專題02 二次函數(shù)與一元二次方程重難點題型專訓（6大題型）（解析版）

專題02二次函數(shù)與一元二次方程重難點題型專訓（6大題型）【題型目錄】題型一求拋物線與x、y軸的交點坐標題型二由二次函數(shù)解一元二次方程題型三由二次函數(shù)的圖象求不等式的解集題型四拋物線交點問題的綜合題型五根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應方程根的情況題型六求x軸與拋物線的截線長【知識梳理】知識點：二次函數(shù)與一元二次方程1.當二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點時，，方程有兩個不相等的實根。2.當二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點時，，方程有兩個相等的實根。3.當二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點時，，方程沒有實根。二次函數(shù)的圖象與軸的位置關系有三種情況:①沒有公共點;②有一個公共點;③有兩個公共點，這對應著一元二次方程的根的三種情況:①有實數(shù)根，此時△＜0;②有兩個相等的實數(shù)根，此時△=0;③有兩個不相等的實數(shù)根，此時△＞0.(2)解決函數(shù)圖象過定點問題，一般方法是函數(shù)解析式中所含字母的項的和為0時，則函數(shù)值不受字母的影響，據(jù)此可求圖象經(jīng)過的定點坐標.(3)拋物線中三角形面積的最值問題，一般先設出動點的坐標，然后用其表示相關線段的長度，再利用三角形的面積公式構造新的函數(shù)關系式來確定最值.在將點的坐標轉(zhuǎn)化為線段的長度時，要注意符號的轉(zhuǎn)換.知識點：二次函數(shù)與不等式判別式拋物線與x軸的交點不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無解△＜0全體實數(shù)無解【經(jīng)典例題一拋物線與x、y軸的交點坐標】1．（2023秋·河北邯鄲·九年級邯鄲市第二十三中學?？茧A段練習）拋物線與x軸的兩個交點之間的距離是（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】由，得兩個交點為，求得距離為．【詳解】解：，∴拋物線與x軸的兩個交點為．∴兩個交點之間的距離為．故選：A【點睛】本題考查二次函數(shù)兩點式解析式，二次函數(shù)與方程的聯(lián)系，數(shù)軸上兩點間的距離；理解方程與函數(shù)的關系是解題的關鍵．2．（2023秋·安徽宣城·九年級?？茧A段練習）如圖，點的坐標分別為和，拋物線的頂點在線段上運動(拋物線隨頂點一起平移)，與軸交于兩點(在的左側(cè)，且兩點間距個單位長度)，點的橫坐標最小值為，則點的橫坐標最大值為(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】當拋物線經(jīng)過點時，與軸的交點的橫坐標是最小值，所以把點坐標和代入可以，再把點坐標代入，求出與軸的交點就是點的橫坐標的最大值．【詳解】拋物線過點時，與軸的交點的橫坐標是最小值，，，拋物線過點時，與軸的交點的橫坐標是最大值，，，，的橫坐標是，故選B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關鍵是通過數(shù)形結合觀察到圖象過點時，的橫坐標是最小值，過點時，的橫坐標是最大值．3．（2023秋·河北滄州·九年級校考階段練習）在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于，兩點，且點在點的左側(cè)．（1）點的坐標為；（2）當時，拋物線的最小值為，則的值為.【答案】1或【分析】（1）令，且結合，以及點在點的左側(cè)即可作答；（2）分和兩種情況進行談論，得出最小值且結合題意，解方程即可列式作答求解．【詳解】解：（1）由題意得：令，則，解得：，，∵點在點的左側(cè)，∴點的坐標為；（2）由（1）知點的坐標為，點的坐標為；∴拋物線的對稱軸為直線，當時，拋物線開口向上，當時，最小值為，∵當時，拋物線的最小值為，∴，∴；當時，拋物線開口向下，當有最大值，∵，，且；∴當時，離對稱軸較遠，故在時，拋物線取得最小值，即，解得；所以的值為1或．故答案為：；1或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點，二次函數(shù)的對稱軸和最值問題，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．4．（2023秋·吉林長春·九年級長春市解放大路學校?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，拋物線（b為常數(shù)）經(jīng)過點且與y軸交于點B，點C在該拋物線上，橫坐標為，將該拋物線B，C兩點之間（包括B，C兩點）的部分記為圖象G．

