2023學(xué)年深圳市高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.復(fù)數(shù)z=4一+3/=的虛部為（）

1-2

A.2lB.-2iC.2D.-2

2.已知數(shù)列也,}滿(mǎn)足q=l,4-a,i="（〃N2）,則數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式為=（）

A.-n（n+1）B.——1）C.n2—n+1D.rr—2n+2

3.在函數(shù)：①y=cos|2x|；②y=|cosx|；③>=8$（2尤+看）④丁=tan（2x—f中，最小正周期為了的所有

函數(shù)為（）

A.①②③B.①③④C.②④D.①③

4.將函數(shù)/（x）=cos2x圖象上所有點(diǎn)向左平移;個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（X）的圖象，如果g（X）在區(qū)間[0,a]上單

調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù)"的最大值為（）

〃?！?

A.—B.-C.—D.-7C

8424

5.設(shè)集合4={2=2廠1,xdR},B={x|-2<x<3,xGZ）,貝！JACB=（）

A.（-1,3]B.[-1,3]C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

6.MBC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a+2c=2Z?cosA,則角8的大小為（）

2%71_7154

A.—B?—C.—D.—

3366

22

7.已知雙曲線今一2r=1（。>0力>0）的左、右頂點(diǎn)分別是A8,雙曲線的右焦點(diǎn)尸為（2,0）,點(diǎn)p在過(guò)戶(hù)且垂直

a~b~

于i軸的直線/上，當(dāng)八46尸的外接圓面積達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)P恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為（）

,2

D.上工=1

44

8.設(shè)函數(shù)在定義城內(nèi)可導(dǎo)，y=/（x）的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）的圖象可能為（）

9.若復(fù)數(shù)（2a+"（l+i）（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則實(shí)數(shù)2為（）

11

A.—2B.2C.----D.一

22

10.設(shè)等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為s“，貝?。荨?<0”是“S的<0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

x-y+l>0

11.已知實(shí)數(shù)x、）’滿(mǎn)足約束條件<3x—y—340,則z=2x+），的最大值為（）

”0

A.-1B.2C.7D.8

12.一個(gè)正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面積是（）

B.12C.8D.6

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

4x+2y

13.設(shè)x，）’為正實(shí)數(shù)，若4/+/+初=1貝！J的取值范圍是

20x2+11孫+5/

14.若sin1'+aj=）,則cosa=,cos2a+cosa=.

15.已知拋物線C:y2=i6x的對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為"，直線/：丁="-以與。交于A,B兩點(diǎn),若

\AM\=4\BM\,則實(shí)數(shù)g=.

16.設(shè)S,為數(shù)列｛《,｝的前”項(xiàng)和，若2s.=5。“-7,則氏=一

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖，三棱錐P—ABC中，點(diǎn)D,￡分別為AB,8C的中點(diǎn)，且平面PDEL平面ABC.

（1）求證：AC//平面P0E；

（2）若PD=AC=2,PE=6,求證：平面P8C_L平面ABC.

22

18.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：三+二=1的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,P,Q為橢圓。上兩

43

點(diǎn)，圓O:X?+），=/（尸>0）.

（1）若軸，且滿(mǎn)足直線AP與圓。相切，求圓。的方程；

3

（2）若圓。的半徑為G，點(diǎn)P,Q滿(mǎn)足壇「?自2=-^，求直線PQ被圓。截得弦長(zhǎng)的最大值.

19.（12分）如圖，平面四邊形A3CZ）為直角梯形，AD//BC,NAOC=9（T，AB=AD=2BC=2,將△43。繞

著AO翻折到A^AD.

B

(1)M為PC上一點(diǎn)，且兩=/1祝，當(dāng)24//平面血四時(shí)，求實(shí)數(shù)2的值；

(2)當(dāng)平面尸AZ)與平面PBC所成的銳二面角大小為30時(shí)，求PC與平面ABCD所成角的正弦.

20.(12分)已知〃x)=xl"與)="有兩個(gè)不同的交點(diǎn)AB,其橫坐標(biāo)分別為與々(不<々).

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)求證：ae+]</-X<3a+；+e.

