5.1導(dǎo)數(shù)的概念 原卷版

導(dǎo)數(shù)的概念【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：瞬時(shí)速度的定義(1)物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度．(2)一般地，設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)v，我們就說(shuō)當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)的極限是v，這時(shí)v就是物體在時(shí)刻t＝t0時(shí)的瞬時(shí)速度，即瞬時(shí)速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).考點(diǎn)二：函數(shù)的平均變化率對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋Δx)．這時(shí)，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我們把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．考點(diǎn)三：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).考點(diǎn)四：導(dǎo)數(shù)的幾何意義1．割線斜率與切線斜率設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，直線AB是過(guò)點(diǎn)A(x0，f(x0))與點(diǎn)B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一條割線，此割線的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).當(dāng)點(diǎn)B沿曲線趨近于點(diǎn)A時(shí)，割線AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，它的極限位置為直線AD，直線AD叫做此曲線在點(diǎn)A處的切線．于是，當(dāng)Δx→0時(shí)，割線AB的斜率無(wú)限趨近于過(guò)點(diǎn)A的切線AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率．也就是說(shuō)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0)．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．考點(diǎn)五：導(dǎo)函數(shù)的定義從求函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看出，當(dāng)x＝x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)．這樣，當(dāng)x變化時(shí)，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù))．y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作f′(x)或y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).規(guī)律總結(jié)：區(qū)別聯(lián)系f′(x0)f′(x0)是具體的值，是數(shù)值在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)值f′(x)f′(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上每一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個(gè)新函數(shù)，是函數(shù)【題型歸納】題型一：函數(shù)的平均變化率1．（2023下·江西·高二校聯(lián)考）已知函數(shù)，當(dāng)自變量由1變到1.1時(shí)，的平均變化率為（

）2．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，在區(qū)間上的平均變化率為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．不確定3．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）當(dāng)函數(shù)的自變量從變化到時(shí)，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)（

）A．在區(qū)間上的平均變化率 B．在處的變化率C．在處的變化率 D．在區(qū)間上的變化量題型二：瞬時(shí)變化率理解4．（2023下·湖北黃岡·高二校聯(lián)考期中）已知質(zhì)點(diǎn)M在平面上作變速直線運(yùn)動(dòng)，且位移S（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系可用函數(shù)：表示，則該質(zhì)點(diǎn)M在時(shí)的瞬時(shí)速度為（

）A． B．C． D．5．（2023下·陜西渭南·高二?？计谥校┤艉瘮?shù)在處的瞬時(shí)變化率為，且，則（

）A．2 B．4 C． D．6．（2023上·云南楚雄·高三統(tǒng)考期末）已知某容器的高度為20cm，現(xiàn)在向容器內(nèi)注入液體，且容器內(nèi)液體的高度h（單位：cm）與時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為3cm/s，則當(dāng)時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為（

）A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s題型三：導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）的理解7．（2023下·河北滄州·高二統(tǒng)考期中）若，則可導(dǎo)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為（

）A． B． C．1 D．28．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）若非常數(shù)函數(shù)f(x)在x＝x0處存在導(dǎo)數(shù)，則（

）A．與x0，h都有關(guān) B．僅與x0有關(guān)，而與h無(wú)關(guān)C．僅與h有關(guān)，而與x0無(wú)關(guān) D．以上答案都不對(duì)9．（2023下·吉林·高二四平市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．10．（2023下·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則（

）A．1 B．2 C． D．題型四：導(dǎo)數(shù)定義中的極限的簡(jiǎn)單計(jì)算11．（2023下·上海閔行·高二上海市七寶中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)在處導(dǎo)數(shù)為，則等于（

）A． B． C． D．12．（2023下·北京通州·高二通州區(qū)運(yùn)河中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．5 B． C．2 D．題型五：利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求斜率13．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角等于（）A． B． C． D．14．（2023下·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的平均變化率為，其中，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)（

）A． B． C． D．15．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)存在導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（

