2023年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀（全國甲卷理科）

2023年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀（全國甲卷理科）

2023年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀（全國甲卷理科）

適用省份：四川、廣西、貴州、西藏

飛閃試卷總評

高考數(shù)學(xué)全國卷全面考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)

分析等學(xué)科核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，突出理性思

維，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科在人才選拔中的重要作用.

一、基礎(chǔ)學(xué)科的考查重點(diǎn)

高考數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)性學(xué)科，2023年高考數(shù)學(xué)全國卷充分發(fā)揮基礎(chǔ)學(xué)科的作用，突出素養(yǎng)

和能力考查，甄別思維品質(zhì)、展現(xiàn)思維過程，給考生搭建展示的舞臺和發(fā)揮的空間，致

力于服務(wù)人才自主培養(yǎng)質(zhì)量提升和現(xiàn)代化建設(shè)人才選拔.

一是重點(diǎn)考查邏輯推理素養(yǎng).如第7題，以三角函數(shù)為材料考查充要條件的推證，要求

考生判別充分性和必要性，然后分別進(jìn)行證明，解決問題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)同角公

式中的平方關(guān)系進(jìn)行推理論證.

二是深入考查直觀想象素養(yǎng).如第15題，要求通過想象與簡單計(jì)算，確定球面與正方體

棱的公共點(diǎn)的個數(shù).

三是扎實(shí)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).試題要求考生理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思

路,求得運(yùn)算結(jié)果。如第12題，可用橢圓的定義和余弦定理,求|P用,歸用,儼制2+仍用2,

再用中線的向量公式求OP.

四是加強(qiáng)關(guān)鍵能力考查，增強(qiáng)試題的選拔性.試題通過設(shè)置綜合性的問題和較為復(fù)雜的

情境，加強(qiáng)關(guān)鍵能力的考查.如第21題重視基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵能力的考查，將函數(shù)、

導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與不等式等知識有機(jī)結(jié)合，考查學(xué)生靈活應(yīng)用函數(shù)、不等式思想解決復(fù)

雜問題的能力，對直觀想象能力和邏輯推理能力也有較高的要求.在數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能

力和創(chuàng)新思維層面都有所體現(xiàn)，具有較好的選拔功能.

二、高考試卷的命題探究

高考數(shù)學(xué)全國卷在命制情境化試題過程中，在剪裁素材方面，注意控制文字?jǐn)?shù)量和閱讀

理解難度；在抽象數(shù)學(xué)問題方面，設(shè)置合理的思維強(qiáng)度和抽象程度；在解決問題方面,

通過設(shè)置合適的運(yùn)算過程和運(yùn)算量，力求使情境化試題達(dá)到試題要求層次與考生認(rèn)知水

平的契合與貼切.

一是創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)生活情境.數(shù)學(xué)試題情境取材于學(xué)生生活中的真實(shí)問題，貼近學(xué)生實(shí)際，

具有現(xiàn)實(shí)意義，具備研究價(jià)值.如第6題，取材于滑冰和滑雪兩項(xiàng)典型的冰雪運(yùn)動，具

有時(shí)代氣息，貼近考生，貼近生活，意在引導(dǎo)學(xué)生積極參加體育活動，健體強(qiáng)身，全面

發(fā)展.又如第9題，以志愿者報(bào)名參加公益活動的情境考查排列組合內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生重

視社會責(zé)任感，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.

二是設(shè)置科學(xué)研究情境.科學(xué)研究情境的設(shè)置不僅考查數(shù)學(xué)的必備知識和關(guān)鍵能力，而

且引導(dǎo)考生樹立理想信念，熱愛科學(xué)，為我國社會主義事業(yè)的建設(shè)作出貢獻(xiàn).如第19題，

研究臭氧環(huán)境對小白鼠生長的影響，將小白鼠隨機(jī)分配到試驗(yàn)組和對照組，利用成對數(shù)

據(jù)制成列聯(lián)表，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn).