21.(12分)如圖，已知四棱錐P-ABCD,E41￥ffiABCD,底面ABC。為矩形，AB=3,AP=4,E為PD的

中點(diǎn)，AE1PC.

(1)求線段AD的長(zhǎng).

(2)若"為線段8c上一點(diǎn)，且BM=1，求二面角例—PD—A的余弦值.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=(x-lf+℃-alnx

(I)若。2-2討論f(x)的單調(diào)性；

(II)若a>0,且對(duì)于函數(shù).f(x)的圖象上兩點(diǎn)4(5,/(%)),6(々/(々))(％<々)，存在與6(%,%)，使得函數(shù)

/(X)的圖象在x=X。處的切線IHP用.求證：/<五學(xué).

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)出z,即可得出虛部.

【詳解】

4+3z(4+3Z)(?+2)_5+10Z_

解：Z=-----=77\~———1-Zl

z—2(，-2)(，+2)—5

故虛部為-2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念.

2.A

【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過(guò)累加法求解即可.

【詳解】

數(shù)列{??}滿(mǎn)足：％=1,an-a?_t="(〃..2,N*),

可得q=1

a2-a{=2

a3-a2=3

4_%=4

“"一%=〃

以上各式相加可得：

a”=1+2+3+...+"=5n{n+1),

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列累加法以及通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力.

3.A

【解析】

逐一考查所給的函數(shù)：

y=cos|2x|=cos2x,該函數(shù)為偶函數(shù)，周期7=半=乃；

將函數(shù)y=cosx圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到y(tǒng)=|cosX的圖象，該函數(shù)的周期為

—x2乃二乃?

2

函數(shù)y=cos(2x+￡|的最小正周期為7=券=萬(wàn);

函數(shù)y=tan(2x-的最小正周期為T(mén)=]=].

綜上可得最小正周期為左的所有函數(shù)為①②③.

本題選擇A選項(xiàng).

點(diǎn)睛：求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù)的式子，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)

誤.一般地，經(jīng)過(guò)恒等變形成"y=Asin(tox+”)，j>=Acos(tox+^),y=4tan((yx+9)”的形式，再利用周

期公式即可.

4.B

【解析】

根據(jù)條件先求出g(x)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】

將函數(shù)/(x)=cos2x圖象上所有點(diǎn)向左平移:個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，

則g(x)=cos2(x+?)=cos[2x+]),

7t

設(shè)。=21+—，

2

TC71TC

則當(dāng)0<xWa時(shí)，0<2x<2n，—<2xH—<2aH—,

222

7t7t

即一<"2。+—，

22

要使g(x)在區(qū)間[0,。]上單調(diào)遞減，

TTTTTT

則2〃+—K乃得2。V—，得aW—,

224

即實(shí)數(shù)"的最大值為四，

4

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，屬于中檔題.

5.C

【解析】

先求集合A,再用列舉法表示出集合8,再根據(jù)交集的定義求解即可.

【詳解】

解:?.?集合4={j[y=2*T,xG/?)={jly>-1},

B={x\-2<x<3,x€Z}={-2,-1,0,1,2,3},

.,.AnB={0,1,2,3},

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角，然后利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)，可求出解反

【詳解】

由正弦定理可得sinA+2sinC=2sinBcosA,即sinA+2sin(A+8)=2sin5cosA,即有sinA(1+2cos8)=0,

12萬(wàn)

因?yàn)閟inA>0,貝!|cosB=一—,而B(niǎo)e(0,?),所以8=——.

23

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形，屬于基礎(chǔ)題.

7.A

【解析】

點(diǎn)2的坐標(biāo)為(2,7〃)(〃2>0),121144/歸=1的(4"/-/8。/),展開(kāi)利用均值不等式得到最值，將點(diǎn)代入雙曲線

計(jì)算得到答案.