）A． B． C． D．題型六：導(dǎo)數(shù)概念的綜合問(wèn)題16．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）利用導(dǎo)數(shù)定義求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)(6)．17．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）（1）運(yùn)用割線逼近切線的方法，分別求曲線在，，處的切線斜率．（2）用割線逼近切線的方法，求曲線在處切線的斜率．18．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）自由落體運(yùn)動(dòng)中，物體下落的距離d（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）近似滿足函數(shù)關(guān)系．(1)求物體在時(shí)間段內(nèi)的平均速度；(2)求物體在時(shí)的瞬時(shí)速度；(3)求物體在時(shí)的瞬時(shí)速度．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題19．（2023上·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在處存在導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．20．（2023上·北京·高二清華附中校考期中）已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．21．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)x從1變?yōu)?時(shí)，函數(shù)值y改變了多少？此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是多少？(2)當(dāng)x從1變?yōu)?時(shí)，函數(shù)值y改變了多少？此時(shí)該函數(shù)的平均變化率是多少？(3)該函數(shù)變化的快慢有何特點(diǎn)？求該函數(shù)在，處的瞬時(shí)變化率．22．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）自由落體運(yùn)動(dòng)的位移d（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系（g為重力加速度）．(1)分別求、、這些時(shí)間段內(nèi)自由落體的平均速度；(2)求時(shí)的瞬時(shí)速度；(3)求時(shí)的瞬時(shí)速度；(4)借助（3）的結(jié)果，求時(shí)的瞬時(shí)速度．【高分突破】一、單選題23．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·高二東北育才學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度h（單位m）與起跳后的時(shí)間（單位：）存在函數(shù)關(guān)系．該運(yùn)動(dòng)員在s時(shí)的瞬時(shí)速度（單位：）為（

）A．10.9 B．0.1 C．6 D．524．（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在處可導(dǎo)，若，則（

）A．1 B． C． D．25．（2023下·江西新余·高二統(tǒng)考期末）2020年12月1日22時(shí)57分，嫦娥五號(hào)探測(cè)器從距離月球表面處開(kāi)始實(shí)施動(dòng)力下降，7500牛變推力發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)機(jī)，逐步將探測(cè)器相對(duì)月球縱向速度從約降為零.12分鐘后，探測(cè)器成功在月球預(yù)選地著陸，記探測(cè)器與月球表面距離的平均變化率為，相對(duì)月球縱向速度的平均變化率為，則（

）A．， B．，C．， D．，26．（2022上·云南紅河·高二校考期末）若函數(shù)在處可導(dǎo)，則（

）A． B．C． D．027．（2023下·北京海淀·高二統(tǒng)考期末）下列四個(gè)函數(shù)中，在區(qū)間上的平均變化率最大的為（

）A． B．C． D．是函數(shù)零點(diǎn)近似解的初始值，在點(diǎn)處的切線方程為，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即為函數(shù)，滿足，應(yīng)用上述方法，則（

）A．1 B． C． D．29．（2023下·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，若函數(shù)在上的平均變化率為，則下面敘述正確的是（

）A．直線的傾斜角為 B．直線的傾斜角為C．直線的斜率為 D．直線的斜率為二、多選題30．（2023下·山東日照·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由變化到時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)，但不能為0B．函數(shù)值的改變量為C．函數(shù)在上的平均變化率為D．函數(shù)在上的平均變化率31．（2023下·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為了評(píng)估某治療新冠肺炎藥物的療效，現(xiàn)有關(guān)部門對(duì)該藥物在人體血管中的藥物濃度進(jìn)行測(cè)量．已知該藥物在人體血管中藥物濃度隨時(shí)間的變化而變化，甲、乙兩人服用該藥物后，血管中藥物濃度隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖所示．則下列結(jié)論正確的是（

）A．在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中的藥物濃度相同B．在時(shí)刻，甲、乙兩人血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率相同C．在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲、乙兩人血管中藥物濃度的平均變化率相同D．在和兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)，甲血管中藥物濃度的平均變化率相同32．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度(單位：是，判斷下列說(shuō)法正確的是（

）A．運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度是B．運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度是C．運(yùn)動(dòng)員在附近以的速度上升D．運(yùn)動(dòng)員在附近以的速度下降33．（2023下·江西·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為（

）A． B．C． D．三、填空題34．（2023上·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)且，則．35．（2023下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高二校聯(lián)考期末）已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移（單位：米）與時(shí)間（單位：秒）的關(guān)系為，則質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為米/秒．36．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）請(qǐng)根據(jù)圖中的函數(shù)圖象，將下列數(shù)值按從小到大的順序排列：．①曲線在點(diǎn)處切線的斜率；

②曲線在點(diǎn)處切線的斜率；③曲線在點(diǎn)處切線的斜率；

④割線的斜率；⑤數(shù)值；

⑥數(shù)值．37．（2023下·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學(xué)校校考期中）拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微積分學(xué)中的基本定理之一，它反映了函數(shù)在閉區(qū)間上的整體平均變化率與區(qū)間某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系，其具體內(nèi)容如下：若在上滿足以下條件：①在上圖象連續(xù)，②在內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，則在內(nèi)至少存在