第02講 5.2導(dǎo)數(shù)的運算（解析版）

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①能根據(jù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。②能熟練應(yīng)用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。③理解并熟練掌握函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則。④了解復(fù)合函數(shù)的概念，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。1.掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)；2.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的運算公式；3.能準(zhǔn)確應(yīng)用公式計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；4.會求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；5.能解決與切線、切點、斜率、待定參數(shù)相關(guān)的問題..知識點01：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(為常數(shù))知識點02：導(dǎo)數(shù)的四則運算法則1、兩個函數(shù)和的和（或差）的導(dǎo)數(shù)法則：.2、對于兩個函數(shù)和的乘積（或商）的導(dǎo)數(shù)，有如下法則：；.3、由函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)法則可以得出，也就是說，常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的積，即【即學(xué)即練1】（2023下·四川雅安·高二?？茧A段練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）（2）知識點03：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積．【即學(xué)即練2】（2023上·山東濱州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則=.【答案】3【詳解】由題意知，，所以.故答案為：3.知識點04：切線問題1、在型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計算：函數(shù)在或者處的切線方程.步驟：第一步：計算切點的縱坐標(biāo)（方法：把代入原函數(shù)中），切點.第二步：計算切線斜率.，切線斜率。根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.【即學(xué)即練3】（2023上·貴州黔西·高三貴州省興義市第八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）曲線在處的切線方程為．【答案】【詳解】，則當(dāng)時，，所以曲線在處的切線方程為，即.故答案為：.2、過型求切線方程已知：函數(shù)的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設(shè)切點第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：計算切線方程.根據(jù)直線的點斜式方程得到切線方程：.【即學(xué)即練4】（2023下·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則函數(shù)的圖像過點的切線方程為.【答案】或【詳解】設(shè)切點為，由可得，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，切線的斜率，因為，所以切線方程為，將點代入，得，即，得，解得或，當(dāng)時，切點坐標(biāo)為，相應(yīng)的切線方程為；當(dāng)時，切點坐標(biāo)為，相應(yīng)的切線方程為，即，所以切線方程為或.故答案為：或題型01導(dǎo)數(shù)公式與運算法則的簡單應(yīng)用【典例1】（2023上·河北邯鄲·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列求導(dǎo)運算中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：D【典例2】（2023下·新疆阿克蘇·高二?？茧A段練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)(2).【答案】(1)(2)【詳解】（1）整理可得，.（2）.【變式1】（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列求導(dǎo)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，故A錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.故選:D.題型02利用導(dǎo)數(shù)公式與運算法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【典例1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）寫出下列函數(shù)的中間變量，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，(6)，【詳解】（1）令，因為，所以.（2）令，因為，.（3）令，因為，.（4）令，因為，.（5）令，因為，.（6）令，因為，.【典例2】（2023·全國·高二課堂例題）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）可由及復(fù)合而成，所以．（2）可由及復(fù)合而成，所以．【變式1】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）寫出下列函數(shù)的中間變量，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則分別求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)中間變量為，(2)中間變量為，(3)中間變量為，(4)中間變量為，【詳解】（1）對于，中間變量為，則，所以.（2）對于，中間變量為，則，所以.（3）對于，中間變量為，則，所以.（4）對于，中間變量為，則，.題型03解析式中含的導(dǎo)數(shù)問題【典例1】（2022下·吉林長春·高二統(tǒng)考期中）若，則等于（

）A．2 B．0 C．2 D．4【答案】D【詳解】因為，所以所以，得所以，所以故選：D【典例2】（2022下·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則．【答案】24【詳解】因為，所以，所以，即，，，故．故答案為：【變式1】（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（

