高考數(shù)學總復習第三章 三角函數(shù)、三角恒等變換及解三角形第8課時 解三角形應用舉例

考情分析考點新知正余弦定理在應用題中的應用．能準確地建立數(shù)學模型，并能用正弦定理和余弦定理解決問題.1.(必修5P11習題4改編)若海上有A、B、C三個小島，測得A，B兩島相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，則B、C間的距離是________海里．答案：5eq\r(6)解析：由正弦定理，知eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(AB,sin（180°－60°－75°）)，解得BC＝5eq\r(6)(海里)．2.(必修5P20練習第4題改編)江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________m.答案：10eq\r(3)解析：如圖，OA為炮臺，M、N為兩條船的位置，∠AMO＝45°，∠ANO＝60°，OM＝AOtan45°＝30，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)，由余弦定理，得MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．3.(必修5P18例1改編)如圖，要測量河對岸A、B兩點間的距離，今沿河岸選取相距40m的C、D兩點，測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，則AB的距離是__________m.答案：20eq\r(6)解析：由已知知△BDC為等腰直角三角形，故DB＝40；由∠ACB＝60°和∠ADB＝60°知A、B、C、D四點共圓，所以∠BAD＝∠BCD＝45°；在△BDA中，運用正弦定理可得AB＝20eq\r(6).4.(必修5P21習題2改編)某人在C點測得塔頂A在南偏西80°，仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進10m到D，測得塔頂A的仰角為30°，則塔高為________m.答案：10解析：如圖，設塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，則OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，則OD＝eq\r(3)h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10.由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(eq\r(3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．5.如圖，一船在海上自西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東α角，前進mkm后在B處測得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍nkm范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行．當α與β滿足條件________時，該船沒有觸礁危險．答案：mcosαcosβ>nsin(α－β)解析：∠MAB＝90°－α，∠MBC＝90°－β＝∠MAB＋∠AMB＝90°－α＋∠AMB，∴∠AMB＝α－β.由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得eq\f(BM,sin（90°－α）)＝eq\f(m,sin（α－β）)，解得BM＝eq\f(mcosα,sin（α－β）).要使船沒有觸礁危險，需要BMsin(90°－β)＝eq\f(mcosαcosβ,sin（α－β）)>n，所以α與β滿足mcosαcosβ>nsin(α－β)時船沒有觸礁危險．1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等．2.實際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方的角叫仰角，目標視線在水平視線下方的角叫俯角(如圖①)．(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°，西偏北60°等．(3)方位角：指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)．[備課札記]題型1測量距離問題例1要測量河對岸A、B兩點之間的距離，選取相距eq\r(3)km的C、D兩點，并且測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之間的距離．解：△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))eq\s\up12(2)－2·eq\r(3)·eq\f(\r(6)＋\r(2),2)cos75°＝5，∴AB＝eq\r(5)km.故A、B之間的距離為eq\r(5)km.eq\a\vs4\al(變式訓練)設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，求A、B兩點的距離．解：由題意知∠ABC＝30°，由正弦定理eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，得AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sin∠ABC)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)m.故A、B兩點的距離為50eq\r(2)m.題型2測量高度問題例2某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)如圖所示，垂直放置的標桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)該小組已測得一組α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，請據(jù)此算出H的值；(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d(單位：m)，使α與β之差較大，可以提高測量精度．若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，α－β最大？解：(1)由AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ)，AD＝eq\f(H,tanβ)及AB＋BD＝AD，得eq\f(H,tanα)＋eq\f(h,tanβ)＝eq\f(H,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×1.24,1.24－1.20)＝124.因此，算出的電視塔的高度H是124m.(2)由題設知d＝AB，得tanα＝eq\f(H,d).由AB＝AD－BD＝eq\f(H,tanβ)－eq\f(h,tanβ)，得tanβ＝eq\f(H－h(huán),d)，所以tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(h,d＋\f(H（H－h(huán)）,d))≤eq\f(h,2\r(H（H－h(huán)）))，當且僅當d＝eq\f(H（H－h(huán)）,d)，即d＝eq\r(H（H－h(huán)）)＝eq\r(125×（125－4）)＝55eq\r(5)時，上式取等號．所以當d＝55eq\r(5)時，tan(α－β)最大．因為0<β<α<eq\f(π,2)，則0<α－β<eq\f(π,2)，所以當d＝55eq\r(5)時，α－β最大．故所求的d是55eq\r(5)m.eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，現(xiàn)測得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點C測得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB.解：在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，所以BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(s·sinβ,sin（α＋β）).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝eq\f(s·tanθsinβ,sin（α＋β）).