實際問題與一元一次不等式

學(xué)大個性化輔導(dǎo)教案課題實際問題與一元一次不等式學(xué)生姓名賈琪婷學(xué)生年級九年級學(xué)科數(shù)學(xué)教師姓名張英學(xué)管師姓名王美玲咨詢師姓名張慧上課時間2023.1.2616:00——18:00教案1〔〕教案2〔〕教學(xué)目標1、會列出一元一次不等式解決實

際問題。

2、熟練掌握一元一次不等式的

解法教學(xué)重點/難點

重點是弄清列不等式解決實際問題的思想方法，用去括號法解一元一次不等式；難點是尋找實際問題中的不等關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。教學(xué)過程教師活動學(xué)生活動上節(jié)課作業(yè)檢查及知識點回憶，解決上節(jié)課遺留的問題本節(jié)課知識點講解：〔1〕列不等式解決實際問題的一般思路和步驟?！?〕一些實際問題中的數(shù)量關(guān)系?！?〕一些不等關(guān)鍵詞的數(shù)學(xué)表達。本節(jié)課重點題型講解分析本節(jié)課?？贾R點對應(yīng)的題型及解題思路和方法總結(jié)，如：數(shù)學(xué)建模思想。整理上節(jié)課所留作業(yè)中典型試題的解題方法答復(fù)上節(jié)課所講相關(guān)知識點，找出遺漏局部課堂筆記及教師補充知識點的記錄重點知識點對應(yīng)典型試題訓(xùn)練，并且通過訓(xùn)練歸納總結(jié)?？碱}型的解題思路和方法知識點總結(jié)上節(jié)課知識點回憶:1．一元一次不等式的概念類似于一元一次方程，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式叫做一元一次不等式．2．不等式的解和解集不等式的解：與方程類似，我們可以把那些使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解．不等式的解集：對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有的解的集合叫做這個不等式的解集．它可以用最簡單的不等式表示，也可以用數(shù)軸來表示．3．不等式的性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊加上〔或減去〕同一個數(shù)〔或式子〕，不等號的方向不變，即如a>b，那么a±c>b±c．性質(zhì)2：不等式兩邊乘以〔或除以〕同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即如果a>b，c>0，那么ac>bc〔或>〕．性質(zhì)3：不等式兩邊乘以〔或除以〕同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即如果a>b，c<0，那么ac<bc〔或>〕．不等式的其他性質(zhì)：①假設(shè)a>b，那么b<a；②假設(shè)a>b，b>c，那么a>c；③假設(shè)a≥b，且b≥a，那么a=b；④假設(shè)a≤0，那么a=0．4．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似，但要特別注意不等式的兩邊都乘以〔或除以〕同一個負數(shù)時，不等號要改變方向．本節(jié)知識講解:1．一元一次不等式的應(yīng)用1、列一元一次不等式解實際應(yīng)用問題，可類比列一元一次方程解應(yīng)用問題的方法和技巧，不同的是，列不等式解應(yīng)用題，尋求的是不等關(guān)系，因此，根據(jù)問題情境，抓住應(yīng)用問題中“不等〞關(guān)系的關(guān)鍵詞語，或從題意中體會、感悟出不等關(guān)系十分重要．