初一代數(shù)易錯(cuò)練習(xí)

初一代數(shù)易錯(cuò)練習(xí)

1.已知數(shù)軸上的A點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2,那么數(shù)軸上到A點(diǎn)距離是3的點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)

2.一個(gè)數(shù)的立方等于它本身，這個(gè)數(shù)是.

3.用代數(shù)式表示：每間上衣a元，漲價(jià)10%后再降價(jià)10%以后的售價(jià)（變低，

變高，不變）

4.一艘輪船從A港到B港的速度為a,從B港到A港的速度為b,則此輪船全程的平均速度

為

5.青山鎮(zhèn)水泥廠以每年產(chǎn)量增長(zhǎng)10%的速度發(fā)展，如果第一年的產(chǎn)量為a,則第三年的產(chǎn)

量為。

6.已知￡=：,:，則代數(shù)式誓芋的值為_(kāi)________

83yl2lay-^by

7.若|x|二-x,且x二一，貝!Jx=

X

8.若l|xHL|+|y+2|=0,則二=。

9.已知a+b+c=0,abcH0,則*=凹+凹+回+四,根據(jù)a,b,c不同取值，x的值

abcabc

為.

10.如果a+b<0,且b>0,那么a,b,-a,-b的大小關(guān)系為。

11.已知m、x、y滿足：（1）@一5）2+同=0,（2）一2四3與4,分是同類(lèi)項(xiàng).求代

數(shù)式:（2/一3孫+6y2）一加（3--孫+9）/）的值.

12.化簡(jiǎn)-{-[-（+2.4）]}=；-{+[-（-2.4）]}=

13.如果|a-3|-3+a=0,則a的取值范圍是

14.已知-2Vx<3,化簡(jiǎn)|x+2|-|x-3|=

15.一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的絕對(duì)值與這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的相反數(shù)的關(guān)系式-

在有理數(shù)，絕對(duì)值最小的數(shù)是,在負(fù)整數(shù)中,絕對(duì)值最小的數(shù)是一

16.由四舍五入得到的近似數(shù)17。其真值不可能是（）

A17.02B16.99C17.0499D16.49

17.一家商店將某種服裝按成本價(jià)提高40%后標(biāo)價(jià)，又以8折（即按標(biāo)準(zhǔn)的80%）優(yōu)惠賣(mài)

出，結(jié)果每作服裝仍可獲利15元，則這種服裝每件的成本是

18.已知4個(gè)礦泉水空瓶可以換礦泉水一瓶，現(xiàn)有16個(gè)礦泉水空瓶，若不交錢(qián)，最多可以

喝_礦泉水

19.觀察下面的每列數(shù)，按某種規(guī)律在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，并說(shuō)明你的理由。

⑴-23,-18,-13,,

力2345

8，-16,32，-64,-------，--------'

20.簡(jiǎn)便計(jì)算

(1)(+55)+(-81)+(+15)+(-19)

(2)(+6.1)+(-3.7)-(+4.9)-(-1.8)

(3)(-123)x(-4)+125x(-5)-127x(-4)-5x75

21.已知2x-y=3,那么l-4x+2y=

22.已知|a|=5,|b|=7且|a-b|=b-a,2a-3b的值為。

23.1-2+3-4+5-6+7-8+……99-100=

24-2-22-23-24-25-218-219+220=

25.1+2+3+4+5+6……+100=m,則2+4+6+……+100=.

26.設(shè)y=ax5+bx3+cx-5,其中a,b,c,為常數(shù)，已知當(dāng)x=-1時(shí),y=7,求當(dāng)x=-l時(shí),y=.

27.設(shè)a為一個(gè)二位數(shù),b為一個(gè)三位數(shù)，則a放在b的左邊得一個(gè)五位數(shù)，則此五位數(shù)

是

28.已知3'=3,32=9,33=27,34=81,35=243,3$=729,37=2187,……推測(cè)320的個(gè)位數(shù)字

是O

29.在1:50000000的地圖上兩地的距離是13厘米，用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示兩地的實(shí)際距

離為()千米。

30.若|ab-2|+(b-l)2=0,求代數(shù)式

—+---------+-----------+...+----------------的值。

ab(a+1)3+1)(a+2)3+2)(a+2002)S+2002)

(1)請(qǐng)你用兩個(gè)不同形式的代數(shù)式(需簡(jiǎn)化)表示這個(gè)大轉(zhuǎn)關(guān)系的面積；

(2)由(1)可得到關(guān)于8、b的關(guān)系，利用得到的這個(gè)等

式關(guān)系計(jì)算：4.3212+2x4.32lx0.679+0.6792

的值.

33.觀察月歷下列問(wèn)題請(qǐng)你試一試。你一定行。請(qǐng)你探究：

有陰影方框中的9個(gè)數(shù)與方框中間的數(shù)有什么關(guān)系嗎？這個(gè)

關(guān)系對(duì)任意一個(gè)這樣的方框都成立嗎？

日——四五7\

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

2728293031

答案

答案僅作參考！

1.-5,-1,1,5。提示：A點(diǎn)可能為-2,2.到2距離為3的點(diǎn)為-1,5,故到-2距離

為3的點(diǎn)為1,-5。

2.-1,1,0。提示：一個(gè)數(shù)的立方等于它本身的數(shù)有三個(gè)。

3.變低。提示：漲價(jià)10%后再降價(jià)10%以后的售價(jià)為券a.

4.警。提示：設(shè)路程為s,則總時(shí)間為t=±+］平均速度為士=絲，不是學(xué)。

例。191ata+b2

5.必提示：a(l+10%)Q+10%)=上匕.不是吆。

c期理-4,1出一曰從率3ax4

6.—；提小:a=-b,x=彳y,帶入彳導(dǎo):———=—

16132lay-^by16

7.口提示：x=—,x=±1,但由岡=-x得x<0.