(1)求此拋物線對應的二次函數(shù)表達式；(2)當時，二次函數(shù)的最大值是________，最小值是________；(3)圖象G的最大值與最小值的差為3時，求m的值；(4)拋物線（b為常數(shù)）與x軸的另一交點為D，若點M在拋物線上，且在x軸下方，點N為x軸上一動點，當以B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出點N的坐標．【答案】(1)(2)4，(3)或(4)，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)，可得當時，y取最大值，最大值為4，再根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)可得，當時，時，y取最小值，即可求解；（3）設，分類討論：當，當時，當時，當時，分別進行求解即可；（4）先求出、，設，，利用中點坐標公式列方程組，進行求解即可．【詳解】（1）解：將點代入得，，解得，∴拋物線解析式為；（2）解：∵，∴對稱軸為，∴當時，y取最大值，最大值為4，當時，，∴當時，二次函數(shù)的最大值是4，最小值是，故答案為：4，；（3）解：設，當，即時，∴，解得，（舍），當時，則，∴，，∴方程無解，當時，則，∴，，當時，則，∴，解得，（舍），綜上所述，或；（4）解：∵拋物線對稱軸為，，∴，∴，∴，當時，，∴，設，，如圖，解得或．

【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與坐標軸的交點、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及中點坐標公式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的關鍵．【經(jīng)典例題二由二次函數(shù)解一元二次方程】1、（2023秋·山東淄博·九年級?？计谀┮阎魏瘮?shù)（a，k，h均為常數(shù)）的圖象與x軸的交點的橫坐標分別為和5，則關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律可得y向左平移2個單位長度得到，即可得出與x軸的交點橫坐標，即可進行解答．【詳解】解：設二次函數(shù)，∵，∴y向左平移2個單位長度得到，∵二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點的橫坐標分別為和5，∴二次函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標分別為和3，∴一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是，故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，以及二次函數(shù)與一元二次方程的關系，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，以及二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標的值等于所對應一元二次方程的根．2．（2022秋·湖北武漢·九年級湖北省水果湖第一中學校考期中）拋物線的圖象經(jīng)過點，則關于x的一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線經(jīng)過點兩點可得，方程的解為或3，整理可得，進而得到或3，求出x的值即可的解．【詳解】解：由題意可知，拋物線與x軸的交點為A、B兩點，∴方程的解為或3，整理關于x的一元二次方程可得，，∴或3，解得，故選A．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關系，解題的關鍵是將變形為后得到或3．3．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點．若關于的一元二次方程（為實數(shù)）在的范圍內(nèi)有實數(shù)根，則的取值范圍為______.【答案】【分析】利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再根據(jù)將一元二次方程的實數(shù)根可以看作與函數(shù)的有交點，結合圖象，在的范圍確定y的取值范圍即可求解．【詳解】∵拋物線經(jīng)過點，∴，解得：，∴拋物線解析式為．一元二次方程的實數(shù)根可以看作與函數(shù)的有交點，如圖，當時，．∵方程在的范圍內(nèi)有實數(shù)根，即函數(shù)的圖象在的范圍內(nèi)與的圖象有交點，∴．故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；能夠?qū)⒎匠痰膶崝?shù)根問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)與直線的交點問題，從而借助數(shù)形結合解題是關鍵．4．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考一模）閱讀材料：材料1．已知實數(shù)m、n滿足，且，求的值．解：由題意知m、n是方程的兩個不相等的實數(shù)根，得，∴材料2．如圖，函數(shù)的圖像，是一條連續(xù)不斷的拋物線，因為當時，；當時，．可知拋物線與x軸的一個交點的橫坐標在0與1之間．所以方程的一個根所在的范圍是．根據(jù)上述材料解決下面問題：