2、列不等式解決實際問題的一般思路和步驟：〔1〕審：認真審題，分清量、未知量及其關(guān)系，找出題中不等關(guān)系要抓住題中的關(guān)鍵字眼，如：、“大于〞、“不大于〞、“至少〞、“不超過〞、“超過〞等；〔2〕設(shè)：設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)；〔3〕列：根據(jù)題中的不等關(guān)系，列出不等式；〔4〕解：解所列的不等式；〔5〕答：寫出答案，并檢驗是否符合題意。詳解：〔1〕列不等式的關(guān)鍵在于確定不等關(guān)系；抽象出實際問題〔包含不等關(guān)系〕抽象出實際問題〔包含不等關(guān)系〕數(shù)學(xué)問題〔列一元一次不等式〕數(shù)學(xué)問題的解〔x<a或x>a〕檢驗還原到2、實際問題中的數(shù)量關(guān)系：1.和、差、倍、分問題：〔1〕倍數(shù)關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“是幾倍，增加幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率……〞來表達?！?〕多少關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“多、少、和、差、缺乏、剩余……〞來表達。2.等積變形問題：“等積變形〞是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤?。常用等量關(guān)系為：狀面積變了，周長沒變；②原料體積＝成品體積。3.勞力調(diào)配問題：這類問題要搞清人數(shù)的變化，常見題型有：〔1〕既有調(diào)入又有調(diào)出；〔2〕只有調(diào)入沒有調(diào)出，調(diào)入局部變化，其余不變；〔3〕只有調(diào)出沒有調(diào)入，調(diào)出局部變化，其余不變。4.比例分配問題：這類問題的一般思路為：設(shè)其中一份為x，利用的比，寫出相應(yīng)的代數(shù)式。常用等量關(guān)系：各局部之和＝總量。5.數(shù)字問題〔1〕要搞清楚數(shù)的表示方法：一個三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字為c〔其中a、b、c均為整數(shù)，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9〕那么這個三位數(shù)表示為：100a+10b+c?！?〕數(shù)字問題中一些表示：兩個連續(xù)整數(shù)之間的關(guān)系，較大的比擬小的大1；偶數(shù)用2n表示，連續(xù)的偶數(shù)用2n+2或2n—2表示；奇數(shù)用2n+1或2n—1表示。

6.工程問題：工程問題中的三個量及其關(guān)系為：工作總量=工作效率×工作時間經(jīng)常在題目中未給出工作總量時，設(shè)工作總量為單位1。7.行程問題：〔1〕行程問題中的三個根本量及其關(guān)系：路程=速度×?xí)r間?！?〕根本類型有①相遇問題；②追及問題；常見的還有：相背而行；行船問題；環(huán)形跑道問題?！?〕解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，一般情況下問題就能迎刃而解。并且還常常借助畫草圖來分析，理解行程問題。8.利潤贏虧問題〔1〕銷售問題中常出現(xiàn)的量有：進價、售價、標價、利潤等〔2〕有關(guān)關(guān)系式：商品利潤=商品售價—商品進價=商品標價×折扣率—商品進價商品利潤率=商品利潤/商品進價商品售價=商品標價×折扣率9.儲蓄問題⑴顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅⑵利息=本金×利率×期數(shù)本息和=本金+利息利息稅=利息×稅率〔20%〕不等關(guān)鍵詞：“大于〞、“不大于〞、“至少〞、“不超過〞、“超過〞、“至多〞、“不少于〞“低于〞…….