1_*

8.±弓；提不：x=±l,y=-2。

9.0;提示:不妨設(shè)a>b>c.當(dāng)a>0,b>0,c<0,x=^+回+回+四=1+1-1-1=0;當(dāng)

I，.,?||...abcabc

a>0,b<0,c<0時(shí),x=@U回+回+吧=1-1-1+1=0。

abcabc

10.a<-b<b<-a.提示：由a+b<0得，且b>0,|a|>|b|,然后在數(shù)軸上將其表示出來(lái)。

11.44,提示:x=5,m=0,y=2.

12.-2.4,-2.4;提示：數(shù)負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)，負(fù)號(hào)為奇數(shù)個(gè)則為負(fù)數(shù)，負(fù)號(hào)為偶數(shù)個(gè)則為正數(shù)。

13.a<3,提示:|a-3|=3-a

提示:

14.2x-lox+2>0,x-3<0.

15.兩者的和為零，0,-1。提示：設(shè)這個(gè)數(shù)為a,卜aHa|=0.絕對(duì)值大于等于零。

16.D提示：近似數(shù)的取法滿足四舍五入規(guī)則。

17.125提示：設(shè)每件衣服x元。貝1|有|x|x-x=15

x=125

18.5。提示：4個(gè)礦泉水空瓶可以換礦泉水一瓶，喝完后又得到一個(gè)瓶。相當(dāng)于3個(gè)瓶

換一瓶水。所以16瓶換5瓶水。

19.⑴-8,-3⑵9

128256

20.(1)-30提示：將55與15結(jié)合在一塊，將-81與-19結(jié)合在一塊

(2)-07,提示：將6.1與-1.8結(jié)合在一起。

(3)0。提示：將第一項(xiàng)與第三項(xiàng)結(jié)合起來(lái)；第二項(xiàng)與第四項(xiàng)結(jié)合起來(lái)。

21.-5.提示：將2x-3y作為一個(gè)整體。l-2(2x+y)=-5.

22.-11或-31.提示：b>a.b=7,a=5;或者b=-5,a=-7.

23-50;提示：每相鄰兩項(xiàng)和為-1。

24.20提示：后一項(xiàng)減前一項(xiàng)總是等于前一項(xiàng)。22。29=219；21928=218.....22-2=2.

25.%+25.提示：設(shè)1+3+5+......+99=x,則2+4+6+......+100=x+50.即

2

2x+50=m,x=y-25,2+4+6+……+100=x+50=y+25

26.-17提示：當(dāng)x=-1時(shí),-a-b-c=7+5=12.x=-1時(shí),y=-(-a-b-c)-5=-17.

27.1000a+b.提示：相當(dāng)于a的后面加了3個(gè)零。所以結(jié)果是1000a+b.

28.L提示：3的n次幕循環(huán)周期是4。所以32。與34的個(gè)位數(shù)字相同。

296.5x102提示：1.3x50000000=6.5x107厘米.

30解得a=2,b=l

--+------------+------------+...+--------------------

abj(〃+,S+1)[3+彳)(〃+2)p+2002)(/7+2002)

=----+-----+-----+-----+....+-----------

lx,[x4]4]X52003x2(X)4

=1--+-+..+---------

20點(diǎn)323344520032004

2004

提示：—,從而引起連鎖反應(yīng)。

/7(/i+1)n〃+1

31.1。提示：從圖中可看出。剩下的一小塊面積總是等于等式左邊最后一塊的面積。

9〃

1111i1

即Bn----1---o--1----=1--

22244

32.(1)圖中大正方形的面積等于(a+b)2=a2+b2+2ab

(2)4.3212+2x4.321x0.679+0.6792=(4.321+0.679)2=25

33.和中間方框在同一直線且相鄰的兩方框的和是中間方框的2倍。這個(gè)關(guān)系對(duì)任意一個(gè)

這樣的方框都成立。

第三章整式加減易做易錯(cuò)題選

例1下列說(shuō)法正確的是()

A.的指數(shù)是0B.沒(méi)有系數(shù)

C.-3是一次單項(xiàng)式D.-3是單項(xiàng)式

分析：正確答案應(yīng)選D。這道題主要是考查學(xué)生對(duì)單項(xiàng)式的次數(shù)和系數(shù)的理解。選A

或B的同學(xué)忽略了的指數(shù)或系數(shù)1都可以省略不寫(xiě)，選C的同學(xué)則沒(méi)有理解單項(xiàng)式的次

數(shù)是指字母的指數(shù)。

例2多項(xiàng)式的次數(shù)是（）

A.15次B.6次C.5次D.4次

分析：易錯(cuò)答A、B、D,這是由于沒(méi)有理解多項(xiàng)式的次數(shù)的意義造成的。正確答案應(yīng)

選C。

例3下列式子中正確的是（）

A.B.

C.D.

分析：易錯(cuò)答C。許多同學(xué)做題時(shí)由于馬虎，看見(jiàn)字母相同就誤以為是同類(lèi)項(xiàng)，輕易地

就上當(dāng)，學(xué)習(xí)中務(wù)必要引起重視。正確答案選B。

例4把多項(xiàng)式按的降幕排列后，它的第三項(xiàng)為（）

A.-4B.C.D.

分析：易錯(cuò)答B(yǎng)和D。選B的同學(xué)是用加法交換律按的降幕排列時(shí)沒(méi)有連同"符號(hào)"

考慮在內(nèi)，選D的同學(xué)則完全沒(méi)有理解降幕排列的意義。正確答案應(yīng)選C.

例5整式去括號(hào)應(yīng)為（）

A.B.

C.D.

分析：易錯(cuò)答A、D、C。原因有:（1）沒(méi)有正確理解去括號(hào)法則；（2）沒(méi)有正確運(yùn)用

去括號(hào)的順序是從里到外，從小括號(hào)到中括號(hào)。

例6當(dāng)?。ǎr(shí)，多項(xiàng)式中不含項(xiàng)

A.0B.C.D.

