第12講 三角形的中位線（教師版）-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步講義（蘇科版）江蘇初中數(shù)學(xué)（蘇教版）

第9章中心對(duì)稱圖形——平行四邊形

9.5三角形的中位線

瞥目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀

1.理解三角形的中位線的概念，掌握三角形的中位線

探究并證明三角形的中位線定理定理。

2.掌握中點(diǎn)四邊形的形成規(guī)律。

源知識(shí)精講

也'知識(shí)點(diǎn)三角形的中位線

(-)三角形的中位線

1.連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

2.定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

【微點(diǎn)撥】

(1)三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系。

(2)三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的周長(zhǎng)為原三角形周

長(zhǎng)的,，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的

24

(3)三角形的中位線不同于三角形的中線。

(二)順次連接特殊的平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形的形狀

(1)順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形；

(2)順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形；

(3)順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形；

(4)順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形。

【微點(diǎn)撥】新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連接而成：

(1)若原四邊形的對(duì)角線互相垂直，則新四邊形是矩形；

(2)若原四邊形的對(duì)角線相等，則新四邊形是菱形：

(3)若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等，則新四邊形是正方形。

【即學(xué)即練1】如圖，在口/SC中，AB=AC,4OE1BC于點(diǎn)D

B

D

（1）若。5口/8交/C于點(diǎn)E,證明：匚/CE是等腰三角形；

（2）若8c=12,DE=5,且E為/C中點(diǎn)，求4）的值.

【答案】（1）見解析：（2）8

【分析】（1）根據(jù)“三線合一”性質(zhì)先推出匚歷1。=匚C4。，再結(jié)合平行線的性質(zhì)推出BAD=ADE,從而得

到一4OE=EAD,即可根據(jù)“等角對(duì)等邊“證明；

（2）根據(jù)題意結(jié)合中位線定理可先推出/C=2OE,然后在中利用勾股定理求解即可.

【解析】（1）證：口在RBC中,AB=AC,

□□48C為等腰三角形，

QADUBC于點(diǎn)D,

□由“三線合一''知：BAD=CAD,

口DE二4B交4c于點(diǎn)E,

DDBAD=JADE,

CAD=ADE,

即：JADE=GEAD,

DAE=DE,

□□/OE是等腰三角形；

（2）解：由“三線合一”知：BD=CD,

□BC=12,

QDC=6,

□E為NC中點(diǎn)，

□OE為匚X8C的中位線，

AB=2DE,

AC=AB=2DE=\0,

在R//DC中，AD=^AC1-DC2=>/102-62=8-

/4Z)=8.

【即學(xué)即練2】已知：如圖，在四邊形/8CO中，對(duì)角線/C、8。相交于點(diǎn)O,且NC=8DE、/分別是

AB.CD的中點(diǎn)，EF分別交8。、/C于點(diǎn)G、H.求證：OG=OH.

D

【答案】見解析

【分析】取8C邊的中點(diǎn)“，連接EM,FM,則根據(jù)三角形的中位線定理，即可證得尸是等腰三角形，

根據(jù)等邊對(duì)等角，即可證得匚ME尸=二河尸￡,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證得［OGH^OHG,根據(jù)等角對(duì)等邊即

可證得.

【解析】證明：取8c邊的中點(diǎn)用，連接FM

□加、尸分別是8C、C。的中點(diǎn)

MFBD,MF=^BD

同理：MEAC,ME=；AC

UAC=BD

ME=MF

MEF=MFE

DMFLBD

QUMFE=COGH

同理，MEF=OHG

OGH=OHG

OG=OH

Q能力拓展

考法三角形的中位線

【典例1】已知：如圖，在矩形A8CD中，M、N分別是邊A。、BC的中點(diǎn)，E、尸分別是線段8M、CM

的中點(diǎn).

（1）求證：△BMC為等腰三角形；

（2）判斷四邊形MEN/是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)AO:A8=時(shí)，四邊形MEN尸是正方形（只寫結(jié)論，不需證明）.

【答案】（1）見詳解；（2）四邊形是菱形，理由見詳解；（3）2：1

【分析】（1）根據(jù)題意可以證明DMC,從而可以證明結(jié)論成立；

（2）根據(jù)題意和菱形的判定方法可以解答本題；

（3）根據(jù)題意和（2）中的結(jié)論可以解答本題.

