實驗二-快速傅里葉變換(FFT)及其應用

《數(shù)字信號處理》課程〔2023-2023學年第1學期〕成績：實驗二快速傅里葉變換〔FFT〕及其應用學生姓名：閆春遐所在院系：電子信息工程學院自動化系年級專業(yè)：2023級自動化系學號：00824049指導教師：王亮完成日期：2023年9月27日實驗二快速傅里葉變換〔FFT〕及其應用一、實驗目的〔1〕在理論學習的根底上，通過本實驗，加深對FFT的理解，熟悉MATLAB中的有關函數(shù)。〔2〕應用FFT對典型信號進行頻譜分析。〔3〕了解應用FFT進行信號頻譜分析過程可能出現(xiàn)的問題，以便在實際中正確應用FFT?！?〕應用FFT實現(xiàn)序列的線性卷積和相關。二、實驗內容實驗中用到的信號序列：高斯序列衰減正弦序列三角波序列反三角波序列上機實驗內容：〔1〕觀察高斯序列的時域和幅頻特性，固定信號中參數(shù)，改變的值，使分別等于2、4、8，觀察他們的時域和幅頻特性，了解當取不同值時，對信號的時域和幅頻特性的影響；固定，改變，使分別等于8、13、14，觀察參數(shù)變化對信號序列的時域及幅頻特性的影響，注意等于多少時，會發(fā)生明顯的泄漏現(xiàn)象，混疊是否也隨之出現(xiàn)？記錄實驗中觀察到的現(xiàn)象，繪出相應的時域序列和幅頻特性曲線。解答:>>n=0:1:15;>>xn=exp(-(n-8).^2/2);>>subplot(1,2,1);stem(n,xn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)');>>xk1=fft(xn);xk1=abs(xk1);>>subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');>>xn=exp(-(n-8).^2/4);>>subplot(1,2,1);stem(n,xn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)');>>xk1=fft(xn);xk1=abs(xk1);>>subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');>>xn=exp(-(n-8).^2/8);>>subplot(1,2,1);stem(n,xn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)');>>xk1=fft(xn);xk1=abs(xk1);>>subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');>>xn=exp(-(n-13).^2/8);>>subplot(1,2,1);stem(n,xn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)');>>xk1=fft(xn);xk1=abs(xk1);>>subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');>>xn=exp(-(n-14).^2/8);>>subplot(1,2,1);stem(n,xn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)');>>xk1=fft(xn);xk1=abs(xk1);>>subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');隨著q值的增大，時域信號幅值變化緩慢，頻域信號頻譜泄露程度減小。隨著p的增大，時域信號幅值不變，會在時間軸移位。〔2〕觀察衰減正弦序列的時域和幅頻特性，，，檢查普峰出現(xiàn)的位置是否正確，注意頻譜的形狀，繪出幅頻特性曲線，改變，使分別等于0.4375和0.5625，觀察這兩種情況下，頻譜的形狀和普峰出現(xiàn)的位置，有無混疊和泄漏現(xiàn)象？說明產生現(xiàn)象的原因。解答：>>n=0:1:15;>>xn=exp(-0.1*n).*sin(2*pi*0.0625*n);>>subplot(1,2,1);stem(n,xn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)');>>xk1=fft(xn);xk1=abs(xk1);>>subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');>>xn=exp(-0.1*n).*sin(2*pi*0.4375*n);>>subplot(1,2,1);stem(n,xn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)');>>xk1=fft(xn);xk1=abs(xk1);>>subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');>>xn=exp(-0.1*n).*sin(2*pi*0.5625*n);>>subplot(1,2,1);stem(n,xn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)');>>xk1=fft(xn);xk1=abs(xk1);>>subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');〔3〕觀察三角波和反三角波的時域和幅頻特性，用點FFT分析信號序列和的幅頻特性，觀察兩者的序列形狀和頻譜曲線有什么異同？繪出兩序列及其幅頻特性曲線。在和末尾補零，用點FFT分析這兩個信號的幅頻特性，觀察幅頻特性發(fā)生了什么變化？兩種情況下的FFT頻譜還有相同之處嗎？這些變化說明了什么？解答：>>forn=0:1:3xcn(n+1)=n;end;>>forn=4:1:7xcn(n+1)=8-n;end;>>xcnxcn=01234321>>n=0:1:7;>>subplot(1,2,1);stem(n,xcn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)');>>xk1=fft(xcn);xk1=abs(xk1);>>subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');>>forn=0:1:3xdn(n+1)=4-n;end;>>forn=4:1:7xdn(n+1)=n-4;end;>>xdnxdn=43210123>>n=0:1:7;>>subplot(1,2,1);stem(n,xdn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)');>>xk1=fft(xdn);xk1=abs(xk1);>>subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');>>xcn=[xcn,zeros(1,24)];>>n=0:1:31;>>subplot(1,2,1);stem(n,xcn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)');>>xk1=fft(xcn);xk1=abs(xk1);>>subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');>>xdn=[xdn,zeros(1,24)];>>n=0:1:31;>>subplot(1,2,1);stem(n,xdn);xlabel('t/T');ylabel('x(n)');>>xk1=fft(xdn);xk1=abs(xk1);>>subplot(1,2,2);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');時，和的幅頻特性相同，在和末尾補零，用點FFT分析這兩個信號的幅頻特性時，它們還有相同之處，即當取4的整數(shù)倍時對應幅值相等。