初中數(shù)學勾股定理簡答題訓練含答案

初中數(shù)學勾股定理簡答題專題訓練含答案

姓名：班級：考號：

一、解答題(共10題)

1、如圖，在燈△49C中，Zr=90°,BD平分/ABC交AC于點、。，點、。在

AB上，以點0為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點D,交比'于點后.

(1)求證：4。是。。的切線；

⑵若加=10,繆=8,求四的長.

2、如圖，在RtAABC中，ZB=90°,AB=7cm,AC=25cm.點P從點A沿

AB方向以lcm/s的速度運動至點B,點Q從點B沿BC方向以6cm/s的速度運動至

點C,P,Q兩點同時出發(fā).

(1)求BC的長；

(2)當點P,Q運動2s時，求P,Q兩點之間的距離；

(3)P,Q兩點運動幾秒時，AP=CQ?

3、如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,過點△作龐〃/C,且施=

工

2AC,連接EC.

(1)求證：四邊形BECO是矩形;

(2)連接ED交AC于點F,連接防，若4。=12,46=10,求賄的長.

4、如圖，如圖，在△/勿中，Z61=90°,N的C的平分線交比'于點，，點。在

AB上，以點0為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點D,交力。于點后，交AB于點、F.

(1)求證：BC是◎0的切線；

(2)若劭=2萬，BF=2,求陰影部分的面積(直接填空).

5、如圖，正方形須⑺中，點￡在邊AD±(不與端點A,〃重合)，點A關于直線

物的對稱點為點F,連接⑦，設ZABE=a.

(備用圖)

(1)求N夙泳的大小(用含a的式子表示)；

(2)過點。作CGLAF,垂足為G,連接DG.判斷QG與⑦的位置關系，并說明

理由；

(3)將繞點6順時針旋轉(zhuǎn)90。得到ACBH,點6的對應點為點〃，連接班"

HF.當為等腰三角形時，求sina的值.

6、如圖，在“8C中助=/CBC=10,點口是線段上AB上一點，BD=6,連接CD,

CD=8.

(1)求證：CDLAB.

(2)求“BC的周長.

7、如圖，在正方形ABCD中，AB邊上有一點E,AE=3,EB=1,在AC上

有一點P,使EP+BP最短，求EP+BP的最短長度.

8、已知：如圖，四邊形ABCD^,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,公與E0相交于。,

且ACLBD,則a,b,ad之間一定有關系式：a2+c2=b2+d2,請說明理由.

9、如圖，在4ABC中，ZC=90°,M是BC的中點，MD1AB于D,求證:

AD2=AC2+BD2.

B

C

10、如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD交于點O,AE±BC交CB延長線于E,

CF〃AE交AD延長線于點F.

(1)求證：四邊形AECF是矩形；

(2)連接OE,若AD=5,BE=3,求線段OE的長.

========參考答案========

一、解答題

1、(1)見解析；

⑵CE=4

【解析】

【分析】

(1)連接OD,根據(jù)OB=OD,BD平分ZABC,證得ZODB=/CBD,推出OD//BC,

得到/刎=NC=90°,由此得到結論；

(2)過點。作OF工BC于夕，推出四邊形是矩形，得到OF=CD=8,CF=OD=1G,

根據(jù)勾股定理求出BF,由垂徑定理得到EF=BF=6,由此求出結果.

(1)

證明：連接OD,

D

：OB=OD,

?，ZODB=ZOBD.

,：BD平分ZABC,

AZOBD=ZCBD,

AZODB=ZCBD.

：.OD//BC,

：.ZODA=ZC=90°,

以點0為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點D,

：.ZC是。0的切線；

(2)

解：過點。作/'，a"于/，

,*.ZOFC=ZODC=AC=90°,

...四邊形皴F是矩形，

OF=CD=8,CF=OD=10.

在欣△戚中，OF2+BF2=OB2,

：.BF=JOB2-OF2=7103-82=6,

OFLBC,

：.EF=BF=6,

：.CE=CF-EF=10-6=4.

【點睛】

此題考查了切線的判定定理，垂徑定理，矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵是正確

掌握各定理并熟練應用解決問題.

24

2、(1)BC=24cm；(2)PQ=13cm；(3)P,Q兩點運動亍s時，

AP=CQ.

【分析】

(1)在Rt△四。中，N8=90°,AB=7cm,AC=25cm根據(jù)勾股定理可得BC-=

AC2-AB2=252-72=242,求出8。=24cm.

(2)連接PQ,由題意知BP=1-2=5(cm),BQ=6X2=12(cm),在RtABPQ中，

由勾股定理得：

PQ=BP2+BQ2=52+122=132,進而求出PQ=13cm.

24

(3)設尸，Q兩點運動方s時，在=CQ,則可得t=24—6t,解得t=亍

【詳解】

解：(1)V在RS46C中，N6=90°,AB=1cm,AC=25cm

BC2=AC2-AB2=252-72=242,

/.BC=24cm.

⑵連接PQ,

由題意知BP=7-2=5(cm),BQ=6X2=12(cm),

在RtABPQ中,由勾股定理，得：

PQ=BP2+BQ~=52+122=132,

/.PQ=13cm.