【詳解】

不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,加)(根>()),由于|A即為定值，由正弦定理可知當(dāng)sinNAP8取得最大值時(shí)，AAPB的外接

圓面積取得最小值，也等價(jià)于tanNAP3取得最大值，

因?yàn)閠an/A尸產(chǎn)二四一,tan/BPF=^~,

mm

2+。2—a

2a

所以tan/APB=tan(ZAPF-NBPF)=mm

2+Q2—ab2

14--------m-\---

mmm

當(dāng)且僅當(dāng)加=幺（加＞0）,即當(dāng)m=b時(shí)，等號(hào)成立，

m

此時(shí)NAP5最大，此時(shí)的外接圓面積取最小值，

丫22_________

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,勾，代入3一2=1可得.=&，匕=后=7=0.

ab

22

所以雙曲線的方程為土-匕=1.

22

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了求雙曲線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

8.D

【解析】

根據(jù)/（X）的圖象可得r（x）的單調(diào)性，從而得到廣（工）在相應(yīng)范圍上的符號(hào)和極值點(diǎn)，據(jù)此可判斷r（x）的圖象.

【詳解】

由/'（X）的圖象可知，/（X）在（口,0）上為增函數(shù)，

且在（0,+8）上存在正數(shù)優(yōu)，〃，使得了（X）在（0,m）,（〃,轉(zhuǎn)）上為增函數(shù)，

在（加,〃）為減函數(shù)，

故尸（x）在（0,+8）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且在這兩個(gè)零點(diǎn)的附近，/'（X）有變化，

故排除A,B.

由在（9,0）上為增函數(shù)可得r（x）20在（9,0）上恒成立，故排除C.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識(shí)別，此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來(lái)考慮導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與零點(diǎn)情況，本題屬于基礎(chǔ)題.

9.D

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為0求得〃值.

【詳解】

解：?.?（2a+i）（l+i）=（2a—l）+（2a+l）i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，

2a-1=0,即a=L

2

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，判斷出正確選項(xiàng).

【詳解】

由于數(shù)列｛凡｝是等比數(shù)列，所以52必=%?一士一，由于一^-〉0,所以

q<0oS2M<0,故“4<0”是“S2O2I<0”的充分必要條件.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，結(jié)合圖象知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)。時(shí)，Z取得最大值.

【詳解】

解：作出約束條件表示的可行域是以（-1,0）,（1,0）,（2,3）為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部，如下圖表示：

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)。（2,3）時(shí)，z取得最大值，最大值為7.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識(shí),屬于中檔題.

12.B

【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖，以及長(zhǎng)度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)矩形的面積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng)為2

所以該正三棱柱的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)為2的正方形，

所以該正三棱柱的側(cè)面積為3x2x2=12

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查正三棱柱側(cè)面積的計(jì)算以及三視圖的認(rèn)識(shí)，關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長(zhǎng)，掌握一些常見(jiàn)的幾何體的三

視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

/、2

根據(jù)4/+y2+肛=1,可得4/+/=1—孫，進(jìn)而（2x+y/=i+30=1+」2盯41+3（^^],有

2212）

84x+2y_2（2x+y）_2（2x+y）_2（2%+y）R

而22孫令"十）一'°唱】'

’5，20x2+11^+5,25（4%+y）+Hj^5+62（2x+?+3'

得到人）二中'再用導(dǎo)數(shù)法求解,

【詳解】

因?yàn)?丁+/+孫=1,

所以4/+）/=]_%,,

所以（2x+y『=1+3盯=1+。2孫＜1+。

22、2

所以（2x+?4|,

、4x+2y_2（2x+y）_2（2尤+y）_2（2x+y）

所以20/+11盯+5/5（"+?。?11孫5+6孫2（2x+?+3

令2x+y=/e（0,J|],/（『）=「&'

-4r+6

所以r")

當(dāng)o<”J|時(shí)，r(f)>o,當(dāng)&時(shí),r(0<°

所以當(dāng)時(shí),取得最大值乎,

又/（0）=0"

所以/(/)取值范圍是(0,逅］,

6

故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)法求最值，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于難題,

14

14.--一

39

【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算得到答案.

【詳解】

.(711?_,4

sinly+￡z1=cos?=-,故cos2a+cosa=2cos-a-l+cosa=——.

14

故答案為：—；?

39

【點(diǎn)睛】

本題考查了誘導(dǎo)公式和二倍角公式，屬于簡(jiǎn)單題.

