高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何初步 第3節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系課時(shí)分層訓(xùn)練 文 試題

課時(shí)分層訓(xùn)練(四十)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系A(chǔ)組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1．(2015·湖北高考)l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線，q：l1，l2不相交，則()A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件A[若l1，l2異面，則l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，則l1，l2是平行直線或異面直線，故p?q，qD?/p，故p是q的充分不必要條件．]2．給出下列說(shuō)法：①梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共面；②三條平行直線共面；③有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；④三條直線兩兩相交，可以確定3個(gè)平面．其中正確的序號(hào)是()A．① B．①④C．②③ D．③④A[顯然命題①正確．由三棱柱的三條平行棱不共面知，②錯(cuò)．命題③中，兩個(gè)平面重合或相交，③錯(cuò)．三條直線兩兩相交，可確定1個(gè)或3個(gè)平面，則命題④不正確．]3．(2017·鄭州聯(lián)考)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行B．相交或異面C．平行或異面D．相交、平行或異面D[依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．]4．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222251】A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定D[如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，記l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此時(shí)l1∥l4，可以排除選項(xiàng)A和C.若取C1D為l4，則l1與l4相交；若取BA為l4，則l1與l4異面；取C1D1為l4，則l1與l4相交且垂直．因此l1與l4的位置關(guān)系不能確定．]5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,7)B[連接DF，則AE∥DF，∴∠D1FD為異面直線AE與D1F所成的角．設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則D1D＝a，DF＝eq\f(\r(5),2)a，D1F＝eq\f(\r(5),2)a，∴cos∠D1FD＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)a))2－a2,2·\f(\r(5),2)a·\f(\r(5),2)a)＝eq\f(3,5).]二、填空題6.如圖7-3-7所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：圖7-3-7①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線MN與AC所成的角為60°.其中正確的結(jié)論為________．(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上)③④[由題圖可知AM與CC1是異面直線，AM與BN是異面直線，BN與MB1為異面直線．因?yàn)镈1C∥MN，所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角，且角為60°.]7.(2017·佛山模擬)如圖7-3-8所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為________．圖7-3-860°[取A1C1的中點(diǎn)E，連接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即為所求，設(shè)AB＝1，則A1A＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(3)，B1E＝eq\f(\r(3),2)，AE＝eq\f(3,2)，故∠AB1E＝60°.]8．如圖7-3-9，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222252】圖7-3-94[取CD的中點(diǎn)為G(圖略)，由題意知平面EFG與正方體的左、右側(cè)面所在平面重合或平行，從而EF與正方體的左、右側(cè)面所在的平面平行或EF在平面內(nèi)，所以直線EF與正方體的前、后側(cè)面及上、下底面所在平面相交．故直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4.]三、解答題9.如圖7-3-10所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)．問：圖7-3-10(1)AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說(shuō)明理由．[解](1)AM，CN不是異面直線．理由：連接MN，A1C1，AC.因?yàn)镸，N分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥A1C1.2分又因?yàn)锳1A綊C1C，所以A1ACC1為平行四邊形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線.5分(2)直線D1B和CC1是異面直線.6分理由：因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正方體，所以B，C，C1，D1不共面．假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，所以D1，B，C，C1∈α，10分這與B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假設(shè)不成立，即D1B和CC1是異面直線.12分10．如圖7-3-11所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：圖7-3-11(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．[解](1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).5分(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補(bǔ)角).8分在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).12分B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1．(2017·南昌二模)設(shè)α為平面，a，b為兩條不同的直線，則下列敘述正確的是()A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a⊥α，a∥b，則b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，則b∥αD．若a∥α，a⊥b，則b⊥αB[若a∥α，b∥α，則a與b相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；易知B正確；若a⊥α，a⊥b，則b∥α或b?α，故C錯(cuò)誤；若a∥α，a⊥b，則b∥α或b?α或b與α相交，故D錯(cuò)誤．]2.如圖7-3-12，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點(diǎn)，則AD與GF所成的角的余弦值為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222253】圖7-3-12eq\f(\r(3),6)[取DE的中點(diǎn)H，連接HF，GH.由題設(shè)，HF綊eq\f(1,2)AD，∴∠GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補(bǔ)角)．在△GHF中，可求HF＝eq\r(2)，GF＝GH＝eq\r(6)，∴cos∠GFH＝eq\f(\r(2)2＋\r(6)2－\r(6)2,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),6).]3．(2016·廣州模擬)已知三棱錐A-BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD成60°角，點(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，求直線AB和MN所成的角．[解]如圖，取AC的中點(diǎn)P.連接PM，PN，又點(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，則PM∥AB，且PM＝eq\f(1,2)AB，PN∥CD，且PN＝eq\f(1,2)CD，所以∠MPN為AB與CD所成的角(或其補(bǔ)角).6分則∠MPN＝60°或∠MPN＝12