北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊第二章實(shí)數(shù)

第二章：實(shí)數(shù)本章的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：知識梳理一．?dāng)?shù)的開方主要知識點(diǎn)：【1】平方根：如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，那么，這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根；也即，當(dāng)時(shí)，我們稱x是a的平方根，記做：。因此：當(dāng)a=0時(shí)，它的平方根只有一個(gè)，也就是0本身；當(dāng)a＞0時(shí)，也就是a為正數(shù)時(shí)，它有兩個(gè)平方根，且它們是互為相反數(shù)，通常記做：。當(dāng)a＜0時(shí)，也即a為負(fù)數(shù)時(shí)，它不存在平方根。例1.（1）的平方是64，所以64的平方根是；（2）的平方根是它本身。（3）若的平方根是±2，則x=；的平方根是（4）當(dāng)x時(shí)，有意義。（5）一個(gè)正數(shù)的平方根分別是m和m-4，則m的值是多少？這個(gè)正數(shù)是多少？【算術(shù)平方根】：（1）如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即，那么，這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，記為：“”，讀作，“根號a”，其中，a稱為被開方數(shù)。特別規(guī)定：0的算術(shù)平方根仍然為0。（2）算術(shù)平方根的性質(zhì)：具有雙重非負(fù)性，即：。（3）算術(shù)平方根與平方根的關(guān)系：算術(shù)平方根是平方根中正的一個(gè)值，它與它的相反數(shù)共同構(gòu)成了平方根。因此，算術(shù)平方根只有一個(gè)值，并且是非負(fù)數(shù)，它只表示為：；而平方根具有兩個(gè)互為相反數(shù)的值，表示為：。例2.（1）下列說法正確的是（）A．1的立方根是；B．；（C）、的平方根是；（D）、0沒有平方根；（2）下列各式正確的是（）A、B、C、D、（3）的算術(shù)平方根是。（4）若有意義，則___________。（5）已知△ABC的三邊分別是且滿足，求c的取值范圍。（6）已知：A=是的算術(shù)平方根，B=是的立方根。求A－B的平方根。（7）（提高題）如果x、y分別是4－EQ\R(,3)的整數(shù)部分和小數(shù)部分。求x－y的值.【立方根】（1）如果x的立方等于a，那么，就稱x是a的立方根，或者三次方根。記做：，讀作，3次根號a。注意：這里的3表示的是開根的次數(shù)。一般的，平方根可以省寫根的次數(shù)，但是，當(dāng)根的次數(shù)在兩次以上的時(shí)候，則不能省略。（2）平方根與立方根：每個(gè)數(shù)都有立方根,并且一個(gè)數(shù)只有一個(gè)立方根；但是，并不是每個(gè)數(shù)都有平方根，只有非負(fù)數(shù)才能有平方根。例3.（1）64的立方根是

（2）若，則b等于（）

A.1000000B.1000C.10D.10000（3）下列說法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。其中正確的有（）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)【無理數(shù)】（1）無限不循環(huán)小數(shù)的小數(shù)叫做無理數(shù)；它必須滿足“無限”以及“不循環(huán)”這兩個(gè)條件。在初中階段，無理數(shù)的表現(xiàn)形式主要包含下列幾種：（1）特殊意義的數(shù)，如：圓周率以及含有的一些數(shù)，如：2-，3等；（2）開方開不盡的數(shù)，如:等；（3）特殊結(jié)構(gòu)的數(shù)：如：2.01001000100001…（兩個(gè)1之間依次多1個(gè)0）等。應(yīng)當(dāng)要注意的是：帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如：等；無理數(shù)也不一定帶根號，如：（2）有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別：（1）有理數(shù)指的是有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)則是無限不循環(huán)小數(shù)；（2）所有的有理數(shù)都能寫成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分?jǐn)?shù)），而無理數(shù)則不能寫成分?jǐn)?shù)形式。例4.（1）下列各數(shù)：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相鄰兩個(gè)3之間0的個(gè)數(shù)逐次增加2）、其中是有理數(shù)的有＿＿＿＿＿＿＿；是無理數(shù)的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序號）（2）有五個(gè)數(shù):0.125125…,0.1010010001…,-,,其中無理數(shù)有()個(gè)A2B3C4D5【實(shí)數(shù)】（1）有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。