2023學(xué)年完整公開課版必修第三章

3.1.1兩角差的余弦公式第三章

§3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程.2.理解用向量法導(dǎo)出公式的主要步驟.3.熟記兩角差的余弦公式的形式及符號特征，并能利用該公式進(jìn)行求值、計(jì)算.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一兩角差的余弦公式的探究思考1如何用角α，β的正弦、余弦值來表示cos(α－β)呢？有人認(rèn)為cos(α－β)＝cosα－cosβ，你認(rèn)為正確嗎，試舉出兩例加以說明.答案不正確.故cos(α－β)≠cosα－cosβ；故cos(α－β)≠cosα－cosβ.思考2

計(jì)算下列式子的值，并根據(jù)這些式子的共同特征，寫出一個猜想.①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝______；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝______；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝______；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝______.猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝__________，即________________________________.10cos(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ知識點(diǎn)二兩角差的余弦公式答案A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ).思考2

請根據(jù)上述條件推導(dǎo)兩角差的余弦公式.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.梳理

C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(1)適用條件：公式中的角α，β都是任意角.(2)公式結(jié)構(gòu)：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)的積，連接符號與左邊角的連接符號相反.[思考辨析判斷正誤]1.存在角α，β，使得cos(α－β)＝cosα－cosβ.(

)√2.任意角α，β，cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(

)×提示由兩角差的余弦公式可知不正確.3.任意角α，β，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(

)√答案提示題型探究類型一利用兩角差的余弦公式化簡求值例1

計(jì)算：(1)cos(－15°)；解答解方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°方法二原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.解答解原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.反思與感悟

利用兩角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差，正用公式直接求解.(2)在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角差的余弦公式的右邊形式，然后逆用公式求值.跟蹤訓(xùn)練1化簡cos15°cos45°＋cos75°sin45°的值為答案√解析解析cos15°cos45°＋cos75°sin45°＝cos15°cos45°＋sin15°sin45°類型二給值求值答案√解析解答所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)反思與感悟給值求值問題的解題策略(1)從角的關(guān)系中找解題思路：已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中的角的關(guān)系，根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換.(2)常見角的變換：①α＝(α－β)＋β；②α＝③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).解答以上兩式展開兩邊分別相加，得2＋2cos(α－β)＝1，類型三給值求角解答又∵β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα解答反思與感悟求解給值求角問題的一般步驟(1)求角的某一個三角函數(shù)值.(2)確定角的范圍.(3)根據(jù)角的范圍寫出所求的角.解答達(dá)標(biāo)檢測答案1234√解析51234答案解析5√答案1234解析√512345又α，β均為銳角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β).答案解析12344.cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.5解析原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]5.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，α，β∈(0，π)且a⊥b，求α－β的值.解答12345解因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝0.因?yàn)椋?lt;α－β<π，所以α－β＝規(guī)律與方法1.“給式求值”或“給值求值”問題，即由給出的某些函數(shù)關(guān)系式或某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變式”或“變角”，使“目標(biāo)角”換成“已知角”.注意公式的正用、逆用、變