三、高考復(fù)習(xí)的目標(biāo)導(dǎo)向

高考數(shù)學(xué)全國卷在反套路、反機(jī)械刷題上下功夫，突出強(qiáng)調(diào)對基礎(chǔ)知識和基本概念的深

入理解和靈活掌握，注重考查學(xué)科知識的綜合應(yīng)用能力，落實(shí)中國高考評價(jià)體系中“四

翼，，的考查要求.同時(shí)，合理控制試題難度，科學(xué)引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)，力圖促進(jìn)高中教學(xué)與義

務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的有效銜接，促進(jìn)考教銜接，引導(dǎo)學(xué)生提高在校學(xué)習(xí)效率，避免機(jī)械、

無效的學(xué)習(xí).

一是突出基礎(chǔ)性要求.各套試卷在選擇題和填空題部分均設(shè)置多個知識點(diǎn)，全面考查集

合、復(fù)數(shù)、平面向量、排列組合、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、幾何體的體積、直線和圓等

內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)對基礎(chǔ)知識的全方位覆蓋.同時(shí)，在解答題部分深入考查基礎(chǔ)，考查考生對

基礎(chǔ)知識、基本方法的深刻理解和融會貫通的應(yīng)用.如第17題，全面考查等比數(shù)列、等

差數(shù)列的概念與性質(zhì)，以主干知識考查理性思維素養(yǎng)和運(yùn)算求解能力.

二是彰顯綜合性要求.如第10題，是集合、三角函數(shù)的綜合題，深入考查集合的概念、

三角函數(shù)的周期性，既可以通過三角函數(shù)的周期性求解，也可以用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

三是體現(xiàn)創(chuàng)新性要求.如第10題，將三角函數(shù)的圖像和直線方程相結(jié)合，考查兩者交點(diǎn)

的個數(shù)，展示函數(shù)圖象在解決問題過程中的重要作用.

2023年高考數(shù)學(xué)全國卷全面貫徹黨的二十大報(bào)告精神，落實(shí)高考內(nèi)容改革的要求，嚴(yán)

格依據(jù)高中課程標(biāo)準(zhǔn)，深化基礎(chǔ)性和綜合性，聚焦學(xué)科核心素養(yǎng)，精選試題情境，加強(qiáng)

關(guān)鍵能力考查，促進(jìn)學(xué)生提升科學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)全面發(fā)展，助推高中育人方式改革.

峪考情分析

題分題考查考查點(diǎn)

試卷第2頁，共32頁

號型內(nèi)容

單

15選集合對整數(shù)形式的無限集合的理解，求并集，求補(bǔ)集

題

單

25選復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的代數(shù)乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等

題

算法

單

與程

35選程序框圖的運(yùn)算

序框

題

圖

單

'I--lill平面向量線性運(yùn)算，等腰三角形的判斷，三角形重心的運(yùn)用，

45選

向量求向量的夾角

題

單

等比

55選等比數(shù)列前〃項(xiàng)和計(jì)算，需注意其中條件“正項(xiàng)”

數(shù)列

題

單

條件概率的計(jì)算，用古典概型來做的話，可以用Venn圖來表

65選概率

示

題

常用

單

的邏用三角函數(shù)同角公式中的平方關(guān)系來判斷充分性和必要性，可

75選

輯關(guān)舉反例來判斷

題

系

單

圓錐

85選用雙曲線的離心率求漸近線，漸近線與圓相交，求弦長

曲線

題

95單計(jì)數(shù)分類加法、分布乘法計(jì)數(shù)原理以及特殊條件下的組合問題

選原理

題和排

列組

合

單

三角三角函數(shù)圖像的平移問題，三角函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)判斷，

105選

函數(shù)可采用圖像法，特值法

題

單

立體四棱錐，通過三角形全等的方法證明PB=P4,再通過余弦定理

115選

幾何計(jì)算出，再計(jì)算面積

題

單可通過橢圓的焦點(diǎn)三角形的面積公式以及等面積法求出尸的坐

圓錐

125選標(biāo)；可用橢圓的定義和余弦定理，求|P用

曲線

題再用中線的向量公式求0尸

函數(shù)

填

與三偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)，三角函數(shù)為偶，通過二次函數(shù)一次項(xiàng)

135空

角函為0時(shí)是偶函數(shù)得出結(jié)果

題

數(shù)

填

線性

145空根據(jù)約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值

規(guī)劃

題

填

立體

155空根據(jù)正方體的對稱性，可知球心到各棱的距離相等，即可求解

幾何

題

填

三角

165空根據(jù)余弦定理求出4C,再用等面積法求出4。

函數(shù)

題

解

1712數(shù)列(1)公式法求通項(xiàng)公式；(2)用錯位相減法求前"項(xiàng)和.