15.+-

3

【解析】

由于直線/：＞="-4左過(guò)拋物線。的焦點(diǎn)，因此過(guò)A,3分別作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P,Q,由拋物線的

定義及平行線性質(zhì)可得晨4=4,從而再由拋物線定義可求得直線A3傾斜角的余弦，再求得正切即為直線斜率.注

意對(duì)稱(chēng)性，問(wèn)題應(yīng)該有兩解.

【詳解】

直線/:丁="一4攵過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)尸（4,0）,〃=8,過(guò)A,8分別作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為P,Q,由拋

物線的定義知|AP|=|AF|,I8QR8".

|PM||AF||AP|

因?yàn)锳PI/MFI/BQ,所以因?yàn)閆APM=ZBQM=90°,

\QM~\=TBF\=TBQ\

所以AAPM?ABQM,從而叫"=曳1=113=4

IBM|\BQ\\BF\

設(shè)直線/的傾斜角為a,不妨設(shè)0Wa<]如圖，貝!||A戶(hù)|=|"|=|用耳+|4耳cosa=p+|AF|cosa,

|AF|=-P—,m\BF\=-B—,

1-cosa1+cosa

P

則也=1-cosaJ+c°sj4,

|BF\P1-cosa

1+cosa

343

解得cosa=—,k=tana=一,由對(duì)稱(chēng)性還有Z=一-滿(mǎn)足題意.

534

工4

,綜上，k=±—.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的性質(zhì)，考查拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，掌握拋物線的定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與它到距離聯(lián)系起

來(lái)是解題關(guān)鍵.

【解析】

7

當(dāng)〃=1時(shí)，由2s?=5%-7=2卬，解得當(dāng)〃22時(shí)，2s.=5a”-7,2S,i=5a,i—7,兩式相減可得

2a.=5an-5an_},即5?=3%,可得數(shù)列小}是等比數(shù)列再求通項(xiàng)公式.

【詳解】

7

當(dāng)〃=1時(shí)，2S]=5%-7=2%,即4=§,

當(dāng)〃22時(shí)，2S.=5an-7,2S?_,=5an_t-7,

兩式相減可得2a“=5%,

即5a=3an,

75

故數(shù)列｛4｝是以§為首項(xiàng)，§為公比的等比數(shù)列，

所以4=建.

故答案為：:1:)

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的前〃項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，還考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)利用線面平行的判定定理求證即可；

(2)。為AB中點(diǎn)，E為8C中點(diǎn)，可得。E=3AC=1,PD=2,PE=5可知PD2=PE?+DE?，故2DE

為直角三角形，PE工DE,利用面面垂直的判定定理求證即可.

【詳解】

解：(1)證明：：O為AB中點(diǎn)，E為BC中點(diǎn),,

AC//DE,

又4。?平面~0￡,DEu平面PDE,

AC7/平面PDE；

(2)證明：。為AB中點(diǎn)，E為BC中點(diǎn),

..QE=gAC=l,又P￡>=2,PE=6,

則=依2+,故△/>￡>￡為直角三角形，PELDE,

???平面平面A8C,平面PDEn平面45C=D￡，PE工DE,PEu平面PDE，

PEJ_平面ABC,

又：PEu平面PBC,

???平面PBC,平面ABC.

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.(1)x2+y2――(2)

【解析】

試題分析：(1)確定圓。的方程，就是確定半徑的值，因?yàn)橹本€AP與圓。相切，所以先確定直線方程，即確定點(diǎn)P

331

坐標(biāo)：因?yàn)檩S，所以P(l,±/),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可取P(l,]),則直線AP的方程為y=](x+2),根據(jù)圓心到

2

切線距離等于半徑得「=有(2)根據(jù)垂徑定理，求直線被圓。截得弦長(zhǎng)的最大值，就是求圓心。到直線PQ的

例3

距離的最小值.設(shè)直線PQ的方程為y="+"則圓心。到直線PQ的距離利用-得

a+14

3玉=°，化簡(jiǎn)得(3+4/必々+4的(西+馬)+劭2=0,利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結(jié)合韋達(dá)

定理得2/=4攵2+3,因此d=j4%：+32——I------當(dāng)％=0時(shí)，△取最小值，P。取最大值為卡.