(1)已知實數(shù)m、n滿足，，且，求的值．(2)已知實數(shù)p、q滿足，，，且，求的值．(3)若關于x的一元二次方程的一個根大于2，另一個根小于2，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）仿照材料1的方法，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行即可；（2）由變形得，仿照材料1的方法，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行即可；（3）考慮二次函數(shù)，由題意知當時，，即可求得m的取值范圍．【詳解】（1）解：由題意知m、n是方程的兩實數(shù)解，∴，，∴；（2）解：由，得，由，得，且則與為方程的兩實數(shù)解，∴，∴．（3）解：∵一元二次方程的一個根大于2，另一個根小于2，∴令，∴當時，，解得，．【點睛】本題是材料問題，考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，解不等式，求代數(shù)式的值等知識，理解題中材料解決問題的方法是問題的關鍵．【經(jīng)典例題三由二次函數(shù)的圖象求不等式的解集】1、（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·?？家荒＃┮阎P于的一元二次方程的一個根為，二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為，則關于的不等式的解為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】首先設拋物線的表達式為：，把代入，即可求得拋物線的表達式，再由不等式得，聯(lián)立和并解得，根據(jù)函數(shù)圖象即可求得．【詳解】解：設拋物線的表達式為：，由題意知，當時，，解得：，故拋物線的表達式為：，將不等式整理為：，聯(lián)立和并解得：，故時，函數(shù)在之上，即，故選：D．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)與不等式((組))和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關鍵是確定函數(shù)圖象的交點，根據(jù)交點處圖象之間的位置關系，確定不等式的解．2．（2023·山東東營·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線和直線都經(jīng)過點，拋物線的對稱軸為，那么下列說法正確的是（

）A． B．C． D．是不等式的解【答案】D【分析】由圖象可得信息，，，，直接可以判斷A和B是錯誤的；由和直線都經(jīng)過點，得到，，可以判斷C是錯誤的；由對稱軸為，，當時，，可以判斷D正確；【詳解】解：由圖象可知，，∴，故A錯誤；由圖象得知拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴，故B錯誤；∵過點，∴，∵過點，∴，∴，故C錯誤；∵對稱軸為，∴，∴，∴，∴，∴，當時，，由圖象可知，，∴，即；故D正確；故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象；熟悉二次函數(shù)圖象的特點，能夠通過圖象直接獲取信息，結合題中給出條件進行推斷．3．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）拋物線開口向上，且過，下列結論中正確的是_________（填序號即可）．①若拋物線過，則；②若，則不等式的解為；③若，、為拋物線上兩點，則時；④若拋物線過，且，則拋物線的頂點一定在的下方．【答案】①③④【分析】①由拋物線過和，則對稱軸為直線，故，①對；②由得，拋物線對稱軸為直線，拋物線過和，由圖象得不等式的解為，②錯；③設拋物線與x軸的另一個交點為，由得，，得，則對稱軸在直線左邊，由，可得，③對；④由得頂點坐標為，由得，，④對；【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過和，∴拋物線對稱軸為直線，∴，∴，即，故①正確；∵，∴拋物線對稱軸為直線，∴拋物線經(jīng)過和，∵拋物線開口向上，∴當時，拋物線的函數(shù)圖象在直線的函數(shù)圖象下方，即此時，故②錯誤；設拋物線與x軸的另一個交點為，∵拋物線開口向上，∴，∵，∴，∴，∴，∴拋物線對稱軸在直線左邊，∵，∴，故③正確；∵拋物線經(jīng)過，，∴拋物線對稱軸為直線，拋物線解析式為，∴頂點坐標為，∵，∴，∴，∴，∴拋物線的頂點一定在的下方，故④正確；故答案為：①③④．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式，熟知二次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵．4．（2023·廣東深圳·深圳市福田區(qū)北環(huán)中學?？级＃┱堥喿x下列解題過程：解一元二次不等式：．解：設，解得：，，則拋物線與軸的交點坐標為和．畫出二次函數(shù)的大致圖象（如圖所示）．由圖象可知：當時函數(shù)圖象位于軸下方，此時，即．所以一元二次不等式的解集為：．

通過對上述解題過程的學習，按其解題的思路和方法解答下列問題：(1)上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學思想中的_________和_________（只填序號）①轉(zhuǎn)化思想；②分類討論思想；③數(shù)形結合思想．(2)用類似的方法解一元二次不等式：．(3)某“數(shù)學興趣小組”根據(jù)以上的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整：①自變量的取值范圍是___________；與的幾組對應值如表，其中___________．…401234……50010…②如圖，在直角坐標系中畫出了函數(shù)的部分圖象，用描點法將這個圖象補畫完整．③結合函數(shù)圖象，解決下列問題：解不等式：