【解析】（1）證明：口四邊形488是矩形，

□/B=DC,/=\。=90°,

□M為/。中點(diǎn)，

QAM=DM,

在口/即/和□￡）（%/中，

BA=CD

,NA=NO,

AM=DM

\J\JABMJUDCM(SAS\

BM=CM,

△BMC為等腰三角形；

（2）四邊形MEN尸是菱形，理由:

□ME、產(chǎn)分別是8。、BM、CW的中點(diǎn),

NECM,NE=gCM,

MF=^CM,

□NE=FM,

口NEJFM,

四邊形MENF是平行四邊形，

由(1)知LZBM\LDCM,

BM=CM,

□E、廠分別是8例、CA/的中點(diǎn)，

UME=MF,

□平行四邊形MEN尸是菱形；

(3)當(dāng)AD：AB=2：I時(shí)，四邊形MEN廠是正方形.

理由：□”為4。中點(diǎn)，

[JAD=2AMf

DAD：AB=2：1,

r\AM=AB,

□□/=90

□QABM=DAMB=45°1

同理UDMC=45。，

口匚EMF=180°-45°-45°=90°,

□四邊形MEN尸是菱形，

□菱形A/外下是正方形，

即當(dāng)/8=2：1時(shí)，四邊形MENF是正方形.

故答案是：2：1.

【典例2】如圖1,在四邊形ABC。中，E、F、G、”分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形EG/77是平行四邊形；

(2)如圖2,延長(zhǎng)54、8相交于點(diǎn)P,連接PG、PH、GH,若5Ape“=1，求四邊形A8CQ的面積.

【答案】(1)證明見解析；(2)4.

【分析】(1)先根據(jù)三角形中位線定理可得EG=gA5,EG///W,同理可得R7=3AB,F”〃A5,從而可得

EG=FH,EG//FH,再根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；

(2)連接先根據(jù)三角形中位線定理可得EG〃/由，根據(jù)同底等高可得S八卬=S莊。，同理

可得S及E"=S?團(tuán),從而可得S四邊舷AGHO=S/>G"=1,再根據(jù)等底同高可得SABG=SADG，SHBG=S“0c,從而

可得鼠邊的BH。=2S四邊物1cH0=2,然后利用同樣的方法即可求出四邊形ABC。的面積.

【解析】證明：(1)E,G分別是的中點(diǎn)，

:.EG=-AB,EG//AB,

2

同理可得：FH=-AB,FH//AB,

2

:.EG=FH,EG//FH,

四邊形EGFH是平行四邊形；

(2)如圖，連接PE,AG,BH.DH,

.￡G分別是AA3O的中點(diǎn),

:.EGHAB,

SAEG=SpEG（同底等高），

同理可得：SDEH=SPEH,

S四邊形AG//D=SAEG+SEGH+SDEH=SpEG+SEGH+SpEH=SpGH

又?.G是8。的中點(diǎn)，

BG=DG,

?q=qq=q

??*ABG-2ADG?2HBG-°HDG（等底同高）,

二?四邊形人〃。四邊形。

S8=S48G+SADG+SHBG+SHOG=2(Sadg+SHfXJ)=2sAG"=2,

同理可得：S四邊形A8CD=2s四邊形.HQ=2x2=4

即四邊形ABCD的面積為4.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.如圖，在□48c中，點(diǎn)，E分別是48,4C的中點(diǎn)，若808c加，則（）

A.16cmB.8c77?D.無法確定

【答案】C

【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)得到。E=3BC即可求解.

【解析】點(diǎn)，E分別是4C的中點(diǎn),

DE是48c的中位線

口DE=；BC=4

故選C.

2.如圖，平行四邊形ABC。中，對(duì)角線AC,80交于點(diǎn)O,點(diǎn)石是3c的中點(diǎn).若OE=6cm,則AB的長(zhǎng)

為()

A.3cmB.6cm12cm

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得出點(diǎn)。平分ZC,則?！晔侨切?8C的中位線，則力8=2OE,繼

而求出答案.

【解析】解：「四邊形N8C。為平行四邊形,

AO=CO,

點(diǎn)￡是C8的中點(diǎn),

0E為48C的中位線,

AB=2OE,

OE=6cm,

AB=12cm.

故選：D.

3.如圖，在AABC中，ZC=90°,AB=13,AC=5,D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，則OE的長(zhǎng)是（)

D.怨

A.6.5B.6C.5.5

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理可先求出8C,然后結(jié)合中位線定理得出結(jié)論.

【解析】由勾股定理得：BC=\lAB2-AC2=12>

。、E分別是AC、AB的中點(diǎn),

DE是4ABC的中位線,

則OE=g8C=6,

故選：B.

4.如圖，在AABC中，AB=7,AC=6,BC=5,D、E分別是A3、AC的中點(diǎn)，則OE的長(zhǎng)為（）

A.3B.2.5C.4D.3.5

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，OE等于BC的一半.

