屢教屢“錯(cuò)”08年度論文公開課

屢教屢“錯(cuò)”——對(duì)二次函數(shù)中利潤(rùn)問題的幾點(diǎn)思考小浦中學(xué)李乾花摘要：二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點(diǎn)，而二次函數(shù)的應(yīng)用更是這難點(diǎn)中的難點(diǎn)，因?yàn)樗麪可娴揭辉畏匠痰木C合運(yùn)用，需要較好的基礎(chǔ)，同時(shí)他還牽涉到數(shù)形結(jié)合思想與建模思想的滲透與運(yùn)用，需要較高的思維水平，所以說他是初中數(shù)學(xué)里的一塊難啃的硬骨頭。也正因?yàn)槿绱?，如何順利的突破這一關(guān)，把這塊難啃的硬骨頭啃掉是一件很有意義的事情。關(guān)鍵詞：有意義學(xué)習(xí)教學(xué)質(zhì)量積極性在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，存在著這樣一種現(xiàn)象：對(duì)同一類型的題目，教師在上課時(shí)講過，學(xué)生也練過，而且課堂上反饋上來(lái)的情況也不錯(cuò)，可是往往不到一個(gè)月，當(dāng)學(xué)生再次面對(duì)這類問題時(shí)，又是一頭霧水不知所措了，教師再講，學(xué)生再錯(cuò)。這種屢教屢“錯(cuò)”的現(xiàn)象對(duì)全面提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量影響極大，故而值得我們進(jìn)行深入的研究。一、案例再現(xiàn)在浙教版九（上）《二次函數(shù)》的教學(xué)中，常會(huì)遇到這樣一類利潤(rùn)問題：某超市銷售一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤(rùn)120元。為了擴(kuò)大銷售，增加利潤(rùn)，超市準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)。據(jù)測(cè)算，若每箱降價(jià)1元，每天可多售出2箱。問當(dāng)每箱降價(jià)多少元時(shí)，平均每天售出的飲料獲利最多？教師：設(shè)每箱降價(jià)元，平均每天售出飲料獲利為元。學(xué)生：哦！教師：為了幫助同學(xué)們理清題目中的各個(gè)量之間的關(guān)系，老師給出了下面的表格：每箱利潤(rùn)（元）銷售量（箱）原來(lái)120元100箱變化情況降價(jià)1元多售2箱降價(jià)元多售箱現(xiàn)在（120-）元（100+）箱學(xué)生：哦？教師：同學(xué)們理解了嗎？學(xué)生們紛紛點(diǎn)頭，于是教師決定趁熱打鐵，給出了下面的練習(xí)：某商店購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用商品，如果以單價(jià)30元銷售，那么半月內(nèi)可售出400件，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量減少，即銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件。如何提高售價(jià)，才能在半月內(nèi)獲得最大利潤(rùn)？學(xué)生的答題情況不是十分理想，有些同學(xué)對(duì)題中的數(shù)量關(guān)系還是不能理清，最后教師說：想想老師剛才是怎么解決的。于是同學(xué)們看到了表格，都嘗試著做了，幾分鐘以后幾乎每個(gè)同學(xué)都會(huì)分析解決這類問題了。在一個(gè)月后的期中練習(xí)中，也出現(xiàn)了類似的題目，在做試卷分析的時(shí)候不禁讓教師目瞪口呆，全班只有近17%的同學(xué)答對(duì)了該題！于是教師再耐心的講，直到學(xué)生都聽懂了為止，可過了一個(gè)星期后再做，還有近52%的同學(xué)做錯(cuò)。二、現(xiàn)象反思二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點(diǎn)，而二次函數(shù)的應(yīng)用更是這難點(diǎn)中的難點(diǎn)，因?yàn)樗麪可娴揭辉畏匠痰木C合運(yùn)用，需要較好的基礎(chǔ)，同時(shí)他還牽涉到數(shù)形結(jié)合思想與建模思想的滲透與運(yùn)用，需要較高的思維水平，是初中數(shù)學(xué)里的一塊難啃的硬骨頭。也正因?yàn)槿绱耍绾雾樌耐黄七@一關(guān)，把這塊難啃的硬骨頭啃掉是一件很有意義的事情。不可否認(rèn)，在上述案例中教師能將列表的方法引入，的確是一個(gè)很好的創(chuàng)新方法，他有助于學(xué)生對(duì)這類題目中各個(gè)量的變化進(jìn)行梳理，可是為什么一段時(shí)間以后學(xué)生解決問題的能力沒有提升反而又回到了原來(lái)的起點(diǎn)呢！這確實(shí)值得我們深思，我覺得主要有以下兩方面的原因。（一）客觀原因早在一百多年前，德國(guó)心理學(xué)家艾賓浩斯（Ebbinghaus,1885）就對(duì)這種現(xiàn)象進(jìn)行了研究，他認(rèn)為：學(xué)習(xí)后的不同時(shí)間里保持量是不同的，剛學(xué)完時(shí)保持量最大，在學(xué)后的短時(shí)間內(nèi)保持量急劇下降，然后保持量漸趨穩(wěn)定的下降，最后接近水平。[1]（二）主觀原因1.教師把需要高水平認(rèn)知的問題降格為只需要模仿和記憶的低層次問題[2]，并由此延伸出課堂教學(xué)呆板，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高。當(dāng)學(xué)生初次嘗試便遭遇大面積的失敗后，教師沒有繼續(xù)保持對(duì)學(xué)生高水平認(rèn)知的要求，促進(jìn)學(xué)生以有意義的方式進(jìn)行積極的思考與推理，而是迅速降低了對(duì)學(xué)生的思維要求，通過讓學(xué)生“想想老師剛才是怎么解決的”把解決問題的方法“喂”給了學(xué)生。