答

試卷第4頁，共32頁

題

(1)通過線面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得A。，平面

解

立體BCCIB1,由勾股定理得。為中點(diǎn)，即可得證；(2)利用直角

1812答

幾何

題三角形求出的長及A到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可

得正弦值.

解概率(1)利用超幾何分布的知識即可求分布列和期望；(2)(i)根

1912答與統(tǒng)據(jù)中位數(shù)的定義即可求的%=23.4,從而列出列聯(lián)表；

題計(jì)(ii)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法即可求解；

(1)利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線與拋物線方程求

解

圓錐出弦長，即可求出p；(2)設(shè)直線為*=沖+〃，

2012答

曲線例(4,弘),%(々,%)，再利用時(shí)尸?代尸=0，找到〃&〃的關(guān)系，

題

求出&WA下的面積表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.

(1)求導(dǎo)化簡，通過，=cos2》換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)判斷導(dǎo)函

解函數(shù)

數(shù)的正負(fù)，即可判斷單調(diào)性;(2)構(gòu)造g(x)=〃x)-sin2x,

2112答與導(dǎo)

計(jì)算g'(x)的最大值，然后與0比較大小，得出。的分界點(diǎn)，

題數(shù)

討論即可.

極坐

選

標(biāo)與(1)根據(jù)直線的幾何意義即可求出；(2)在直角坐標(biāo)系下求出

2210做

參數(shù)直線的普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.

題

方程

選(1)分類討論：或x>”去掉絕對值，即可求解；(2)將

不等

2310做絕對值函數(shù)寫成分段函數(shù)，畫草圖，寫出面積表達(dá)式，即可求

式

題出.

*備考指津

1、強(qiáng)調(diào)對基礎(chǔ)知識和基本概念的深入理解和靈活掌握，引導(dǎo)學(xué)生提高在校學(xué)習(xí)效率,

避免機(jī)械、無效的學(xué)習(xí).

2、學(xué)生應(yīng)認(rèn)識到低效的學(xué)習(xí)方式只會帶來無效的壓力和負(fù)擔(dān)，講究備考復(fù)習(xí)時(shí)效性，

不斷鞏固階段性復(fù)習(xí)成果.

3、合理控制試題難度，科學(xué)引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)，力圖促進(jìn)高中教學(xué)與義務(wù)教育階段學(xué)習(xí)的

有效銜接.

4、不管命題方向趨勢如何，重視對基礎(chǔ)概念的理解和掌握永遠(yuǎn)是最重要的.不論題型、

題量、難度如何，透徹、全面地理解基礎(chǔ)概念，能夠用最基礎(chǔ)、樸素的方式使用基礎(chǔ)概

念分析解決問題是一切的基礎(chǔ)，是能做對所有送分的基礎(chǔ)題的基礎(chǔ)，是能著手分析難題

的基礎(chǔ)，也是未來學(xué)習(xí)大學(xué)的專業(yè)知識和高等知識的基礎(chǔ).

5、不管命題方向趨勢如何，邏輯分析推理能力也是非常重要的.現(xiàn)在的難題幾乎根本不

會出現(xiàn)非常套路化、模板化的陳年舊題，總是在想方設(shè)法地推陳出新.就算有舊題型，

往往也都是簡單的題目，不需要什么特殊的方法也能做出來.

聒真題解讀

一、選擇題

1.設(shè)全集U=Z，集合M={xlx=3k+\,keZ},N=[^x=3k+2,keZ},加(M2N)=()

A.[x\x=3k,keZ}B.{jdx=3k-l,keZ]

C.{A|x=3k-2,k&Z}D.0

【知識鏈接】

1、集合的表示方法：列舉法、描述法、論”〃圖等；

2、集合的類型：有限集、無限集；

3、根據(jù)元素的特征判斷集合所表示的含義；

4、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系及私〃〃

圖.

2.設(shè)aeR,(a+i)(l—ai)=2,,貝!]。=()

A.-1B.0C.1D.2

【知識鏈接】

1、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

設(shè)zi=a+歷，Z2=c+dt(a,b,c,dWR),我們規(guī)定:

zi+z2=(a+bi)+(c+di)-(a+c)+(t>+d)i；

Z2-Z1=(c+di)-(a+bi)=(c-a)+(d-b)i.

zi-Z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;

試卷第6頁，共32頁

Z|a+b\(a+bi)(c-d1)ac+bdbc-ad,小、

-=----=7----~----+-----7iz(c+ai/O).

