想，如果能完善零點(diǎn)概念的生成過(guò)程，這種尷尬會(huì)不會(huì)少一點(diǎn)。另一方面，數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)，既不會(huì)是一蹴而就的，也不能是空中樓閣的，它只能是聚沙成塔式的訓(xùn)練進(jìn)而從量變引發(fā)質(zhì)變。數(shù)學(xué)抽象，既要有抽象的結(jié)果（概念，定理），也要有抽象的過(guò)程（歸納，推理），這兩者都是無(wú)法在物質(zhì)世界里找到直接的對(duì)應(yīng)物的，唯有在思維中為其構(gòu)造情景，才能讓學(xué)生從被動(dòng)轉(zhuǎn)向主動(dòng)，如果沒(méi)有足夠的量的積累，那質(zhì)的飛躍也就無(wú)從談起。2.零點(diǎn)存在定理的歸納（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)）師：?jiǎn)栴}1，回到二次函數(shù)，如何確定它在區(qū)間上是否有零點(diǎn)呢？生2：它的一個(gè)零點(diǎn)是，所以是有的。師：?jiǎn)栴}2，那把函數(shù)變成呢？生2：沉默。師：為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們來(lái)做一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)。這里有一條繩子（兩端系有磁鐵，可以吸附在黑板上），如果我們把它看做一個(gè)函數(shù)的圖像，我把這個(gè)函數(shù)圖像的起點(diǎn)放在這里（x軸上方），那么如何放置終點(diǎn)，可以保證這個(gè)函數(shù)一定有零點(diǎn)呢，請(qǐng)一位同學(xué)上來(lái)擺一擺。生3：把終點(diǎn)放在x軸下方。師：很直觀，這個(gè)函數(shù)確實(shí)有零點(diǎn)。那如果我把起點(diǎn)放在x軸下方呢？生3：那就把終點(diǎn)放到x軸上方去。師：回到問(wèn)題1，也用這個(gè)繩子來(lái)擺一擺。起點(diǎn)在，終點(diǎn)在。這能說(shuō)明二次函數(shù)在區(qū)間上是否有零點(diǎn)嗎？生3：可以。師：那問(wèn)題2呢？生3：類(lèi)似的，起點(diǎn)在，終點(diǎn)在，所以（在區(qū)間上）是有零點(diǎn)的。師：能把這個(gè)判斷方法推廣到所有函數(shù)嗎？生3：如果一個(gè)函數(shù)在起點(diǎn)處的函數(shù)值和終點(diǎn)處的函數(shù)值一正一負(fù)，就有零點(diǎn)。師：很好，但太口語(yǔ)化了，我們還需要更精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。但主體結(jié)構(gòu)已經(jīng)搭建出來(lái)了，我們來(lái)進(jìn)一步的優(yōu)化它?！驹O(shè)計(jì)意圖】：在問(wèn)題一中直接提出零點(diǎn)存在定理是困難的，根據(jù)認(rèn)知理論，學(xué)生在這里沒(méi)有發(fā)展新方法的需求。這種需求只存在于從已知到未知的問(wèn)題之中，也就是問(wèn)題二。零點(diǎn)存在定理在高中教學(xué)中，只能是一種歸納的結(jié)果，原因有二：一是限于高中數(shù)學(xué)知識(shí)的廣度和深度，零點(diǎn)存在定理中所涉及到的連續(xù)只能是一種感性直覺(jué)。二是教學(xué)過(guò)程是從幾個(gè)特殊的例子中直接給出了一般性的結(jié)論而沒(méi)有證明過(guò)程。但就高中生的水平而言，這樣的抽象已經(jīng)足夠了。三、一些思考，實(shí)踐優(yōu)位仍是不二法門(mén)一線教師的理論學(xué)習(xí)必須緊跟實(shí)踐?，F(xiàn)在是信息大爆炸的時(shí)代，各種各樣的教育理論也被大量引進(jìn)國(guó)內(nèi)，教師們?cè)谧罱昀镆欢ū慌嘤?xùn)、被學(xué)習(xí)過(guò)多種教育理論，而且常常是你方唱罷我登場(chǎng)，讓人目不暇接；課堂教學(xué)改革的呼聲也日漸高漲，諸如“在家看視頻在課上答疑”，“課上只允許講15分鐘”等等，這一切都讓教師們無(wú)所適從，覺(jué)得自己不會(huì)教書(shū)了。又或者產(chǎn)生一種撕裂感，“理論學(xué)習(xí)，教學(xué)改革”最終和常規(guī)課堂教學(xué)完全脫節(jié)，一切又回到起點(diǎn)。如何處理好理論與實(shí)踐的關(guān)系？尤其是新一期課改中關(guān)于核心素養(yǎng)這樣的頂層設(shè)計(jì)如何在教學(xué)實(shí)踐中落地，怎么把對(duì)學(xué)生關(guān)鍵能力的培養(yǎng)轉(zhuǎn)化成基本的教學(xué)單元,怎么理解多次課程改革中前后相繼的關(guān)系和層層遞進(jìn)的對(duì)“人的培養(yǎng)目標(biāo)”宏旨？