Y2(左2+1)丫2(公+1)丫

試題解析：解：(1)

22

因?yàn)闄E圓C的方程為L(zhǎng)+21=1,所以4—2,0),F(l,0).

43

3

因?yàn)橹馢_x軸，所以P(l,±5),而直線AP與圓。相切，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可取P(l,g),

則直線AP的方程為y=；(x+2),

即x-2y+2=0.

2

由圓。與直線AP相切，得「=而，

所以圓。的方程為/+>2=].

(2)

易知，圓。的方程為f+y2=3.

3

①當(dāng)PQJ_x軸時(shí)，kop.koQ=-ko；=-[

所以尢》=±走，

OP2

此時(shí)得直線P。被圓。截得的弦長(zhǎng)為小巨.

7

②當(dāng)PQ與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線P。的方程為>=履+6,2（知y）,。（乙,%）（為々工0），

3

首先由々OP?％OQ=-得3Mx2+4y%=0，

即3X1X2+4（"]+b）（kx2+b）=0,

所以（3+422）再入2+4劭（玉+*2）+402=0（*）.

y=kx+b

聯(lián)立｛fy2,消去x,得（3+4/）/+8奶尤+4/-12=0,

—+—=1

43

3kb4/-12

將％+々=代入（*）式,

彳涯'再"3+4公

得于=4r+3.

由于圓心。到直線PQ的距離為d=十占,

yjk2+l

所以直線PQ被圓。截得的弦長(zhǎng)為/=2。^二尸=/4+一一，故當(dāng)％=0時(shí)，/有最大值為

Vk+\

綜上，因?yàn)橹?gt;也,所以直線PQ被圓。截得的弦長(zhǎng)的最大值為卡.

7

考點(diǎn)：直線與圓位置關(guān)系

19.(1)/l=2；(2)

20

【解析】

(1)連接AC交BD于點(diǎn)N,連接MN,利用線面平行的性質(zhì)定理可推導(dǎo)出PA〃MN,然后利用平行線分線段成比

例定理可求得X的值；

(2)取AD中點(diǎn)。，連接OP、OB,過(guò)點(diǎn)P作〃/AD,則〃/3C,作PH工OB于H,連接CH,推導(dǎo)出QP，/,

OB11,可得出N8P0為平面Q4O與平面P8C所成的銳二面角，由此計(jì)算出PH、PC,并證明出P〃_L平面

ABCD,可得出直線PC與平面ABCD所成的角為NPCH,進(jìn)而可求得PC與平面ABCO所成角的正弦值.

【詳解】

(1)連接AC交BD于點(diǎn)N,連接MN,

?.?PA〃平面B4u平面PAC,平面PACD平面

在梯形ABCD中，QBCHAD，則AADNcBN>==—,

1NAAD2

PMAN

?;PAI/MN,：.——=——=2,所以，2=2；

MCCN

(2)取AO中點(diǎn)。，連接OP、OB,過(guò)點(diǎn)P作〃/AO,則〃/BC,作PHLOB于H,連接C".

?.?。為AO的中點(diǎn)，J&BC//AD,AD=2BC,：.OD//BC且OD=BC,

所以，四邊形OBCD為平行四邊形，由于ZBCD=9(r，

-.PA=AB,OA^OA,ZPAO=ZBAO,:.^PAO=^BAO,ZAOP^ZAOB=90,

???。為AZ)的中點(diǎn)，所以，BD=AB=2,..OB=dAB?—O#=G，同理OP=0，

-,-ADA.OP,AD1OB,.?./1￡)，平面P08,

-.-1//AD,：.l±OP,/_LOP,.?.NBPO為面PAD與面P8C所成的銳二面角，

Z8PO=3(r,

?;OP=OB=6N5PO=30",ZOBP=30e,則N5OP=120°,

3

PHVOB,：.PH=OPsin60=—，

2

?.?4￡)，平面。。8,丹/匚平面尸。8,「.40，/￥7,

?/PHA.OB,ADcOB=O,_1_面ABC。，

ZPCH為PC與底面ABC。所成的角，

?/BH=OB+OPcos60°=，CHZBC?+BH?=浮'PC=^PH2+CH2=710-

3

在2"嘿市噤

因此，PC與平面ABC。所成角的正弦值為白叵.