分析：這道題首先要對(duì)同類(lèi)項(xiàng)作出正確的判斷，然后進(jìn)行合并。合并后不含項(xiàng)（即

缺項(xiàng)）的意義是項(xiàng)的系數(shù)為0,從而正確求解。正確答案應(yīng)選C。

例7若A與B都是二次多項(xiàng)式，則A-B:（1）一定是二次式；（2）可能是四次式；

（3）可能是一次式X4）可能是非零常數(shù)；（5）不可能是零。上述結(jié)論中，不正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

分析：易錯(cuò)答A、C、Do解這道題時(shí)，盡量從每一個(gè)結(jié)論的反面入手。如果能夠舉出

反例即可說(shuō)明原結(jié)論不成立，從而得以正確的求解。

例8在的括號(hào)內(nèi)填入的代數(shù)式是

（）

A.B.

C.D.

分析：易錯(cuò)答D。添后一個(gè)括號(hào)里的代數(shù)式時(shí)，括號(hào)前添的是"-"號(hào)，那么

這兩項(xiàng)都要變號(hào)，正確的是A。

例9求加上等于的多項(xiàng)式是多少？

錯(cuò)解：

這道題解錯(cuò)的原因在哪里呢？

分析：錯(cuò)誤的原因在第一步，它沒(méi)有把減數(shù)（）看成一個(gè)整體，而是拆開(kāi)來(lái)解。

正解：

答：這個(gè)多項(xiàng)式是

例10化簡(jiǎn)

錯(cuò)解：原式

分析：錯(cuò)誤的原因在第一步應(yīng)用乘法分配律時(shí)，這一項(xiàng)漏乘了-3。

正解：原式

鞏固練習(xí)

1.下列整式中，不是同類(lèi)項(xiàng)的是（）

A.B.1與-2

C.與D.

2.下列式子中，二次三項(xiàng)式是（）

A.B.

C.D.

3.下列說(shuō)法正確的是（）

A.的項(xiàng)是B.是多項(xiàng)式

C.是三次多項(xiàng)式D.都是整式

4.合并同類(lèi)項(xiàng)得（）

A.B.0C.D.

5.下列運(yùn)算正確的是（）

A.B.

C.D.

6.的相反數(shù)是（）

A.B.

C.D.

7.一個(gè)多項(xiàng)式減去等于,求這個(gè)多項(xiàng)式。

參考答案

1.D2.C3.B4.A5.A6.C7.

初一數(shù)學(xué)因式分解易錯(cuò)題

例1.18x3y,xy3

2i

錯(cuò)解：原式=](36/-丁2)

分析：提取公因式后，括號(hào)里能分解的要繼續(xù)分解。

正解：原式=；xy(36x2-y2)

=-xy(6x+y)(6x-y)

例2.3m2n(m-2n)6inn2(m-2n)\

錯(cuò)解：原式=3mn(m-2n)(m-2n)

分析：相同的公因式要寫(xiě)成幕的形式。

正解：原式=3mn(m-2n)(m-2n)

=3mn(m-2n)2

例3.2x+x+—

.#11

錯(cuò)解：原式二二x++1)

42411

分析：系數(shù)為2的x提出公因數(shù);后，系數(shù)變?yōu)?,并非:;同理，系數(shù)為1的x的系數(shù)

42

應(yīng)變?yōu)?。

正解：原式=,(8x+4x+l)

彳

=-(12x+l)

4

例4.f+%+一

411

錯(cuò)解：原式二:(二r+1)

=-(-x+l)

42ji

分析：系數(shù)為1的x提出公因數(shù)丁后,系數(shù)變?yōu)?,并非丁。

144

正解：原式=L(4*2+4X+1)

f2

=-(2x+l)2

例5.6x(x-y)-+3(y-A：1

錯(cuò)解：原式=3[(>-6?+(y-x)+2x\

分析:3(>-》)3表示三個(gè)。-?相乘，故括號(hào)中(y-XT與(y-x)之間應(yīng)用乘號(hào)而非加號(hào)。

正解：原式=6x(y-x)2+(y-ip

=3(y-x)2[2x+(y-x)]

=3(y-xy(x+y)

例6.(x+2)-—4-x—8

錯(cuò)解：原式=[(x+2)-4『

=々-2)2

分析：8并非4的平方，且完全平方公式中b的系數(shù)一定為正數(shù)。

正解：原式=(x+2)2-4(x+2)

=(x+2)[(x+2)-4]

=(x+2)(x-2)

例7.(7m+9〃y~(5m-3/i)2

錯(cuò)解：原式=[(7〃?+9?)-(5m-3〃)y

=(2m+12“I

分析：題目中兩二次單項(xiàng)式的底數(shù)不同，不可直接加減。

正解：原式=[(7〃?+9〃)+(5加一3〃)[(7/〃+9〃)一(5〃—3〃)]

=(12〃z+6〃)(2/〃+12〃)

=12(2m+n)(m+6n)

例8.4—1

錯(cuò)解：原式二年)27

=(a2+l)(a2-l)

分析：分解因式時(shí)應(yīng)注意是否化到最簡(jiǎn)。

正解：原式=(。2]-1

=(a2+l)(a2-l)

=(a2+l)(a+l)(a-l)

例9.(x+y]-4(x+y-1)

錯(cuò)解：原式=(x+y)(x+y-4)

分析：題目中兩單項(xiàng)式底數(shù)不同，不可直接加減。

正解：原式=(X+y)2-4(X+>-)+4

=(x+y-2y

例10.16X4-8X2+1

錯(cuò)解：原式=(4/一1，

分析：分解因式時(shí)應(yīng)注意是否化到最簡(jiǎn)。

正解：原式=(4%2—1，

=[(2x+

=(2x+1)2(2X-1)2

因式分解錯(cuò)題

例1.81(a-b)2-16(a+b)2

錯(cuò)解:81(a-b)2-16(a+b)2

=(a-b)2(81-16)