22c+di(c+M)(c-di)c~+rf-c~+d~

2、復(fù)數(shù)相等的充要條件

兩個復(fù)數(shù)相等的定義:如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別對應(yīng)相等，那么我們就說這兩個

復(fù)數(shù)相等.也就是若mb,c,d￡R,則a+〃=c+di=a+b\=O^a=b=O.

3.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的()

〃=14=1,6=2

A=A+B

B=A+B

~T~

〃=〃+i

/輸

富束)

A.21B.34C.55D.89

【知識鏈接】

1、程序框圖基本概念：

程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)

確、直觀地表示算法的圖形.

2、構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用

程序框名稱功能

11起止框表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不可少的.

輸入、輸表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要

//出框輸入、輸出的位置.

—賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等分別寫

處理框

在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi).

判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明“是"或‘7'；

判斷框

O不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“AT.

3、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)

4.向量|。|=|匕|=1,|。|=夜，且d+z>+e=o，貝!|8$〈4-。,6-<?)=()

122

A.——B.——C.-D.

555

【知識鏈接】

1、向量的線性運(yùn)算

向

量

定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

運(yùn)

算

求兩個向交換律:a+b=b+a\

加

量和的運(yùn)結(jié)合律：

法

算三角形法則平行四邊形法則(a+Z?)+c=a+(b+c)

求“與〃的

減相反向量

4-/?=4+(一〃)

法-6的和的

三角形法則

運(yùn)算

九仇。)=(辦)a

求實(shí)數(shù)2與,七=|斗忖，當(dāng)/1>0時(shí)癡與a的方

數(shù)

(2+

向量Z的積向相同；當(dāng)/<0時(shí)/la與a的方向相反；

乘

的運(yùn)算

當(dāng)a=0時(shí)，助=0+=Za+Ab

2、向量線性運(yùn)算常見的結(jié)論

(1)若P為線段A3的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OP=g(OA+OB).

(2)在AABC中，么+/>8+PC=0=P為"BC的重心.

(3)若G是AABC的重心，貝(]GA+GB+GC=0，AG=~(,AI3+AC)-

3、平面向量的數(shù)量積

(1)定義:已知兩個非零向量“與〃，它們的夾角為。，則數(shù)量時(shí)|“cose叫作“與方的

試卷第8頁，共32頁

數(shù)量積（或內(nèi)積），記作“山，即42=忖?W，cose.規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,

即0/=0

（2）向量的夾角

①定義:已知兩個非零向量”和人，如圖,

作OA=a，OB=a，則/4。8=火0。46三180。）叫作4與方的夾角，記作<〃〃>.

cos0=cos<a,b>=

②當(dāng)9=0。時(shí)，a與b同向；當(dāng)9=180。時(shí)，”與〃反向；當(dāng)0=90。時(shí)，a與b垂直

5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，4=1,5“為｛%｝前"項(xiàng)和，S5=553-4,則邑=（）

A.7B.9C.15D.30

【知識鏈接】

1、等比數(shù)列的有關(guān)概念

一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個數(shù)列

就叫作等比數(shù)列.這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，通常用字母虱行0）表示，定義的表達(dá)

式為）*=虱4和）.

2、等比數(shù)列的有關(guān)公式

（1）通項(xiàng)公式必，.

,<7=1

（2）前〃項(xiàng)和公式:S〃=<4（1一4"）_ax-anq

—:=-W豐D

\-q]-g

6.有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂部，

若已知某人報(bào)足球俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為（）

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

【知識鏈接】

1、條件概率

一般地，設(shè)A,B為兩個隨機(jī)事件，且尸（A）>0,我們稱尸（B|A尸為在事件A發(fā)生

的條件下，事件8發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

2、概率的乘法公式

由條件概率的定義，對任意兩個事件A與8,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A).我們稱

上式為概率的乘法公式.

7.設(shè)甲：sin2a+sin2^=l,乙：sina+cos夕=0,則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必

要條件

【知識鏈接】

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系:siMa+cos2a=1.

