2001-2007年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽(打印版)

PAGEPAGE12007年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案（理工類）填空：（本題15分，每空3分。請(qǐng)將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）設(shè)函數(shù)，，且當(dāng)x→0時(shí)，與為等價(jià)無(wú)窮小，則a=3。設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值，則。。曲線在點(diǎn)（1，1，2）處的切線方程為。。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中僅有一個(gè)是正確的，把你認(rèn)為“正確選項(xiàng)”前的字母填在括號(hào)內(nèi)。選對(duì)得分；選錯(cuò)、不選或選出的答案多于一個(gè)，不得分。）1.設(shè)函數(shù)連續(xù)，則下列函數(shù)中必為偶函數(shù)的是（）（A）；（B）；（C）；（D）。2.設(shè)函數(shù)具有一階導(dǎo)數(shù)，下述結(jié)論中正確的是（）（A）若只有一個(gè)零點(diǎn)，則必至少有兩個(gè)零點(diǎn)；（B）若至少有一個(gè)零點(diǎn)，則必至少有兩個(gè)零點(diǎn)；（C）若沒(méi)有零點(diǎn)，則至少有一個(gè)零點(diǎn)；（D）若沒(méi)有零點(diǎn)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)。3.設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，滿足，，又，則當(dāng)時(shí)恒有（）（A）；（B）；（C）；（D）。4.考慮二元函數(shù)在點(diǎn)處的下面四條性質(zhì)：①連續(xù)；②可微；③與存在；④與連續(xù)。若用“PQ”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有（）（A）②③①；（B）④②①；（C）②④①；（D）④③②。5.設(shè)二元函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線L：過(guò)第二象限內(nèi)的點(diǎn)M和第四象限內(nèi)的點(diǎn)N，Γ為L(zhǎng)上從點(diǎn)M到點(diǎn)N的一段弧，則下列積分值為負(fù)的是（）（A）；（B）；（C）；（D）。三、已知曲線與曲線在點(diǎn)(0,0)處具有相同的切線，寫(xiě)出該切線方程，并求極限。（本題6分）四、證明：當(dāng)x>2時(shí)，。（本題7分）五、設(shè)，求。（本題7分）六、設(shè)當(dāng)時(shí)，，且，試確定常數(shù)a的值，使在x=0點(diǎn)處可導(dǎo)，并求此導(dǎo)數(shù)。（本題7分）七、設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且滿足，⑴求；⑵計(jì)算，其中L是從原點(diǎn)O到點(diǎn)M（1,3）的任意一條光滑弧。（本題7分）八、求過(guò)第一卦限中的點(diǎn)(a,b,c)的平面，使之與三坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積最小。（本題8分）九、設(shè)，計(jì)算。（本題7分）十、設(shè)函數(shù)，其中在點(diǎn)(0,0)的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，證明：在點(diǎn)(0,0)處可微的充要條件是。（本題8分）十一、計(jì)算，其中為一連續(xù)函數(shù)，Σ是平面在第四卦限部分的上側(cè)。（本題7分）十二、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且有，，則至少存在一點(diǎn)，使得。（本題6分）2006年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案（理工類）填空：（本題15分，每空3分。請(qǐng)將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）1．若是上的連續(xù)函數(shù)，則a=。2．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為。3．。4．由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)處的指向外側(cè)的單位法向量為。5．設(shè)函數(shù)由方程所確定，則。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中僅有一個(gè)是正確的，把你認(rèn)為“正確選項(xiàng)”前的字母填在括號(hào)內(nèi)。選對(duì)得分；選錯(cuò)、不選或選出的答案多于一個(gè)，不得分。）設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，并且，則當(dāng)時(shí)，該函數(shù)在點(diǎn)處微分dy是的（）（A）等價(jià)無(wú)窮?。唬˙）同階但不等價(jià)的無(wú)窮?。唬–）高階無(wú)窮??；（D）低階無(wú)窮小。設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處可導(dǎo)，則在點(diǎn)x=a處不可導(dǎo)的充要條件是（）（A）f(a)=0，且；（B）f(a)≠0，但；（C）f(a)=0，且；（D）f(a)≠0，且。曲線（）（A）沒(méi)有漸近線；（B）有一條水平漸近線和一條斜漸近線；（C）有一條鉛直漸近線；（D）有兩條水平漸近線。設(shè)均為可微函數(shù)，且。