=65(a-b)2

分析：做題前仔細(xì)分析題目，看有沒(méi)有公式，此題運(yùn)用平方差公式

正解：81(a-b產(chǎn)-16(a+b>

=[9(a-b)]2[4(a+b)]2

=[9(a-b)+4(a+b)][9(a-b)-4(a+b)]

=(9a-9b+4a+4b)(9a-9b-4a-4b)

=(13a-5b)(5a-13b)

例2.x、x2

4

錯(cuò)解：X-X2

=(x2)2-x2

=(x2+x)(x2-x)

分析：括號(hào)里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解

正解：x4-X2

=(X2)2-x2

=(x2+x)(x2-x)

=(x2+x)(x+1)(x-1)

例3.a4-2a2b2+b4

錯(cuò)解：a4-2a2b2+b4

=(a2)2-2xa2b2+(b2)2

=(a2+b2)2

分析：仔細(xì)看清題目，不難發(fā)現(xiàn)這兒可以運(yùn)用完全平方公式，括號(hào)里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分

解

正解:a4-2a2b2+b4

=(a2)2-2xa2b2+(b2)2

=(a2+b2)2

=(a-b)2(a+b)2

例4.(a2-a)2-(a-1)2

錯(cuò)解：(a2-a)2-(a-1)2

=[(a2-a)+(a-l)][(a^-a)-(a-1)]

=(a2-a+a-l)(a2-a-a-l)

=(a2-l)(a2-2a-l)

分析：做題前仔細(xì)分析題目，看有沒(méi)有公式，此題運(yùn)用平方差公式，去括號(hào)要變號(hào)，括號(hào)

里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解

正解:(a2-a)2-(a-1)2

=[(a2-a)+(a-l)][(a^-a)-(a-1)]

=(a2-a+a-l)(a2-a-a-l)

=(a2-l)(a2-2a+l)

=(a+1)(a-1)3

例5.yx2y3-2x2+3xy2

錯(cuò)解：2y3-2x2+3xy2

43

=-xy(x2y3-x+-y)

分析：多項(xiàng)式中系數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，通常把分?jǐn)?shù)提取出來(lái)，使括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的系數(shù)是整數(shù)，還要注

意分?jǐn)?shù)的運(yùn)算

正解：yx2y3-2x2+3xy2

=yxy(x2y3-4x+6y)

例6.-15a2b3+6a2b2-3a2b

錯(cuò)解：-15a2b3+6a2b2-3a2b

="(15a2b3-6a2b2+3a2b)

=-(3a2bx5b2-3a2bx2b+3a2bxi)

=-3a2b(5b2-2b)

分析：多項(xiàng)式首項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號(hào)，如果提取的公因式與多項(xiàng)式中的某項(xiàng)相同，那

么提取后多項(xiàng)式中的這一項(xiàng)剩下"1",結(jié)果中的"1"不能漏些

正解：-15a2b3+6a2b2-3a2b

=-(15a2b3-6a2b2+3a2b)

=-(3a2bx5b2-3a2bx2b+3a2bxi)

=-3a2b(5b2-2b+l)

例7.m2(a-2)+m(2-a)

錯(cuò)解：m2(a-2)+m(2-a)

=m2(a-2)-m(a-2)

=(a-2)(m2-m)

分析：當(dāng)多項(xiàng)式中有相同的整體(多項(xiàng)式)時(shí)，不要把它拆開(kāi)，提取公因式是把它整體提出

來(lái)，有的還需要作適當(dāng)變形，括號(hào)里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解

正解：m2(a-2)+m(2-a)

=m2(a-2)-m(a-2)

=(a-2)(m2-m)

=m(a-2)(m-1)

例8.a2-16

錯(cuò)解：a2-16

=(a+4)(a+4)

分析：要熟練的掌握平方差公式

正解:a2-16

=(a-4)(a+4)

例9.-4x2+9

錯(cuò)解：-4x2+9

=-(4x2+32)

分析：加括號(hào)要變符號(hào)

正解:-4x2+9

=-[(2x)2-3T

=-(2x+3)(2x-3)

=(3+2x)(3-2x)

例10.(m+n)2-4n2

錯(cuò)解：(m+n)2-4n2

=(m+n)2xl-4xn2

=(x+y)2(1-n)

分析：做題前仔細(xì)分析題目，看有沒(méi)有公式，此題運(yùn)用平方差公式

正解:(m+n)2-4n2

=(m+n)2-(2n2)

=[(m+n)+2n][(m+n)-2n]

=[m+n+2n][m+n-2n]

=(m+3n)(m-n)

因式分解錯(cuò)題

例l.a2-6a+9

錯(cuò)解：a2-6a+9

=a2-2x3xa+32

=(a+3)2

分析：完全平方公式括號(hào)里的符號(hào)根據(jù)2倍多項(xiàng)式的符號(hào)來(lái)定

正解:a2-6a+9

=a2-2x3xa+32

二(a-3)2

例2.4m2+n2-4mn

錯(cuò)解:4m2+n2-4mn

=(2m+n)2

分析：要先將位置調(diào)換，才能再利用完全平方公式

正解：4m2+n2-4mn

=4m2-4mn+n2

=(2m)2-2x2mn+n2

=(2m-n)2

例3.(a+2b)2-10(a+2b)+25

錯(cuò)解：(a+2b)2-10(a+2b)+25

=(a+2b)2-10(a+2b)+52

=(a+2b+5)2

分析：要把a(bǔ)+2b看成一個(gè)整體，再運(yùn)用完全平方公式

正解：(a+2b)2-10(a+2b)+25

=(a+2b)2-2x5x(a+2b)+52

=(a+2b-5)2

例4.2x2-32

錯(cuò)解:2x2-32

=2(x2-16)

分析：要先提取2,在運(yùn)用平方差公式括號(hào)里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解

正解：2x2-32

=2(x-16)