(2)商數(shù)關(guān)系:^^=tana(aHA7t+E，keZ

cosa\2

2、充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p=q,則〃是q的充分條件，q是p的必要條件

且q=>/pp是q的充分不必要條件

p=/q且qop〃是〃的必要不充分條件

pgqP是q的充要條件

〃=/4且q=/PP是q的既不充分也不必要條件

8.已知雙曲線/巨叱。吠。)的離心率為⑹其中-條漸近線與圓

(x-2f+(y-3)2=l交于A,B兩點(diǎn)，則|AB|=()

B.咚C.平撞

-"I-

【知識鏈接】

1、圓的定義和圓的方程

定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)

標(biāo)準(zhǔn)

(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心:(a,b),半徑:r

方程

試卷第10頁，共32頁

x2+f+Dx+Ey+F=0,即1++=圓心:(DE}

一般半徑：

方程2

n2+E2-4F+￡-4F

---------(￡>2+￡2-4F>0)

4*

2、直線被圓截得的弦長

弦心距”，弦長/的一半及圓的半徑r構(gòu)成一直角三角形，且有'=d+(g/戶

3、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程±..2L=i(a>o,b>o)與b>0)

abab

圖形

范圍后。或爛-a,y￡Rx￡R,)W-a或左4

對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：原點(diǎn)

頂點(diǎn)AI(-4,0),A2(〃，0)Ai(0,-a),A2(0,d)

ba

漸近線y=±-x產(chǎn)土1X

ab

性

e=￡=Jl+(2),(1,+oo),其中c=

離心率

質(zhì)

線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸，它的長|AIA2|=2a；線段8山2叫作雙曲

軸線的虛軸，它的長@&|=24“叫作雙曲線的實(shí)半軸長，b叫作雙曲線

的虛半軸長

a,b,c

222

c=a^b(c>a>0fc>b>0)

的關(guān)系

9.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加

服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為()

A.120B.60C.40D.30

【知識鏈接】

1、計(jì)數(shù)原理

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理

相同

用來計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)

點(diǎn)

分類、相加分步、相乘

不同

每類方案中的每一種方法都每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一

點(diǎn)

能獨(dú)立完成這件事種方法不能獨(dú)立完成這件事）

注意

類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，缺一不可

點(diǎn)

2、排列與組合

名

定義

稱

排

并按照一定的順序排成一列，叫作從"個元素

列

中取出m個元素的一個排列

從〃個不同元素中取出

風(fēng),彷〃）個元素

組

作為一組，叫作從〃個不同元素中取出"個元素的

介

一個組合

①從n個不同元素中取出皿加芻）個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫作從n個不同元素

中取出加個元素的排列數(shù)，用符號A：表示.

②從n個不同元素中取出，"（〃區(qū)"）個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫作從n個不同元素

中取出〃?個元素的組合數(shù)，用符號C：表示.

10.函數(shù)y=/（x）的圖象由函數(shù)y=cos（2x+^的圖象向左平移?個單位長度得到，則

6

y=/（x）的圖象與直線y=的交點(diǎn)個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【知識鏈接】

函數(shù)尸sinx的圖象經(jīng)變換得到）=Asin（Gx+3）（A>0,①>0）的圖象的步驟如下:

試卷第12頁，共32頁

11.在四棱錐P—"CQ中，底面ABC。為正方形，AB=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,

則PBC的面積為（）

A.20B.3亞C.4>/2D.5夜

【知識鏈接】

1、簡單多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

D'

圖形區(qū)

ARAR

底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似

側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長線交于一點(diǎn)

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

2、正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所對的邊分別是a,h,c,R為^ABC外接圓的半徑，則

定

正弦定理余弦定理

理

6Z2=Z?24-C2-2Z?CCOSA;

內(nèi)abc

———2/?/72=c2+6Z2-2cacosB；

容sinAsinBsinC

c1=a2+h2-2ahcosC

b2+c2-a2

(l)tz=2/?sinA,b=2RsinB,c=2/?sinC；(2)sinA=cosA=---------；cosB-

變2bc

ab.「cd+t?方

形，sinB=，sinC~；

2R2R2R

2ac

「a2+b2-c2

(3)4:b：c=sinA：sin8：sinC；cosC=-------------

lab

(4)asinB-bsinA,bsinC=csinB,

AsinC=csinA

3、三角形的面積公式

S=yaha-ybhb-ychc(hchhb,力c分別表示a,b,c,邊上的高);

S=yabsinC--yacsinB-JbcsinA;

S=y(a+b+c)r(r為ZkABC內(nèi)切圓的半徑);

S=煞(R為4ABe外接圓的半徑)；

S=Jp(p-a)(p-b)(p-c),其中p=g(a+b+c).