【答案】(1)①，③(2)(3)①全體實數(shù)；；②見解析；③或或【分析】（1）根據(jù)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結合思想解答，即可；（2）依照例題，先求得的解，再畫出的草圖，觀察圖象即可求解；（3）①當時，代入數(shù)據(jù)求解即可；②描點，連線，即可畫出函數(shù)圖象；③觀察圖象即可求解．【詳解】（1）解：上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學思想中的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結合思想；故答案為：①，③（2）解：，設，解得：，，則拋物線與軸的交點坐標為和．畫出二次函數(shù)的大致圖象（如圖所示）．

由圖象可知：當時函數(shù)圖象位于軸上方，此時，即．所以一元二次不等式的解集為：；（3）解：①自變量的取值范圍是全體實數(shù)；當時，，即列表；…01234……50010…故答案為：全體實數(shù)；；②描點，連線，函數(shù)圖象如圖：

③由圖象可知；由圖象可知：當或或時函數(shù)的圖象位于與0之間，此時，即．一元二次不等式的解集為：或或．故答案為：或或．【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點，一元二次不等式的解法，數(shù)形結合的思想方法，本題是閱讀型題目，理解題干中的解題的思想方法并熟練運用是解題的關鍵．【經(jīng)典例題四拋物線交點問題的綜合】1．（2023秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）已知函數(shù)與x軸有交點，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【答案】C【分析】利用二次函數(shù)的定義和判別式的意義得到且，然后求出兩個不等式的公共部分即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，且，解得且．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系：對于二次函數(shù)，拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：時，拋物線與x軸有2個交點；時，拋物線與x軸有1個交點；時，拋物線與x軸沒有交點．2．（2022春·湖南益陽·九年級?？甲灾髡猩┒魏瘮?shù)的圖象與軸的兩個交點為與，函數(shù)的圖象與軸的兩個交點為與，若，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】由交點式二次函數(shù)關系可求得，進而可求得，，結合，可求解．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點為與，，，函數(shù)的圖象與軸的兩個交點為與，，，，即，，，∴，，故選：D．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，根據(jù)拋物線與x軸的交點求解函數(shù)關系式是解題的關鍵．3．（2023春·廣東深圳·九年級深圳中學?？甲灾髡猩┤魭佄锞€的圖象與x軸僅一個交點，則的值為．【答案】101【分析】由拋物線的圖象與x軸僅一個交點，可得，則，解得：，然后根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：∵拋物線的圖象與x軸僅一個交點，∴，∴，解得：，∴，故答案為：101．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的綜合，一元二次方程根的判別式，代數(shù)式求值．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．4．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考階段練習）已知關于x的二次函數(shù)．(1)求證：此拋物線與x軸總有交點；(2)若此拋物線與x軸有兩個交點，且交點的橫坐標都是整數(shù)，m是正整數(shù)，求m的值．【答案】(1)見解析(2)1【分析】（1）令，使得二次函數(shù)變?yōu)橐辉畏匠?，然后求出方程中判別式的值，即可證明結論；（2）令，使得二次函數(shù)變?yōu)橐辉畏匠蹋缓髮Ψ匠谭纸庖蚴?，又因此二次函?shù)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù)，從而可以求得符合要求的正整數(shù)m的值．【詳解】（1）證明：∵，∴．∴此拋物線與x軸總有交點；（2）解：令，則，所以或，解得，，因為拋物線與x軸有兩個交點，交點的橫坐標都是整數(shù)，m是正整數(shù)所以m為1．【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點和解一元一次方程，解決本題的關鍵是設出兩交點的坐標．【經(jīng)典例題五根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應方程根的情況】1．（2023秋·北京·九年級北京市陳經(jīng)綸中學?？茧A段練習）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法正確的個數(shù)有（

）①

②③

④方程有兩個不相等的實數(shù)根．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】特殊點判斷①；拋物線的開口方向，對稱軸，判斷②和③；圖象法判斷④．【詳解】解：由圖象可知：拋物線的開口方向向上，∴，圖象與軸的兩個交點坐標為，∴對稱軸為直線，∴，∴，∴；故②錯誤，故③正確；當時，，故①錯誤；如圖，與直線有兩個交點，

∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故④正確；綜上，正確的是③④，共2個；故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從圖象中有效的獲取信息，是解題的關鍵．2．（2023秋·浙江臺州·九年級?？茧A段練習）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與兩點，關于x的一元二次方程有兩個不同的實數(shù)根，其中一個根是．如果關于x的方程有兩個不同的整數(shù)根，則這兩個整數(shù)根可能是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)題意可得，拋物線開口向下，對稱軸為，則關于x的方程的兩個根必須在和之間，兩根且和為，求解即可．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與兩點，拋物線的對稱軸為，關于的一元二次方程有兩個不同的實數(shù)根，其中一個根是，可得，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而增大，即拋物線開口向下，，于x的方程有兩個不同的整數(shù)根，可得兩個整數(shù)根在和之間，且和為1，結合選項，只有C選項符合，故選：C【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關性質(zhì)．3．（2023秋·天津河西·九年級?？茧A段練習）已知關于x的方程的一個根大于且小于，另一個根大于2且小于3，則m的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)拋物線與x軸交點關系，結合不等式的性質(zhì)求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，方程的兩個根滿足：，，∵拋物線開口向上，∴時y隨x增大而減小，時y隨x增大而增大，∴，∴，故答案為：；【點睛】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程關系，解題的關鍵是將根轉(zhuǎn)換成函數(shù)與x軸交點問題結合函數(shù)性質(zhì)列不等式．4．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級校聯(lián)考階段練習）某班“數(shù)學興趣小組”對函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下，請補充完整：(1)自變量的取值范圍是全體實數(shù)，與的幾組對應值如下：…0123……00…其中，______；(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請畫出該函數(shù)圖象的另一部分；

(3)觀察函數(shù)圖象，寫出兩條函數(shù)圖象的性質(zhì)；(4)進一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①函數(shù)圖象與軸有______個交點，所以對應的方程有______個實數(shù)根；②函數(shù)圖象與直線軸有______個交點，所以對應的方程有______個實數(shù)根；③關于的方程有4個實數(shù)根時，的取值范圍是______；④不等式的解集是______．【答案】(1)(2)見解析(3)①函數(shù)圖像關于y軸對稱，②當時，y隨x的增大而增大．(4)①2；2；②3，3；③；④或【分析】（1）把代入函數(shù)解釋式即可得m的值；（2）描點、連線即可得到函數(shù)的圖像；（3）根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的圖像關于y軸對稱；當時，y隨x的增大而增大；（4）①根據(jù)函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)，即可得到結論；②根據(jù)的圖像與直線的交點個數(shù)，即可得到結論；③根據(jù)函數(shù)的圖像即可得到a的取值范圍．④由圖象可知，當或時，，即可得到答案．【詳解】（1）當時，，∴，故答案為：．（2）根據(jù)給定的表格中數(shù)據(jù)描點畫出圖形，如圖所示：

（3）觀察函數(shù)圖像，可得出：①函數(shù)圖像關于y軸對稱，②當時，y隨x的增大而增大．（4）①觀察函數(shù)圖像可知：當時，，∴該函數(shù)圖像與x軸有2個交點，即對應的方程有2個實數(shù)根．故答案為：2；2．②觀察函數(shù)圖像可知：函數(shù)的圖像與只有3個交點，所以對應的方程有3個實數(shù)根；故答案為：3，3．③觀察圖像可知：關于x的方程有4個實數(shù)根時，a的取值范圍是．故答案為：．④由圖象可知，當或時，，則，即，∴不等式的解集是或．【點睛】本題為函數(shù)圖像探究題，考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)的對稱性、增減性以及從函數(shù)的角度解決方程、不等式問題．【經(jīng)典例題六求x軸與拋物線的截線長】1．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知拋物線與一次函數(shù)交于兩點，則線段的長度為（