20

【點(diǎn)睛】

本題考查利用線面平行的性質(zhì)求參數(shù)，同時(shí)也考查了線面角的計(jì)算，涉及利用二面角求線段長(zhǎng)度，考查推理能力與計(jì)

算能力，屬于中等題.

20.(1)I-1-0j；(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究/(x)=xlnx的單調(diào)性，分析函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即得解；

11((\

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-x-xlnx,h(x)=-----(x-D-xlnx可證得：-x>xlnx,-------(x-l)>xliuxe—,1

e-1e-1Iye

分析直線y=_x,y=—'-(x-l)與y=a

從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，/(x)在x=e-3,x=l處的切線即得解.

【詳解】

(1)設(shè)函數(shù).f(x)=xlnx,

/'(x)=l+lnx,

令尸（x）＞O，x＞L令/（x）＜O,O＜x＜，

ee

故/（X）在（o，m單調(diào)遞減，在百物）單調(diào)遞增,

：Xf0+時(shí)/(X)f0；/(l)=o；x-”時(shí)/(x)f+OO

(2)①過(guò)點(diǎn)(0,0),(：，-￡|的直線為>=一了,

則令g(x)=_x_xlnx,x€(0—),

g'(x)=-2-Inx

ng(X)max=g卜」),>mill{0,

n—x>xlnxxG

②過(guò)點(diǎn)（l，o）,（，，一31的直線為＞=^^（》一1）,

則/z(x)=(x-l)-xlnxXG

hr(.x)=-......Inv—1>0=>在Li］上單調(diào)遞增

e—1

/z(x)>hi—=On-----(x-1)>xlaxXG

7e—1

③設(shè)直線y=_x,y=」一(x-l)與y=a

e—1

從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為七=-。，尤4=。(e-1)+1，

由圖知*2~xi〉》4一七=ae+l.

④/(x)在x=e-3,%=1處的切線分別為〉=一2%一"3,y=x-\,同理可以證得

記直線y=。與兩切線和"(x)從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為毛，百，％，4,

,八—a—e33a+2—e3

x2-xi<x6-x5=(a+1)-----—=---------.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.

21.(1)AD的長(zhǎng)為4(2)且

3

【解析】

(1)分別以A6,AP,AO所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

設(shè)AD=t,根據(jù)向量垂直關(guān)系計(jì)算得到答案.

(2)計(jì)算平面0A仍的法向量為7=(1,1,1),A月=(3,0,0)為平面PZM的一個(gè)法向量，再計(jì)算向量夾角得到答案.

【詳解】

(1)分別以AB,AP,AO所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一盯z.

設(shè)A。=f,則A(0,0,0),E(0,2,1j,C(3,0,/),P(0,4,0),

所以AE=1o,2，d，PC=(3,-4,f).,因?yàn)锳E_LPC,所以屈.正=0，

即16-*=0,解得f=4,所以AO的長(zhǎng)為4.

(2)因?yàn)锽M=1，所以"(3,0,1),又P(0,4,0),D(0,0,4),

故。月=(0,4,-4),DM=(3,0,-3).

_n±DP,(4y—4z=0,

設(shè)〃=(x,y,z)為平面3Mp的法向量，則〈——.即〈八

JilDM,[3x-3z=O,

取z=i,解得y=Lx=i,

所以]=(1,1,1)為平面0Mp的一個(gè)法向量.

顯然，礪=(3,0,0)為平面PZM的一個(gè)法向量，

貝！Jcos<?,AB)==/3=后,

\n\\AB\3V1+1+13

a

據(jù)圖可知，二面角PD—A的余弦值為YL

3

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體幾何中的線段長(zhǎng)度，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

22.⑴見(jiàn)解析⑵見(jiàn)證明

【解析】

⑴對(duì)函數(shù)/(x)求導(dǎo)，分別討論—2<。<0以及a=—