【解析】解：點(diǎn)。、E分別是邊48、AC的中點(diǎn),

DE是AABC的中位線,

D￡=-fiC=-x5=2.5.

22

故選：B.

5.如圖，在四邊形A8C。中，AD=BC,BC,E、F、G分別是43、CD、AC的中點(diǎn)，若ND4C=10°,

Z4CB=66°,則NFEG等于（

A.76°B.56°

【答案】D

【分析】利用EG、FG分別是A4BC和AAOC兩個(gè)三角形的中位線，求出EG=FG,從而得出ZFGCZEGC,

再根據(jù)EG=FG,利用三角形內(nèi)角和定理即可求出NFEG的度數(shù).

【解析】解：E、F、G分別是A3、CD、4c的中點(diǎn)，

EG、FG分別是AABC和AA￡>C兩個(gè)三角形的中位線，

EG//BC,FG//AD.S.EG=FG=—=—,

22

ZFGC=ZDAC=\O°,ZEGC=180°-Z4CB=114°,

ZEGF=ZFGC+Z￡GC=124°,

又［:EG=FG,

NFEG=；(180°-NEGF)=g(180°-124。)=28°.

故本題答案為：D.

6.如圖，在四邊形ABCD中，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，AD=BC,JPEF=

25°,則□EPF的度數(shù)是()

A.100°B.120°C.130°D.150°

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到PE=gAD,PF=yBC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理

計(jì)算即可.

【解析】解：DP是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，

UPE=|AD,PF=|BC,

AD=BC,

UPE=PF,

□PFE=PEF=25°,

□□EPF=130°,

故選C.

7.如圖，點(diǎn)E在平行四邊形/8C。的邊/。上，@LAE=2ED,M、N分別是BE、CE的中點(diǎn)，連接MN,

已知A/N=3,則/E的長(zhǎng)是.

【答案】4

【分析】由三角形的中位線定理可得8c=2MN=6,由平行四邊形的性質(zhì)可得40=6,由線段關(guān)系可求解.

【解析】解：匚A/、N分別是8E、CE的中點(diǎn)，

BC=2MN=6,

□四邊形/8CO是平行四邊形，

DAD=BC=6f

□4E=2ED,

2

AE=-AD=4,

3

故答案為：4.

8.如圖，在aABC中，點(diǎn)。、E分別是Z8、/C的中點(diǎn)，若。￡=1.5,則8c的長(zhǎng)是.

【答案】3

【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可.

【解析】解：口點(diǎn)。、E分別是/仄AC的中點(diǎn)，

是I48C的中位線，

L8C=2Z)E=2x1.5=3,

故答案為：3.

9.已知以三角形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為6cm,則原三角形的周長(zhǎng)為cm.

【答案】12

【分析】三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個(gè)小三角形，因而每個(gè)小三角形的周長(zhǎng)為原三角

形周長(zhǎng)的一半，己知中點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)，可以求出原三角形的周長(zhǎng).

【解析】解：由中點(diǎn)和中位線定義可得原三角形的各邊長(zhǎng)分別為新三角形各邊長(zhǎng)的2倍，所以原三角形的

周長(zhǎng)為新三角形的周長(zhǎng)的2倍為12.

故答案為12.

10.如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，OMIIAB交AD于點(diǎn)M,若OM=2,BC=6,則OB的

長(zhǎng)為.

【答案】V13

【分析】已知OM是［ADC的中位線，再結(jié)合已知條件則DC的長(zhǎng)可求出，所以利用勾股定理可求出AC

的長(zhǎng)，由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)則BO的長(zhǎng)即可求出.

【解析】解：「四邊形ABCD是矩形，

□□D=90°,

□O是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，OM匚AB,

□OM是C3ADC的中位線，

□OM=2,

□DC=4,

AD=BC=6,

AC=7AD2+CD2=2V13.

BO=1AC=VF3,

故答案為：A/F3

題組B能力提升練

1.如圖，在口48。中，點(diǎn)。、&F分別為各邊的中點(diǎn)，是高.若口。EF=65。，則□￡>〃尸的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】連結(jié)。尸，根據(jù)點(diǎn)。、從K分別為各邊的中點(diǎn)，可得。E,￡尸為/8C的中位線，可確定。EAC,

EFAB,利用平行線性質(zhì)可得：D4尸=：EFC=DEF=650,由4，8C,點(diǎn)。為中點(diǎn)，點(diǎn)尸為4C中點(diǎn),

根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)可得FH=AF=CF,可證在口/￡>尸和//￡>F中，ADFHDF

(SSS)即可.

