2024屆內(nèi)蒙古鄂倫春自治旗高三第三次考試數(shù)學試題

2024屆內(nèi)蒙古鄂倫春自治旗高三第三次考試數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則“”是“的展開式中項的系數(shù)為90”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度3．記其中表示不大于x的最大整數(shù)，若方程在在有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍()A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則（）A． B．1 C．-1 D．05．若復數(shù)z滿足,則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．若函數(shù)在處取得極值2，則（）A．-3 B．3 C．-2 D．27．某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．08．在關于的不等式中，“”是“恒成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，則下列結論正確的是（）A．﹣3∈AB．3BC．A∩B=BD．A∪B=B10．“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于任意一個大于1的整數(shù)，如果為偶數(shù)就除以2，如果是奇數(shù)，就將其乘3再加1，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的（）A．6 B．7 C．8 D．911．直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓x2a2+y2bA．3-1 B．3-12 C．12．正的邊長為2，將它沿邊上的高翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若，則______.14．“北斗三號”衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓.設地球半徑為R,若其近地點?遠地點離地面的距離大約分別是,,則“北斗三號”衛(wèi)星運行軌道的離心率為__________.15．春天即將來臨，某學校開展以“擁抱春天，播種綠色”為主題的植物種植實踐體驗活動．已知某種盆栽植物每株成活的概率為，各株是否成活相互獨立．該學校的某班隨機領養(yǎng)了此種盆栽植物10株，設為其中成活的株數(shù)，若的方差，，則________．16．設是等比數(shù)列的前項的和，成等差數(shù)列，則的值為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某景點上山共有級臺階，寓意長長久久．甲上臺階時，可以一步走一個臺階，也可以一步走兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為，每步上兩個臺階的概率為．為了簡便描述問題，我們約定，甲從級臺階開始向上走，一步走一個臺階記分，一步走兩個臺階記分，記甲登上第個臺階的概率為，其中，且．（1）若甲走步時所得分數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求甲在登山過程中，恰好登上第級臺階的概率．18．（12分）三棱柱中，平面平面，，點為棱的中點，點為線段上的動點.（1）求證：；（2）若直線與平面所成角為，求二面角的正切值.19．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和20．（12分）某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個零件，質(zhì)檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對其余所有零件進行檢查．根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗，這些零件的長度服從正態(tài)分布（單位：微米），且相互獨立．若零件的長度滿足，則認為該零件是合格的，否則該零件不合格．（1）假設某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為，求及的數(shù)學期望；（2）小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件，若以此頻率作為當天生產(chǎn)零件的不合格率．已知檢查一個零件的成本為10元，而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元．假設充分大，為了使損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件，試說明理由．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則．21．（12分）設函數(shù)（）的最小值為.（1）求的值；（2）若，，為正實數(shù)，且，證明：.22．（10分）如圖，在四棱錐中底面是菱形，，是邊長為的正三角形，，為線段的中點．求證：平面平面；是否存在滿足的點，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

求得的二項展開式的通項為,令時,可得項的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結果.【題目詳解】若則二項展開式的通項為,令,即,則項的系數(shù)為,充分性成立;當?shù)恼归_式中項的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.【題目點撥】本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計算能力,難度較易.2、D【解題分析】

通過變形，通過“左加右減”即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意，故只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，故答案為D.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.3、D【解題分析】

做出函數(shù)的圖象，問題轉化為函數(shù)的圖象在有7個交點，而函數(shù)在上有3個交點，則在上有4個不同的交點，數(shù)形結合即可求解.【題目詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知方程在上有3個不同的實數(shù)根，則在上有4個不同的實數(shù)根，當直線經(jīng)過時，；當直線經(jīng)過時，，可知當時，直線與的圖象在上有4個交點，即方程，在上有4個不同的實數(shù)根.故選:D.【題目點撥】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù)，利用函數(shù)零點和方程之間的關系轉化為兩個函數(shù)的交點是解題的關鍵，運用數(shù)形結合是解決函數(shù)零點問題的基本思想，屬于中檔題.4、A【解題分析】

由函數(shù)，求得，進而求得的值，得到答案.【題目詳解】由題意函數(shù)，則，所以，故選A.【題目點撥】本題主要考查了分段函數(shù)的求值問題，其中解答中根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.5、A【解題分析】

化簡復數(shù)，求得，得到復數(shù)在復平面對應點的坐標，即可求解.【題目詳解】由題意，復數(shù)z滿足，可得，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應點的坐標為位于第一象限故選：A.【題目點撥】本題主要考查了復數(shù)的運算，以及復數(shù)的幾何表示方法，其中解答中熟記復數(shù)的運算法則，結合復數(shù)的表示方法求解是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.6、A【解題分析】

對函數(shù)求導,可得,即可求出,進而可求出答案.【題目詳解】因為,所以,則,解得,則.故選:A.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的導數(shù)與極值,考查了學生的運算求解能力,屬于基礎題.7、C【解題分析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù).【題目詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，其中，，為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個數(shù)為3.故選：C.【題目點撥】本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎題.8、C【解題分析】

