2023-2024學(xué)年湖北省武漢光谷未來學(xué)校八年級上冊月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期八年級自我檢測月練習(xí)一．選擇題1．第十九屆亞運會于年月日至月日在杭州隆重舉行，下列圖標(biāo)是亞運會上常見的運動圖標(biāo)，其中是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．已知點A（2，a）關(guān)于x軸的對稱點為點B（b，﹣3），則a＋b的值為（

）A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣53．下列從左到右的變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．4．下列條件能判定的一組是（

）A．，， B．，，C．，， D．，的周長等于的周長5．到三角形三個頂點距離相等的點是（）A．三邊高線的交點B．三邊垂直平分線的交點C．三條中線的交點D．三條內(nèi)角平分線的交點6．如圖，在中，，垂直平分，垂足為，交于，若的周長為，則的長為（

）

A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，點，在坐標(biāo)軸上確定點，使為等腰三角形，符合條件的點有（

）A．4 B．6 C．8 D．98．如圖，線段，的垂直平分線交于點，且，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．如圖，是等邊三角形，F(xiàn)、G分別為AC和BC的中點，D在線段BG上，連接DF，以DF為邊作等邊，ED的延長線交AB于H．連接EC，則以下結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)D在線段BG上（不與G點重合）運動時，．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，中，，，，，，平分，與相交于點，則的長為（

）A．6 B．7 C．8 D．9二．填空題11．；；．12．已知，，為三邊的長，當(dāng)時，則的形狀是．13．如圖，是由10把相同的折扇組成的“蝶戀花”（圖a）和梅花圖案（圖b）（圖中的折扇無重疊）．則梅花圖案中的五角星的五個銳角的度數(shù)均為．14．如圖，在等腰三角形中，，，點為線段上一點，，，若，則的值為．15．在等腰三角形中，邊上的高恰好等于邊長的一半，則等于．16．如圖，在中，，，，點為的中點，點為內(nèi)一動點且，點為的中點，當(dāng)最小時，則的度數(shù)為________．三．解答題17．計算：(1)；(2)．（要求簡便計算）18．分解因式：(1)；(2)．19．如圖，在等邊△ABC中，點D、E分別在邊BC、AC上，且AE=CD，BE與AD相交于點P，BQ⊥AD于點Q．（1）求證：BE=AD（2）求證：PQ=BP20．如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點、點．請僅用無刻度直尺完成下列畫圖，保留畫圖痕跡(1)在圖1中：①畫出格點，使；②在軸上取一點，使得；(2)在圖2中：①作出關(guān)于軸的對稱線段（點A的對稱點為點）；②點、為線段上的任意兩點，在軸上找一點E，使的值最小．21．如圖，點為等邊的邊上一點，為延長線上一點，，交于，過作于．(1)求證：；(2)若，求的長．22．先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“A”還原，得原式．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：（1）因式分解：_________；（2）因式分解：；（3）求證：若n為正整數(shù)，則代數(shù)式的值一定是某一個整數(shù)的平方．23．點P為等邊三角形所在平面內(nèi)一點，且．(1)如圖1，點P在外部，若，，則的長為______；(2)P點在內(nèi)部，連接．①如圖2，若，求證；②如圖3，D為邊中點，連接，求證：．24．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，與坐標(biāo)原點O在同一直線上，且AO=BO，其中m，n滿足．

