第三章-3.3-第1課時(shí)

2023/12/27第三章3.3第1課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系.2.掌握圖象法解一元二次不等式.3.體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測題型探究內(nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一一元二次不等式的概念思考我們知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一個(gè)元素均可使等式成立.那么你能寫出不等式x2>1的解集嗎？答案不等式x2>1的解集為{x|x<－1或x>1}，該集合中每一個(gè)元素都是不等式的解，而不等式的每一個(gè)解均屬于解集.梳理(1)一般地，含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的

的整式不等式，叫做一元二次不等式.(2)一元二次不等式的一般表達(dá)形式為

或____________(a≠0)，其中a，b，c均為常數(shù).最高次數(shù)是2ax2＋bx＋c>0(a≠0)ax2＋bx＋c<0知識點(diǎn)二“三個(gè)二次”的關(guān)系思考分析二次函數(shù)y＝x2－1與一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之間的關(guān)系.梳理一元二次不等式與相應(yīng)的一元二次方程、二次函數(shù)的聯(lián)系，如下表.Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有______________________有______________________沒有實(shí)數(shù)根兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)兩相等實(shí)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集_____________Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集__________??{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}知識點(diǎn)三一元二次不等式的解法思考根據(jù)上表，嘗試解不等式x2＋2>3x.答案先化為x2－3x＋2>0.∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2，∴原不等式的解集為{x|x<1或x>2}.梳理解一元二次不等式的步驟：(1)化為基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)；(2)計(jì)算Δ＝b2－4ac，以確定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解；(3)有根求根；(4)根據(jù)圖象寫出不等式的解集.[思考辨析判斷正誤]1.mx2－5x<0是一元二次不等式.(

)2.若a>0，則一元二次不等式ax2＋1>0無解.(

)3.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根為x1，x2(x1<x2)，則一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集為{x|x1<x<x2}.(

)4.不等式x2－2x＋3>0的解集為R.(

)×××√題型探究類型一一元二次不等式的解法命題角度1二次項(xiàng)系數(shù)大于0例1

求不等式4x2－4x＋1>0的解集.解答解因?yàn)棣ぃ?－4)2－4×4×1＝0，反思與感悟當(dāng)所給不等式是非一般形式的不等式時(shí)，應(yīng)先化為一般形式，在具體求解一個(gè)一般形式的一元二次不等式的過程中，要密切結(jié)合一元二次方程的根的情況以及二次函數(shù)的圖象.跟蹤訓(xùn)練1

求不等式2x2－3x－2≥0的解集.解答命題角度2二次項(xiàng)系數(shù)小于0例2

解不等式－x2＋2x－3>0.解答解不等式可化為x2－2x＋3<0.因?yàn)棣?lt;0，方程x2－2x＋3＝0無實(shí)數(shù)解，而y＝x2－2x＋3的圖象開口向上，所以原不等式的解集是?.反思與感悟?qū)ⅲ瓁2＋2x－3>0轉(zhuǎn)化為x2－2x＋3<0的過程注意符號的變化，這是解本題的關(guān)鍵之處.跟蹤訓(xùn)練2

求不等式－3x2＋6x>2的解集.解答解不等式可化為3x2－6x＋2<0，∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，解答命題角度3含參數(shù)的二次不等式例3

解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.當(dāng)a＝0時(shí)，不等式即－x＋1＜0，解集為{x|x＞1}.當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為?.當(dāng)a＝1時(shí)，解集為?；當(dāng)a＝0時(shí)，解集為{x|x＞1}；反思與感悟解含參數(shù)的不等式，可以按常規(guī)思路進(jìn)行：先考慮開口方向，再考慮判別式的正負(fù)，最后考慮兩根的大小關(guān)系，當(dāng)遇到不確定因素時(shí)再進(jìn)行分類討論.跟蹤訓(xùn)練3

解關(guān)于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.解當(dāng)a＜0或a＞1時(shí)，有a＜a2，此時(shí)，不等式的解集為{x|a＜x＜a2}；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有a2＜a，此時(shí)，不等式的解集為{x|a2＜x＜a}；當(dāng)a＝0或a＝1時(shí)，原不等式的解集為?.綜上，當(dāng)a＜0或a＞1時(shí)，原不等式的解集為{x|a＜x＜a2}；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式的解集為{x|a2＜x＜a}；當(dāng)a＝0或a＝1時(shí)，解集為?.解答類型二“三個(gè)二次”間對應(yīng)關(guān)系的應(yīng)用例4

已知關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集為{x|1＜x＜2}，試求關(guān)于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集.∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.解答反思與感悟給出一元二次不等式的解集，相當(dāng)于知道了相應(yīng)二次函數(shù)的開口及與x軸的交點(diǎn)，可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù).跟蹤訓(xùn)練4

已知不等式ax2－bx＋2<0的解集為{x|1<x<2}，求a，b的值.解方法一由題設(shè)條件知a>0，且1，2是方程ax2－bx＋2＝0的兩實(shí)根.方法二把x＝1，2分別代入方程ax2－bx＋2＝0中，解答達(dá)標(biāo)檢測1.不等式2x2－x－1>0的解集是解析∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，√1234答案解析2.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是√解析∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，∴(2x－1)(3x＋2)≥0，1234答案解析3.不等式x2＋x－2<0的解集為

.1234解析由x2＋x－2<0，得－2<x<1，故其解集為{x|－2<x<1}.答案解析{x|－2<x<1}4.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集為R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，原不等式為－4<0，所以當(dāng)a＝2時(shí)解集為R.當(dāng)a－2≠0時(shí)，解得－2<a<2.綜上所述，a的取值范圍為(－2，2].1234解答規(guī)律與方法1.解一元二次不等式的常見方法(1)圖象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關(guān)系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟：①化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并畫出對應(yīng)函數(shù)y