）A． B． C． D．20【答案】A【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立方程組求解，消元得到，利用根與系數(shù)的關系，再運用兩點距離公式變形求出長度即可得到答案．【詳解】解：拋物線與一次函數(shù)交于兩點，聯(lián)立，消元得，，故選：A【點睛】本題考查平面直角坐標系中求線段長問題，涉及函數(shù)圖像交點問題、一元二次方程根與系數(shù)的關系、兩點之間距離公式及完全平方公式等知識，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系及兩點之間距離公式是解決問題的關鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知二次函數(shù)的圖像與x軸分別交于A、B兩點，圖像的頂點為C，若，則a的值為（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【分析】求出拋物線與x軸的交點坐標，則可求得AB的長，且求得頂點C的坐標，根據(jù)拋物線的對稱性，△ABC是等腰直角三角形，則頂點C到x軸的距離等于AB的一半，即可求得a的值．【詳解】令，解得：，（），則，∵，∴頂點C的坐標為，∵A、B兩點關于拋物線的對稱軸對稱，且，∴△ABC是等腰直角三角形，∴頂點C到x軸的距離等于AB的一半，即，解得：a=3或a=4（舍去），經(jīng)檢驗是方程的解且符合題意，即a=3．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半建立方程是解題的關鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，平移拋物線，使頂點在線段上運動，與x軸交于，D兩點．若，，四邊形的面積為，則．【答案】【分析】根據(jù)梯形面積求出，結合一元二次方程根與系數(shù)的關系及完全平方公式之間關系化簡即可得到答案；【詳解】四邊形是梯形，下底，高為3，由，得，設，，則，，∵，∴．∴．∴①，又頂點縱坐標②，①÷②，得，∴，故答案為；【點睛】本題考查二次函數(shù)性質(zhì)與幾何圖形應用，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程之間的關系及二次函數(shù)的性質(zhì)．4．（2023春·安徽·九年級專題練習）已知點在二次函數(shù)的圖象上，且該拋物線的對稱軸為直線．(1)求b和c的值．(2)當時，求函數(shù)值y的取值范圍，并說明理由．(3)設直線與拋物線交于點A，B，與拋物線交于點C，D，求線段與線段的長度之比．【答案】(1)，；(2)，理由見解析；(3)2．【分析】（1）根據(jù)拋物線過點以及對稱軸公式可求得b和c的值；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式可知，在的范圍內(nèi)，當時，二次函數(shù)取最小值，當時，取最大值，進而可得答案；（3）聯(lián)立與拋物線，設點A，B的橫坐標分別為，根據(jù)根與系數(shù)的關系求出，，則可得到，然后根據(jù)求得，即線段的長為，同理求出線段的長為，可得答案．【詳解】（1）解：∵點在二次函數(shù)的圖象上，∴，∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴；（2）解：當時，函數(shù)值y的取值范圍為：；理由：由（1）可知拋物線解析式為，∵，∴拋物線開口向上，∵拋物線的對稱軸為直線，∴在的范圍內(nèi)，當時，二次函數(shù)取最小值，最小值為，∵，∴在的范圍內(nèi)，當時，二次函數(shù)取最大值，最大值為，∴當時，函數(shù)值y的取值范圍為：；（3）解：聯(lián)立得：，整理得：，設點A，B的橫坐標分別為，則，，∴，∵，∴，即線段的長為，聯(lián)立得：，整理得：，設點C，D的橫坐標分別為，則，，∴，∵，∴，即線段的長為，∴線段與線段的長度之比為：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法的應用，二次函數(shù)的對稱軸公式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及根與系數(shù)的關系，靈活運用根與系數(shù)的關系是解答本題的關鍵．【重難點訓練】1．（重慶市潼南區(qū)六校2023-2024學年九年級上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題）已知二次函數(shù)自變量x的部分取值和對應的函數(shù)值y如下表：x…012…y…50…下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)圖像開口向下 B．函數(shù)圖像與x軸的交點坐標是C．當時，y隨x的增大而增大 D．頂點坐標是【答案】D【分析】根據(jù)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：把，代入得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為：，∵，∴函數(shù)圖像開口向上，故選項錯誤；令，解得，，∴函數(shù)圖像與x軸的交點坐標是，，故選項錯誤；∵，∴對稱軸為直線，頂點坐標是，故選項正確；∴當時，隨的增大而增大，故選項錯誤.故選：.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．2．（2023·廣東廣州·九年級?？甲灾髡猩╆P于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．頂點坐標為 B．當時，y隨x的增大而增大C．函數(shù)的最大值為1 D．函數(shù)的圖象與坐標軸有2個交點【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴頂點坐標為，故A選項正確；∵，即拋物線開口向下，∵對稱軸為，∴當時，y隨x的增大而增大，故B選項錯誤；當時，y取最大值，最大值為2，故C選項錯誤；∵，∴函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，當時，，即函數(shù)的圖象與y軸有一個交點為，∴函數(shù)的圖象與坐標軸有3個交點，故D選項錯誤；故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)頂點式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵．3．（2023秋·湖北武漢·九年級校聯(lián)考階段練習）二次函數(shù)與x軸交于、兩點，且，則（）A．5 B． C．5或 D．或1【答案】B【分析】利用根與系數(shù)的關系和等式變形處理得到，由此求得k的值，注意．【詳解】∵二次函數(shù)與x軸交于、兩點，∴是方程的兩個根，∴，∵，∴，∴，解得，∵，當時，，符合題意；當時，，不符合題意，舍去，故，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關系，拋物線于x軸的交點，根與系數(shù)關系定理，公式變形．解題時需要注意k的取值范圍．4．（2023秋·湖北武漢·九年級湖北大學附屬中學校考階段練習）若關于x的一元二次方程（t為實數(shù)），在的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得，進而確定t的最小值，然后再求出時t的值，然后比較即可解答．【詳解】解：∵，∴，即t在的范圍內(nèi)的最小值為，當時，；當時，；所以t的取值范圍是．故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，根據(jù)題意確定t的最小值是解答本題的關鍵．5．（2023秋·浙江杭州·九年級蕭山區(qū)金山初級中學?？茧A段練習）已知二次函數(shù)（m為實數(shù)），下列說法正確的是（

