第02講 有理數(shù)的乘法和除法（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）

第02講有理數(shù)的乘法和除法1.理解有理數(shù)乘法、除法法則；理解倒數(shù)概念2.能利用乘法則進行簡單的有理數(shù)的乘運算；3.能掌握乘法的運算定律和運算技巧，熟練計算；4.通過將除法轉(zhuǎn)化成乘法，初步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的歸一思想知識點1：乘法法則（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。（2）任何數(shù)同0相乘，都得0。（3）多個不為0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負數(shù)，即先確定符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。（4）多個數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0，則積等于0；反之，若積為0，則至少有一個因數(shù)是0。知識點2：除法法則（1）除以一個（不等于0）的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。（2）兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。（3）0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。知識點3：倒數(shù)（1）定義：的兩個數(shù)互為倒數(shù)。（2）性質(zhì)：負數(shù)的倒數(shù)還是負數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)。注意：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)為.知識點4：乘法運算定律（1）乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即a×b＝ba（2）乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，在把積相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。【題型1有理數(shù)的乘除法的概念辨析】【典例1】（2022秋?碑林區(qū)校級期末）下列說法中，正確的是（）A．有理數(shù)可分為：正整數(shù)、負整數(shù)、正分數(shù)以及負分數(shù) B．絕對值最小的數(shù)與任何有理數(shù)相加答案都不變 C．兩個有理數(shù)相加，和一定大于或等于這兩個加數(shù) D．兩個有理數(shù)相乘的積為正數(shù)，說明這兩個數(shù)同號【答案】D【解答】解：有理數(shù)可分為：正整數(shù)、負整數(shù)、0、正分數(shù)以及負分數(shù)，A選項說法錯誤，不符合題意；絕對值最小的數(shù)是0，0與任何有理數(shù)相加都得這個數(shù)，B選項說法錯誤，不符合題意；兩個有理數(shù)相加，和不一定大于或等于這兩個加數(shù)，C選項說法錯誤，不符合題意；兩個有理數(shù)相乘的積為正數(shù)，說明這兩個數(shù)同號，D選項說法正確，符合題意．故選：D．【變式1-1】（2022秋?撫遠市期末）若a+b＞0，且ab＜0，則以下正確的選項為（）A．a(chǎn)，b都是正數(shù) B．a(chǎn)，b異號，正數(shù)的絕對值大 C．a(chǎn)，b都是負數(shù) D．a(chǎn)，b異號，負數(shù)的絕對值大【答案】B【解答】解：∵ab＜0，∴a，b異號，∵a+b＞0，∴正數(shù)的絕對值大，故選：B．【變式1-2】（2022秋?碑林區(qū)校級期末）下列敘述正確的是（）A．互為相反數(shù)的兩數(shù)的乘積為1 B．所有的有理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示 C．絕對值等于本身的數(shù)是0 D．n個有理數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個時，積為負【答案】B【解答】解：A、互為相反數(shù)的兩個數(shù)和為0，故A錯誤．B、實數(shù)和數(shù)軸一一對應(yīng)，故所有的有理數(shù)都能用數(shù)軸上的點表示．故B正確．C、絕對值等于本身的是0和正數(shù)，故C錯誤．D、n個有理數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)個時，積為負，但0除外，故D錯誤、故選：B．【變式1-3】（2021秋?崇川區(qū)校級月考）現(xiàn)有以下五個結(jié)論：①有理數(shù)包括所有正數(shù)、負數(shù)和0；②若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則它們相除的商等于1；③被減數(shù)一定大于減數(shù)；④絕對值等于其本身的有理數(shù)是零；⑤幾個有理數(shù)相乘，負因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)則乘積為負數(shù)．