例題/課上習(xí)題例題解析例1解不等式≥x-5，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【分析】一元一次不等式的解法的一般步驟與一元一次方程相同，不等式中含有分母，應(yīng)先在不等式兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)去掉分母，在去分母時不要漏乘沒有分母的項，再作其他變形．【解答】去分母，得4〔2x-1〕-2〔10x+1〕≥15x-60．去括號，得8x-4-20x-2≥15x-60移項合并同類項，得-27x≥-54系數(shù)化為1，得x≤2．在數(shù)軸上表示解集如下圖．【點評】①分數(shù)線兼有括號的作用，分母去掉后應(yīng)將分子添上括號．同時，用分母去乘不等式各項時，不要漏乘不含分母的項；②不等式兩邊都乘以〔或除以〕同一個負數(shù)時，不等號的方向必須改變；③在數(shù)軸上表示不等式的解集，當解集是x<a或x>時，不包括數(shù)軸上a這一點，那么這一點用圓圈表示；當解集是x≤a或x≥a時，包括數(shù)軸上a這一點，那么這一點用黑圓點表示；④解不等式〔組〕是中考中易考查的知識點，必須熟練掌握．例2假設(shè)實數(shù)a<1，那么實數(shù)M=a，N=，P=的大小關(guān)系為〔〕A．P>N>MB．M>N>PC．N>P>MD．M>P>N【分析】此題主要考查代數(shù)式大小的比擬有兩種方法：其一，由于選項是確定的，我們可以用特值法，取a>1內(nèi)的任意值即可；其二，用作差法和不等式的傳遞性可得M，N，P的關(guān)系．【解答】方法一：取a=2，那么M=2，N=，P=，由此知M>P>N，應(yīng)選D．方法二：由a>1知a-1>0．又M-P=a-=>0，∴M>P；P-N=-=>0，∴P>N．∴M>P>N，應(yīng)選D．【點評】應(yīng)用特值法來解題的條件是答案必須確定．如，當a>1時，A與2a-2的大小關(guān)系不確定，當1<a<2時，當a>2a-2；當a=2時，a=2a-2；當a>2時，a<2a-2，因此，此時a與2a-2的大小關(guān)系不能用特征法．例3假設(shè)不等式-3x+n>0的解集是x<2，那么不等式-3x+n<0的解集是_______．【分析】一方面可從不等式中求出它的解集，再利用解集的等價性求出n的值，進而得到另一不等式的解集．【解答】∵-3x+n>0，∴x<，∴=2即n=6代入-3x+n<0得：-3x+6<0，∴x>2例4某公司為了擴大經(jīng)營，決定購進6臺機器用于生產(chǎn)某種活塞．現(xiàn)有甲，乙兩種機器供選擇，其中每臺機器的價格和每臺機器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示．經(jīng)過預(yù)算，本次購置機器所耗資金不能超過34萬元．甲乙價格/〔萬元/臺〕75每臺日產(chǎn)量/個10060〔1〕按該公司要求可以有幾種購置方案？〔2〕假設(shè)該公司購進的6臺機器的日生產(chǎn)能力不低于380個，那么為了節(jié)約資金應(yīng)選擇哪種購置方案？【解析】〔1〕可設(shè)購置甲種機器x臺，然后用x表示出購置甲，乙兩種機器的實際費用，根據(jù)“本次購置機器所耗資金不能超過24萬元〞列不等式求解．〔2〕分別算出〔1〕中各方案每天的生產(chǎn)量，根據(jù)“日生產(chǎn)能力不低于380個〞與“節(jié)約資金〞兩個條件選擇購置方案．解：〔1〕設(shè)購置甲種機器x臺，那么購置乙種機器〔6-x〕臺，那么7x+5〔6-x〕≤34解得x≤2又x≥0∴0≤x≤2∴整數(shù)x=0，1，2∴可得三種購置方案：方案一：購置乙種機器6臺；方案二：購置甲種機器1臺，乙種機器5臺；方案三：購置甲種機器2臺，乙種機器4臺．