）A．這個函數(shù)圖象的頂點有可能在拋物線上B．當且時，C．點與點在函數(shù)y的圖象上，若，則D．當時，y隨x的增大而增大，則【答案】D【分析】先求出拋物線頂點坐標為，再把頂點坐標代入中，看方程是否有解即可判斷A；先求出拋物線解析式，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)可求出當時，，即可判斷B；根據(jù)題意求出，再根據(jù)離對稱軸越遠函數(shù)值越小即可判斷C；求出拋物線對稱軸，得到當時，y隨x增大而增大，由此即可判斷D．【詳解】解：二次函數(shù)解析式為，則其頂點坐標為，假設點在拋物線上，則，∴，∴，∴方程無解，即假設不成立，∴這個函數(shù)圖象的頂點不可能在拋物線上，故A說法錯誤，不符合題意；當時，二次函數(shù)解析式為，則二次函數(shù)開口向下，對稱軸為直線，且離對稱軸越遠函數(shù)值越小，且當時，函數(shù)有最大值，∵，∴時，且當時，函數(shù)有最小值，∴當時，，故B說法錯誤，不符合題意；∵，∴，，∴，∴，故C說法錯誤，不符合題意；∵拋物線對稱軸為直線，且拋物線開口向下，∴當時，y隨x增大而增大，∵當時，y隨x的增大而增大，∴，故D說法正確，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的增減性，二次函數(shù)的最值問題等，熟知二次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵．6．（2023秋·福建福州·九年級福建省福州第十九中學?？茧A段練習）已知拋物線的對稱軸為直線，當時，則x的取值范圍是．【答案】【分析】由對稱軸求出解析式，再求出當時x的值，最后根據(jù)開口方向求解即可．【詳解】∵拋物線的對稱軸為直線，∴，解得，∴拋物線解析式為，∴當時，∵開口向上，∴當時，則x的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，求出解析式并根據(jù)函數(shù)圖象解不等式是解題的關鍵．7．（2023秋·安徽淮北·九年級校聯(lián)考階段練習）已知，拋物線．（1）若此拋物線經(jīng)過，兩點，則其對稱軸是直線；（2）若此拋物線與直線相交于，兩點，則拋物線與x軸的交點的坐標是．【答案】【分析】（1）根據(jù)兩點坐標得到對稱軸即可；（2）聯(lián)立兩個函數(shù)得到方程的解即可得到答案．【詳解】解：（1）由于此拋物線經(jīng)過，兩點，則其對稱軸是直線，故答案為：；（2）由于此拋物線與直線相交于，兩點，聯(lián)立兩個函數(shù)得到，方程的解為，則拋物線與x軸的交點的坐標是．【點睛】本題主要考查拋物線函數(shù)的對稱軸以及圖像性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)的圖像性質(zhì)是解題的關鍵．8．（2023秋·四川綿陽·九年級東辰國際學校?？茧A段練習）已知拋物線經(jīng)過兩點，則關于的一元二次方程的解是．【答案】或5【分析】將整理得：，向右平移1個單位長度得到，即可解答．【詳解】解：將整理得：，∵拋物線經(jīng)過兩點，將該拋物線向右平移1個單位長度得到拋物線，∴經(jīng)過兩點，∴一元二次方程的解是或5，故答案為：或5．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的平移，熟記上加下減、左加右減是關鍵．9．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考階段練習）已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點．若，則．【答案】【分析】設方程的兩根分別為，，可得，，利用，再解方程即可．【詳解】解：當，則，設方程的兩根分別為，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，經(jīng)檢驗符合題意；故答案為：【點睛】本題考查的是二次函數(shù)與一元二次方程的關系，一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練的利用建立方程求解是解本題的關鍵．10．（2023秋·安徽亳州·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．