（1）求點A，B的坐標(biāo)；（2）如圖1，若點M，P分別是x軸正半軸和y軸正半軸上的點，點P的縱坐標(biāo)不等于2，點N在第一象限內(nèi)，且，PA⊥PN，，求證：BM⊥MN；（3）如圖2，作AC⊥y軸于點C，AD⊥x軸于點D，在CA延長線上取一點E，使，連結(jié)BE交AD于點F，恰好有，點G是CB上一點，且，連結(jié)FG，求證：．參考答案與解析1．A【分析】此題考查了軸對稱圖形的概念，根據(jù)概念即可，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線(成軸）對稱，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：．2．A【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得、的值．【詳解】解：∵點A（2，a）關(guān)于x軸的對稱點為點B（b，﹣3），∴，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點，關(guān)鍵是掌握點的坐標(biāo)的變化規(guī)律．3．D【分析】根據(jù)因式分解的定義即可解答；【詳解】A、，是整式乘法，不符合題意；B、，不是因式分解，不符合題意；C、，是整式乘法，不符合題意；D、，是因式分解，符合題意；故選：D．【點睛】該題主要考查了因式分解的定義，熟悉整式乘法和因式分解的區(qū)別是解答該題的關(guān)鍵．4．A【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐項分析判斷即可．【詳解】A.，，