在實(shí)數(shù)中，沒有最大的實(shí)數(shù)，也沒有最小的實(shí)數(shù)；絕對值最小的實(shí)數(shù)是0，最大的負(fù)整數(shù)是-1。（2）實(shí)數(shù)的性質(zhì)：實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a；實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是（a≠0）；實(shí)數(shù)a的絕對值|a|=，它的幾何意義是：在數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。（3）實(shí)數(shù)的大小比較法則：實(shí)數(shù)的大小比較的法則跟有理數(shù)的大小比較法則相同：即正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)；正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)正數(shù)，絕對值大的就大，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。（在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)）。對于一些帶根號的無理數(shù)，我們可以通過比較它們的平方或者立方的大小。（4）實(shí)數(shù)的運(yùn)算：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開方六種運(yùn)算。運(yùn)算法則和運(yùn)算順序與有理數(shù)的一致。例5.（1）下列說法正確的是（）；A、任何有理數(shù)均可用分?jǐn)?shù)形式表示；B、數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)一一對應(yīng)；C、1和2之間的無理數(shù)只有；D、不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)。（2）a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列各式有意義的是()b0a b0aA、B、C、D、（3）比較大小(填“>”或“<”).3，，，，（4）數(shù)的大小關(guān)系是()A. B.C. D.（5）將下列各數(shù)：，用“＜”連接起來；______________________________________。（6）若，且，則：=。（7）計(jì)算：（8）已知：，求代數(shù)式的值。6.（提高題）觀察下列等式：回答問題：①②③，……（1）根據(jù)上面三個(gè)等式的信息，請猜想的結(jié)果；（2）請按照上式反應(yīng)的規(guī)律，試寫出用n表示的等式，并加以驗(yàn)證。課后練習(xí)重點(diǎn)考查題型：一、考查題型：－1的相反數(shù)的倒數(shù)是已知｜a+3|+EQ\R(,b+1)＝0，則實(shí)數(shù)（a+b）的相反數(shù)數(shù)－3．14與－Л的大小關(guān)系是和數(shù)軸上的點(diǎn)成一一對應(yīng)關(guān)系的是和數(shù)軸上表示數(shù)－3的點(diǎn)A距離等于2．5的B所表示的數(shù)是在實(shí)數(shù)中Л,－EQ\F(2,5),0,EQ\R(,3),－3．14,EQ\R(,4)無理數(shù)有（）（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)7．一個(gè)數(shù)的絕對值等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，這樣的數(shù)是（）（A）非負(fù)數(shù)（B）非正數(shù)（C）負(fù)數(shù)（D）正數(shù)8．若x＜－3，則｜x＋3｜等于（）（A）x＋3（B）－x－3（C）－x＋3（D）x－39．下列說法正確是（）有理數(shù)都是實(shí)數(shù)（B）實(shí)數(shù)都是有理數(shù)帶根號的數(shù)都是無理數(shù)（D）無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù)10．實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖，比較下列每組數(shù)的大?。篶-b和d-abc和ad二、考點(diǎn)訓(xùn)練：*1．判斷題：（1）如果a為實(shí)數(shù)，那么－a一定是負(fù)數(shù)；（）（2）對于任何實(shí)數(shù)a與b,|a－b|=|b－a|恒成立；（）（3）兩個(gè)無理數(shù)之和一定是無理數(shù)；（）（4）兩個(gè)無理數(shù)之積不一定是無理數(shù)；（）（5）任何有理數(shù)都有倒數(shù)；（）（6）最小的負(fù)數(shù)是－1；（）（7）a的相反數(shù)的絕對值是它本身；（）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，則a－b=－1；（）2．把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里－|－3|，21．3，－1．234，－EQ\F(22,7),0，－EQ\R(,9),－EQ\R(3,\f(－1,8)),－EQ\F(Л,2),EQ\R(,8),(EQ\R(,2)－EQ\R(,3))0，3－2，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中無理數(shù)集合｛｝負(fù)分?jǐn)?shù)集合｛｝整數(shù)集合｛｝非負(fù)數(shù)集合｛｝*3．