（1）的度數(shù)是；（2）若點M是二次函數(shù)在第四象限內(nèi)圖象上的一點，作軸交于點Q，則的長的最大值是．【答案】/90度4【分析】（1）先分別求解A，B，C的坐標，再利用勾股定理的逆定理證明即可；（2）求解直線為，設，則，可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)，當時，則，解得：，，∴，，當時，則，∴，∴，∴；（2）設直線為，∴，解得：，∴直線為，∵，設，則，∴，當時，的最大值為：；故答案為：（1）；（2）4【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理的應用，二次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練的利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解線段長度的最值是解本題的關鍵.11．（2023秋·湖北黃岡·九年級校聯(lián)考階段練習）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中圖象與軸交于點，與軸交于點，且經(jīng)過點．(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)將此二次函數(shù)的解析式寫成的形式，并直接寫出此二次函數(shù)圖象的頂點坐標以及它與軸的另一個交點的坐標．【答案】(1)(2)，頂點坐標為，點的坐標是【分析】（1）把點、、的坐標代入函數(shù)表達式，然后根據(jù)三元一次方程組的解法求出、、的值，即可得到二次函數(shù)的解析式；（2）利用配方法整理，然后根據(jù)頂點式寫出頂點坐標，再根據(jù)拋物線的對稱軸與點的坐標求出與軸的另一交點坐標．【詳解】（1）根據(jù)題意得，，分別代入、得，，，得，，解得，把代入得，，解得，方程組的解是，此二次函數(shù)的解析式為；（2），二次函數(shù)的解析式為，頂點坐標為，對稱軸為，設另一點坐標為，則，解得，點的坐標是．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，把點的坐標代入函數(shù)表達式，然后解三元一次方程組即可，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及三種形式的相互轉(zhuǎn)化也很重要．12．（2023秋·陜西西安·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點B的坐標為，點C的坐標為，點D是拋物線的頂點．

(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；(2)點M是拋物線上一動點，過點M作軸交拋物線于點N，點P在x軸上，在坐標平面內(nèi)是否存在點Q，使得四邊形為正方形，若存在，請求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線的解析式為，點D的坐標為(2)存在，滿足條件的點Q有兩個，其坐標分別是或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再轉(zhuǎn)化為頂點式即可求解；（2）由點M、N關于拋物線對稱軸對稱，可得點P為拋物線對稱軸與x軸的交點，點Q在拋物線的對稱軸上，設，則，代入拋物線解析式求解即可．【詳解】（1）解：把代入拋物線中，得，解得，∴拋物線的解析式為，，∴點D的坐標為；（2）解：在坐標平面內(nèi)存在點Q，使得比邊形為正方形，理由如下．如解圖，設對解線交于點，∵點M、N關于拋物線對稱軸對稱，且四邊形為正方形，∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點，點Q在拋物線的對稱軸上，且與點P關于對稱，由（1）得拋物線的對稱軸為直線，設，則，∵點M在拋物線的圖象上，，解得或，或，滿足條件的點Q有兩個，其坐標分別是或．

【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)，