，根據(jù)ASA，能判定，符合題意，B.，，，不能判定，不符合題意，C.，，

，不能判定，不符合題意，D.，的周長等于，不能判定，不符合題意，故選A【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)到線段兩端的距離相等，即可求解．【詳解】解：到三角形三個頂點距離相等的點是三邊垂直平分線的交點，故選：B6．C【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)得，再利用已知條件三角形的周長計算．【詳解】解：∵垂直平分，∴．∵的周長，∴，∴，∵，∴．故選：C．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．7．C【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)和等腰三角形的判定；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底，哪邊是腰時，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．【詳解】解：若作為腰時，有兩種情況，當(dāng)A是頂角頂點時，B是以A為圓心，以為半徑的圓與坐標(biāo)軸的交點，共有2個（除O點）；當(dāng)O是頂角頂點時，B是以O(shè)為圓心，以為半徑的圓與坐標(biāo)軸的交點，有4個；若是底邊時，B是的中垂線與坐標(biāo)軸的交點，有2個．以上8個交點沒有重合的，故符合條件的點有8個．故選：C．8．C【分析】連接CE，依據(jù)線段，的垂直平分線交于點，可得，，判定，可得，設(shè)，則，，，即可得到中，．【詳解】如圖，連接，如圖所示：∵線段，的垂直平分線交于點，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，即，在和中，，，，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∴在中，，故選：C．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，以及三角形內(nèi)角和定理得出結(jié)論．9．D【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得BF⊥AC，可判斷①，由等邊三角形的性質(zhì)可求∠A+∠FDH=180°，由四邊形內(nèi)角和定理可得∠AHD+∠AFD=180°，可判斷②，由“SAS”可證△CFE≌△GFD，可得CE=GD，∠FGD=∠FCE=120°，可判斷③和④，即可求解．【詳解】∵△ABC是等邊三角形，點F是AC中點，∴BF⊥AC，故①正確，∵△ABC和△EFD是等邊三角形，∴∠A=∠EDF=60°=∠EFD，EF=FD，∴∠FDH=120°，∴∠A+∠FDH=180°，∴∠AHD+∠AFD=180°，故②正確；如圖，連接FG，∵F、G分別為AC和BC的中點，∴CG=BC=AC=CF，又∵∠FCG=60°，∴△CFG是等邊三角形，∴CF=FG=CG，∠FCG=60°=∠FGC，∴∠FGD=120°，∵∠CFG=∠EFD=60°，∴∠CFE=∠GFD，在△CFE和△GFD中，，∴△CFE≌△GFD（SAS），∴CE=GD，∠FGD=∠FCE=120°，∴CD=CG+GD=CF+CE，∠BCE=60°，故③④正確，綜上，①②③④都正確，故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．10．B【分析】延長交于，延長交于，如圖所示，根據(jù)題意得到是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)有，再根據(jù)等腰三角形三線合一得到，設(shè)，則，從而由得到，解方程即可得到答案．【詳解】解：延長交于，延長交于，如圖所示：∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，平分，∴，即，設(shè)，在中，，則，由得，，解得：，故選：B．【點睛】本題考查三角形背景下求線段長，涉及等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線定義、含的直角三角形性質(zhì)等知識，熟練掌握特殊三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．11．1【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法，零指數(shù)冪，積的乘方運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則，準(zhǔn)確計算．【詳解】解：；；．故答案為：；1；．12．等邊三角形【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的判斷．解題的關(guān)鍵是將已知等式利用完全平方公式變形，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a，b，c之間的關(guān)系．【詳解】解：為等邊三角形，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴為等邊三角形．13．##48度【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出梅花扇的內(nèi)角的度數(shù)是：，．【詳解】解∶如圖，梅花扇的內(nèi)角的度數(shù)是：，∴，∴，∵正五邊形的每一個內(nèi)角，∴梅花圖案中的五角星的五個銳角均為：．故答案為：．14．4【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含直角三角形的性質(zhì)，熟知所對的直角邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出，然后利用含直角三角形的性質(zhì)得到，，進(jìn)而可計算的值．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴和是直角三角形，∴，，∴，故答案為：4．15．75°或90°或15°【分析】本題要分三種情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)來分析：①當(dāng)BC為腰，AD在三角形的內(nèi)部，②BC為腰，AD在三角形的外部，③BC邊為等腰三角形的底邊．【詳解】解：如下圖，分三種情況：①如圖1，AB＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的內(nèi)部，由題意知，AD=BC＝AB，Sin∠B=∴∠B＝30°，∴∠C＝∠BAC=（180°?∠B）÷2＝75°，∴∠BAC＝∠C＝75°；②如圖2，AC＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，由題意知，AD＝BC＝AC，∴∠ACD＝30°＝∠B＋∠CAB，∵∠B＝∠CAB，∴∠BAC＝∠ACD＝15°；③如圖3，AC＝BC，AD⊥BC，BC邊為等腰三角形的底邊，由等腰三角形的底邊上的高與底邊上中線，頂角的平分線重合，可得點D為BC的中點，由題意知，AD＝BC＝CD＝BD，∴△ABD，△ADC均為等腰直角三角形，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC的度數(shù)為90°或75°或15°，故答案為：90°或75°或15°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)；本題要分三種情況討論：前兩種情況為∠BAC為等腰三角形的底角，且AD在三角形內(nèi)部或是外部；第三種為∠BAC為等腰三角形的頂角，這是正確解答本題的關(guān)鍵．16．##45度【分析】取的中點F，連接、、，則可證明，則有，從而，即當(dāng)點M在線段上時，值最小，且最小值為線段的長，則此時，由等腰直角三角形知可求得的度數(shù)．【詳解】解：取的中點F，連接、、，如圖所示：則，，點為的中點，點為的中點，，，，，，，，，，即當(dāng)點M在線段上時，值最小，且最小值為線段的長；，，是等腰直角三角形．故答案為：．