〔2〕列表如下：日生產(chǎn)量/個總購置資金/萬元方案一36030方案二40032方案三44034由于方案一的日生產(chǎn)量小于380個，因此不選擇方案一；方案三比方案二多耗資2萬元，應(yīng)選擇方案二．【點評】①局部實際問題的解通常為整數(shù)；②方案的各種情況可以用表格的形式表達．例5某童裝加工企業(yè)今年五月份，工人每人平均加工童裝150套，最不熟練的工人加工的童裝套數(shù)為平均套數(shù)的60%．為了提高工人的勞動積極性，按照完成外商訂貨任務(wù)，企業(yè)方案從六月份起進行工資改革．改革后每位工人的工資分兩局部：一局部為每人每月根本工資200元；另一局部為每加工1套童裝獎勵假設(shè)干元．〔1〕為了保證所有工人的每月工資收入不低于市有關(guān)部門規(guī)定的最低工資標準450元，按五月份工人加工的童裝套數(shù)計算，工人每加工1套童裝企業(yè)至少應(yīng)獎勵多少元〔精確到分〕？〔2〕根據(jù)經(jīng)營情況，企業(yè)決定每加工1套童裝獎勵5元．工人小張爭取六月份工資不少于1200元，問小張在六月份應(yīng)至少加工多少套童裝？【分析】〔1〕五月份工人加工的最少套數(shù)為150×60%，假設(shè)設(shè)平均每套獎勵x元，那么該工人的新工資為〔200+150×60%x〕，由題意得200+150×60%x≥450；〔2〕六月份的工資由根本工資200元和獎勵工資兩局部組成，假設(shè)設(shè)小張六月份加工了y套，那么依題意可得200+5y≥1200．【解答】〔1〕設(shè)企業(yè)每套獎勵x元，由題意得：200+60%×150x≥450．解得：x≥2.78．因此，該企業(yè)每套至少應(yīng)獎勵2.78元；〔2〕設(shè)小張在六月份加工y套，由題意得：200+5y≥1200，解得y≥200．【點評】此題重點考查學(xué)生從生活實際中理解不等關(guān)系的能力，對關(guān)鍵詞“不低于〞、“至少〞、“不少于〞的理解是解本例的關(guān)鍵．例6某次知識競賽共有20道題，每一題答對得10分，答錯或不答都扣5分.小明得分要超過90分，他至少要答對多少道題？分析：“超過90分〞是什么意思？此題的不等關(guān)系是什么？“超過90分〞就是大于90分；不等關(guān)系是：答對的得分-答錯或不答的扣分＞90。解：設(shè)小明答對x道題，那么他答錯或不答的題數(shù)為20-x。根據(jù)他的得分要超過90，得10x-5(20-x)＞9010x-100+5x＞9015x＞90∴x＞38/3思考：這是此題的答案嗎？為什么？這不是此題的答案。因為x是正整數(shù)且不能大于20，所以小明至少要答對13題。例72002年北京空氣質(zhì)量良好〔二級以上〕的天數(shù)與全年天數(shù)之比到達55%，如果到2023年這樣的比值要超過70%，那么2023年空氣質(zhì)量良好的天數(shù)要比2002年至少增加多少？分析：2002年北京空氣質(zhì)量良好的天數(shù)是多少？用x表示2023年增加的空氣質(zhì)量良好的天數(shù)，那么2023年北京空氣質(zhì)量良好的天數(shù)是多少？此題的不等關(guān)系是什么？2002年北京空氣質(zhì)量良好的天數(shù)是365×55%;2023年北京空氣質(zhì)量良好的天數(shù)是x+365×55%;不等關(guān)系是:2023年北京空氣質(zhì)量良好的天數(shù)÷366＞70%.解：設(shè)2023年北京空氣質(zhì)量良好的天數(shù)比2002年增加x天，依題意，得〔x+365×55%〕/366＞70%去分母，得x+200.5＞256.2移項，合并同類項，得x＞55.45思考：這是此題的答案嗎？為什么？此題的答案是什么？不是。因為x為正整數(shù)?！鄕≥56答：2023年北京空氣質(zhì)量良好的天數(shù)至少比2002年增加56天。注意：用不等式解應(yīng)用問題時，要考慮問題的實際意義。例1與例2中的未知數(shù)都應(yīng)是正整數(shù)?！