12.已知橢圓一+—=1,耳,心為兩個焦點(diǎn)，。為原點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn)，cos=-

965

則1P。1=()

A.2B.我C.3D.叵

5252

【知識鏈接】

1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程?+%=l(n>Z?>0)+p-=1(a>h>0)

A.

圖形

Bx\ab\CnB2x

T

范圍-a<x<a\-b<y<b-b<x<b\-a<y<!a

對稱性對稱軸:坐標(biāo)軸；對稱中心:原點(diǎn)

性Ai(-a,0),A2(a,0),81(0,4)，4(0,-a),A2(0,a),0),

頂點(diǎn)坐標(biāo)

質(zhì)&(0,b)歷3，0)

軸長軸A1A2的長為2〃；短軸3由2的長為2b

焦距|Fif2|=2c

試卷第14頁，共32頁

離心率e=-e（0,1）

a

。，仇。的

a2=b2+c2

關(guān)系

2、與橢圓的焦點(diǎn)三角形相關(guān)的結(jié)論(含焦半徑公式)

橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形.解決焦點(diǎn)三角形的問題常利用

橢圓的定義、正弦定理和余弦定理.

22

在以橢圓3?上一點(diǎn)P(xo,yo)(y#O)和焦點(diǎn)F|(-C,0),F2(C,0)為頂點(diǎn)的

ah'

APQ尸2中,若NFIPF2=0,則

(l)|PB|=a+exo,|PF2|=a-exo((焦半徑公式，e為橢圓的離心率)，\PF\\+\PF^2a-,

222

(2)4C=|PFI|+|PF2|-2|PFI|?\PF2\■cos0;

.n

2

(3”叫丹=yI^FiUP^psin0=c\y^=b\.an—,當(dāng)伙)|=b,即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，SPF^取得最

大值，最大值為A；

(4)焦點(diǎn)三角形的周長為2(a+c).

3、中線的向量公式：若尸為線段A3的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OP=g(OA+OB).

二、填空題

13.若/(x)=(x-iy+ox+sin(x+1)為偶函數(shù)，貝lja=.

【知識鏈接】

1、函數(shù)的奇偶性

奇偶

定義圖象特點(diǎn)

性

偶函如果對于函數(shù)直外的定義域內(nèi)任意一個X,都有人㈤=/(x)，那么關(guān)于y軸

數(shù)函數(shù)./(X)就叫作偶函數(shù)對稱

奇函如果對于函數(shù)7U)的定義域內(nèi)任意一個x,都有,那關(guān)于原點(diǎn)

數(shù)么函數(shù)火X)就叫作奇函數(shù)對稱

2、函數(shù)奇偶性的幾個重要結(jié)論

(1求x)為奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱;A*)為偶函數(shù)0Ax)的圖象關(guān)于y軸對稱.

(2)如果函數(shù)於)是偶函數(shù)，那么段)=/加.|).

(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即./(x)=0,x&D,其中定義域。是關(guān)

于原點(diǎn)對稱的非空數(shù)集.

（4）奇函數(shù)在兩個對稱的單調(diào)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在兩個對稱的單調(diào)區(qū)間上

具有相反的單調(diào)性.

（5）偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最大（小）值，取最值時(shí)的自變量互為相反數(shù);

奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時(shí)的自變量也互為相反數(shù).

（6）設(shè)兀v）,g（x）的定義域分別是。02,那么在它們的公共定義域上:奇+奇=奇，

奇、奇=偶,偶+偶=偶，偶、偶=偶，奇乂偶=奇.

（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性可概括為“同奇則奇，一偶則偶

提醒:①（6）中的結(jié)論是在兩個函數(shù)的公共定義域內(nèi)才成立的.

②判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分別對每段函數(shù)證明火㈤與_Ax）的關(guān)系，只有當(dāng)各段上的x

都滿足相同關(guān)系時(shí)，才能判斷其奇偶性.

