數(shù)學(xué)歸納法及應(yīng)用

數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例第三課時(shí)政和一中葉章平數(shù)學(xué)歸納法1.先證明當(dāng)n

取第一個(gè)值n0(如n0=1)時(shí)命題成立2.假設(shè)當(dāng)n=k(kN*,k

n0)時(shí)命題成立，再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，由1、2可知命題對(duì)大于等于n0的所有自然數(shù)都成立遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉例1.求證：x2n

y2n能被x+y整除證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，x2n

y2n=x2

y2=(x+y)(x

y)所以(x+y)(x

y)能被x+y整除(2)假設(shè)n=k時(shí)，x2k

y2k能被x+y整除那么x2(k+1)

y2(k+1)=x2kx2

y2ky2

=x2(x2k

y2k)+x2y2k

y2ky2

=x2(x2k

y2k)+y2k(x2

y2)∵x2k

y2k能被x+y整除，x2

y2能被x+y整除∴x2(x2k

y2k)+y2k(x2

y2)能被x+y整除即x2(k+1)

y2(k+1)能被x+y整除由(1)、(2)知x2n

y2n能被x+y整除變形：n為什么自然數(shù)時(shí)x2n+y2n能被x+y整除？

例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意自然數(shù)n，數(shù)11n+2+122n+1是133的倍數(shù)證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，11n+2+122n+1=113+123=23

133∴23133能被133整除，即n=1時(shí)命題成立(2)假設(shè)n=k時(shí)，11k+2+122k+1能被133整除那么11(k+1)+2+122(k+1)+1=1111k+2+122

122k+1

=11(11k+2+122k+1)11

122k+1+122

122k+1=11(11k+2+122k+1)+122k+1(14411)=11

(11k+2+122k+1)+122k+1

133由歸納假設(shè)知11k+2+122k+1及122k+1

133都能被133整除∴11(k+1)+2+122(k+1)+1能被133整除，即n=k+1時(shí)命題也成立由(1)、(2)，可知命題對(duì)一切自然數(shù)n都成立例3.平面內(nèi)有3條直線，任何兩條都不平行，且又不交于同一點(diǎn)，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)______若直線的條數(shù)為5、6、7時(shí)呢？怎樣計(jì)算出來(lái)的？3例4.平面內(nèi)有n(n

2)條直線，任何兩條都不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，求證交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為假設(shè)n=k(k

2)時(shí)命題成立，即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)平面內(nèi)有k+1條直線時(shí)，任了其中的一條直線，記為l,由歸納假設(shè)，除l外的其他k條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為∵任何兩條直線不平行，∴直線l必與平面內(nèi)其它k條直線都相交(有k個(gè)交點(diǎn))；又∵已知任何三條直線不過(guò)同一點(diǎn)，∴上面的k個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同，且與平面內(nèi)的其它個(gè)交點(diǎn)也兩兩不相同，從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是例4.平面內(nèi)有n(n

2)條直線，任何兩條都不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，求證交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為變形1：平面內(nèi)有n(n

2)條直線，任何兩條都不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，線段的條數(shù)為bn，射線的條數(shù)為cn，求bn，cn的表達(dá)式變形2：平面內(nèi)有n(n

2)條直線，任何兩條都不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，這n條直線將平面分成的平面區(qū)域的塊數(shù)為g(n)，求g(n)變形3：平面內(nèi)有n

個(gè)