）A． B． C．6 D．14【答案】C【詳解】，則，則，故選：C【變式2】（2022下·河北滄州·高二滄縣中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的值為．【答案】【詳解】∵，∴，∴∴．故答案為：.題型04求切線斜率【典例1】（2023下·北京海淀·高二首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤糁本€過原點，且與函數(shù)的圖像相切，則該直線的斜率為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以，設(shè)切點為，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點，所以，解得，所以切線方程的斜率為.故選：B【典例2】（2023·海南省直轄縣級單位·統(tǒng)考一模）函數(shù)（b＞0，a∈R）在點處的切線斜率的最小值是（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【詳解】，所以在點處的切線斜率是，因為b＞0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故選：C．【變式1】（2022上·河南·高三河南省淮陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，過作曲線的切線，切點在第一象限，則切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由，得，設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線方程為，把點代入并整理，得，解得或（舍去），故切線斜率為．故選：C．【變式2】（2022下·安徽·高三巢湖市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，則曲線在點處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對，求導(dǎo)可得，，得到，所以，，所以，，故選D題型05求切線方程（在型）【典例1】（2023上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）設(shè)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若是偶函數(shù)，則曲線在原點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題設(shè)是偶函數(shù)，∴，解得，∴，∴曲線在原點處的切線方程為.故選：A【典例2】（2023上·云南昆明·高三統(tǒng)考期中）曲線在點處的切線方程是【答案】【詳解】由可得，所以，所以由點斜式可得切線方程為，即，故答案為：【變式1】（2023上·浙江·高三浙江省富陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程是．【答案】【詳解】，，，所以曲線在點處的切線方程是，即.故答案為：【變式2】（2023上·四川成都·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為【答案】【詳解】由題意，所以且，所以，因此的圖象在處的切線斜率為，所以的圖象在處的切線方程為，化簡得.故答案為：.題型06求切線方程（過型）【典例1】（2023下·山東威海·高二統(tǒng)考期末）寫出曲線過坐標(biāo)原點的一條切線方程.【答案】或（任寫一個即可）【詳解】，設(shè)切點為，故切線方程為，由于切線過原點，故，整理得，解得或.當(dāng)時，切線方程為，即.當(dāng)時，切線方程為，即.故答案為：或（任寫一個即可）【典例2】（2023下·河南南陽·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)．(1)若曲線在其上一點Q處的切線與直線平行，求Q的坐標(biāo)；(2)求曲線的過坐標(biāo)原點O的切線的方程．【答案】(1)或（2，0）(2)或．【詳解】（1），設(shè)，因為直線的斜率為4，所以，解得或2．，．所以點Q的坐標(biāo)為或（2，0）．（2）設(shè)切點為，則，，所以在該點處的切線方程為．因為切線過原點，所以，解得或1．又因為，，所以切線方程為或．【變式1】（2022上·山西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）過點與曲線相切的切線方程為．【答案】【詳解】設(shè)切點為，則，得，則切點為，切線方程為，即．故答案為：.【變式2】（2023下·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)用導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)；(2)過點作的切線，求切線方程．【答案】(1)12(2)或【詳解】（1）因為，所以，則．（2），設(shè)切點，則切線的斜率為，故切線方程為，將點代入得，即，得，解得或，所以切線方程為或．題型07利用相切關(guān)系求最小距離【典例1】（2024上·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點P在函數(shù)的圖象上，點Q在函數(shù)的圖象上，則的最小值為.【答案】【詳解】

由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，在處的切線方程為，整理可得：；由函數(shù)，求導(dǎo)可得：，則，在處的切線方程為，整理可得；由直線的斜率，易知：直線分別與兩條切線垂直..故答案為：.【典例2】（2023下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若點是曲線上任意一點，點是直線上任意一點，則的最小距離為.【答案】/【詳解】令，則，即曲線在處的切線方程為：，即,如下圖所示，當(dāng)時的最小值為點到直線的距離（為垂足）.故.故答案為：【變式1】（2023下·江西贛州·高二統(tǒng)考期中）設(shè)點A在直線上，點B在函數(shù)的圖象上，則的最小值為.【答案】【詳解】設(shè)函數(shù)與直線平行的切線為，則的斜率為，由，得，所以切點為，則點到直線的距離就是的最小值，即.故答案為：.【變式2】（2023上·高二課時練習(xí)）在函數(shù)的圖象上求一點P，使P到直線的距離最短，并求這個最短的距離．【答案】/【詳解】設(shè)，又，則過點的切線斜率，當(dāng)過點的切線平行于直線時，點到直線的距離最短，即，解得：，此時，它到直線的距離，故答案為：.A夯實基礎(chǔ)B能力提升A夯實基礎(chǔ)一、單選題1．（2023上·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列求導(dǎo)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C.2．（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列求導(dǎo)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，故A錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確．故選：D．3．（2023上·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，所求切線斜率，所求切線方程為：，即.故選：A.4．（2023上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若曲線在點處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【詳解】直線的斜率為，由題設(shè)知：在處的切線的斜率為，而，∴，可得.故選：C.5．（2023上·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象在處切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，，所以，故選：B.6．（2023下·四川雅安·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．【答案】C【詳解】由已知可得，，所以，，所以，.故選：C.7．（2023上·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知曲線在點處的切線的傾斜角為，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【詳解】，由題意可知，切線的斜率，則，解得：，，所以.故選：A8．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若曲線與直線相切，則實數(shù)（

）A． B．1 C．2 D．【答案】B【詳解】直線，即，對于，則，設(shè)切點坐標(biāo)為，切線斜率，則切線方程為，即，由題意可得，解得.故選：B.二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）下列導(dǎo)數(shù)的運算中正確的是（

）A． B．C．＝ D．【答案】ABD【詳解】,正確；，正確；，正確；因為，所以C項錯誤，其余都正確.故選：ABD10．（2023下·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則過點且與曲線相切的直線方程可以為（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】由，得，設(shè)切點坐標(biāo)為，則，則過切點的切線方程為，把點代入，可得，整理得：，即或.當(dāng)時，切線方程為;當(dāng)時，切線方程為.故選：BC.三、填空題11．（2023上·廣東惠州·高三博師高中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則.【答案】【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，所以.故答案為：12．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知曲線與曲線（）相交，且在交點處有相同的切線，則.【答案】【詳解】易知：必有.設(shè)兩曲線的交點為，，，由題意：，兩式相除得：，∵，∴.代入得：解得.故答案為：四、解答題13．（2023下·新疆和田·高二校考期中）已知函數(shù)，點在曲線上.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求曲線過點的切線方程.【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）由題意，故，所以，而，所以曲線在點處的切線方程為.（2）令所求切線在曲線上的切點為，則，所以切線方程為，又在切線上，故或，所以切線方程為或.14．（2023上·黑龍江·高三黑龍江實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線與軸，軸分別交于點，，求的面積（為坐標(biāo)原點）；(2)求與曲線相切，并過點的直線方程.【答案】(1)6(2