-2x+3y<3

14.設(shè)x,y滿足約束條件，3x-2y<3,設(shè)z=3x+2y,則z的最大值為.

x+y>\

【知識鏈接】

1、線性規(guī)劃問題

⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：

法一：取點(diǎn)定域法：

由于直線Ar+3），+C=0的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入Ar+3），+C后所得的實(shí)數(shù)的符

號相同.所以，在實(shí)際判斷時(shí)，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)（x。，%）（如原點(diǎn)）,

由心+By0+C的正負(fù)即可判斷出Ar+8），+C>0（或<0）表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.

即：直線定邊界，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn).

法二：根據(jù)Ar+B），+C>0（或<0）,觀察B的符號與不等式開口的符號，若同號，

Ar+8y+C>0（或<0）表示直線上方的區(qū)域；若異號，則表示直線上方的區(qū)域.即：同

號上方，異號下方.

⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示

的平面區(qū)域的公共部分.

⑶利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)z=Ar+By（A,B為常數(shù)）的最值：

法一：角點(diǎn)法：

如果目標(biāo)函數(shù)z=-+By（x、N即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）的最值存在，

則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到

一組對應(yīng)Z值，最大的那個數(shù)為目標(biāo)函數(shù)Z的最大值，最小的那個數(shù)為目標(biāo)函數(shù)Z的最

試卷第16頁，共32頁

小值

法二：畫——移——定——求:

第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線/°：Ar+B），=O,平移直線

/（）（據(jù)可行域，將直線平行移動）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解（x,y）；第四步,

將最優(yōu)解（工了）代入目標(biāo)函數(shù)z=Ar+8y即可求出最大值或最小值.

第二步中最優(yōu)解的確定方法：

利用z的幾何意義：2為直線的縱截距.

①若8>0,則使目標(biāo)函數(shù)z=Ax+By所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，z取得最大值,

使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，z取得最小值；

②若B<0,則使目標(biāo)函數(shù)z=Ar+約，所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，z取得最小值,

使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，z取得最大值.

⑷常見的目標(biāo)函數(shù)的類型：

①“截距”型：z=Ax+By-

②“斜率，，型：2=2或2=匕；

xx-a

③“距離，，型：2=噌+丫2或2=Jd+yZ；

z=（x_a）2+（y-6）2或Z=yl（x-a）2+（y-b）2.

在求該“三型”的目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使

問題簡單化.

15.在正方體ABCO-ABCR中，E,F分別為C￡>,4百的中點(diǎn)，則以EF為直徑的球

面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為.

【知識鏈接】

正方體的內(nèi)切球、外接球、棱切球：

正方體的內(nèi)切球

試卷第18頁，共32頁

與正方體的棱都相切的球的球心是體對角線的交點(diǎn).

棱切球的直徑等于正方體的面對角線.

16.在43c中，AB=2,NBAC=60o,BC=C,。為8c上一點(diǎn)，AO為/區(qū)4c的平

分線，則AO=.

【知識鏈接】

正弦定理、余弦定理

在AABC中，若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為AABC外接圓的半徑，則

定

正弦定理余弦定理

理

a2=b2+c2-2bccosA；

內(nèi)

abc

———2Rb2=c2+d1-2cacosB；

容sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC

(l)a=2RsinA,h=2RsinB,c=27?sinC;(2)sinA=

b2+c2-a2

a.門b.「ccosA=-------------；cosB=

—,sinB=—,sinC=----；2bc

2R2R2R

變d+L蘇

(3)a:b：c=sinA：sin5：sinC；

形lac

222

「a+b-c

(4)。sinB-bsinA,bsinC=csinB,cosC=-------------

2ab

AsinC=csinA

三、解答題

17.設(shè)S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知。2=1，2'=照,.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式：

(2)求數(shù)歹的前〃項(xiàng)和?；.

【知識鏈接】

1、數(shù)列｛。〃｝的。"與S”的關(guān)系

(1)數(shù)列｛〃”｝的前n項(xiàng)和:S〃=G+G+…+a〃.