已知1<x<2，則|x－3|+EQ\R(,(1-x)2)等于（）（A）－2x（B）2（C）2x（D）－24．下列各數(shù)中，哪些互為相反數(shù)？哪些互為倒數(shù)？哪些互為負(fù)倒數(shù)？－3,EQ\R(,2)－1，3，－0．3，3－1，1+EQ\R(,2)，3EQ\F(1,3)互為相反數(shù)：互為倒數(shù)：互為負(fù)倒數(shù)：*5．已知ｘ、ｙ是實(shí)數(shù)，且（X－EQ\R(,2)）2和｜ｙ＋2｜互為相反數(shù)，求ｘ，y的值6.ａ,b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，m的絕對值是2，求EQ\F(|a+b|,2m2+1)+4m-3cd=。*7．已知EQ\F(（ａ－3ｂ）2＋｜ａ2－4｜,\R(,a+2))＝0，求ａ＋ｂ=。三、解題指導(dǎo)：1．下列語句正確的是（）（A）無盡小數(shù)都是無理數(shù)（B）無理數(shù)都是無盡小數(shù)（C）帶拫號的數(shù)都是無理數(shù)（D）不帶拫號的數(shù)一定不是無理數(shù)。2．和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)的數(shù)是（）（A）整數(shù)（B）有理數(shù)（C）無理數(shù)（D）實(shí)數(shù)3．零是（）最小的有理數(shù)（B）絕對值最小的實(shí)數(shù)（C）最小的自然數(shù)（D）最小的整數(shù)4.如果a是實(shí)數(shù)，下列四種說法：（1）ａ2和｜ａ｜都是正數(shù)，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是負(fù)數(shù)，（3）ａ的倒數(shù)是EQ\F(1,a)，（4）ａ和－ａ的兩個(gè)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，幾個(gè)是正確的（）（A）0（B）1（C）2（D）3*5．比較下列各組數(shù)的大小：EQ\F(3,4)EQ\F(4,5)(2)EQ\F(3,2)EQ\R(,3)EQ\R(,12)(3)a<b<0時(shí),EQ\F(1,a)EQ\F(1,b)6．若a,b滿足EQ\F(|4-a2|+\r(,a+b),a+2)=0,則EQ\F(2a+3b,a)的值是*7．實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖，其中O是原點(diǎn)，且|a|=|c|判定a+b,a+c,c-b的符號化簡|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8．?dāng)?shù)軸上點(diǎn)A表示數(shù)－1，若AB＝3，則點(diǎn)B所表示的數(shù)為9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"連結(jié)x，－x，－|y|，y。10．最大負(fù)整數(shù)、最小的正整數(shù)、最小的自然數(shù)、絕對值最小的實(shí)數(shù)各是什么？11．絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)、平方數(shù)、算術(shù)平方根、立方根是它本身的數(shù)各是什么？12．把下列語句譯成式子：（1）a是負(fù)數(shù)；（2）a、b兩數(shù)異號；（3）a、b互為相反數(shù)；（4）a、b互為倒數(shù)；(5)x與y的平方和是非負(fù)數(shù)；（6）c、d兩數(shù)中至少有一個(gè)為零；（7）a、b兩數(shù)均不為0。*13.數(shù)軸上作出表示EQ\R(,2)，EQ\R(,3)，－EQ\R(,5)的點(diǎn)。四．獨(dú)立訓(xùn)練：1．0的相反數(shù)是，3－л的相反數(shù)是，EQ\R(3,－8)的相反數(shù)是；－л的絕對值是，0的絕對值是，EQ\R(,2)－EQ\R(,3)的倒數(shù)是2．?dāng)?shù)軸上表示－3．2的點(diǎn)它離開原點(diǎn)的距離是。A表示的數(shù)是－EQ\F(1,2)，且AB＝EQ\F(1,3)，則點(diǎn)B表示的數(shù)是。－EQ\R(3,3),л,(1－EQ\R(,2))0,－EQ\F(22,7),0．1313…,－3－1,1．101001000…(兩1之間依次多一個(gè)0),中無理數(shù)有，整數(shù)有，負(fù)數(shù)有。4.若a的相反數(shù)是27，則｜a|＝；5．若|a|＝EQ\R(,2)，則a=5．若實(shí)數(shù)x，y滿足等式（x＋3）2＋｜4－y｜＝0，則x＋y的值是6．實(shí)數(shù)可分為（）（A）正數(shù)和零（B）有理數(shù)和無理數(shù)（C）負(fù)數(shù)和零（D）正數(shù)和負(fù)數(shù)*7．若2a與1－a互為相反數(shù)，則a等于（）（A）1（B）－1（C）EQ\F(1,2)（D）EQ\F(1,3)8．當(dāng)a為實(shí)數(shù)時(shí)，EQ\R(,a2)=－a在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)在（）(A)原點(diǎn)右側(cè)（B）原點(diǎn)左側(cè)（C）原點(diǎn)或原點(diǎn)的右側(cè)（D）原點(diǎn)或原點(diǎn)左側(cè)*9．代數(shù)式EQ\F(ａ,｜ａ｜)＋EQ\F(ｂ,｜ｂ｜)＋