魪娀?xùn)練一、填空題1．假設(shè)不等式ax<a的解集是x>1，那么a的取值范圍是______．2．不等式x+3>x的負整數(shù)解是_______．3．不等式5x-9≤3〔x+1〕的解集是______．4．滿足≥的x的值中，絕對值不大于10的所有整數(shù)之和等于______．5．某商品的進價是500元，標價為750元，商店要求以利潤不低于5%的售價打折出售，售貨員最低可以打______折出售此商品．二、選擇6．如果不等式+1>的解集是x<，那么a的取值范圍是〔〕A．a(chǎn)>5B．a(chǎn)=5C．a(chǎn)>-5D．a(chǎn)=-57．關(guān)于x的不等式2x-a≤-1的解集如下圖，那么a的取值是〔〕A．0B．-3C．-2D．-18．初中九年級一班幾名同學(xué)，畢業(yè)前合影留念，每人交0.70元，一張彩色底片0.68元，擴印一張照片0.50元，每人分一張，將收來的錢盡量用掉的前提下，這張照片上的同學(xué)最少有〔〕A．2個B．3個C．4個D．5個9．四個小朋友玩蹺蹺板，他們的體重分別為P，Q，R，S，如下圖，那么他們的體重大小關(guān)系是〔〕A．P>R>S>QB．Q>S>P>RC．S>P>Q>RD．S>P>R>Q三、解答題10．解以下不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來．〔1〕；〔2〕x-3≥．11．王女士看中的商品在甲，乙兩商場以相同的價格銷售，兩商場采用的促銷方式不同：在甲商場一次性購物超過100元，超過的局部八折優(yōu)惠；在乙商場一次性購物超過50元，超過的局部九折優(yōu)惠，那么她在甲商場購物超過多少元就比在乙商場購物優(yōu)惠？12．甲，乙兩家超市以相同的價格出售同樣的商品，為了吸引顧客，各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲超市累計購置商品超出300元之后，超出局部按原價8折優(yōu)惠；在乙超市累計購置商品超出200元之后，超過局部按原價8.5折優(yōu)惠．設(shè)顧客預(yù)計累計購物x元〔x>300〕．〔1〕請用含x的代數(shù)式分別表示顧客在兩家超市購物所付的費用；〔2〕試比擬顧客到哪家超市購物更優(yōu)惠？說明你的理由．13．福林制衣廠現(xiàn)有24名制作服裝工人，每天都制作某種品牌襯衫和褲子，每人每天可制作襯衫3件或褲子5條．〔1〕假設(shè)該廠要求每天制作的襯衫和褲子數(shù)量相等，那么應(yīng)安排制作襯衫和褲子各多少人？〔2〕制作一件襯衫可獲得利潤30元，制作一條褲子可獲得利潤16元，假設(shè)該廠要求每天獲得利潤不少于2100元，那么至少需要安排多少名工人制作襯衫？14．某零件制造車間有工人20名，每名工人每天可制造甲種零件6個或乙種零件5個，且每制造一個甲種零件可獲利150元，每制造一個乙種零件可獲利260元，在這20名工人中，車間每天安排x名工人制造甲種零件，其余工人制造乙種零件．〔1〕請寫出此車間每天所獲利潤y〔元〕與x〔人〕之間的關(guān)系式；〔2〕假設(shè)要使每天所獲利潤不低于24000元，你認為至少要派多少名工人去制造乙種零件才適宜？15．足球比賽的記分規(guī)那么為：勝1場得3分，平1場得1分，負1場得0分，一支足球隊在某個賽季中共需比賽14場，現(xiàn)已比賽8場，負了1場，得17分，請問：〔1〕前8場比賽中，這支球隊共勝了多少場？〔2〕這支球隊打滿了14場比賽，最高能得多少分？〔3〕通過比照賽情況的分析，這支球隊打滿14場比賽得分不低于29分，就可以到達預(yù)期目標，請你分析一下，在后面的6場比賽中這支球隊至少要勝幾場，才能到達預(yù)期目標答案:1．a(chǎn)<02．-5，-4，-3，-2，-13．x≤64．-195．76．B7．D8．C9．D10．