【解析】解：連結(jié)。尸，

?點(diǎn)。、E、尸分別為各邊的中點(diǎn)，

DE,E/為「/8C的中位線，

UDEDAC,EFUAB,

DAF=EFC=DEF=65°,

UAHVBC,點(diǎn)。為中點(diǎn)，點(diǎn)廠為ZC中點(diǎn)，

DDH=AD=BD,FH=AF=CF,

在ZUDF和口〃。尸中，

AD=HD

<AF=HF,

DF=DF

DOADFLiQHDF(SSS),

DAF=rDHF=65°.

故選擇C.

2.如圖，在AABC中，。是A8上一點(diǎn)，AD=AC,AE1CD,垂足為點(diǎn)E,尸是BC的中點(diǎn)，若80=32,

則EF的長(zhǎng)為()

A.32B.16C.8D.4

【答案】B

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可知4E是中線，然后根據(jù)三角形的中位線求解.

【解析】解：AD=AC,AE±CD,

/E是△ACD的中線，

產(chǎn)是8c的中點(diǎn)，

E尸是△ABD的中位線，

□EF*BD,

30=32,

□￡F=16.

故選民

3.在RABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=4,0.E分別為AC、A3邊上的中點(diǎn)，連接OE到F,使得

EF=2ED,連接8尸，貝1」8廠長(zhǎng)為()

A.2B.25/3C.4D.46

【答案】C

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出48,進(jìn)而求出/￡、EB,根據(jù)三角形中位線定理得到OEBC,得到

AED-AED=60°,根據(jù)等邊三角形的判定定理和性質(zhì)定理解答即可.

【解析】解：在Rf口/BC中，口。=90。，1A=3O°,BC=4,

UAB=2BC=S,UABC=60°,

□E為Z8邊上的中點(diǎn)，

□4E=EB=4,

CD.E分別為/C、邊上的中點(diǎn)，

UDEQBC,

AED=AED=60°,

□BEF=ABC=60°,

在R/AED^,HJ=30o,

AE=2DEt

nEF=2DEf

AE=EF,

口OBEF為等邊三角形,

DBF=BE=4,

故選：C.

4.如圖，在^ABC中，點(diǎn)。、E分別是A3、AC的中點(diǎn)，AC=10,點(diǎn)/是￡>E上一點(diǎn)，DF=\.連接AF、

CF,若NAFC=90。，則8c的長(zhǎng)度為（）.

A.18B.16C.14D.12

【答案】D

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出EF,進(jìn)而求出OE,根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算，得到答案.

【解析】解：.NAFC=90。，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AC=IO,

.'.EF=-AC=-xlO=5,

22

DF=l,

:.DE=DF+EF=6,

點(diǎn)。、E分別是48、4c的中點(diǎn)，

:.BC=2DE=12,

故選：D.

5.如圖，菱形AB8中，對(duì)角線AC、相交于點(diǎn)O,E為AO邊中點(diǎn)，菱形43C。的周長(zhǎng)為28,則0E的

長(zhǎng)等于（）

A.3.5B.4C.7D.14

【答案】A

【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出邊長(zhǎng)并得出。8=0。，然后利用三角形中位線的性質(zhì)即可求出答案.

【解析】菱形ABQ）的周長(zhǎng)為28,

A8=28+4=7,OB=OD,

E1為AO邊中點(diǎn)，

0E是的中位線，

OE=-AB=-xl=3.5,

22

故選：A.

6.如圖，在UABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)、DE=3,那么BC的長(zhǎng)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理“三角形的中位線等于第三邊的一半”，有DE《BC,從而求出8c.

【解析】解：匚0、￡分別是48、4c的中點(diǎn).

DE是48c的中位線，

BC=2DE,

QDE=3,

5C=2x3=6.

故選C.

7.如圖，在AABC中，AB=AC,A￡＞是43c的角平分線，E是AC中點(diǎn)，連接OE,若DE=3,則A8=

A

【答案】6

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一可得。為8c的中點(diǎn)，再結(jié)合E為/C的中點(diǎn)，可得。E為48c的中位

線，從而可求得48的長(zhǎng)度.

【解析】解：□ZBjIC,平分OB/C,

。為8c的中點(diǎn)，

□￡為/C的中點(diǎn)，

AB=2DE=6.

故答案為：6.

8.如圖，在矩形488中，對(duì)角線/C、8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)及尸分別是/。、的中點(diǎn)，若48=6cm,

8c=8cm,貝I］后/二cm.

