北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)7 .4 平行線的性質(zhì)

7.4平行線的性質(zhì)

一.選擇題

1.如圖，已知直線AB〃C￡>,直線￡F分別與AB、CQ交于點(diǎn)M、N,點(diǎn)”在直線CQ上,

HG_LE尸于點(diǎn)G,過點(diǎn)作GP〃A8.則下列結(jié)論:

①與NONF是同旁內(nèi)角:

②ZPGM=NDNF；

③NBMN+NGHN=90"；

④NAMG+NCHG=270°.

C.3個(gè)D.4個(gè)

2.如圖，AC//BD,AE平分NBAC交于點(diǎn)E,若/1=64°,則/2=()

C.128°D.142°

,則乙4EC=()度.

90D.100

4.如圖，ZDAC+ZACB=180°,EF//BC,CE平分NBCF,ZDAC=3ZBCF,ZACF=

20°,則/FEC的度數(shù)是（)

DA

C.15°D.30°

5.如圖，將一塊含有30°的直角三角板的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若Nl=43°,那么N2

的度數(shù)是（）

6.小明將含30°的三角板和一把直尺如圖放置，測(cè)得/1=25。，則/2的度數(shù)是（）

7.如圖，直線a〃江直線/與a、6分別相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)4作直線/的垂線交直線

b于點(diǎn)、C,若Nl=60°,則N2的度數(shù)為（）

8.如圖，AB//CD,Z￡GB=50°,NCHF=()

E

A.25°B.30°C.50°D.130°

9.在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（）

A.相交或垂直或平行B.相交或垂直

C.垂直或平行D.平行或相交

10.如圖，將矩形紙片ABC。沿BQ折疊，得到△BC'D,CD與AB交于點(diǎn)E,若/1=

40。，則/2的度數(shù)為（）

20°C.15°D.10°

11.如圖，把一張上下兩邊平行的紙條沿EF折疊,若Nl=84°,則/2的度數(shù)為（)

A.106°B.132°C.84°D.127°

12.如圖，AB//CD,BF平分/ABE,且BFA.DE垂足為F,則NABE與NEDC的數(shù)量關(guān)

B.ZABE+Z￡DC=180°

4

C.ZEDC-Az90"D.ZABE+^ZEDC=90°

22

13.下面說法正確的個(gè)數(shù)為（)

①過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

②兩直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

③兩角之和為180°,則這兩個(gè)角一定是鄰補(bǔ)角

④畫一條線段的垂線段可以畫無數(shù)條

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

14.如圖，直線點(diǎn)C在直線Z?上，/AC2=90°,貝IJ()

A.ZA=Z1+Z2B.Z2+Z3+ZA=180°

C.Zl+Z2=90°D.Zl+Z2+Z3=180°

15.下列說法正確的有()

①平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線；

②平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；

③平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；

④相等的角是對(duì)頂角；

⑤兩角之和為180°,這兩個(gè)角一定鄰補(bǔ)角；

⑥P是直線a外一點(diǎn)，A、B、C分別是4上的三點(diǎn)，PA=],PB=2,PC=3,則點(diǎn)尸到

直線a的距離一定是1.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二.填空題

16.如圖，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，如果Nl=36°,那么N2的

度數(shù)是.

17.如圖，直線AB〃CD,NA=60°，ZD=40"，則NE=

18.如圖，一束光線從點(diǎn)C出發(fā)，經(jīng)過平面鏡AB反射后，沿與AF平行的線段OE射出（此

時(shí)/1=/2）,若測(cè)得/OC尸=100°,則/A=.

R

19.如圖，已知直線AB〃C￡）,MN分別交A8,CD于點(diǎn),E,F,/BEF與NOEE的兩條平

分線相交于點(diǎn)外，NBEPI與NOFP的兩條平分線相交于點(diǎn)匕，則/P2的度數(shù)為.

20.如圖，。為△ABC中54延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE//BC,若Nl=/2,ZBAC=36°,則

21.如圖，AB〃C￡>,CB平分NA8。，若NABC=40°,則N。的度數(shù)為

AB

,則Nl=

23.如圖，若48〃C￡>,BF平分NABE,DF平分NCDE,NBED=90°,則/BF￡>=

24.如圖，已知點(diǎn)C為兩條相互平行的直線AB,ED之間一點(diǎn)，NABC和/CDE的角平分

線相交于F，若NBCZ)=gNBF￡>+10°,則NBC。的度數(shù)為

2

，那么/4的度數(shù)為

26.問題情境

(1)如圖1,已知AB〃CD,NPBA=125°,ZPCD=\55a,求NBPC的度數(shù).