其中正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【解答】解：①有理數(shù)包括所有正有理數(shù)、負有理數(shù)和0，不是正數(shù)、負數(shù)和0，故①錯誤；②若兩個非0數(shù)互為相反數(shù)，則它們相除的商等于1，故②錯誤；③被減數(shù)不一定大于減數(shù)，如3﹣5＝﹣2，故③錯誤；④絕對值等于其本身的有理數(shù)有正數(shù)和零，故④錯誤；⑤幾個非0有理數(shù)相乘，負因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)則乘積為負數(shù)，故⑤錯誤，故選：A．【題型2倒數(shù)的概念及運用】【典例2-1】（2023?新華區(qū)校級二模）有理數(shù)的倒數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：，的倒數(shù)是．故選：D．【典例2-2】（2021秋?庫爾勒市校級期中）若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值為2，求m2﹣cd+的值．【答案】3．【解答】解：∵a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值為2，∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2，當m＝2時，原式＝22﹣1+＝4﹣1+0＝3；當m＝﹣2時，原式＝（﹣2）2﹣1+＝4﹣1+0＝3，∴m2﹣cd+的值為3．【變式2-1】（2023?武侯區(qū)模擬）下列各數(shù)中，倒數(shù)是它本身的數(shù)是（）A．1 B．0 C．2 D．﹣2【答案】A【解答】解：倒數(shù)是它本身的數(shù)是±1，故選：A．【變式2-2】（2022秋?青浦區(qū)校級期中）已知a、b互為倒數(shù)，則＝．【答案】．【解答】解：∵a、b互為倒數(shù)，∴ab＝1，∴＝﹣×1＝﹣＝，故答案為：．【變式2-3】（秋?寧遠縣校級月考）已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，2（a+b）+cd的值．【答案】1．【解答】解：∵a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，∴a+b＝0，cd＝1，∴2（a+b）+cd＝0+1＝1，答：2（a+b）+cd的值為1．【題型3有理數(shù)的乘除法的簡單運算】【典例3】（2021秋?洪澤區(qū)校級月考）計算：（1）﹣3÷（﹣）÷（﹣）；（2）（﹣12）÷（﹣4）÷（﹣1）；（3）（﹣）×（﹣）÷0.25；（4）（﹣2）÷（﹣5）×（﹣3）．【答案】（1）﹣；（2）﹣；（3）；（4）﹣．【解答】解：（1）原式＝﹣3×（﹣）×（﹣）＝﹣；（2）原式＝（﹣12）×（﹣）×（﹣）＝﹣；（3）原式＝（﹣）×（﹣）×4＝；（4）原式＝（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣．【變式3-1】（2022秋?榆樹市期中）計算：（﹣54）÷×÷（﹣32）．【答案】3．【解答】解：原式＝54×××＝3．【變式3-2】（2021秋?永吉縣期中）計算：（﹣3）÷（﹣1）×（﹣）．【答案】﹣1．【解答】解：原式＝﹣×（﹣）×（﹣）＝﹣1．【變式3-3】（2021春?閔行區(qū)期中）計算：（﹣2）÷（﹣1.2）×（﹣1）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（﹣2）÷（﹣1.2）×（﹣1）＝﹣××＝﹣．【變式3-4】（2020秋?鹽都區(qū)校級期中）計算：（1）﹣4×（﹣7）；（2）（﹣2）×（﹣7）×（+5）×（﹣）；（3）（﹣24）÷（﹣2）÷（﹣1）；（4）﹣27×÷（﹣24）．【答案】（1）28；（2）﹣10；（3）﹣10；（4）．【解答】解：（1）﹣4×（﹣7）＝28；（2）（﹣2）×（﹣7）×（+5）×（﹣）＝﹣（2×5×7×）＝﹣10；（3）（﹣24）÷（﹣2）÷（﹣1）＝12÷（﹣1）＝﹣10；（4）﹣27×÷（﹣24）＝27÷×÷24＝27×××＝．【變式3-5】（秋?惠東縣校級月考）【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：＝＝．【題型4有理數(shù)的乘法運算定律的運用】【典例4】（2022秋?隆昌市校級月考）用簡便方法計算：①；②．【答案】①﹣2；②﹣2398．【解答】解：①原式＝（﹣）×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）＝3+1﹣6＝﹣2．②原式＝（﹣100+）×24＝﹣100×24+×24＝﹣2400+2＝﹣2398．【變式4-1】（2022秋?濟南期中）（﹣+）×（﹣24）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝×（﹣24）﹣×（﹣24）+×（﹣24）＝﹣12+4﹣8＝﹣16．【變式4-2】（秋?富順縣月考）﹣；【答案】3599．【解答】解：原式＝＝＝＝3600﹣1＝3599．【變式4-3】用簡便方法計算（1）（2）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）[45﹣（﹣+）×36]÷5，＝[45﹣×36﹣（﹣）×36﹣×36]÷5，＝（45﹣28+33﹣30）÷5，＝（78﹣58）÷5，＝20÷5，＝4；（2）﹣×（﹣92）+（﹣）×34+×23，＝×92﹣×34+×23，＝×（92﹣34+23），＝×（92﹣11），＝×81，＝18．