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，兩點間線段最短等知識，通過構(gòu)造全等三角形把求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，是解題的關(guān)鍵與難點．17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)積的乘方，同底數(shù)冪相乘，合并同類項即可得；（2）將2023化為，將2021化為，運用平方差公式進(jìn)行計算即可得．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】本題考查了積的乘方，同底數(shù)冪相乘，合并同類項，平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點，掌握運算法則和運算順序．18．(1)(2)【分析】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法，準(zhǔn)確計算．（1）先提公因式，然后再用平方差公式進(jìn)行因式分解；（2）用平方差公式和十字相乘法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．19．(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得：AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°，根據(jù)SAS可證△BAE≌ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可證BE=AD；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可證∠ABE=∠CAD，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可證∠BPQ=∠ABE+∠BAD，所以可以求出∠PBQ=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可證PQ=BP．【詳解】（1）∵△ABC為等邊三角形∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°在△BAE和△ACD中∴△BAE≌ACD（SAS），∴BE=AD；（2）∵△BAE≌△ACD，∴∠ABE=∠CAD．∵∠BPQ為△ABP外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴PQ=BP．20．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）取格點P，連接，，則；取格點C，連接、，，設(shè)，交于點D，、交于點E，連接并延長交x軸于一點，該點即為點Q；（2）先作點A、B關(guān)于y軸的對稱點C、D，然后再連接即可；連接交y軸于點F，連接并延長交于點，連接，交y軸于點E，則點即為所求作的點．【詳解】（1）解：取格點P，連接，，則；取格點C，連接、，，設(shè)，交于點D，、交于點E，連接并延長交x軸于一點，該點即為點Q；∵，，∴，∴為等腰直角三角形，，∴；∵在和中，∴，∴，∵，∴四邊形為菱形，∵，∴四邊形為正方形，∴，∴垂直平分，∴．（2）解：作點A、B關(guān)于y軸的對稱點C、D，連接，則即為所求作的線段，連接交y軸于點F，連接并延長交于點，連接，交y軸于點E，則點即為所求作的點；∵與關(guān)于y軸對稱，∴，，∴，∵，∴，∴，∴點與點M關(guān)于y軸對稱，∴，∴，∵兩點之間線段最短，∴此最小，即最?。军c睛】本題主要考查了復(fù)雜作圖，正方形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，作軸對稱圖形，勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定方法和三角形全等的判定方法．21．(1)見解析(2)【分析】（1）過P作，可得為等邊三角形，得出，再證，即可得；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，然后求出，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解．【詳解】（1）證明：如圖，過點P作，則，∵為等邊三角形，∴是等邊三角形，∴，又∵，∴，在和中，∴，∴；（2）解：∵為等邊三角形，，∴，由（1）知，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出等邊三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．22．（1）(x-y+1)2；（2）(a+b-2)2；（3）見解析【分析】（1）把(x-y)看作一個整體，直接利用完全平方公式因式分解即可；（2）令A(yù)=a+b，代入后因式分解后代入即可將原式因式分解；（3）將原式轉(zhuǎn)化為(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1，進(jìn)一步整理為(n2+3n+1)2，根據(jù)n為正整數(shù)得到n2+3n+1也為正整數(shù)，從而說明原式是整數(shù)的平方．【詳解】解：（1）=(x-y+1)2；（2）令A(yù)=a+b，則原式變?yōu)锳(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2，故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2；（3）(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2，∵n為正整數(shù)，∴n2+3n+1也為正整數(shù)，∴代數(shù)式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一個整數(shù)的平方．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法．23．(1)10(2)①見解析；②見解析【分析】（1）繞點A將逆時針旋轉(zhuǎn)得到，證明，是等邊三角形即可．（2）①繞點A將逆時針旋轉(zhuǎn)得到，證明是等邊三角形，是含有角的直角三角形即可．②繞點A將逆時針旋轉(zhuǎn)得到，證明是等邊三角形，延長到點F，使，證明，再利用全等三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）如圖，繞點A將逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，，∵等邊三角形，且，∴，，∴，∴，∴三點共線，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為：10．（2）①如圖，繞點A將逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∵等邊三角形，且，，∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴．②繞點A將逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∵等邊三角形，且，∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，，．延長到點F，使，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等邊三角形的判定，三角形全等的判定性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（1）A點坐標(biāo)為（-1,1）,B點坐標(biāo)為（1，-1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【分析】（1）將關(guān)于m、n的關(guān)系式進(jìn)行變形，成為連個完全平方式的和，解出m和n的值，即可得到A、B的坐標(biāo).（2）求證兩線段垂直，可以通過將兩直線所成的角進(jìn)行拆分，然后計算各個角相加的和，本題通過在x軸負(fù)半軸取點Q，OQ=OM,連接QA,QP,PM,然后根據(jù)題干中條件和輔助線條件求證△PQA≌△PMN，得出PQ=PM，再繼續(xù)求證△PQA≌△PMN，得到△QPM為等腰直