這樣就扼殺了學(xué)生進(jìn)一步思考的興趣，他們只會(huì)模仿和記憶，不會(huì)獨(dú)立的去思考去探究，因?yàn)槔蠋煏?huì)告訴我們方法的，久而久之就使學(xué)生養(yǎng)成了依賴的習(xí)慣，對(duì)于學(xué)習(xí)也沒有了興趣。2.教師的教學(xué)行為沒有建立在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。在上述案例中，教師只是把自己認(rèn)為可行的方法“灌”給了學(xué)生，而沒有去激活學(xué)生原有的與此相關(guān)的知識(shí)和方法，這樣就失去了培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移能力的寶貴機(jī)會(huì)，這樣也失去了發(fā)展學(xué)生有意義數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。奧蘇伯爾認(rèn)為，在認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，是否有適當(dāng)?shù)钠鸸潭ㄗ饔玫挠^念可以利用，這是影響有意義學(xué)習(xí)與保持的第一個(gè)重要的認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量[2]。事實(shí)上，教師完全可以讓學(xué)生回憶浙教版八（下）第二章一元二次方程中的利潤(rùn)問題。而上述案例中的做法完全脫離了學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，致使新知不能與原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)融為一體進(jìn)而生成更穩(wěn)定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，他們習(xí)得的只是一些膚淺的、機(jī)械的、間斷的數(shù)學(xué)理解。這樣就達(dá)不到長(zhǎng)時(shí)記憶的效果，更不要說能力的提升了。3.教師組織的教學(xué)活動(dòng)沒有引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷高層次的學(xué)習(xí)過程，也沒有幫助他們獲得高水平的思維成效[2]。由于教師所謂的“時(shí)間觀念”和包辦心理，以及由此衍生的簡(jiǎn)單化、公式化、套路化的教學(xué)模式，造成學(xué)生的認(rèn)識(shí)活動(dòng)只能與具體的問題建立起某種表面上的聯(lián)系，而與潛在的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)相去甚遠(yuǎn)。在經(jīng)歷了此番教學(xué)過程后的學(xué)生，他們對(duì)知識(shí)的建構(gòu)仍停留在“知其然，而不知其所以然”的層次上，有意義的活動(dòng)并沒有在課堂上發(fā)生。只要解決任務(wù)的某些因素稍有變動(dòng)，他們就會(huì)變得不知所措，只能回到講評(píng)前的老路上去。對(duì)他們來(lái)講知識(shí)只是建構(gòu)在表面，而非真正的理解。4.教師對(duì)練習(xí)的設(shè)計(jì)偏簡(jiǎn)單，沒有按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。要讓學(xué)生較快較好的學(xué)好數(shù)學(xué)，還必須遵循“認(rèn)知心理學(xué)”的規(guī)律。認(rèn)知心理學(xué)的觀點(diǎn)告訴我們?nèi)藗円莆漳骋恢R(shí)，必須經(jīng)歷感知、認(rèn)識(shí)、再現(xiàn)、再認(rèn)識(shí)、鞏固等心理過程[3]。對(duì)于上述案例，教師在上課之前可設(shè)計(jì)某些具有啟發(fā)性、階梯性的練習(xí)來(lái)幫助學(xué)生回憶起以前相關(guān)的知識(shí)，在分析到位后設(shè)計(jì)一組有針對(duì)性的練習(xí)，課后再設(shè)計(jì)一組具有鞏固性和拓展性的練習(xí)。使學(xué)生知道知識(shí)間橫向、縱向的聯(lián)系，從而擺脫了簡(jiǎn)單的模仿與記憶的模式，培養(yǎng)了學(xué)生舉一反三的能力。三、應(yīng)對(duì)策略在經(jīng)歷了上述的反思之后，我覺得可對(duì)上述案例作如下的改進(jìn)：1.加強(qiáng)與已有知識(shí)的聯(lián)系，讓學(xué)生覺得既親切又好奇同時(shí)還具有挑戰(zhàn)。根據(jù)奧蘇伯爾的理論，新的知識(shí)最好能與以前所學(xué)的知識(shí)相聯(lián)系，這樣知識(shí)就好比是雪球，越滾越大，而且學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)也覺得輕松，不需要另起爐灶，只需要在原來(lái)的基礎(chǔ)上進(jìn)行一定的變化就可以了。比如可在上新課之前做一做這樣的熱身練習(xí)：某超市銷售一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤(rùn)120元。為了擴(kuò)大銷售，增加利潤(rùn)，超市準(zhǔn)備適當(dāng)降價(jià)。據(jù)測(cè)算，若每箱降價(jià)1元，每天可多售出2箱。（1）若每箱降價(jià)3元，則該超市每天銷售飲料獲利多少元？（2）設(shè)每箱降價(jià)元時(shí)，平均每天銷售飲料獲利元，求與的函數(shù)關(guān)系式。（3）當(dāng)每箱降價(jià)多少元時(shí)，每天銷售飲料獲利最多？2.