S|,n=\,

2、已知S〃求a〃的三個步驟

(I)先利用ai=Si求出ai；

⑵用n-1替換Sn中的”得到一個新的關(guān)系，利用a〃=S”-S“i(論2)即可求出當(dāng)論2時(shí)an

的表達(dá)式；

(3)注意檢驗(yàn)n=\時(shí)的表達(dá)式是否可以與n>2時(shí)的表達(dá)式合并.

3、求數(shù)列的前〃項(xiàng)和的方法

(1)公式法

①公差為"的等差數(shù)列｛“〃｝的前〃項(xiàng)和公式S"=*&=〃0+達(dá)產(chǎn)〃.

②公比為q的等比數(shù)列｛助｝的前n項(xiàng)和公式

當(dāng)q=l時(shí)，Sn=nai；當(dāng)好1時(shí)，5"=色^—―=T―~■

i-qi-q

(2)倒序相加法

如果一個數(shù)列｛“〃｝,首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等，那么求這個數(shù)列的前"項(xiàng)和可

用倒序相加法，如等差數(shù)列的前,項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的.

(3)錯位相減法

如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個

數(shù)列的前〃項(xiàng)和可用此法來求，如等比數(shù)列的前"項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的.

(4)裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.

(5)分組求和法

若一個數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或其他可求和的數(shù)列組成，則求

和時(shí)可用分組求和法，分別求和后再相加減.

(6)并項(xiàng)求和法

一個數(shù)列的前幾項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如加=(-1)，水〃)類型，

可采用兩項(xiàng)合并求解.

試卷第20頁，共32頁

18.如圖，在三棱柱ABC-AB?中，AC_L底面ABC,NACB=90。,=2,4到平

面BCC冉的距離為1.

(2)己知AA與BBi的距離為2,求A4與平面BCC.B,所成角的正弦值.

【知識鏈接】

一、直線與平面垂直

1.定義:如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么直線/與平面a垂直.

2.判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

a,bua,

判/。?力=O,

定一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂

定ILa,

理直，則該直線與此平面垂直7ILb

=>/±a

ab

性

質(zhì)2a1a]

定垂直于同一個平面的兩條直線平行,.\^a//b

理kbVa}

3.距離

(1)過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段叫作這個點(diǎn)到該平面的垂線

段，垂線段的長度叫作這個點(diǎn)到該平面的距離.

(2)一條直線與一個平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個平面的距離，叫作這條直線

到這個平面的距離.

(3)如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個平面的距離都相等,

我們把它叫作這兩個平行平面間的距離.

二、直線和平面所成的角

1.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫作這條直線和這個平面所成的角.

2.當(dāng)直線與平面垂直和平行(或直線在平面內(nèi))時(shí)，規(guī)定直線和平面所成的角分別為90°

和0°.

7T

3.范圍：0.-.

三、二面角的有關(guān)概念

1.二面角:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角.

2.二面角的平面角:以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱

的兩條射線，則這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角.

3.范圍:[0,n].

四、平面與平面垂直

1.定義:如果兩個平面所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

2.判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

判

定一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個I±a,1

定=a_L"

理/u/7J

平面垂直

a工

件IuB，

質(zhì)兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線

定a/0=a,

理的直線與另一個平面垂直ILa

=>/±a

注意

1.垂直間的三種轉(zhuǎn)化關(guān)系

線線垂直聲定定理、線面垂直聲定定理＞面面垂直

性質(zhì)定理

2.直線與平面垂直的五個結(jié)論

(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線.

(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.

(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直.

(5)兩個相交平面同時(shí)垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.

試卷第22頁，共32頁

19.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組(不

加藥物)和實(shí)驗(yàn)組(加藥物).

(1)設(shè)其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)測得40只小鼠體重如下(單位：g)：(已按從小到大排好)

對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

實(shí)驗(yàn)組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠體重的中位數(shù)m，并完成下面2x2列聯(lián)表：

n＜機(jī)

對照組□J

實(shí)驗(yàn)組U□

(ii)根據(jù)2x2列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為藥物對小鼠生長有抑制作用.

參考數(shù)據(jù)：

0.100.050.010

2件次)2.7063.8416.635

【知識鏈接】

一、超幾何分布

1.超幾何分布

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取〃件(不放回),

用X表示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

p（X=k）=k=m,m+\,〃z+2,

C"N

其中〃，N,MEN*,MSN,nWN,m=max{0,上N+M},r=min{?,M}.如果隨機(jī)變量X

的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)