【題型5有理數(shù)的乘除法與絕對值的綜合】【典例5】（2022秋?福清市校級月考）已知|a|＝3，|b|＝5，且ab＜0，求b﹣2a的值．【答案】±11．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝5，∴a＝±3，b＝±5，∵ab＜0，∴a、b異號，∴當a＝3時，b＝﹣5，此時b﹣2a＝﹣5﹣2×3＝﹣11，當a＝﹣3時，b＝5，此時b﹣2a＝5﹣2×（﹣3）＝11，∴b﹣2a的值為±11．【變式5-1】（2022秋?貴池區(qū)期末）已知|m|＝6，|n|＝2，且＞0，則m+n的值等于．【答案】±8．【解答】解：∵|m|＝6，|n|＝2，∴m＝±6，n＝±2，∵，∴m＝6，n＝2或m＝﹣6，n＝﹣2，當m＝6，n＝2時，m+n＝6+2＝8；當m＝﹣6，n＝﹣2時，m+n＝﹣6﹣2＝﹣8；綜上所述，m+n的值等于±8．故答案為：±8．【變式5-2】（2022秋?福清市校級月考）已知|a|＝3，|b|＝5，且ab＜0，求b﹣2a的值．【答案】±11．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝5，∴a＝±3，b＝±5，∵ab＜0，∴a、b異號，∴當a＝3時，b＝﹣5，此時b﹣2a＝﹣5﹣2×3＝﹣11，當a＝﹣3時，b＝5，此時b﹣2a＝5﹣2×（﹣3）＝11，∴b﹣2a的值為±11．【變式5-3】（2022秋?金牛區(qū)校級期中）設(shè)a，b，c都是非零有理數(shù)，試求+++的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由已知可得：a，b，c為兩正一負或兩負一正．①當a，b，c為兩正一負時：+++＝0；②當a，b，c為兩負一正時：+++＝0；③當a，b，c都為正數(shù)時：+++＝4；④當a，b，c都為負數(shù)時：+++＝﹣4；綜上所述+++值為0或4或﹣4．【題型6有理數(shù)的乘除法中的規(guī)律計算】【典例6】（2022秋?越城區(qū)期中）閱讀下題解答：計算：．分析：利用倒數(shù)的意義，先求出原式的倒數(shù)，再得原式的值．解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．所以原式＝﹣．根據(jù)閱讀材料提供的方法，完成下面的計算：．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：根據(jù)題意得：[﹣++（﹣）2×（﹣6）]÷（﹣）＝[﹣++×（﹣6）]×（﹣42）＝﹣21+14﹣30+112＝75，則原式＝．【變式6】（2022秋?寧遠縣期中）數(shù)學(xué)老師布置了一道思考題“計算：”，小明和小紅兩位同學(xué)經(jīng)過仔細思考，用不同的方法解答了這個問題：小明的解法：原式＝＝＝＝小紅的解法：原式的倒數(shù)為＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10故原式＝（1）你覺得小紅的解法更好．（2）請你用自己喜歡的方法解答下面的問題：計算：【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）你覺得小紅的解法更好．（2分）（2）原式的倒數(shù)為＝＝﹣7+9﹣28+12＝﹣14，故原式＝．1．（2022?張家界）﹣2022的倒數(shù)是（）A．2022 B．﹣ C．﹣2022 D．【答案】B【解答】解：﹣2022的倒數(shù)是：﹣．故選：B．2．（2022?包頭）若a，b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4，則3a+3b﹣4c的值為（）A．﹣8 B．﹣5 C．﹣1 D．16【答案】C【解答】解：∵a，b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4，∴a+b＝0，c＝，∴3a+3b﹣4c＝3（a+b）﹣4c＝0﹣4×＝﹣1．故選：C．3．（2022?臺州）計算﹣2×（﹣3）的結(jié)果是（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5【答案】A【解答】解：﹣2×（﹣3）＝+（2×3）＝6．故選：A．4．（2020?臺灣）已知a＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45），b＝（﹣123）×（﹣234）×（﹣345），判斷下列敘述何者正確？（）A．a(chǎn)，b皆為正數(shù) B．a(chǎn)，b皆為負數(shù) C．a(chǎn)為正數(shù)，b為負數(shù) D．a(chǎn)為負數(shù)，b為正數(shù)【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵a＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45）中共有4個負數(shù)相乘，∴a為正數(shù)，∵b＝（﹣123）×（﹣234）×（﹣345）中共有3個負數(shù)相乘，∴b為負數(shù)，∴a為正數(shù)，b為負數(shù)，故選：C．5．（2020?山西）計算（﹣6）÷（﹣）的結(jié)果是（）A．﹣18 B．2 C．18 D．﹣2【答案】C【解答】解：（﹣6）÷（﹣）＝（﹣6）×（﹣3）＝18．故選：C．1．（2023?天津）計算的結(jié)果等于（）A． B．﹣1 C． D．1【答案】D【解答】解：原式＝+（×2）＝1，故選：D．