已知是在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)中的正確者為（）（A）若，則；（B）若，則；（C）若，則；（D）若，則。設(shè)曲面的上側(cè)，則下述曲面積分不為零的是（）（A）；（B）；（C）；（D）。三、設(shè)函數(shù)f(x)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，，求。（本題6分） 四、設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，求。（本題6分）五、設(shè)n為自然數(shù)，計(jì)算積分。（本題7分）六、設(shè)f(x)是除x=0點(diǎn)外處處連續(xù)的奇函數(shù)，x=0為其第一類跳躍間斷點(diǎn)，證明是連續(xù)的偶函數(shù)，但在x=0點(diǎn)處不可導(dǎo)。（本題7分）七、設(shè)f(u,v)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，，，證明：。（本題7分）八、設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù)，在點(diǎn)u=0處可導(dǎo)，且f(0)=0，求：。（本題7分）九、計(jì)算，其中L為正向一周。（本題7分）十、⑴證明：當(dāng)充分小時(shí)，不等式成立。 ⑵設(shè)，求。（本題8分）十一、設(shè)常數(shù)，證明：當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，。（本題8分）十二、設(shè)勻質(zhì)半球殼的半徑為R，密度為μ，在球殼的對(duì)稱軸上，有一條長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，其密度為ρ。若棒的近殼一端與球心的距離為a，a>R，求此半球殼對(duì)棒的引力。（本題7分）2005年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案（理工類）填空：（本題15分，每空3分。請(qǐng)將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）1．。2．曲線，在點(diǎn)處的法線方程為。3．設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，則。4．函數(shù)在點(diǎn)處，沿點(diǎn)A指向點(diǎn)方向的方向?qū)?shù)為。5．設(shè)(a×b)·c=2，則[(a+b)×(b+c)]·(c+a)=。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中僅有一個(gè)是正確的，把你認(rèn)為“正確選項(xiàng)”前的字母填在括號(hào)內(nèi)。選對(duì)得分；選錯(cuò)、不選或選出的答案多于一個(gè)，不得分。）設(shè)函數(shù)與在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，考慮如下的兩個(gè)命題，⑴若，則；⑵若，則。則（）（A）兩個(gè)命題均正確；（B）兩個(gè)命題均不正確；（C）命題⑴正確，命題⑵不正確；（D）命題⑴不正確，命題⑵正確。設(shè)函數(shù)連續(xù)，F(xiàn)(x)是的原函數(shù)，則（）(A)當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必為偶函數(shù)；(B)當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必為奇函數(shù)；(C)當(dāng)為周期函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必為周期函數(shù)；(D)當(dāng)為單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必為單調(diào)遞增函數(shù)。設(shè)平面位于平面：與平面：之間，且將此兩平面的距離分為1:3，則平面的一個(gè)方程為（）（A）；（B）；（C）；（D）。設(shè)為非零的連續(xù)函數(shù)，，則當(dāng)t→0時(shí)（）（A）與t為同階無(wú)窮小；（B）與t2為同階無(wú)窮小；（C）與t3為同階無(wú)窮??；（D）是比t3高階的無(wú)窮小。設(shè)函數(shù)滿足等式，且，則在點(diǎn)處（）。（A）取得極小值；（B）取得極大值；（C）在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)增加；（D）在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)減少。三、求函數(shù)的值域。（本題6分） 四、設(shè)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。求。（本題6分）五、設(shè)二元函數(shù)在有界閉區(qū)域D上可微，在D的邊界曲線上，并滿足，求的表達(dá)式。（本題6分）六、設(shè)二元函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，求。（本題7分） 七、設(shè)曲線與交于點(diǎn)A，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A的直線與曲線圍成一平面圖形，試問(wèn)：⑴當(dāng)a為何值時(shí)，該圖形繞x軸一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積最大？⑵最大體積為多少？（本題7分）八、設(shè)S為橢球面的上半部分，點(diǎn)，為S在點(diǎn)P處的切平面，為點(diǎn)到平面的距離，求。（本題7分）九、證明。（本題8分）十、設(shè)正值函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，，證明：。