(3)設。，Q兩點運動％s時，

AP=CQ,則t=24-6f,

24

解得t=T.

24

答：X0兩點運動亍s時，"=CQ.

【點睛】

本題主要考查勾股定理的應用，解決本題的關鍵是要熟練掌握利用勾股定理進行解答.

3、(1)見解析；(2)的長為J萬.

【分析】

2

(1)由菱形的性質(zhì)得ZBOC=90°,%=5/C,推出旗二%,則四邊形BECO是

平行四邊形，再由ZBOC=90°,即可得出結論；

(2)由勾股定理求出OB=8,則BD=2OB=16，再證△ODFCEFCASA),

得分=",然后由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可求解.

【詳解】

(1)證明：四邊形ABCD是菱形,

2

.,.ZBOC=90°,OC=OA=2AC,

2

BE=2AC,

：.BE=OC,

'：BE//AC,

/.四邊形BECO是平行四邊形，

VZBOC=90°,

平行四邊形BECO是矩形；

(2)解：?；四邊形ABCD是菱形，

2

/.BC=AB=10,OC=2AC=6,OB=OD,ACLBD,

在Rt△OBC中,由勾股定理得：OB=^BC2-OC2=7102-62=8,

BD=2OB=16,

由(1)得：四邊形BECO是矩形,

:.BE=0C=6,ZOBE=ZECO=90°OB=CE,OB//CE,

：.DE=JW+BE，="16+6'=2顯,ZODF=ZCEF,OD=CE,

在△0DF和△CEF中，

'^DOF=AECF=9Q°

-OD=CE

Z.ODF=ZCEF

/.△ODFCEFCASA),

：.DF=EF,

VZDBE=90°,

2

/.BF=2DE="，

故跖的長為歷.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上

的中線性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理,

證明四邊形儂'。為矩形是解題的關鍵.

2J3--

4、(1)證明見解析；(2)3.

【分析】

(1)連接OD，利用角平分線和平行線之間的角度關系，得到OD//AC，所以ODLBC,

從而得出BC與。。相切；

(2)利用直角三角形的勾股定理解得圓的半徑，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為三角形面積與扇

形面積之差，從而計算出陰影部分的面積.

【詳解】

(1)證明：如圖，連接OD,

AB

'：0A=OD,

AZOAD=ZODA,

VAD平分ZBAC,

,*.ZCAD=ZOAD,

AZCAD:乙ODA,

AC//OD,

AZODB=ZC=90°,

'：OD是.。0的半徑，

，BC是G0的切線；

(2)設。。的半徑為r,則OD=r,0B=r+2,

由(1)可知ZBDO=90°,

在RtABDO中，根據(jù)勾股定理可得：OD2+BD2=0B;

即r2+(2若)2=(r+2)2,

解得：r=2,

BD_2s/3_

在RtABOD中，tanZBOD="一，

.\ZB0D=60o,

故陰影部分的面積為：

z-n。[1一

1---xm'=-x2x2/--x/rx4=2存一萬

=_

S陰影S△OBD-S扇形DOF=2XODXBD360263

【點睛】

本題主要考查與圓有關的位置關系、勾股定理、扇形面積計算以及三角函數(shù)，掌握知識點是

解題關鍵.

5、(1)45°+a.

⑵DG//CF.理由見解析.

立

(3)5.

【分析】

(1)作輔助線BF,用垂直平分線的性質(zhì)，推導邊相等、角相等.再用三角形內(nèi)角和為⑶。算

出乙BCF.

(2)作輔助線跖、4C,先導角證明△。死?是等腰直角三角形、“QC是等腰直角三角

形.再證明s。比、4GC—AFC,最后用內(nèi)錯角相等，兩直線平行，證得DG//CF.

(3)△班歸為等腰三角形，要分三種情況討論：①FH=BH②BF=FH③BF=BH,根據(jù)題目

具體條件，舍掉了②、③種，第①種用正弦函數(shù)定義求出比值即可.

【詳解】

(1)解：連接BF,設"'和BE相交于點N.

點A關于直線BE的對稱點為點F

BE是AF的垂直平分線

BE1AF,AB=BF

Z￡AF=￡BFA

ZAB￡=a

N5加l=90°-a=N￡用

???Z￡aff'=1800-90°-(90°-Of)=a

???四邊形ABCD是正方形

..AB=BC,ZABC=90°

/詠=90。-2凰AB=BC=BF

ZBFC=ABCF

???乙BFC+ABCF+4FBC=180°,AFBC=90°-2a

180°-(90°-2a)

4BFC=』BCF=----------'--------------=45°+a

2.

(2)位置關系：平行.