佩佩同學(xué)的思路：過點(diǎn)P作PG〃AB,進(jìn)而尸G〃CC,由平行線的性質(zhì)來求NBPC,求

得NBPC=

問題遷移

(2)圖2,圖3均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的

兩邊重合，ZACB=90°,DF//CG,AB與相交于點(diǎn)E,有一動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上運(yùn)動(dòng),

連接PE,PA,記/PEZ)=/a,ZB4C=Zp.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在C,。兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出/4PE與/a,之間的數(shù)量

關(guān)系；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在從。兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，NAPE與Na,之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)

判斷并說明理由.

27.綜合與探究

問題情境

在綜合實(shí)踐課上，老師組織七年級(jí)(2)班的同學(xué)開展了探究?jī)山侵g數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活

動(dòng)，如圖，已知射線AM〃BN,連接A3,點(diǎn)P是射線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合)，

BC,分別平分/A8P和NP8N,分別交射線AM于點(diǎn)C,D.

探索發(fā)現(xiàn)

“快樂小組”經(jīng)過探索后發(fā)現(xiàn)：

(1)當(dāng)NA=60°時(shí)，NCBD=NA.請(qǐng)說明理由.

(2)不斷改變NA的度數(shù)，/CB力與卻始終存在某種數(shù)量關(guān)系，用含/A的式子表

示NCBD為.

操作探究

(3)“智慧小組”利用量角器量出ZAPB和NADB的度數(shù)后,探究二者之間的數(shù)量關(guān)系.他

們驚奇地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，無論點(diǎn)P在AM上的什么位置，NAPB與

N4DB之間的數(shù)量關(guān)系都保持不變，請(qǐng)寫出它們的關(guān)系，并說明理由.

(4)點(diǎn)P繼續(xù)在射線AM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到使/AC8=ZABD時(shí)，請(qǐng)直接寫出2/A5C+L

2

NA的結(jié)果.

28.填空：（將下面的推理過程及依據(jù)補(bǔ)充完整）

如圖，已知：CQ平分NACB,AC//DE,CD//EF,求證：EF平■分4DEB.

證明：；CD平分/ACB（已知），

：.ZDCA^ZDCE（角平分線的定義），

,JAC//DE（已知），

：.ZDCA=（）,

:.NDCE=NCDE（等量代換），

■:CD//EF（已知），

=NCDE（）,

NDCE=NBEF（）,

/.=（等量代換），

：.EF平分NDEB（）.

29.完成下面推理過程.

如圖：已知，/A=112°,ZABC=68°,8D_L￡)C于點(diǎn)。，EFLDC于點(diǎn)F,求證：Z

1=N2.

證明：：乙4=112°,/A8C=68°(己知)

ZA+ZABC=180°

J.AD//BC()

；./1=()

'：BDYDC,EF_LOC(已知)

:.NBDF=90°,NEFC=90°()

:.NBDF=NEFC=90°

J.BD//EF()

AZ2=()

.*.Z1=Z2()

30.如圖：已知，ZHCO^ZEBC,NBHC+NBEF=180°.

(1)求證：EF//BH-,

(2)若BH平分NEBO,EFl.AOF,N”CO=64°,求NCaO的度數(shù).

參考答案

一.選擇題

1.解：:NAM/與NOV/不是同旁內(nèi)角，

???①錯(cuò)誤；

U：AB//CD,GP//AB,

：.AB//CD//GP,

:./PGM=NCNM=NDNF,/BMN=/HNG,NAMN+NHNG=18U0,故②正確;

■:HG工MN,

:./HNG+/GHN=9U°,

:./BMN+/GHN=9U°,故③正確；

*.?ZCHG=NMNH+NHGN,

:./MNH=/CHG-90°,

AZAMN+ZHNG=ZAMN+ZCHG-90°=180°,

???NAMG+NC”G=270°,故④正確，

故選：C.

2.W：VZ1=64°,

???N3+N4=180°-64°=116°,

TAE平分N84C,

AZ3=Z4=116°+2=58°,

9：AC//BD,

AZ2+Z4=180°,

AZ2=180°-58°=122°.

故選：B.