=2(x2+4)(x2-4)

=2(x2+4)(x+2)(x-2)

例5.(x2-x)2-(x-1)2

錯(cuò)解：(X2-X)2-(x-1)2

=[(x2-x)+(x-l)][(x2-x)-(x-l)]

=(x2-x+x-l)(x2-x-x-l)

=(x2-l)(x2-2x-l)

分析：做題前仔細(xì)分析題目，看有沒(méi)有公式，此題運(yùn)用平方差公式，去括號(hào)要變號(hào)，括號(hào)

里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解

正解：(x2-x)2-(X-1)2

=[(X2-X)+(x-l)][(x2-x)-(x-l)]

=(x2-x+x-l)(x2-x-x-l)

=(x2-l)(x2-2x+l)

=(x+1)(x-1)3

例6.-2a2b2+ab3+a3b

錯(cuò)解:-2a2b2+ab3+a3b

=-ab(-2ab+b2+a2)

=-ab(a-b)2

分析：先提公因式才能再用完全平方公式

正解:-2a2b2+ab3+a3b

=-(2a2b2-ab3-a3b)

="(abx2ab-abxb2-abxa2)

=-ab(2ab-b2-a2)

=ab(b2+a2-2ab)

=ab(a-b)2

例7.24a(a-b)2-18(a-b)3

錯(cuò)解:24a(a-b)2-18(a-b)3

=(a-b)2[24a-18(a-b)]

=(a-b)2(24a-18a+18b)

分析：把a(bǔ)-b看做一個(gè)整體再繼續(xù)分解

正解:24a(a-b)2-18a-b)

=6(a-b)2x4a-6(a-b)2x3(a-b)

=6(a-b)2[4a-3(a-b)]

=6(a-b產(chǎn)(4a-3a+3b)

=6(a-b)2(a+3b)

例8.(x-1)(x-3)+1

錯(cuò)解：(x-1)(x-3)+1

=x2+4x+3+l

=x2+4x+4

=(x+2)2

分析：無(wú)法直接分解時(shí)，可先乘開(kāi)再分解

正解：(x-1)(x-3)+1

=x2-4x+3+l

=x2-4x+4

=(x-2)2

例9.2(a-b)3+8(b-a)

錯(cuò)解：2(a-b尸+8(b-a)

=2(b-a)3+8(b-a)

=2(b-a)[(b-a)2+4]

分析：要先找出公因式再進(jìn)行因式分解

正解：2(a-b尸+8(b-a)

=2(a-b)3-8(a-b)

=2(a-b)x(a-b)2-2(a-b)

=2(a-b)[(a-b)2-4]

=2(a-b)(a-b+2)(a-b-2)

例10.(x+y)2-4(x+y-1)

錯(cuò)解：(x+y)2-4(x+y-1)

=(x+y)2-(4x-4y+4)

=(x2+2xy+y2)-(4x-4y+4)

分析：無(wú)法直接分解時(shí)，要仔細(xì)觀察，找出特點(diǎn)，再進(jìn)行分解

正解:(x+y)2-4(x+y-1)

=(x+y)2-4(x+y)+4

=(x+y-2)2

因式分解錯(cuò)題

例l.-8m+2m3

錯(cuò)解：-8m+2m3

=-2mx4+(-2m)x(-m2)

=-2m(4-m2)

分析：這道題錯(cuò)在于沒(méi)有把它繼續(xù)分解完，很多同學(xué)都疏忽大意了，在完成到這一步時(shí)都認(rèn)

為已經(jīng)做完，便不再仔細(xì)審題了

正解：-8m+2m3

=-2mx4+(-2m)x(-m2)

=-2m(4-m2)

=-2m(2+m)(2-m)

例2.-x2y+4xy-5y

錯(cuò)解：-x2y+4xy-5y

=yx(-x2)+4xxy-5xxy

=y(-x2+4x-5)

分析：括號(hào)里的負(fù)號(hào)需要提到外面，這道題就因?yàn)橐婚_(kāi)始的提取公因式混亂，才會(huì)有后面的

y(-x2+4x-5)沒(méi)有提負(fù)號(hào)。

正解：-x2y+4xy-5y

=-yxx2+(-4x)x(-y)-(-5x)x(-y)

=-y(x2-4x+5)

例3.m2(a-3)+m(3-a)

錯(cuò)解：m2(a-3)+m(3-a)

=m2(a-3)-m(a-3)

=(m2-m)(a-3)

分析：括號(hào)里還能提取公因式的要全部提取出來(lái)

正解：m2(a-3)+m(3-a)

=m2(a-3)-m(a-3)

=(m2-m)(a-3)

=m(m-1)(a-3)

例4.5ax+5bx+3ay+3by

錯(cuò)解：=5(ax+bx)+3(ay+by)

分析：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看

成一個(gè)整體，利用乘法分配律輕松解出。

正解：5ax+5bx+3ay+3by

=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b)

例5.-xy3+x3y

錯(cuò)解：-xy3+x3y

=-xyxy2+(-xy)x(-x2)

=-xy(y2-x2)

分析：括號(hào)里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解

正解：-xy3+x3y

=-xyxy2+(-xy)x(-x2)

=-xy(y2-x2)

=-xy(x-y)(x+y)

例6.(x+y)2-4(x-y)2

錯(cuò)解：(x+y產(chǎn)-4(x-y產(chǎn)

=(x+y)2xl-4x(x-y)2

=(x+y)2(1-4)

=-3(x+y)2

分析：做題前仔細(xì)分析題目，看有沒(méi)有公式，此題運(yùn)用平方差公式

正解：(x+y)2-4(x-y)2

=(x+y)2-[2(x-y)已

=[(x+y)+2(x-y)][(x+y)-2(x-y)]

=[x+y+2x-2y][x+y-2x+2y]

=(3x-y)(3y-x)

例7.x2(a-1)+4(1-a)

錯(cuò)解:x2(a-1)+4(1-a)