（本題8分）十一、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證明：存在ξ∈(a,b)，使得。（本題7分）十二、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[-2,2]上具有二階導(dǎo)數(shù)，，且，證明：存在一點(diǎn)ξ∈(-2,2)，使得。（本題8分）2004年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案（理工類）填空：（本題15分，每空3分。請(qǐng)將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）1．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椤?．設(shè)要使函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則。3．設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，其中f可導(dǎo)，且，則。4．由方程所確定的函數(shù)在點(diǎn)處的全微分dz=。5．設(shè)，其中f、具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中僅有一個(gè)是正確的，把你認(rèn)為“正確選項(xiàng)”前的字母填在括號(hào)內(nèi)。選對(duì)得分；選錯(cuò)、不選或選出的答案多于一個(gè)，不得分。）已知，則() （A）12；（B）3； （C）1；（D）0。設(shè)函數(shù)在的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則在點(diǎn)處存在連續(xù)函數(shù)使是在點(diǎn)處可導(dǎo)的（）（A）充分而非必要條件；（B）必要而非充分條件；（C）充分必要條件；（D）既非充分，也非必要條件。設(shè)，則F(x)=（）(A);(B);(C);(D)。函數(shù)，在點(diǎn)處（）（A）可微； （B）偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微；（C）連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在；（D）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。設(shè)為區(qū)間上的正值連續(xù)函數(shù)，與為任意常數(shù)，區(qū)域，則（）（A）； （B）；（C）；（D）。三、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且。求：，，及。（本題6分） 四、計(jì)算。（本題6分）五、求函數(shù)在點(diǎn)處的100階導(dǎo)數(shù)值。（本題6分）六、設(shè)為定義在上，以T>0為周期的連續(xù)函數(shù)，且。求。（本題7分）七、在橢球面上求一點(diǎn)，使函數(shù)在該點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)最大。（本題8分）八、設(shè)正整數(shù)，證明方程至少有兩個(gè)實(shí)根。（本題6分）九、設(shè)。證明存在，并求之。（本題8分）十、計(jì)算曲面積分，其中是曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)面，其法線向量與z軸正向的夾角為銳角。（本題7分）十一、設(shè)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)以任意點(diǎn)為圓心，以任意正數(shù)r為半徑的上半圓L：，恒有。證明：（本題8分）十二、設(shè)函數(shù)在[0，1]上連續(xù)，且，試證：⑴，使得；⑵，使得。（本題8分）2003年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案（理工類）填空：（本題15分，每空3分。請(qǐng)將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）1．設(shè)對(duì)一切實(shí)數(shù)x和y,恒有，且知，則。2．設(shè)在x=0處連續(xù)，則a=。3．設(shè)，其中是由方程所確定的隱函數(shù)，則。4．。5．曲線在點(diǎn)M(1,1,1)處的切線方程為（或）。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中僅有一個(gè)是正確的，把你認(rèn)為“正確選項(xiàng)”前的字母填在括號(hào)內(nèi)。選對(duì)得分；選錯(cuò)、不選或選出的答案多于一個(gè)，不得分。）當(dāng)時(shí)，下列無(wú)窮小量①；②；③；④，從低階到高階的排列順序?yàn)椋ǎ?（A）①②③④；（B）③①②④； （C）④③②①；（D）④②①③。設(shè)，在x=0處存在最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為（）（A）1階；（B）2階；（C）3階；（D）4階。設(shè)函數(shù)在x=1處有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，又，則x=1是（）（A）曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（B）函數(shù)的極小值點(diǎn)；（C）函數(shù)的極大值點(diǎn)；（D）以上答案均不正確。設(shè)函數(shù)f，g在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且（m為常數(shù)），則曲線和x=b所圍平面圖形繞直線y=m旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為（）(A)；(B)；(C)；(D)。設(shè)，為在第一卦限中的部分，則有（）（A）； （B）；（C）；（D）。三、a，b，c為何值時(shí)，下式成立。