必修第三章 省賽獲獎(jiǎng)

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式第三章

§3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用兩角和的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟練運(yùn)用二倍角的公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換并能靈活地將公式變形運(yùn)用.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測(cè)題型探究?jī)?nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一二倍角公式的推導(dǎo)思考1二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函數(shù)表示2α的三角函數(shù)的公式.根據(jù)前面學(xué)過的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，你能推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式嗎？答案sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α；思考2

根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sinα或cosα表示cos2α？答案cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1；或cos2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.知識(shí)點(diǎn)二二倍角公式的變形1.公式的逆用2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝_______，cos2α－sin2α＝

，2.二倍角公式的重要變形——升冪公式和降冪公式升冪公式1＋cos2α＝

，1－cos2α＝

，1＋cosα＝_______，1－cosα＝______.cos2α2cos2α2sin2α降冪公式[思考辨析判斷正誤]答案提示√2.cos4α＝cos22α－sin22α.(

)√×題型探究類型一給角求值解答解答(3)計(jì)算：cos20°cos40°cos80°.反思與感悟

對(duì)于給角求值問題，一般有兩類(1)直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)已知式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角.(2)若形式為幾個(gè)非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式.答案√答案解析類型二給值求值答案解析解析

(sinα－cosα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα答案解析√故選A.解答反思與感悟(1)條件求值問題常有兩種解題途徑：①對(duì)題設(shè)條件變形，把條件中的角、函數(shù)名向結(jié)論中的角、函數(shù)名靠攏；②對(duì)結(jié)論變形，將結(jié)論中的角、函數(shù)名向題設(shè)條件中的角、函數(shù)名靠攏，以便將題設(shè)條件代入結(jié)論.(2)一個(gè)重要結(jié)論：(sinθ±cosθ)2＝1±sin2θ.答案√解析答案解析類型三利用二倍角公式化簡(jiǎn)證明解答＝tanθ.證明反思與感悟三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、證明的常用技巧(1)特殊角的三角函數(shù)與特殊值的互化.(2)對(duì)于分式形式，應(yīng)分別對(duì)分子、分母進(jìn)行變形處理，有公因式的提取公因式后進(jìn)行約分.(3)對(duì)于二次根式，注意二倍角公式的逆用.(4)利用角與角之間的隱含關(guān)系，如互余、互補(bǔ)等.(5)利用“1”的恒等變形，如tan45°＝1，sin2α＋cos2α＝1等.答案解析0解析∵α為第三象限角，∴cosα<0，sinα<0，達(dá)標(biāo)檢測(cè)答案1234√解析5故選D.1234答案5√答案1234解析5√答案解析12345證明12345123