=x2(a-1)-4(a-1)

=(a-1)(x2-4)

分析：括號(hào)里能繼續(xù)分解的要繼續(xù)分解

正解：x2(a-1)+4(1-a)

=x2(a-1)-4(a-1)

=(a-1)(x2-4)

=(a-1)(x-4)(x+4)

例8.4(x+1)2-9

錯(cuò)解：4(x+11-9

=4(x+1)2-8-l

=4x(x+1)Mx2-4xl

14

=4[(x+1)^-2--]

54

=4(x2+2x--)

4

分析：做題前仔細(xì)分析題目，看有沒(méi)有公式，此題運(yùn)用平方差公式

正解：4(x+1)2-9

=[2(x+l)]2-32

=[2(x+l)+3][2(x+l)-3]

=[2x+2+3][2x+2-3]

=(2x+5)(2x-l)

例9.x(x+y)(x-y)-x(x+y)2

錯(cuò)解：x(x+y)(x-y)-x(x+y)2

=x(x2-y2)-x(x+y)2

=x(x2-y2-x2-2xy-y2)

=x(-2y2-2xy)

=-x(2y2+2xy)

分析：提取公因式錯(cuò)誤，要仔細(xì)看題，準(zhǔn)確找出公因式

正解：x(x+y)(x-y)-x(x+y)2

=x(x+y)(x-y)-x(x+y)(x+y)

=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]

=-2xy(x+y)

例10.(x2-2)2-14(x2-2)2+49

錯(cuò)解：(x2-2)2-14(x2-2)2+49

=(x2-2)2-2x7(x2-2)2+72

=(x2+5)2

分析：仔細(xì)看清題目，不難發(fā)現(xiàn)這兒可以運(yùn)用完全平方公式

正解：(x2-2)2-14(x2-2)2+49

=(x2-2)2-2x7(x2-2)2+72

=(x2-9)2

=(x-3)2(x+3)2

第五章《一元一次方程》查漏補(bǔ)缺題

供題：寧波七中楊慧

一、解方程和方程的解的易錯(cuò)題

一元一次方程的解法：

重點(diǎn)：等式的性質(zhì)，同類(lèi)項(xiàng)的概念及正確合并同類(lèi)項(xiàng)，各種情形的一元一次方程的解法;

難點(diǎn)：準(zhǔn)確運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行方程同解變形(即進(jìn)行移項(xiàng)，去分母，去括號(hào)，系數(shù)化

一等步驟的符號(hào)問(wèn)題，遺漏問(wèn)題);

學(xué)習(xí)要點(diǎn)評(píng)述：對(duì)初學(xué)的同學(xué)來(lái)講，解一元一次方程的方法很容易掌握，但此處有點(diǎn)類(lèi)

似于前面的有理數(shù)混合運(yùn)算，每個(gè)題都感覺(jué)會(huì)做，但就是不能保證全對(duì)。從而在學(xué)習(xí)時(shí)

一方面要反復(fù)關(guān)注方程變形的法則依據(jù)，用法則指導(dǎo)變形步驟，另一方面還需不斷關(guān)注

易錯(cuò)點(diǎn)和追求計(jì)算過(guò)程的簡(jiǎn)捷。

易錯(cuò)范例分析：

例L

(1)下列結(jié)論中正確的是()

A.在等式3a-6=3b+5的兩邊都除以3,可得等式a-2=b+5

B.在等式7x=5x+3的兩邊都減去x-3,可以得等式6x-3=4x+6

C.在等式-5=O.lx的兩邊都除以0.1,可以得等式x=0.5

D.如果-2=x,那么x=-2

（2）解方程20-3x=5,移項(xiàng)后正確的是（）

A.-3x=5+20B.20-5=3xC.3x=5-20D.-3x=-5-20

⑶解方程-x=-30,系數(shù)化為1正確的是（）1

x=—

A.-x=30B.x=-30C.x=30D.30

45

-<-x-30)=7

(4)解方程54，下列變形較簡(jiǎn)便的是(）

A.方程兩邊都乘以及，得名於占%?弓e0

B.方程兩邊都除以5，得-4

C.卻舌號(hào)，得x-24身-120「

D.方程整理，得54

解析：

(1)正確選項(xiàng)D。方程同解變形的理論依據(jù)一為數(shù)的運(yùn)算法則，運(yùn)算性質(zhì)；一為等式性

質(zhì)(1)、(2)、(3),通常都用后者，性質(zhì)中的關(guān)鍵詞是"兩邊都"和"同一個(gè)”,即對(duì)等

式變形必須兩邊同時(shí)進(jìn)行加或減或乘或除以，不可漏掉一邊、一項(xiàng)，并且加減乘或除以

的數(shù)或式完全相同。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，原因是沒(méi)有將"等號(hào)"右邊的每一項(xiàng)都除以3;選項(xiàng)

B錯(cuò)誤，原因是左邊減去x-3時(shí)，應(yīng)寫(xiě)作"-(x-3)"而不"-x-3”,這里有一個(gè)去括號(hào)的

問(wèn)題；C亦錯(cuò)誤，原因是思維臥獻(xiàn)短路，一邊記著是除以而到另一邊變?yōu)槌艘粤?，?duì)一

般象這樣小數(shù)的除法可以運(yùn)用有理數(shù)運(yùn)算法則變成乘以其倒數(shù)較為簡(jiǎn)捷，選項(xiàng)D正確,

這恰好是等式性質(zhì)③對(duì)稱(chēng)性即a=b=b=a。

(2)正確選項(xiàng)B。解方程的“移項(xiàng)"步驟其實(shí)質(zhì)就是在"等式的兩邊同加或減同一個(gè)數(shù)

或式"性質(zhì)①，運(yùn)用該性質(zhì)且化簡(jiǎn)后恰相當(dāng)于將等式一邊的一項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，簡(jiǎn)

單概括就成了“移項(xiàng)"步驟，此外最易錯(cuò)的就是"變號(hào)"的問(wèn)題，如此題選項(xiàng)A、C、

D均出錯(cuò)在此處。解決這類(lèi)易錯(cuò)點(diǎn)的辦法是：或記牢移項(xiàng)過(guò)程中的符號(hào)法則，操作此步

驟時(shí)就予以關(guān)注；或明析其原理，移項(xiàng)就是兩邊同加或減該項(xiàng)的相反數(shù)，使該項(xiàng)原所在

的這邊不再含該項(xiàng)一一即代數(shù)和為0.