理由：連接BF,AC,DG

設DC和FG的交點為點M,AF和BE相交于點N

由⑴可知，

/ABE=AEBF=a,ABAF=ABFA=90°-aABFC=ABCF=45。+a

二.乙AFC=AAFB+ACFB=90°-a+45°+a=135°

￡CFG=180°-￡AFC=45。

???CGLAG

ZFGC=90°

乙GCF=180°-乙FGC-乙CFG=45°=乙CFG

是等腰直角三角形

CG_1

而=忑

???四邊形ABCD是正方形

乙BAD=乙ADC=4BCD=90°,AD=CD

是等腰直角三角形

DC1

...—=―，AACD=45。

AC也

ABCA=45°

???班垂直平分AF

AANE=90°

ANAE=180°-ZANE-乙AEN=a

在△組)腸和△CGM中，

\AADC=AAGC=90°

\AAMD=ACKG

^ADJfSGM

乙MCG=AGAD=a

???ABCA=45°,ABCF=45。+a

??.AACF=ABCF-Z.BCA=a

在ADGC和△山?(7中，

v—=—=4-?/DCG=AACF=a

然FC也

..L.DGCsaAFC

乙AFC=乙DGC=135°

??.乙DGA=Z.DGC-AAGC=135°-90°=45°

￡DGA=乙CFG=45°

CF//DG

(3)△友歸為等腰三角形有三種情況：QFH=BH②BF=FH③BF=BH,要分三種情況討論:

①當FH=BH耐,作于點M

由（1）可知：AB=BF,乙他？=NEBF=a

???四邊形ABCD是正方形

AB=BC,4ABC=90°,NBAS=90°

設AB=BF=BC=a

?.?將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到^CBH

乙CBH=NABE=a,BH=BE

Z.FBH=AABC-ZABf+/LCBH=90。-2a+a=90°-a

NJ?產(chǎn)=乙BFH=90。-a

Z.FHB=180°-Z.FBH-ABFH=2a

言頻是等腰三角形，BH=即，押工BF

1a

ABHM=AFHM=a,BN=耶=一BF=—

22

在下和&MHB中,

\￡BAE==90°

=/ABE=a

:.^ABEsJHB

AEBE

a

：.BM=AE=2

BE=^AE2+AB

同2

BE5

②當BF=FHN，

設LFH與BC交點為0

???△3E繞點6順時針旋轉(zhuǎn)90。得到dCBH

4ABE=Z.CBH=a

由⑴可知：4ABF=2a

AFBC=90°-2a

..AFBH=AFBC+ACBH=90。-2。+a=90。-a

???BF=FH

AFBH=乙物=90°-a

￡BOH=180°-ACBH-/戚=90°

此時，&OH與N3S重合，與題目不符，故舍去

③當BF=BH時,

ED

由⑴可知：AB=BF

設AB=BF=a

???四邊形ABCD是正方形

AB=BC=a

■：BF=BH

：.BF=BH=BC=a

而題目中，BC,8”分別為直角三角形8組的直角邊和斜邊，不能相等，與題目不符，

故舍去.

也

故答案為：5

【點睛】

本題考查了三角形內(nèi)角和定理（三角形內(nèi)角和為聞°）、平行線證明（內(nèi)錯角相等，兩直

線平行）、相似三角形證明（兩組對應角分別相等的兩個三角形相似，兩邊對應成比例且

夾角相等的兩個三角形相似）、等腰直角三角形三邊比例關系（此/）、正弦函數(shù)定義式

（對邊：斜邊）.

80

6、（1）見解析；（2）7.

【分析】

（1）由a'=10,CD=8,放=6,計算得出BD°+DC°=BC2,根據(jù)勾股定理的逆

定理即可證明CDLAB

（2）設,則AB=AC=x^,在Rt△ACD中，利用勾股定理求出x,得出AC,

繼而可得出△ABC的周長.

【詳解】

解：(1)在△6切中，BC=10,CD=8,BD=6,

V62+82=102

/.BD2+DC2=BC2,

，△8⑦是直角三角形，/BDC=90°,

/.CDVAB

(2)設/〃=x,則4C=18=x+6,

在Rt△4%中，??AC2=AD2+DC2,

A82+x2=(x+6)2,

7

解得：x=3.

780

/.△48。的周長為：(3+6)x2+10=T.

【點睛】

本題考查了勾股定理及其逆定理的知識，解題的關鍵是利用勾股定理求出AD的長度，得出

腰的長度.

7、5

【詳解】

試題分析：本題先根據(jù)“小馬飲水問題”模型先找出點3關于直線4。對稱點，根據(jù)

正方形的性質(zhì)可知點B,D關于直線AC的對稱，所以連接DE,DE與AC的交點P,此

時DE的長度即是EP+BP最短距離，再根據(jù)勾股定理：龐=AW+庇=J4W.

解：如圖，連接BD交AC于O,連接ED與AC交于點P,連接BP.

易知BD±AC,

且BO=OD,；.BP=PD,則BP+EP=ED,此時最短.

VAE=3,AD=1+3=4,由勾股定理得

ED2=AE2+AD2=32+42=25=52,

，ED=BP+EP=5.

8、見解析

【詳解】

整體分析:

分別在RtAABO,RtABCO,RtACDO,RtADAO中用勾股定理表示出斜邊的長即

可求解.

解：在RtAABO和RtACDO中

?；OA1+OB^AB^a2.OC2+OD2=CD2=c