分析：點FFT分析信號的幅頻特性：點FFT分析信號的幅頻特性：由上兩式可知，當k2=4k1時，兩個信號的對應頻率幅值相等，即對信號末尾補零加長整數(shù)個周期可以對原信號到達細化頻譜的作用?！?〕一個連續(xù)時間信號含兩個頻率分量，經采樣得，分別為1/16和1/64，觀察其頻譜；當時，不變，其結果有何不同，為什么？解答：>>n=0:1:15;>>x1n=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+1/16)*n);>>xk1=fft(x1n);xk1=abs(xk1);>>subplot(1,2,1);stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');legend('f=1/16');>>x2n=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+1/64)*n);>>xk2=fft(x2n);xk2=abs(xk2);>>subplot(1,2,2);stem(n,xk2);xlabel('k');ylabel('X(k)');legend('f=1/64');>>n=0:1:127;>>x1n=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+1/16)*n);>>xk1=fft(x1n);xk1=abs(xk1);>>stem(n,xk1);xlabel('k');ylabel('X(k)');legend('f=1/16');>>x2n=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+1/64)*n);>>xk2=fft(x2n);xk2=abs(xk2);>>stem(n,xk2);xlabel('k');ylabel('X(k)');legend('f=1/64');分析：由于離散傅里葉變換的選頻性質：當不等于整數(shù)時，那么信號頻譜會發(fā)生泄漏?！?〕用FFT分別計算〔〕和〔〕的16點循環(huán)卷積和線性卷積。解答：>>n=0:1:15;>>xan=exp(-(n-8).^2/2);>>xbn=exp(-0.1*n).*sin(2*pi*0.0625*n);>>subplot(4,1,1);stem(n,xan);xlabel('n');ylabel('xa(n)');>>subplot(4,1,2);stem(n,xbn);xlabel('n');ylabel('xb(n)');>>xak=fft(xan);xbk=fft(xbn);x1k=xak.*xbk;>>x1n=ifft(x1k);>>subplot(4,1,3);stem(n,x1n);xlabel('n');ylabel('x1(n)');legend('循環(huán)卷積');>>x2n=conv(xan,xbn);>>m=0:1:length(x2n)-1;>>subplot(4,1,4);stem(m,x2n);xlabel('n');ylabel('x2(n)');legend('線性卷積');〔6〕產生一512點的隨機序列，并用和做線性卷積，觀察卷積前后頻譜的變化。要求將分成8段，分別采用重疊相加法和重疊保存法。解答：在編輯調試窗中編寫程序：functionyy=xeni(N2,xen,i)forn=N2*i:1:N2*(i+1)-1xeni(n-N2*i+1)=xen(n+1);endyy=xeni;將上述文件存盤，文件名為xeni.m。functionyy=xenni(N1,N2,xen,i)forn=N2*i:1:N1+N2*(i+1)-2xeni(n-N2*i+1)=xen(n+1);endyy=xeni;將上述文件存盤，文件名為xenni.m。functiont=shiftmm(a,n)m=length(n);fori=1:1:a;forj=m+i-1:-1:1n(j+1)=n(j);end;end;fori=1:1:an(i)=0;end;t=n;將上述文件存盤，文件名為shiftmm.m。退回到指令窗：>>xcn=[01234321];xen=rand(1,512);>>qqqqq=conv(xcn,xen);>>stem([0:1:518],qqqqq);xlabel('n');ylabel('幅度');>>N1=length(xcn);N2=length(xen)/8;>>xcn=[xcnzeros(1,N2-1)];>>xck=fft(xcn);>>fori=1:1:8xenii=xeni(N2,xen,i-1);xenii=[xeniizeros(1,N1-1)];xeki=fft(xenii);yki=xck.*xeki;yni=ifft(yki);y(i,:)=yni;end;>>fori=0:1:7forj=0:1:i*N2-1ynii(i+1,[0+1:1:i*N2-1+1])=0;end;forj=i*N2:1:N1+(i+1)*N2-2ynii(i+1,[i*N2+1:1:N1+(i+1)*N2-2+1])=y(i+1,:);end;forj=N1+(i+1)*N2-1:1:N1+8*N2-2ynii(i+1,[N1+(i+1)*N2-1+1:1:N1+8*N2-2+1])=0;end;end;>>yn=zeros(1,N1+8*N2-1);>>fori=1:1:8yn=yn+ynii(i,:);end;>>n=0:1:N1+8*N2-2;>>stem(n,yn);xlabel('n');ylabel('幅度');legend('重疊相加法');>>xen21=shiftmm(N1-1,xen);>>fori=1:1:8xen2i(i,:)=xenni(N1,N2,xen21,i-1);end;>>fori=1:1:8xek2i=fft(xen2i(i,:));yk2i=xck.*xek2i;yn2i=ifft(yk2i);y2(i,:)=yn2i;;end;>>y2(:,1:N1-1)=[;;;;;;;;];>>n2=0:1:8*N2-1;>>stem(n2,[y2(1,:)y2(2,:)y2(3,:)y2(4,:)y2(5,:)y2(6,:)y2(7,:)y2(8,:)]);xlabel('n');ylabel('幅度');legend('重疊保存法');〔7〕用FFT分別計算〔〕和〔〕的16點循環(huán)相關和線性相關，問一共有多少種結果，它們之間有何異同點。解答：1〕求線性相關>>n=0:1:15;>>xan=exp(-(n-8).^2/2);>>xbn=exp(-0.1*n).*sin(2*pi*0.0625*n);>>k=length(xbn);>>xan1=[xanzeros(1,k-1)];>>xbn1=[xbnzeros(1,k-1)];>>xak=fft(xan1);>>xbk=fft(xbn1);>>rm=real(ifft(conj(xak).*xbk));>>rm1=[rm(k+1:2*k-1)rm(1:k)];>>m=(-k+1):(k-1);>>