(3)正確選項(xiàng)C。選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤的原因雖為計(jì)算出錯(cuò)，但細(xì)究原因都是在變形時(shí)，法則

等式性質(zhì)指導(dǎo)變形意識(shí)淡，造成思維短路所致。

(4)等式性質(zhì)及方程同解變形的法則雖精煉，但也很宏觀，具體到每一個(gè)題還需視題目

的具體特點(diǎn)靈活運(yùn)用，解一道題目我們不光追求解出，還應(yīng)有些簡(jiǎn)捷意識(shí)，如此處的選

項(xiàng)A、B、D所提供方法雖然都是可行方法，但與選項(xiàng)C相比，都顯得繁。

例2.

⑴若式子3nxm+2y4和-mx5yn-i能夠合并成一項(xiàng)，試求m+n的值。

(2)下列合并錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()

(i)5x6+8x6=13x12(2)3a+2b=5ab@8y2-3y2=506anb2n-6a2nbn=0

(A)l個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)

解析：

(l)3nxm+2y4和一mx5yn-l能夠合并,則說(shuō)明它們是同類(lèi)項(xiàng)，即所含字母相同，且相同字

母的指數(shù)也相同。此題兩式均各含三個(gè)字母n、x、y和m、x、y,若把m、n分別看

成2個(gè)字母，則此題顯然與概念題設(shè)不合，故應(yīng)該把m、n看作是，曲白如條科求出的

常數(shù)，從而該歸并為單項(xiàng)式的系數(shù)，再?gòu)耐?lèi)項(xiàng)的概念出發(fā)，有：I"-1=4

解得m=3,n=5從而m+n=8

評(píng)述：運(yùn)用概念定義解決問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常用的方法之一，本題就是準(zhǔn)確地理解了"同類(lèi)

項(xiàng)"、"合并"的概念，認(rèn)真進(jìn)行了邏輯判斷；確定了m、n為可確定值的系數(shù)。

(2)"合并"只能在同類(lèi)項(xiàng)之間進(jìn)行，且只對(duì)同類(lèi)項(xiàng)間的系數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算化簡(jiǎn)，這里

的實(shí)質(zhì)是逆用乘法對(duì)加法的分配律，所以4個(gè)合并運(yùn)算，全部錯(cuò)誤，其中②、④就不是

同類(lèi)項(xiàng)，不可合并，①、②分別應(yīng)為：5x6+8x6=13x68y2-3y2=5y2

例3.解下列方程

⑴解內(nèi)9-■+1

-----------=I1

(2)63—2x8x+2

X-_____—j—_____

⑶4x-1Z5x-0.總_l.2-x

(4)0.50.20.1

解：

(l)8-9x=9-8x

-9x+8x=9-8

-x=l

x=l

易錯(cuò)點(diǎn)關(guān)注：移項(xiàng)時(shí)忘了變號(hào)；

2x-l5x+l,

-------------I

⑵68

/fe—2x-1ex5x+l?

24x------24x------=24

68

4(2x-l)-3(5x+l)=24

8x-4-15x-3=24

-7x=31

7

易錯(cuò)點(diǎn)關(guān)注：兩邊同乘兼約分去括號(hào)，有同學(xué)跳步急趕忘了，4(2x-l)化為8x-l,分

配需逐項(xiàng)分配，

-3(5x+l)化為-15X+3忘了去括號(hào)變號(hào)；

2妁15品1

的8?1

了43124

---X-----

243124

x=--

+5X1

化為：——H—

---------------——T

是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)要變號(hào)的問(wèn)題，即88

3-2xrx4-2

x-----------=1---------

⑶26

6x-3(3-2x)=6-(x+2)

6x-9+6x=6-x-2

12x+x=4+9

13x=13

x=l易錯(cuò)點(diǎn)關(guān)注：兩邊同乘，每項(xiàng)均乘到，去括號(hào)注意變號(hào)；

4x-1.55x—0.81.2-x

(4)0.50.20.1

2(4x-1.5)-5(5x-0.8)=10(1.2-x)

8x-3-25x+4=12-10x

-7x411

x=--

7

詡述「我題苴多需面科行母中的小數(shù)，有同學(xué)會(huì)忘了小數(shù)運(yùn)算的細(xì)則，不能發(fā)現(xiàn)

05-'02-'0J-,而是兩邊同乘以0.5x02進(jìn)行去分母變形，更有思維跳

躍的同學(xué)認(rèn)為0.5x0.2=1,兩邊同乘以1,將方程變形為：

0.2(4x-1.5)-0.5(5x-0.8)=10(1.2-x)

概述：無(wú)論什么樣的一元一次方程，其解題步驟概括無(wú)非就是"移項(xiàng)，合并，未知數(shù)系

數(shù)化1"這幾個(gè)步驟，從操作步驟上來(lái)講很容易掌握，但由于進(jìn)行每個(gè)步驟時(shí)都有些需

注意的細(xì)節(jié)，許多都是我們認(rèn)識(shí)問(wèn)題的思維瑕點(diǎn)，需反復(fù)關(guān)注，并落實(shí)理解記憶才能保

證解方程問(wèn)題一做的正確率。若仍不夠自信，還可以用檢驗(yàn)步驟予以輔助，理解方程"解"

的概念。

例4.下列方程后面括裳攀數(shù)：,都是該方程的解的是()