討論當時，是否恒成立；討論當恒成立時，是否成立，即可選出正確答案.【題目詳解】解：當時，，由開口向上，則恒成立；當恒成立時，若，則不恒成立，不符合題意，若時，要使得恒成立，則，即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【題目點撥】本題考查了命題的關系，考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關系時，一般分成兩步，若，則推出是的充分條件；若，則推出是的必要條件.9、C【解題分析】試題分析：集合考點：集合間的關系10、B【解題分析】

模擬程序運行，觀察變量值可得結論．【題目詳解】循環(huán)前，循環(huán)時：，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，滿足條件，退出循環(huán)，輸出．故選：B．【題目點撥】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結構，解題時可模擬程序運行，觀察變量值，從而得出結論．11、A【解題分析】

由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點F，得到左焦點為再由FC=2CA，求得A3【題目詳解】由題意，直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓的左焦點F，令所以c=3，即橢圓的左焦點為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1)，所以，OF=因為FC=2CA，所以FA=3又由點A在橢圓上，得3a由①②，可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【題目點撥】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中求橢圓的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出a,c，代入公式e=ca；②只需要根據(jù)一個條件得到關于a,b,c的齊次式，轉化為a,c的齊次式，然后轉化為關于e的方程，即可得12、D【解題分析】

如圖所示，設的中點為，的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，利用正弦定理可得，利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.【題目詳解】如圖所示，設的中點為，外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，則平面，.因為，故，因為，故.由正弦定理可得，故，又因為，故.因為，故平面，所以，因為平面，平面，故，故，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，故外接球的半徑為，外接球的表面積為.故選：D.【題目點撥】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問題注意翻折前后的變量與不變量，外接球問題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來計算，本題有一定的難度.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

根據(jù)向量加法和減法的坐標運算,先分別求得與,再結合向量的模長公式即可求得的值.【題目詳解】向量,則,則因為即,化簡可得解得故答案為:【題目點撥】本題考查了向量坐標加法和減法的運算,向量模長的求法,屬于基礎題.14、【解題分析】

畫出圖形，結合橢圓的定義和題設條件，求得的值，即可求得橢圓的離心率，得到答案.【題目詳解】如圖所示，設橢圓的長半軸為，半焦距為，因為地球半徑為R,若其近地點?遠地點離地面的距離大約分別是,,可得，解得，所以橢圓的離心率為.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的幾何性質(zhì)，列出方程組，求得的值是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.15、【解題分析】

由題意可知：，且，從而可得值．【題目詳解】由題意可知：∴，即,∴故答案為：【題目點撥】本題考查二項分布的實際應用，考查分析問題解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題．16、2【解題分析】

設等比數(shù)列的公比設為再根據(jù)成等差數(shù)列利用基本量法求解再根據(jù)等比數(shù)列各項間的關系求解即可.【題目詳解】解：等比數(shù)列的公比設為成等差數(shù)列,可得若則顯然不成立,故則,化為解得,則故答案為：．【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及運用,屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解題分析】

（1）由題可得的所有可能取值為，，，，且，，，，所以的分布列為所以的數(shù)學期望．（2）由題可得，所以，又，，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列．（3）由（2）可得．18、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）可證面，從而可得.（2）可證點為線段的三等分點，再過作于，過作，垂足為，則為二面角的平面角，利用解直角三角形的方法可求.也可以建立如圖所示的空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量來計算二面角的平面角的余弦值，最后利用同角三角函數(shù)的基本關系式可求.【題目詳解】證明：（1）因為為中點，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，故，又因為，所以，則，又，故面，又面，所以.（2）由（1）可得：面在面內(nèi)的射影為，則為直線與平面所成的角，即.因為，所以，所以，所以，即點為線段的三等分點.解法一：過作于，則平面，所以，過作，垂足為，則為二面角的平面角,因為，，，則在中，有，所以二面角的平面角的正切值為.解法二：以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設點，由得：，即，，，點，平面的一個法向量，又，，設平面的一個法向量為，則，令，則平面的一個法向量為.設二面角的平面角為，則，即，所以二面角的正切值為.【題目點撥】線線垂直的判定可由線面垂直得到，也可以由兩條線所成的角為得到，而線面垂直又可以由面面垂直得到，解題中注意三種垂直關系的轉化.空間中的角的計算，可以建立空間直角坐標系把角的計算歸結為向量的夾角的計算，也可以構建空間角，把角的計算歸結平面圖形中的角的計算.19、（1）；（2）【解題分析】

（1）由化為，利用數(shù)列的通項公式和前n項和的關系，得到是首項為，公差為的等差數(shù)列求解.（2）由（1）得到，再利用錯位相減法求解.【題目詳解】（1）可以化為，，，，又時，數(shù)列從開始成等差數(shù)列，，代入得是首項為，公差為的等差數(shù)列，，.（2）由（1）得，，，兩式相減得，，.【題目點撥】本題主要考查數(shù)列的通項公式和前n項和的關系和錯位相減法求和，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）見解析（2）需要，見解析【解題分析】

（1）由零件的長度服從正態(tài)分布且相互獨立,零件的長度滿足即為合格,則每一個零件的長度合格的概率為,滿足二項分布,利用補集的思想求得,再根據(jù)公式求得；（2）由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即