【答案】2.5

【分析】根據(jù)勾股定理求出/C,根據(jù)矩形性質(zhì)得出ABC=90°,BD=AC,BO=OD,求出8。、0D,根據(jù)三

角形中位線求出即可.

【解析】解：口四邊形N88是矩形,

ABC=90°,BD=AC,BO=OD,

AB=6cm,BC=Scm,

由勾股定理得：BD=AC=\j62+82=10(cm),

□￡>O=5cm,

□點(diǎn)E、尸分別是“0、NO的中點(diǎn),

EF=^OD=2.5cm,

故答案為：2.5.

9.如圖，在放口/BC中，MC8=90。，。、E、/分別為/8、AC,8c的中點(diǎn)，若C￡>=5,則EF

【答案】5

【分析】已知C。是處/8C斜邊的中線，那么/8=2C。，E尸是F8C的中位線，則即應(yīng)等于的

一半.

【解析】口49c是直角三角形，CD是斜邊的中線，

:.CD=~AB,

AB=2CD=2x5=\0,

又EF是口48。的中位線，

.■.EF=^xlO=5,

故答案為：5.

10.如圖，RtZVIBC中，ZC=90°,BC=6,AC=10,D,E分別是AC和BC上的點(diǎn)，且CE=2,CD=4,

連接BO,AE,G、H分別是AE和BO的中點(diǎn)，連接G〃，則線段G”的長(zhǎng)為.

【答案】713

【分析】取A8的中點(diǎn)產(chǎn)，連接FG,FH,可得尸G、FH分別是ZVIBE、Z^ABD的中位線，利用三

角形中位線定理可得FG=2,FH=3,再由NC=90。，可得NGrH=90。，然后利用勾股定理即可求解.

【解析】解：取A3的中點(diǎn)F,連接FG,FH,

:.FGHBE,FG=-BE,

2

CE=2,BC=6,

FG='BE=L(BC-EC)=2,

22

同理，F(xiàn)H//AD,FH=^AD

AC=10,CD=4,

FH=-AD=-(AC-CD)=3

22f

ZC=90°,

AC±BC,

FHHAD,FGHBE,

QFG1FH,

??.ZGFH=90°,

??.GH=yjFG2+FH2=+32=屈?

故答案為：V?3.

11.如圖所示，在.ABC中，M為5c的中點(diǎn)，AO為NB4c的平分線，3￡>_LA￡>于。，AB=12,AC=18,

求MD的長(zhǎng).

【答案】3

t分析】延長(zhǎng)8。交AC于點(diǎn)E,根據(jù)已知條件可得AABE是等腰三角形，則A5=A￡,DB=DE,由中位

線定理可得。M=gcE,即可求得MD的長(zhǎng).

【解析】如圖，延長(zhǎng)8。交AC丁點(diǎn)E,

A￡>_LBE,AO平分ZBAC,

/.NBAD=NEAD,ZADB=ZADE,

又AO=A。，

AA￡>的AADE,

BD=DE>

.--AB=AE,

M為8c的中點(diǎn)，

:.DM=-EC^-(AC-AE)=-(AC-AB)=-x(lS-U)=3.

2222

12.如圖，在四邊形"8中，P是對(duì)角線8。的中點(diǎn)，E、F分別是48、8的中點(diǎn)，AD=BC,UPEF=20。,

求P/芯的度數(shù).

【答案】20。

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到力。，PF=^BC,得到尸打尸凡根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答.

【解析】解：是8。的中點(diǎn)，E是48的中點(diǎn)，

□PE是口/以)的中位線，

PE=^AD,

同理，PF=gBC,

DAD=BC,

QPE=PF,

PFE-PEF=20°.

13.如圖，AABC中，是邊8c上的高，C尸是邊上的中線，OC=8尸，點(diǎn)E是C尸的中點(diǎn).

(1)求證：DE1CF；

(2)求證：ZB=2ZBCF.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【分析】(I)連接。尸，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到。尸進(jìn)而證明。C=〃憶根據(jù)等腰三角形

的三線合一證明結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到/FDB=2NT>nC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明結(jié)論.

【解析】ft?：(1)連接。尸，

DAD是邊8c上的高，

ZA￡>B=90°,

□點(diǎn)廠是43的中點(diǎn)，

DF=^AB=BF,

QDC^BF,

ODC=DF,

口點(diǎn)E是CF的中點(diǎn).

DE1CF；

(2)QDC=DF,

ZDFC=ZDCF,

ZFDB=ZDFC+ZDCF^2ZDFC,

r\DF=BF,

4FDB=4B,

NB=2NBCF.

14.如圖，在四邊形"88中，ACUBD,BD=12,AC=16,E,尸分別為C￡>的中點(diǎn)，求我尸的長(zhǎng).

