湖北省武漢市重點中學4G聯(lián)合體2022-2023學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

2022-2023學年度上學期武漢市重點中學聯(lián)合體期末考試高二數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知數(shù)列中的首項，且滿足，則此數(shù)列的第三項是（）A．1 B． C． D．2．已知三棱錐O-ABC中，點M，N分別為AB，OC的中點，且﹐﹐，則（）．A． B． C． D．3．已知，是橢圓C：的兩個焦點，P為橢圓上一點，滿足，若的面積為9，則（）A．1 B．2 C． D．34．意大利數(shù)學家斐波那契在1202年著的《計算之書》中記載了斐波那契數(shù)列，此數(shù)列滿足：，且從第三項開始，每一項都是它的前兩項的和，即，則在該數(shù)列的前2022項中，奇數(shù)的個數(shù)為（）A．672 B．674 C．1348 D．20225．已知空間直角坐標系中的點，，，則點P到直線AB的距離為（）A． B． C． D．6．據(jù)史料推測，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國初年，是充分體現(xiàn)我國勞動人民智慧的一種計數(shù)方法．在算籌計數(shù)法中，用一根根同樣長短和粗細的小棍子（用竹子，木頭，獸骨，象牙，金屬等材料制成）以不同的排列方式來表示數(shù)字，如果用五根小木棍隨機擺成圖中的兩個數(shù)（小木棍全部用完），那么這兩個數(shù)的和不小于9的概率為（）A． B． C． D．7．在等差數(shù)列中，是的前n項和，滿足，，則有限項數(shù)列，，…，，中，最大項和最小項分別為（）A．， B．， C．， D．，8．已知雙曲線的右焦點為F，關于原點對稱的兩點A，B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列結論中正確的是（）全科試題免費下載公眾號《高中僧課堂》A．該試驗樣本空間共有4個樣本點 B．C．A與B為互斥事件 D．A與B為相互獨立事件10．等差數(shù)列，的前n項和分別為，，，，則下列說法正確的有（）A．數(shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．11．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標系中，已知，，點P滿足，設點P的軌跡為圓C（圓心為C），則下列說法正確的是（）A．圓C的方程是B．以AB為直徑的圓與圓C的公共弦所在的直線方程為C．過點A作直線l，若圓C上恰有三個點到直線的距離為2，則該直線的斜率為D．過直線上的一點M向圓引切線ME、MF，則四邊形MECF的面積的最小值為12．拋物線的光學性質(zhì)為：從焦點F發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的點P反射后，反射光線平行拋物線的對稱軸，且法線垂直于拋物線在點P處的切線．已知拋物線上任意一點處的切線為，直線l交拋物線于，，拋物線在A，B兩點處的切線相交于點Q．下列說法正確的是（）A．直線l方程為B．設弦AB的中點為M，則QM平行于x軸或與x軸重合C．切線QA與y軸的交點恰在以FQ為直徑的圓上D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若雙曲線于的一個焦點為，兩條漸近線互相垂直，則________．14．甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定先連勝兩局者贏得比賽，假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽相互獨立，則恰好進行了4局結束比賽的概率為________．15．在直三棱柱中，，，，M是，的中點，以C為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，若，則異面直線CM與夾角的余弦值為________．16．已知橢圓C：的離心率為，右焦點為，點M在圓上，且M在第一象限，過M作圓的切線交橢圓于P，Q兩點．若；的周長為4，則橢圓C的方程為________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知公差大于零的等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，．（1）求和；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)c．18．（本小題滿分12分）已知兩直線：，：．（1）求過兩直線的交點，且在兩坐標軸上截距相等的直線方程；（2）若直線：與，不能構成三角形，求實數(shù)a的值．19．（本小題滿分12分）如圖，點，，在拋物線上，且拋物線的焦點F是的重心，M為BC的中點．（1）求拋物線的方程和點F的坐標；（2）求點M的坐標及BC所在的直線方程．20．（本小題滿分12分）如圖，在四棱椎中，底面ABCD為平行四邊形，平面ABCD，點M，N分別BC為，PA的中點．（1）取PB的中點H，連接AH，若平面平面PAB，求證：；（2）已知，﹐若直線AC與平面PBC所成角的正弦值為，求平面PBC與平面ABCD的夾角的余弦值．21．（本小題滿分12分）已知點，，圓C：，直線l過點N．（1）若直線l與圓C相切，求l的方程：（2）若直線l與圓C交于不同的兩點A，B，設直線A，B的斜率分別為，，證明：為定值．22．（本小題滿分12分）已知點O為坐標原點，的兩個頂點分別為，，M為邊AB上一點，滿足CM平分且．（1）求頂點C的軌跡E的方程；（2）設直線CM與曲線E的一個交點為D（異于點C），求面積的最大值．2022-2023學年度第一學期重點中學聯(lián)合體期末考試高二數(shù)學試卷參考答案及評分標準一、選擇題：題號123456789101112答案ADDCDACBABDABADBCD二、填空題：13． 14． 15． 16．三、解答題：17．（10分）（1）因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，又，所以，是方程的兩實根，又公差，所以，所以，，，所以，，所以，所以，．（2）由（1）知，所以，所以，，，因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以，解得或（舍），所以．經(jīng)檢驗，當時，是等差數(shù)列．所以．18．（12分）（1）聯(lián)立直線方程解得，交點坐標，當直線過原點時，在兩坐標軸上截距相等均為0，直線方程，當直線不過原點時，設其方程為，過得，，所以直線方程綜上：滿足題意的直線方程為，或（2）直線：與，不能構成三角形當與平行時：，，當與平行時：，當三條直線交于一點，即過點，則，綜上所述，，或，或19．（12分）（1）由點在拋物線上，有，解得．所以拋物線方程為，焦點F的坐標為．（2）由于F是的重心，M是線段BC的中點，所以，設點M的坐標為，則，，∴，解得，，所以點M的坐標為，由得，因為為BC的中點，故，所以﹐因此BC所在直線的方程為，即．20．（12分）（1）平面平面PAB，且交線為AH，過B點作AH的垂線，垂足記為K，由于平面PAB，所以平面HAC，由于平面HAC，所以，又平面ABCD，平面ABCD，所以，由于BK，PA是平面PAB內(nèi)的相交直線，所以平面PAB，由于平面PAB，所以，即（2）由于，，所以，所以，由于平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，即AB，AC，AP兩兩垂直．以A為原點，AB，AC，AP所在直線為x軸、y軸、z軸﹐建立如圖所示的空間直角坐標系．設，則，，，故，，設平面PBC的一個法向量為，則，即，今，則，，故，易得平面ABCD的一個法向量為，又，設直線AC與平面PBC所成角為，則，解得，設平面PBC與平面ABCD的夾角為β．則，所以平面PBC與平面ABCD的夾角的余弦值為．21．（12分）（1）若直線l的斜率不存在，則l的方程為，此時直線l與圓C相切，故符合條件．若直線l的斜率存在，設斜率為k，其方程為，即．由直線l與圓C相切，圓心到l的距離為1，即，解得．所以直線l的方程為，即，綜上，直線l的方程為，或．（2）由（1）可知，l與圓C有兩個交點時，斜率存在，此時設l的方程為，聯(lián)立，消去y可得，則．解得．設，，則，，（*）所以，將（*）代入上式整理得，故為定值．22．（12分）（1）解：因為CM平分，所以