（本題6分） 四、設(shè)函數(shù)，其中具有連續(xù)二階導(dǎo)函數(shù)，且。⑴確定a的值，使在點(diǎn)x=0處可導(dǎo)，并求。⑵討論在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性。（本題8分）五、設(shè)正值函數(shù)在上連續(xù)，求函數(shù)的最小值六、設(shè)，且，求。（本題6分）七、設(shè)變換，把方程化為，試確定a。（本題7分） 八、設(shè)函數(shù)在xOy平面上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，并且對(duì)任意的t恒有，求。（本題7分）九、設(shè)函數(shù)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且。在曲線y=f(x)上任意取一點(diǎn)作曲線的切線，此切線在x軸上的截距記作，求。（本題8分）十、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=0，f(1)=1。試證明：對(duì)于任意給定的正數(shù)a和b，在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)存在不同的ξ和η，使得。（本題7分）十一、設(shè)，試證明在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)實(shí)根。（本題7分）十二、設(shè)函數(shù)在單位圓域上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上的值恒為零。證明：其中：D為圓域。（本題8分）2002年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案（理工類）一．填空：（本題15分，每空3分。請(qǐng)將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫線上面。）1．。2．設(shè)擺線方程為則此曲線在處的法線方程為。3．。4．設(shè)在點(diǎn)(－1,1)處沿方向的方向?qū)?shù)。5．設(shè)Σ為曲面介于0≤Z≤R的部分，則。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中僅有一個(gè)是正確的，把你認(rèn)為“正確選項(xiàng)”前的字母填在括號(hào)內(nèi)。選對(duì)得分；選錯(cuò)、不選或選出的答案多于一個(gè)，不得分。）1.曲線的漸近線有（） （A）1條；（B）2條； （C）3條；（D）4條。2.若，則當(dāng)n>2時(shí)（）（A）；（B）；（C）；（D）。3.已知函數(shù)f(x)在（－∞，+∞）內(nèi)有定義，且x0是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，則（）（A）x0是f(x)駐點(diǎn)；（B）在（－∞，+∞）內(nèi)恒有f(x)≤f(x0)；（C）－x0是－f(－x)的極小值點(diǎn)；（D）－x0是－f(x)的極小值點(diǎn)。4.設(shè)，則z=z(x,y)在點(diǎn)（0，0）（）（A）連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；（B）連續(xù)但不可微；（C）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在；（D）不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在。5.設(shè)，其中Ω：x2+y2+z2≤1，z≥0則（） （A）；（B）； （C）；（D）。 三、已知極限，試確定常數(shù)n和C的值。（本題6分） 四、已知函數(shù)f(x)連續(xù)，，求。（本題6分） 五、設(shè)方程，⑴當(dāng)常數(shù)a，b滿足何種關(guān)系時(shí)，方程有唯一實(shí)根？⑵當(dāng)常數(shù)a，b滿足何種關(guān)系時(shí)，方程無(wú)實(shí)根。（本題7分） 六、在曲線y=x2（x≥0）上某點(diǎn)A作一切線，使之與曲線及x軸所圍圖形的面積為，試求：⑴A點(diǎn)的坐標(biāo)；⑵過(guò)切點(diǎn)A的切線方程；⑶該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。（本題8分）七、計(jì)算。（本題7分） 八、設(shè)，其中具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且。（本題7分）九、求上的最大值與最小值。（本題7分）十、計(jì)算，其中區(qū)域D為：。（本題7分）十一、證明：當(dāng)0<x<1時(shí)，。（本題7分）十二、設(shè)C是取正向的圓周，f(x)是正的連續(xù)函數(shù)，證明：2001年天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案（理工類）填空：（本題15分，每空3分。請(qǐng)將最終結(jié)果填在相應(yīng)的橫杠上面。）1.函數(shù)在（-∞，+∞）上連續(xù)，則a=。2.設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程所確定，則。3.由曲線與x軸所圍成的圖形的面積A=。4.設(shè)E為閉區(qū)間[0，4π]上使被積函數(shù)有定義的所有點(diǎn)的集合，則。5．設(shè)L是順時(shí)針?lè)较虻臋E圓，其周長(zhǎng)為l，則。二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個(gè)小題的四個(gè)選項(xiàng)中僅有一個(gè)是正確的，把你認(rèn)為“正確選項(xiàng)”前的字母填在括號(hào)內(nèi)。選對(duì)得分；選錯(cuò)、不選或選出的答案多于一個(gè)，不得分。）1.若且，則（） （A）存在；（B） （C）不存在；