【答案】EF的長(zhǎng)是10.

【分析】如圖，取BC邊的中點(diǎn)G,連接EG、FG.根據(jù)三角形中位線定理易求EG、FG的長(zhǎng)度，并且；EGF=9Q°,

所以在直角DEGF中，利用勾股定理來求跖的長(zhǎng)度.

【解析】解：如圖，取8c邊的中點(diǎn)G,連接EG、FG.

口&尸分別為C。的中點(diǎn)，

EG是48C的中位線，尸G是8CO的中位線，

EGDAC,EG=-AC,FGBD,FG=-BD,

22

又BD=12,AC=16,ACQBD,

EG=8,FG=6,EG\FG,

I在直角EGF中,由用勾股定理，得

E^^IEG2+FG2=782+62=10>即EF的長(zhǎng)度是10.

題組C培優(yōu)拔尖練

1.如圖，在矩形｛88中，AB=3,AD=10,點(diǎn)E在4）上且。E=2,點(diǎn)G在/E上且GE=4,點(diǎn)、P為BC

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下為EP的中點(diǎn)，則GF+EF的最小值為（）

【答案】D

【分析】連接/P,首先證明G尸=；A尸從而得到G尸+EF=，4P+PE),作/關(guān)于8c的對(duì)稱點(diǎn)T,連接

TE與BC交于P,此時(shí)PE+PA的值最小，利用勾股定理求解即可.

【解析】解：如圖所示，連接力P,

□/D=10,DE=2,

口/E=8,

□G￡>4,

□G是4E的中點(diǎn),

□GF是［"E的中位線,

GF^-AP,

2

GF+EF=^（AP+PE）,

只需要求出AP+PE的最小值即可,

作Z關(guān)丁-BC的對(duì)稱點(diǎn)T,連接出與BC交于P，此時(shí)PE+PA的值最小,

□四邊形48co是矩形,

EAT=90°,

AB=BT=3,

AT=6,

P'E+P'A=TE=yjAT2+AE2=10,

GF+E尸的最小值為5,

故選D.

2.如圖，已知四邊形A8CD中，ACA.BD,AC=6,BD=8,點(diǎn)、E、尸分別是邊A。、BC的中點(diǎn)，連接EF,

則EF的長(zhǎng)是（）

A.724B.5C.732D.10

【答案】B

【分析】取的中點(diǎn)G,連接EG、GF,利用三角形中位線性質(zhì)得到￡G=T8O=4,EGBD,GF=^AC

=3,GFU\AC,再判斷EGGF,然后利用勾股定理計(jì)算E廳的長(zhǎng).

【解析】解：取的中點(diǎn)G,連接EG、GF,

□點(diǎn)E、F、G分別是邊/￡＞、CB、N8的中點(diǎn)，

EG為.48。的中位線，GF為48c的中位線，

EG=^BD=4,EGBD,GF=^AC=3,GFAC,

r\ACBD,

UAC3EG,

QGFDAC,

□EGGF,

在RtGE/中，EF=J32+42=5.

故選：B.

D

C

3.如圖，在矩形ABC。中，AB=3,43=10,點(diǎn)E在A。上且￡>E=2.點(diǎn)G在AE上且GE=4,點(diǎn)尸為BC

邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸為EP的中點(diǎn)，則GF+EF的最小值為（）

A.V10+2B.V10+3C.4D.5

【答案】D

【分析】首先證明G尸+所=3（PA+PE）,求出Ri+PE的最小值即可，作點(diǎn)/關(guān)于8c的對(duì)稱點(diǎn)T,連

接ET交BC于P',此時(shí)P'E+P'A的值最小.

【解析】解：如圖，連接口.

AD=10,DE=2,GE=4,

DAG=EG,即：點(diǎn)G是/E的中點(diǎn)，

又1F為EP的中點(diǎn)，

GF是VAPE,

UGF=^PA,

□GF+￡F=|（,PA+PE）,

作點(diǎn)/關(guān)于8c的對(duì)稱點(diǎn)兀連接E7交8C于P,此時(shí)PE+P為的值最小，

四邊形/8CO是矩形，

□□Ea=90。，

□4B=BT=3,

DAT=6,

口4）=10,DE=2,

AE=AD-DE=\0-2=S,

匚P'E+P'A=P'E+P'T=ET=yjAE2+AT2=舊+62=10-

EG+M的最小值為gxl0=5,

故選D.