一線教師應(yīng)該把握好理論與實(shí)踐的關(guān)系，充分發(fā)揮自己的實(shí)踐優(yōu)勢(shì)，在實(shí)踐中感悟理論，檢驗(yàn)理論，最終為理論打上自己個(gè)性化理解和實(shí)踐的標(biāo)簽。鄭毓信教授在其著作《科學(xué)哲學(xué)十講》中介紹了科學(xué)哲學(xué)發(fā)展的三階段，從一開(kāi)始的元理論階段，到現(xiàn)代的范式階段，再到后現(xiàn)代的理論源自實(shí)踐。如果類(lèi)比這個(gè)過(guò)程，那么我們的教育科學(xué)顯然也走到了后現(xiàn)代，理論應(yīng)該是實(shí)踐的服務(wù)者和總結(jié)者，教師應(yīng)該用實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)自己理論學(xué)習(xí)中的同與異。同時(shí)，教師的實(shí)踐也存在弱點(diǎn)，那就是從實(shí)踐中，我們首先獲得的只能是經(jīng)驗(yàn)，而這些經(jīng)驗(yàn)往往是個(gè)性化的，甚至在這個(gè)班能用，另一個(gè)班就用不了，這節(jié)課（這個(gè)知識(shí)點(diǎn)）能用，下節(jié)課（另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)）就不能用，這類(lèi)經(jīng)驗(yàn)的重復(fù)積累不能讓我們得到一般化的教學(xué)能力，所以才要學(xué)習(xí)、借鑒理論，從理論中找到提升自身教學(xué)能力的法則和依據(jù)。以數(shù)學(xué)抽象為例，難道是從本次課改，我們才開(kāi)始教數(shù)學(xué)抽象的嗎？顯然不是。那么此前，教師對(duì)數(shù)學(xué)抽象是怎么理解的，又是如何進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐的？對(duì)于頂層設(shè)計(jì)中的表述，教師理解嗎，認(rèn)同嗎，與自己的實(shí)踐相對(duì)照，有哪些做對(duì)了，哪些做錯(cuò)了；哪些做多了，哪些做少了；哪些做好了，哪些做壞了。只有通過(guò)實(shí)踐，我們對(duì)于理論的認(rèn)識(shí)才能深入。史寧中教授關(guān)于數(shù)學(xué)抽象有這樣的表述：數(shù)學(xué)抽象有兩次抽象的過(guò)程，第一次是從感性具體到理性具體，第二次是從理性具體到理性抽象。如何在實(shí)踐中讓學(xué)生有序的感受這兩次抽象的過(guò)程？本課中，為了抽象出函數(shù)零點(diǎn)的概念，首先要讓學(xué)生在具體的方程與函數(shù)之間產(chǎn)生對(duì)應(yīng)，所以使用學(xué)生最熟悉的二次方程與二次函數(shù)為例，讓學(xué)生解出方程的根，在圖上寫(xiě)出函數(shù)與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這種對(duì)應(yīng)是顯然的，兩個(gè)具體的例子就能讓學(xué)生抽象出這么一個(gè)結(jié)論：所有二次方程的根（如果有的話）與二次函數(shù)在X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的，這就是從感性具體抽象到了理性具體，既然二次方程與函數(shù)有這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么其他類(lèi)型的方程與函數(shù)呢？再通過(guò)具體的例子，學(xué)生就能再進(jìn)行一次抽象：所有方程的根（如果有的話）與函數(shù)在X軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的。這就是從理性具體到理性抽象。思維導(dǎo)圖如下：具體的二次方程具體的二次方程兩根對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一般的二次方程兩根對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)感性具體理性具體二次方程的根與二次函數(shù)在二次方程的根與二次函數(shù)在X軸上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)其他方程的根也與相應(yīng)函數(shù)在X軸上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)理性具體方程的根（如果有的話）總是與相應(yīng)函數(shù)在方程的根（如果有的話）總是與相應(yīng)函數(shù)在X軸上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)理性抽象在方程中，這個(gè)數(shù)叫做方程的根，在函數(shù)中，這個(gè)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。（新定義）這就是筆者對(duì)兩次抽象的理解，是否正確，效果如何，這些都需要在實(shí)踐中進(jìn)一步的去確認(rèn)，實(shí)踐給了我們解讀理論的絕