3.解：如圖，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)凡

9

：AB//CDf

：.ZBAE+ZEFC=180°,

又???N8AE=120°,

AZEFC=180°-N8AE=180°-120°=60°,

又???NOCE=30°,

AZAEC=ZDCE+ZEFC=300+60°=90°.

故選：C.

4.解：設(shè)NBCE=/ECF=1^NBCF=x,

2

:/DAC=3/BCF,

：.ZDAC=6x,

'：ZDAC+ZACB=]S0°,

；.6x+x+x+20°=180°,

解得x=20°,

所以，NFEC的度數(shù)為20°.

故選：B.

5.解：：將一塊含有30°的直角三角板的頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，Nl=43°,

.?.N2=/3=180°-43°-30°=107°.

故選：B.

6.解:如圖:

???/3=55°,

???直尺的對(duì)邊平行,

AZ4=Z3=55°，

AZ2=180°-90°-Z4=180°-90°-55°=35°,

故選：C.

7.解:,:

.*.Zl+Z2+ZBAC=180°,

VZABC=90°,Zl=60°,

.\Z2=30°,

故選：C.

8.解：,:ABH3,/EGB=50°,

：.ZEHD=ZEGB=50°,

：.ZCHF=ZEHD=50°.

故選：C.

9.解：在同一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系，即平行或相交.

故選：D.

10.解：在矩形A3CQ中，NC=90°,AB//CD,

???Nl+NC8O=90°,CD//AB,

VZ1=4O°,

：.ZCBD=50°,ZABD=Zl=40°,

由折疊可知：Z2+ZABD=ZCBD1

??.N2+N480=50°,

：.Z2=10°.

故選：D.

11.解：如圖，

9：AF//BE,

.*.Z1=Z4=84°,

??,把一張上下兩邊平行的紙條沿律折疊,

???N3=NAEF=1^-341_=48°,

2

?：AF〃BE,

???N3+N2=180°,

.*.Z2=180°-48°=132°,

故選：B.

12.解：過尸點(diǎn)作尸G〃A8,

VAB//CD,

：.FG//CD,

：.ZBFG=ZABF,ZDFG+ZCDF=\SOQ,

VBF1DE,

：.ZBFD=90°,

???5/平分N43E,

???NABE=2NABF,

：.ZBFG+ZDFG+ZCDF=ZABF+\SO°,

.?.90°+ZCDE=^ZABE+180°,即NEQC-L/ABE=90°.

22

13.解：①過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故此選項(xiàng)正確；

②兩條平行的直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③兩角之和為180°,則這兩個(gè)角互補(bǔ)，不一定是鄰補(bǔ)角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)能畫一條且只能畫一條直線與已知直線垂直，經(jīng)過的點(diǎn)不確

定，可以畫無數(shù)條，故此選項(xiàng)正確；

綜上所述，正確的個(gè)數(shù)有2個(gè)，

故選：B.

14.解：,：a//b,

.\Z4+ZACB+Z2=180o,

VZACB=90°,

.,.Z4+Z2=90°，

VZ4=Z1,

.,.Nl+/2=90°.

故選：C.

15.解：①根據(jù)平行線的定義，平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線，故本選項(xiàng)正確；

②平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，故本選項(xiàng)正確正確；

③平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④相等的角不一定是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

⑤兩角之和為180°,則這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，但不一定是鄰補(bǔ)角；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

⑥產(chǎn)是直線/外一點(diǎn)，A,B,C分別是/上的三點(diǎn)，已知必=1,PB=2,PC=3,則點(diǎn)

P到/的距離不大于1.故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

綜上所述，正確的有2個(gè),

故選：B.

二.填空題

16.解：'.,AB//CD,

；.N2=N3,

VZ1=36°,Zl+Z3=90°,

.*.Z3=54°,

，N2=54°,

故答案為：54°.

AZA=Z1=6O°,

VZ1=ZE+ZD,ZD=40°,

AZE=Z1-ZD=60°-40°=20°,

故答案為：20°.

18.解：*：DE//AF,

???N2=NA,

VZ1=Z2,

AZ1=Z2=ZA,

VZDCF=ZA+Z1=2Z>1=100°,

AZA=50°,

故答案為：50°.

19.解：過Pi作PiG〃A8,可得PiG〃C。，如圖,

：?NBEP尸NEPiG,NGP、F=/P\FD,

???"1、/Pi分別為N跳尸與NE/。的平分線，

：.NBEPi=NFEPi，NEFP尸NDFP、,

VAB//CD.