學(xué)習(xí)過程倡導(dǎo)以學(xué)生的自主探索為主，教師的引導(dǎo)為輔。全國(guó)著名教育家魏書生先生就說過，凡是學(xué)生能夠做的事老師就不要不放心，放手讓學(xué)生去做吧。事實(shí)上也確實(shí)是這樣，對(duì)于學(xué)生們會(huì)做的事情，老師為什么還要面面俱到呢，學(xué)生也覺得沒勁，明明我們可以做的事情老師為什么還要“搶”著做啊？到不如就讓他們自己完成，反而可以提高他們學(xué)習(xí)的積極性，加深對(duì)知識(shí)的理解。比方說對(duì)于上述的（1）教師可鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，對(duì)于（2）教師可鼓勵(lì)學(xué)生積極探索，在（2）的基礎(chǔ)之下（3）也就水到渠成了。在這個(gè)過程中教師只需起到一個(gè)引導(dǎo)者和合作者的作用就可以了，因?yàn)橐玫闹R(shí)學(xué)生都已學(xué)過，接下來(lái)就是教師如何組織學(xué)生利用已有的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問題了。3.結(jié)合實(shí)際，加強(qiáng)引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生理解。在解決上述問題的過程中，教師例舉用列表法來(lái)完成對(duì)知識(shí)的梳理，這確實(shí)是個(gè)不錯(cuò)的方法，但是教師也需要注意，不能機(jī)械的呆板的直接拿出一張表格，而是在講解時(shí)很自然的水到渠成的給出來(lái)，使之既能與原有的知識(shí)融為一體又能促進(jìn)對(duì)現(xiàn)學(xué)方法的理解與運(yùn)用。同時(shí)教師還要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)方法與思想的總結(jié)與滲透，這樣也便于學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上的更好的記憶。4.教師可設(shè)計(jì)有梯度、層次感強(qiáng)又具有豐富背景與挑戰(zhàn)性的練習(xí)。在完成前面的三個(gè)步驟之后可設(shè)計(jì)下面的練習(xí)來(lái)鞏固學(xué)習(xí)成果：（1）某旅社有客房120間，當(dāng)每間房的日租金為50元時(shí)，每天都客滿。旅社裝修后，要提高租金，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，如果一間客房日租金增加5元，則客房每天出租數(shù)就會(huì)減少6間，不考慮其他因素，旅社將每間客房日租金到多少元時(shí)，客房的總收入最大？比裝修前客房日租金總收入增加多少元？（2）某飲料經(jīng)營(yíng)部每天的固定成本為200元，其銷售的飲料每瓶進(jìn)價(jià)為5元。銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如下：銷售單價(jià)（元）6789101112日均銷售量（瓶）480440400360320280240①若記銷售單價(jià)比每瓶進(jìn)價(jià)多元時(shí)，日均毛利潤(rùn)（毛利潤(rùn)=售價(jià)－進(jìn)價(jià)－固定成本）為元，求關(guān)于的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；②若要使日均毛利潤(rùn)達(dá)到最大，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元（精確到0.1元）？最大日均毛利潤(rùn)為多少元？（3）利達(dá)經(jīng)銷店為為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理），當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸，該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加7.5噸，綜合考慮各種因素，每售出1噸建筑材料共需支付廠家及其他費(fèi)用100元。設(shè)每噸材料售價(jià)為元，該經(jīng)銷店的月利潤(rùn)為元。①當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；②求出與的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出的取值范圍）；③該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？④小靜說：“當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷售額也最大?！蹦阏J(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說明理由。四、一點(diǎn)思考綜上，通過對(duì)上述二次函數(shù)利潤(rùn)問題屢教屢“錯(cuò)”的原因分析和解決策略可以知道，在教學(xué)中要充分利用學(xué)生已有的知識(shí)，活化數(shù)學(xué)課堂，設(shè)計(jì)符合學(xué)生發(fā)展現(xiàn)狀的練習(xí)，這必將對(duì)新課程下以豐富學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展他們的應(yīng)用能力為基點(diǎn)的函數(shù)教學(xué)起到了良好的導(dǎo)向作用。我國(guó)科學(xué)家王菊珍對(duì)待實(shí)驗(yàn)失敗有句格言，叫做“干下去還有50％成功的希望，不干便是100％的失敗?！痹谖覀兊慕虒W(xué)實(shí)踐中，難免會(huì)遇到這種屢教屢“錯(cuò)”的現(xiàn)