A.鏟1=9

-+5=4(-6,-12)

B.x

C.x2+2=3x(-1,2)

D.(x-2)(x+5)=0(2,-5)

分析：依據(jù)方程解的概念，解就是代入方程能使等式成立的值，分別將括號(hào)內(nèi)的數(shù)代入

方程兩邊，求方程兩邊代數(shù)式的值，只有選項(xiàng)D中的方程式成立，故選Do

評(píng)述：依據(jù)方程解的概念，解完方程后，若能有將解代入方程檢驗(yàn)的習(xí)慣將有助于促使

發(fā)現(xiàn)易錯(cuò)點(diǎn)，提高解題的正確率。

例5.根據(jù)以下兩個(gè)方程解的情況討論關(guān)于x的方程ax=b(其中a、b為常數(shù))解的情況。

⑴姓:g歸1k+2

(2)2~^~=~T

解:

(l)3x+l=3(x-l)

3x-3x=-3-l

0x=-4

顯然，無(wú)論x取何值，均不能使等式成立，所以方程3x+l=3(x-l)無(wú)解。

xx-1_x+2

G)2xfx4

———+—=—+—

23363

0-x=0

顯然，無(wú)論x取何值，均可使方程成立，所以該方程的解為任意數(shù)。

由(1)(2)可歸納:

對(duì)于方程ax=bb

當(dāng)a，0時(shí)，它的解是a

當(dāng)a=0時(shí)，又分兩種情況：

①當(dāng)b=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，任意數(shù)均為方程的解；

②當(dāng)b/0時(shí)，方程無(wú)解。

二、從實(shí)際問(wèn)題到方程

(-)本課重點(diǎn)，請(qǐng)你理一理

列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：

(1)"找"：看清題意，分析題中及其關(guān)系，找出用來(lái)列方程的；

(2)"設(shè)"：用字母(例如x)表示問(wèn)題的；

(3)"列"：用字母的代數(shù)式表示相關(guān)的量，根據(jù)列出方程；

(4)"解"：解方程；

(5)"驗(yàn)"：檢查求得的值是否正確和符合實(shí)際情形，并寫(xiě)出答

(6)"答"：答出題目中所問(wèn)的問(wèn)題。

(二)易錯(cuò)題，請(qǐng)你想一想

1.建筑工人澆水泥柱時(shí)，要把鋼筋折彎成正方形.若每個(gè)正方形的面積為400平方厘米，應(yīng)

選擇下列表中的哪種型號(hào)的鋼筋？

型號(hào)ABCD

長(zhǎng)度(cm)90708295

思路點(diǎn)撥：解出方程有兩個(gè)值，必須進(jìn)行檢查求得的值是否正確和符合實(shí)際情形，因?yàn)殇摻?/p>

的長(zhǎng)為正數(shù)，所以取x=80,故應(yīng)選折C型鋼筋.

2.你在作業(yè)中有錯(cuò)誤嗎？請(qǐng)記錄下來(lái)，并分析錯(cuò)誤原因.

三、行程問(wèn)題

(-)本課重點(diǎn)，請(qǐng)你理一理

1.基本關(guān)系式：；

2.基本類(lèi)型：相遇問(wèn)題；相距問(wèn)題;；

3.基本分析方法：畫(huà)示意圖分析題意，分清速度及時(shí)間，找等量關(guān)系(路程分成幾部分).

4.航行問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系：

(1)順流(風(fēng))航行的路程=逆流(風(fēng))航行的路程

(2)順?biāo)?風(fēng))速度;_______________________

逆水(風(fēng))速度二_______________________

(二)易錯(cuò)題，請(qǐng)你想一想

1.甲、乙兩人都以不變速度在400米的環(huán)形跑道上跑步，兩人在同一地方同時(shí)出發(fā)同向而

行，甲的速度為100米/分乙的速度是甲速度的3/2倍，問(wèn)（1）經(jīng)過(guò)多少時(shí)間后兩人首次

遇（2）第二次相遇呢？

思路點(diǎn)撥：此題是關(guān)于行程問(wèn)題中的同向而行類(lèi)型。由題可知，甲、乙首次相遇時(shí)，乙走的

路程比甲多一圈；第二次相遇他們之間的路程差為兩圈的路程。所以經(jīng)過(guò)8分鐘首次相遇,

經(jīng)過(guò)16分鐘第二次相遇。

2.你在作業(yè)中有錯(cuò)誤嗎？請(qǐng)記錄下來(lái)，并分析錯(cuò)誤原因.

四、調(diào)配問(wèn)題

（-）本課重點(diǎn)，請(qǐng)你理一理

初步學(xué)會(huì)列方程解調(diào)配問(wèn)題各類(lèi)型的應(yīng)用題；分析總量等于_______一類(lèi)應(yīng)用題的基本方

法和關(guān)鍵所在.

（二）易錯(cuò)題，請(qǐng)你想一想

1..為鼓勵(lì)節(jié)約用水，某地按以下規(guī)定收取每月的水費(fèi)：如果每月每戶用水不超過(guò)20噸,

那么每噸水按1.2元收費(fèi)；如果每月每戶用水超過(guò)20噸，那么超過(guò)的部分按每噸2元

收費(fèi)。若某用戶五月份的水費(fèi)為平均每噸1.5元，問(wèn)，該用戶五月份應(yīng)交水費(fèi)多少元？

2..甲種糖果的單價(jià)是每千克20元，乙種糖果的單價(jià)是每千克15元，若要配制200千克

單價(jià)為每千克18元的混合糖果，并使之和分別銷(xiāo)售兩種糖果的總收入保持不變，問(wèn)需甲、

乙兩種糖果各多少千克？

五、工程問(wèn)題

（-）本課重點(diǎn)，請(qǐng)你理一理

工程問(wèn)題中的基本關(guān)系式：

工作總量=工作效率x工作時(shí)間

各部分工作量之和=工作總量

（二）易