???/BEPi+NFEPi+NEFPi+NDFPi=180°,即2(NBEPi+NDFPP=180°,

：.ZBEPi+ZDFPl=90°,

「NBEPi、NDFPi的平分線相交于點(diǎn)K\,

：.NBEP2=NPTEP2,/P\FP2=/DFP2,

VZBEPi+ZFEPi+ZEFP^ZDFP]=180°,即2(NBEPi+NP[FD)=180°,

：.ZBEPi+ZPiFD=90°,即/尸]￡尸2+/尸1尸尸2=45°,

???NKi=180°-(NPiEF+NEFPi)-(NP1EP2+NP1FP2)=45°,

故答案為：45°.

20.解：yZBAC=36°,Nl+N2+N8AC=180°,

.*.Zl+Z2=144°,

VZ1=Z2,

AZ1=Z2=72°,

*：AE〃BC,

???N1=N8,

：.ZB=12°,

故答案為：72.

21.解：?.?C8平分NABO,

???NA8O=2NABC=80°,

\9AB//CD,

??.NA8Q+NO=180°,

AZD=180°-80°=100°,

則NO的度數(shù)為1000.

故答案為：100°.

22.解：如圖:

D

2

AB

a：AB//CD,

：.ZA+Z2=180°,

VZA=50°,

.\Z1=Z2=18O°-NA=180°-50°=130°.

故答案為：130°.

23.解：?:NB//CD,

：.ZABE=Z4,Z1=Z2,

?；NBED=90°,NBED=N4+NEDC,

ZABE+ZEDC=90Q,

尸平分N48E,DF平分/CDE,

???N1+N3=45°,

VZ5=Z2+Z3,

???N5=N1+N3=45°,

即N8尸Q=45°,

故答案為：45°.

24.解：?.?N43C和NCDE的角平分線相交于凡

：.ZEDA=ZADC,NCBE=NABE,

又TAB〃七。，

/EDF=ZDABfZDFE=NABF,

設(shè)NDFE=NABF=y,

：.ZBFD=ZEDA+ZADE=x+yf

在四邊形BCD廠中，NFBC=x,ZADC=y,NBFD=x+y,

：.ZBCD=360°-2(x+y),

VZBCD=^-ZBFD+IO°,

2

：.ZBFD=x+y=\OO",

：.ZBCD=360°-2(x+y)=160",

故答案為：160°.

25.解：2N1=N3,

:.ABHCD,

.\Z2=Z5,

；N2=64°,

.,.Z5=64°,

VZ5+Z4=180°,

.".Z4=116°,

26.解：(1)過點(diǎn)P作尸G〃4B,KOPG//CD,

由平行線的性質(zhì)可得NB+/BPG=180°,NC+NCPG=180°,

又?.?/PBA=125°,/PCZ)=155°,

：.NBPC=360°-125°-155°=80°,

故答案為：80；

(2)①如圖2,圖2

NAPE與Na,Zp之間的數(shù)量關(guān)系為NAPE=Na+N0；

②如圖3,乙4PE與Na,N0之間的數(shù)量關(guān)系為NAPE=N0-Na；理由:

過P作PQ//DF,

圖3

'：DF//CG,

：.PQ//CG,

；.NB=NQ%Za=ZQPE,

：.NAPE=ZAPQ-NEPQ=N0-Za.

27.解：⑴,:AM//BN,

.,.N4+/ABN=180°,

又；NA=60°,

.,.NA5N=180°-ZA=120°.

BC,BD分別平分/ABP和ZPBN,

:.ZCBP=^LZABP,NDBP=LNPBN,

22

NCBD=NCBP+NDBP=LNABP+工NPBN=LNABN=60°,

222

：.ZCBD=ZA.

(2),：BC,CO分別平分乙4BP和NPBN,

：.ZCBP=^ZABP,NDBP=L/PBN,

22

ZCBD-ZCBP+ZDBP=AzABP+^ZPBN=^ZABN,

222

,JAM//BN,

：.ZA+ZABN=18OQ,

.,.N4BN=180°-ZA,

NCBQ=180°々A.

2

（3）ZAPB=2ZADB理由如下：

分別平分/PBN,

：.4PBN=24NBD,

"JAM//BN,

：.NPBN=NAPB/NBD=NADB,

：.ZAPB=2ZADB.

（4）-CAM//BN,

：.NACB=NCBN,

當(dāng)NAC8=NAB。時(shí)，有NCBN=NABD,

：.ZABC+ZCBD=ZCBD+NDBN,