4.如圖，在放口48。中，□/C8=90。，。是N8的中點(diǎn)，且ZL4C￡>=30。，DE〃C交AC于點(diǎn)E,BFDCD

于點(diǎn)F,連接EF.若BF=2杷,則EF的長(zhǎng)是（）

3

A.@）B.2C.—D.3

【答案】B

【分析】先說明/8=28C,再根據(jù)勾股定理求出8c和N5,進(jìn)而得到8Z>8c=4>2,說明尸和E分別是

AC.co的中點(diǎn)，最后根據(jù)三角形的中位線定理即可解答.

【解析】解：□□NC8=90°,。是月8的中點(diǎn)

\JDC=^AB=AD

Li/CO=30°

<nA^r\ACD=30°

0AB=2BC,ABC=60°,

□8C=N。,即口￡>3。為等邊三角形

BFUCD于一點(diǎn)、F,

口CF=FD,DBF=30°

BD=2DF

設(shè)。F=x,則&。尸+8尸=8》，即/+（26）2=（涮2,解得尸2或-2（舍去）

口4D=BD=2x=4

□DE-BC交4c于點(diǎn)E,。是48的中點(diǎn)

QAE=EC

CF=FD

口川是三角形力。的中位線

EF=；AD=2.

故選8.

5.如圖，四邊形A8CD中，ZA=90°,AB=20，AD=2,點(diǎn)M,，分別為線段BC,A8上的動(dòng)點(diǎn)（含

端點(diǎn)，但點(diǎn)M不與點(diǎn)8重合），點(diǎn)E、尸分別為DM、MN的中點(diǎn)，則所長(zhǎng)度的最大值為（）.

A.3B.2GC.4D.2

【答案】D

【分析】由題中條件可判定E尸是AOMN中位線，可得E尸=；》V,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N與點(diǎn)8重合時(shí)，ON值最大,

DN=DB=^AD2+AB2，此時(shí)EF長(zhǎng)度取最大值.

【解析】解：如圖，連接。M

點(diǎn)E、廠分別為DW、M/V的中點(diǎn),

EF是&DMN中位.線,EF=^DN,

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N與點(diǎn)5重合時(shí)，DN=DB,此時(shí)ON長(zhǎng)度取最大值，即此時(shí)E尸長(zhǎng)度取最大值.

ZA=90°,AD=2,AB=2。

DN=DB=y/AD2+AB2=J22+（2可=4,

EF=2.

故選：D.

6.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,tABC=60。，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接CE、

OE,若AB=2BC,下歹J結(jié)論：□□ACD=30°；口當(dāng)BC=4時(shí),BD=4";OCD=40E；OSCOE='S四邊彩ABCD.其

6

中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)ABC=60。，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AB=2BC判斷出ABEC是等邊三角形，從而得出

ABAC=ZACE=30°,判斷；

過點(diǎn)B作交DC于H,計(jì)算CH,BH長(zhǎng)度,再根據(jù)勾股定理計(jì)算83判斷；

根據(jù)E,O分別為AB,BD的中點(diǎn)利用中位線定理和AB=2BC判斷；

通過中位線定理得出相似以及線段等量關(guān)系從而得出面積的關(guān)系判斷.

【解析】□□ABC=60。，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AB=2BC

AE=BE=BC

ASEC是等邊三角形，AE=EC

ABAC=ZACE=30°

448=30。,正確；

過點(diǎn)B作，OC交DCrH如圖：

BC=4,ZBCH=ZABC=60°

CH=2,BH=2底AB=CD=2BC=8

BD=JQ2+Q國(guó)=477,正確；

E,O分別為AB,BD的中點(diǎn)

BC=2OE

又［AB=CD=2BC

C￡）=4O￡J正確；

OE為三角形ABC的中位線

\AOE~MCB,\EMO~CMB

BC=2OE,MC=2EM,MB=2MO

設(shè)三角形EOM的面積為S,則三角形MOC面積為2S,三角形MBC面積為4S,三角形EMB面積為2s

口三角形ABC面積為12s

［平行四邊形ABCD面積為24S

□SCOE=-S四邊形ABCD，□錯(cuò)誤

O

故答案選：C

7.如圖，在匚X2C中，D、E分別是48、NC的中點(diǎn)，尸是直線DE上一點(diǎn)，連接/尸、BF,若ZMEB=90。,

AB=6,BC=1Q,則跖的長(zhǎng)是.

【答案】2或8

【分析】分兩種情況討論，由題意，直角三角形斜邊上的中線。尸等于斜邊的一半，中位線DE等于8c的

一半，相減（或相加）即可求得EF.