2．（2023?株洲）計算：＝（）A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8【答案】A【解答】解：＝（﹣2）×3＝﹣6，故選：A．3．（2023?山西）計算（﹣1）×（﹣3）的結(jié)果為（）A．3 B． C．﹣3 D．﹣4【答案】A【解答】解：（﹣1）×（﹣3）＝1×3＝3，故選：A．4．（2023?東麗區(qū)二模）計算﹣2×|﹣3|的值是（）A．6 B．1 C．﹣5 D．﹣6【答案】D【解答】解：原式＝﹣2×3＝﹣6．故選：D．5．（2022秋?高碑店市期末）若數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則以下結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)﹣b＞0 B．a(chǎn)b＞0 C．a(chǎn)＜﹣b D．|a|＜|b|【答案】D【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可知：a＜0、b＞0，|a|＜|b|，A、a﹣b＜0，故該選項不符合題意；B、ab＜0，故該選項不符合題意；C、∵a+b＞0，∴a＞﹣b，故該選項不符合題意；D、|a|＜|b|，故該選項符合題意；故選：D．6．（2023?鶴峰縣一模）若|a|＝1，|b|＝4，且ab＜0，則a+b的值為（）A．±3 B．﹣3 C．3 D．±5【答案】A【解答】解：∵|a|＝1，|b|＝4，∴a＝±1，b＝±4，∵ab＜0，∴a+b＝1﹣4＝﹣3或a+b＝﹣1+4＝3，故選：A．7．（2023?大渡口區(qū)模擬）正方形的邊長為2cm，則它的面積為（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2【答案】B【解答】解：∵正方形的邊長為2cm，∴它的面積為22＝4（cm2），故選：B．8．（2022秋?射洪市期末）如果三個非零有理數(shù)的積為正數(shù)，則下列結(jié)論：①這三個數(shù)同號；②若其中一個數(shù)是正數(shù)，則另外兩個數(shù)同號；③若其中一個數(shù)是負數(shù)，則另外兩個數(shù)同號；④若其中一個數(shù)是負數(shù)，則另外兩個數(shù)異號．其中必定成立的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：∵若這三個數(shù)同為負數(shù)，符號相同，但它們的積為負數(shù)，∴①的結(jié)論不正確；∵若其中一個數(shù)是正數(shù)，另外兩個數(shù)同號，則它們的積為正數(shù)，∴②的結(jié)論正確；∵若三個數(shù)中，其中一個數(shù)是負數(shù)，另外兩個數(shù)異號，則它們的積為正數(shù)，∴③的結(jié)論不正確；∵若其中一個數(shù)是負數(shù)，另外兩個數(shù)異號，則它們的積為正數(shù)，∴④的結(jié)論正確；∴②④，故選：B．9．（2022秋?荔灣區(qū)期末）有理數(shù)a，b對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)﹣b＞0 B．a(chǎn)b＞0 C．|a|＜|b| D．a(chǎn)+b＜0【答案】C【解答】解：由圖可知：a＜0＜b，|a|＜|b|，∴a﹣b＜0，故A選項錯誤；∴ab＜0，故B選項錯誤；∴|a|＜|b|，故C選項正確；∴a+b＜0，故D選項錯誤．故選：C．10．（2022秋?金平區(qū)期末）下列算式中，積為負數(shù)的是（）A．0×（﹣3） B．2×（﹣3）×4×（﹣5） C．（﹣3）×（﹣5） D．（﹣2）×（﹣3）×4×（﹣5）【答案】D【解答】解：A、0×（﹣3）＝0，結(jié)果為0，不符合題意；B、2×（﹣3）×4×（﹣5）＝120，結(jié)果為正，不符合題意；C、（﹣3）×（﹣5）＝15，結(jié)果為正，不符合題意；D、（﹣2）×（﹣3）×4×（﹣5）＝﹣120，結(jié)果為負，符合題意．故選：D．11．（2022秋?武岡市期末）對于有理數(shù)x，y，若xy＜0，則的值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【答案】B【解答】解：∵xy＜0，∴x，y異號，當x＞0，y＜0時，則，當x＜0，y＞0時，則，綜上，的值是﹣1．故選：B．12．（2022秋?新豐縣期末）已知有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列式子中正確的是（）A．|a|＞|b| B．a(chǎn)b＞0 C．a(chǎn)﹣b＜0 D．a(chǎn)+b＜0【答案】C【解答】解：根據(jù)數(shù)軸上點的位置得：a＜0＜b，且|b|＝|a|，∴ab＜0，a﹣b＜0，a+b＞0，∴正確的是a﹣b＜0．故選：C．13．（2022秋?潢川縣校級期末）已知|a|＝3，|b|＝4，且ab＜0，則a+b的值為（）A．7 B．1或﹣1 C．1 D．﹣1【答案】B【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝4，∴a＝±3，b＝±4，∵ab＜0，∴a，b異號，當a＝3，b＝﹣4時，a+b＝﹣1；當a＝﹣3，b＝4時，a+b＝1；故選：B．15．（2023?郴州）﹣2的倒數(shù)是（）A．2 B． C．﹣2 D．【答案】B【解答】解：﹣2的倒數(shù)是﹣．故選：B．16．（2023?龍川縣校級開學(xué)）計算：．【答案】﹣．【解答】解：