〔1〕x≥-2〔2〕x≥7數(shù)軸上表示略11、設(shè)她在甲商場購物x元〔x>100〕，就比在乙商場購物優(yōu)惠，由題意得：100+0.8〔x-100〕<50+0.9〔x-50〕∴x>150答：她在甲商場購物超過150元就比在乙商場購物優(yōu)惠．12．〔1〕在甲超市購物所付的費用是：300+0.8〔x-300〕=〔0.8x+60〕元；在乙超市購物所付的費用是：200+0.85〔x-200〕=〔0.85x+30〕元．〔2〕當0.8x+60=0.85x+30時，解得x=600．∴當顧客購物600元時，到兩家超市購物所付費用相同；當0.8x+60>0.85x+30時，解得x<600，而x>300，∴300<x<600．即顧客購物超過300元且不滿600元時，到乙超市更優(yōu)惠；當0.8x+60<0.85x+30時，解得x>600，即當顧客購物超過600元時，到甲超市更優(yōu)惠．13．〔1〕設(shè)應(yīng)安排x名工人制作襯衫，由題意得：3x=5×〔24-x〕∴x=15∴24-x=24-15=9答：應(yīng)安排15名工人制作襯衫，9名工人制作褲子．〔2〕設(shè)應(yīng)安排y名工人制作襯衫，由題意得：3×30y+5×16×〔24-y〕≥2100∴y≥18答：至少應(yīng)安排18名工人制作襯衫．14．〔1〕依題意，得y=150×6x+260×5〔20-x〕=-400x+26000〔0≤x≤20〕．〔2〕依題意得，-400x+26000≥24000．解得x≤5，20-x=20-5=15．答：至少要派15名工人去制作乙種零件才適宜．15．〔1〕設(shè)這支球隊勝x場，那么平了〔8-1-x〕場，依題意得：3x+〔8-1-x〕=17，解得x=5．答：前8場比賽中這支球隊共勝了5場．〔2〕最高分即后面的比賽全勝，因此最高得分為：17+3×〔14-8〕=35〔分〕．答：這個球打完14場最高得分為35分．〔3〕設(shè)勝x場，平y(tǒng)場，總分不低于29分，可得17+3x+y≥29，3x+y≥12，x+y≤6∵x，y為非負整數(shù)，∴x=4時，能保證不低于12分；x=3，y=3時，也能保證不低于12分．所以，在以后的比賽中至少要勝3場才能有可能到達預(yù)期目標。課后習(xí)題一、填空題1、2－3x2＋2k＞1是關(guān)于x的一元一次不等式，那么k=，不等式的解集是．2、不等式≥的正整數(shù)解是．3、當x時，代數(shù)式的值是正數(shù)；當x時，代數(shù)式的值是負數(shù)；當x時，代數(shù)式的值為非負數(shù)．4、當a時，不等式〔a－5〕x＞1的解集為x＜．5、不等式-2<的最小整數(shù)解為．6、假設(shè)不等式組的解集為x<2，那么a的取值范圍為．7、實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如下圖那么a、a+c、a-b、a-c的大小關(guān)系是．Cb0a〔第10題圖〕8．不等式4〔x+1〕≥6x-3的正整數(shù)解為______．9．3x+4≤6+2〔x-2〕，那么│x+1│的最小值等于______．10．假設(shè)不等式a〔x-1〕>x-2a+1的解集為x<-1，那么a的取值范圍是______．11．小明用100元錢去購置筆記本和鋼筆共30件，每本筆記本2元，每支鋼筆5元，那么小明最多能買______支鋼筆．12．有10名菜農(nóng)，每個可種甲種蔬菜3畝或乙種蔬菜2畝，甲種蔬菜每畝可收入0.5萬元，乙種蔬菜每畝可收入0.8萬元，假設(shè)要總收入不低于15.6萬元，那么最多只能安排_______人種甲種蔬菜．二、選擇題13．不等式-x-5≤0的解集在數(shù)軸上表示正確的選項是〔〕14、實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如下圖，那么以下式子正確的選項是〔〕A、b＋c＞0B、a＋b＜a＋cC、ac＞bcD、ab＞ac15、假設(shè)0＜a＜1，那么以下四個不等式中正確的選項是〔〕A、a＜1＜B、a＜＜1C