題型3測量角度問題例3在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏西75°的方向，距離A2海里的B處有一艘走私船，在A處北偏東45°方向，距離A(eq\r(3)－1)海里的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)海里/小時的速度追截走私船．此時，走私船正以10海里/小時的速度從B向北偏西30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？解：由已知條件得，AB＝2，AC＝eq\r(3)－1，∠BAC＝120°，∴BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC)＝eq\r(4＋4－2\r(3)＋2\r(3)－2)＝eq\r(6).在△ABC中，eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，解得sin∠ACB＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ACB＝45°，∴BC為水平線，設經(jīng)過時間t小時后，緝私船追上走私船，則在△BCD中，BD＝10t，CD＝10eq\r(3)t，∠DBC＝120°，sin∠BCD＝eq\f(BDsin∠CBD,CD)＝eq\f(10t×\f(\r(3),2),10\r(3)t)＝eq\f(1,2)，∴∠BCD＝30°，∴緝私船沿北偏西60°的方向能最快追上走私船．eq\a\vs4\al(備選變式（教師專享）)如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2h追上，此時到達C處．(1)求漁船甲的速度；(2)求sinα的值．解：(1)依題意知，∠BAC＝120°，AB＝12海里，AC＝10×2＝20海里，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784，解得BC＝28海里．所以漁船甲的速度為eq\f(BC,2)＝14海里/小時．(2)在△ABC中，因為AB＝12海里，∠BAC＝120°，BC＝28海里，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°).即sinα＝eq\f(AB·sin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).1.在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，則△ABC的形狀是________．答案：鈍角三角形解析：由正弦定理可把不等式轉化為a2＋b2＜c2，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＜0，所以三角形為鈍角三角形．2.已知△ABC的三邊長成公比為eq\r(2)的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為________．答案：－eq\f(\r(2),4)解析：設最小邊為a，則其他兩邊分別為eq\r(2)a，2a.由余弦定理，得最大角的余弦值為cosα＝eq\f(a2＋（\r(2)a）2－（2a）2,2a×（\r(2)a）)＝－eq\f(\r(2),4).3.(2013·上海一模)一人在海面某處測得某山頂C的仰角為α(0°＜α＜45°)，在海面上向山頂?shù)姆较蛐羞Mmm后，測得山頂C的仰角為90°－α，則該山的高度為________m．(結果化簡)答案：eq\f(1,2)mtan2α解析：由題意知∠CAB＝α，∠CDB＝90°－α，∠CDA＝90°＋α，且AD＝m，則∠ACD＝90°－2α.由正弦定理得eq\f(AD,sin（90°－2α）)＝eq\f(AC,sin（90°＋α）)，即eq\f(m,cos2α)＝eq\f(AC,cosα)，即AC＝eq\f(mcosα,cos2α)，所以山高BC＝ACsinα＝eq\f(msinαcosα,cos2α)＝eq\f(1,2)mtan2α.4.已知△ABC中，AB邊上的高與AB邊的長相等，則eq\f(AC,BC)＋eq\f(BC,AC)＋eq\f(AB2,BC·AC)的最大值為________．答案：2eq\r(2)解析：eq\f(AC,BC)＋eq\f(BC,AC)＋eq\f(AB2,BC·AC)＝eq\f(AC2＋BC2＋AB2,BC·AC).又AC2＋BC2＝AB2＋2AC·BC·cosC，∴原式＝2cosC＋eq\f(2AB2,BC·AC)＝2cosC＋eq\f(4S△ABC,BC·AC)＝2cosC＋eq\f(2BC·AC·sinC,BC·AC)＝2cosC＋2sinC＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,4)))，∴當C＝eq\f(π,4)時，最大值為2eq\r(2).1.某人在汽車站M的北偏西20°的方向上的A處(如圖所示)，觀察到C處有一輛汽車沿公路向M站行駛，公路的走向是M站的北偏東40°.開始時，汽車到A處的距離為31km，汽車前進20km后，到A處的距離縮短了10km.問汽車還需行駛多遠，才能到達汽車站M?解：設汽車前進20km后到達B處，在△ABC中，AC＝31，BC＝20，AB＝21，由余弦定理，得cosC＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq\f(23,31)，則sinC＝eq\f(12\r(3),31).所以sin∠MAC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(120°－C))＝sin120°cosC－cos120°sinC＝eq\f(35\r(3),62).在△MAC中，由正弦定理，得MC＝eq\f(AC·sin∠MAC,sin∠AMC)＝eq\f(31×\f(35\r(3),62),\f(\r(3),2))＝35，從而有MB＝MC－BC＝15km.答：汽車還需行駛15km，才能到達汽車站M.2.某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇．(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．解：(1)設相遇時小艇航行的距離為S海里，則S＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos（90°－30°）)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,3)))\s\up12(2)＋300).故當t＝eq\f(1,3)時，Smin＝10eq\r(3)海里，此時v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3)海里/時．即小艇以30eq\r(3)海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最?。?2)設小艇與輪船在B處相遇，則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2).∵0＜v≤30，∴900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2)≤900，即eq\f(2,t2)－eq\f(3,t)≤0，解得t≥eq\f(2,3).又t＝eq\f(2,3)時，v＝30海里/時．故v＝30海里/時時，t取得最小值，且最小值等于eq\f(2,3).此時，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇．3.如圖，A、B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45°、B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20eq\r(3)海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船達到D點需要多長時間？解：由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△ADB中，由正弦定理得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，所以DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(5（3＋\r(3)）·sin45°,sin105°)＝eq\f(5（3＋\r(3)）·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝10eq\r(3)海里．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)海里，在