【解析】解：分兩種情況討論，

第一種情況，如圖，

A

□點(diǎn)C,E分別是邊NB,4c的中點(diǎn),8C=10

DE=gBC=5

QUAFB=90°,且N8=6,口點(diǎn)。是邊48的中點(diǎn),

DF=；AB=3

EF=DE-EF=5-3=2；

第二種情況，如圖，

□點(diǎn)，￡分別是邊ZB,/C的中點(diǎn),8C=10

DE=^BC=5

□必=90。，且/3=6,□點(diǎn)。是邊48的中點(diǎn)，

DF=；4B=3

EF=DE+EF=5+3=S；

故答案為：2或8.

8.已知：如圖，線段48=6cm,點(diǎn)P是線段48上的動(dòng)點(diǎn)，分別以ZP、BP為邊在4B作等邊A4PC、等

邊/XBPD,連接CD,點(diǎn)M是。的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)/運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)M經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)是

cm.

D

M

APB

【答案】3

【分析】分別延長(zhǎng)4C,BD交于H,過點(diǎn)M作GN分別交｛，于G,BH于N,易證明四邊形CPDH是

平行四邊形，從而得到M是/W的中點(diǎn)故在尸運(yùn)動(dòng)過程中，/始終在”產(chǎn)的中點(diǎn)，所以”的運(yùn)動(dòng)軌跡即為

的中位線，即線段GM由此求解即可.

【解析】解：如圖，分別延長(zhǎng)/C,8。交于H,過點(diǎn)A7作GN分別交4H于G,BH于N,

□□/PC、8PD都是等邊三角形，

A=B=DPB=OCPA=60°,

QAHUPD,BHuCP,

□四邊形CPZ?/是平行四邊形，

CD與HP互相平分，

是PH的中點(diǎn)，

故在P運(yùn)動(dòng)過程中，例始終在“產(chǎn)的中點(diǎn)，所以M的運(yùn)動(dòng)軌跡即為的中位線，即線段GM

GN=—AB=3cm,

2

故答案為：3.

9.如圖，在平行四邊形A3C。中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。，在。C的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E,使CE=gc。，

連接0E交BC于點(diǎn)尸，若BC=12,則CP=

A.

O

B----------WVC

F.

【答案】3

【分析】過。作BC交CD于M,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到8。=。0,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)

得到CA/=W,可得CF是［EMO中位線，根據(jù)中位線性質(zhì)可求長(zhǎng).

［解析］解：過。作OM二BC交CD于M,

在平行四邊形ABCD中，BC=12,

80=。。，

CM=DM^-CD,OM=-BC=6

22

CE=-CD,

2

QCE=CM,

DOMQBC,

b"是"MO中位線，即CF=，OM=3；

2

故答案為:3.

10.如圖，在平行四邊形488中，M,N分別為8、8c的中點(diǎn)，AM=6,AN=3,UMAN^60°,則對(duì)

角線8。的長(zhǎng)為

【答案】

【分析】延長(zhǎng)/歷至E,使得過點(diǎn)￡作￡〃AN,交/N延長(zhǎng)線于”點(diǎn)，連接MN、BD.證明N

點(diǎn)為中點(diǎn)，求出力，,再運(yùn)用勾股定理求出HE,最后根據(jù)三角形的中位線定理可得

即可求解.

【解析】解：延長(zhǎng)4W至E,使得過點(diǎn)E作E/T14M交力N延長(zhǎng)線于“點(diǎn)，連接MMBD.

H

AE=2AM=\2.

□□￡=30°,

AH=^AE=6,

HE=yjAE2-AH2=>/122-362=673

口/N=3,

N點(diǎn)為力，中點(diǎn)，

MN桔HE=3B

M、N分別為C。、8c的中點(diǎn)，

MN=^BD.

BD=HE=6B

故填673.

11.如圖.在^ABC中，AB=BC.

A

BC

（1）按要求畫圖.尺規(guī)作圖作出ZABC的角平分線（射線）BD.交ZC于點(diǎn)E；

（2）在（1）的結(jié)果下.畫圖并計(jì)算：點(diǎn)F為的中點(diǎn).連接EF,若BE=AC=2,求△出尸的周長(zhǎng).

【答案】（1）見解析；（2）1+V5

【分析】（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖方式進(jìn)行解答即可；

（2）根據(jù)等腰三角形三線合一以及三角形中位線的知識(shí)進(jìn)行解答即可.

【解析】解：（1）如圖即為所作：

(2)AB=BC,8E平分ZA8C,

BE±AC,AE=CE,

EC=-AC=\,

2

在RrZXBECW,

BCNBE'ECZ=,22+1=?,

E是AC的中點(diǎn)，尸為8C的中點(diǎn)，

EF為△C4B的中位線，