二次函數恒成立問題

二次不等式恒成立問題一、恒成立問題的基本類型：類型1：設，（1）上恒成立；（2）上恒成立。類型2：設（1）當時，上恒成立，上恒成立（2）當時，上恒成立上恒成立類型3：。類型4：二、恒成立問題常見的解題策略：策略一：利用二次函數的判別式對于一元二次函數有：（1）上恒成立；（2）上恒成立例1.若不等式的解集是R，求m的范圍。解析：要想應用上面的結論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項系數含有參數m，所以要討論m-1是否是0。（1）當m-1=0時，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；（2）時，只需，所以，策略二:利用函數的最值（或值域）（1）對任意x都成立；（2）對任意x都成立。簡單計作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實質上是一類求函數的最值問題。例2.已知，若恒成立，求a的取值范圍.解析本題可以化歸為求函數f(x)在閉區(qū)間上的最值問題,只要對于任意.若恒成立或或，即a的取值范圍為.策略三：利用零點分布例3.已知，若恒成立，求a的取值范圍.解析本題可以考慮f(x)的零點分布情況進行分類討論，分無零點、零點在區(qū)間的左側、零點在區(qū)間的右側三種情況，即Δ≤0或或，即a的取值范圍為[-7，2].點評對于含參數的函數在閉區(qū)間上函數值恒大于等于零的問題,可以考慮函數的零點分布情況,要求對應閉區(qū)間上函數圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.Oxyx-1變式：設，當時，恒成立，求實數的取值范圍。Oxyx-1解：設，則當時，恒成立當時，顯然成立；當時，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實數的取值范圍為。策略四：分離參數法若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數范圍。這種方法本質也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1）恒成立2）恒成立例4.函數，若對任意，恒成立，求實數的取值范圍。解：若對任意，恒成立，即對，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時恒成立而得在時恒成立，只要在時恒成立。而易求得二次函數在上的最大值為，所以。變式：已知函數時恒成立，求實數的取值范圍。解：將問題轉化為對恒成立。令，則由可知在上為減函數，故∴即的取值范圍為。注：分離參數后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。策略五：確定主元在給出的含有兩個變量的不等式中，學生習慣把變量看成是主元（未知數），而把另一個變量看成參數，在有些問題中這樣的解題過程繁瑣。如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數，則可簡化解題過程。例5.若不等式對滿足的所有都成立，求x的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：，；令，則時，恒成立，所以只需即，所以x的范圍是總結：利用了一次函數有：變式：對任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，則原問題轉化為恒成立（）。當時，可得，不合題意。當時，應有解之得。故的取值范圍為。策略六：消元轉化例6.已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數,且f(1)=1,若，若對于所有的恒成立，求實數t的取值范圍.解析本題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉化的策略，先消去一個變量，容易證明f(x)是定義在[-1,1]上的增函數,故f(x)在[-1,1]上的最大值為f(1)=1,則對于所有的恒成立對于所有的恒成立，即對于所有的恒成立，令，只要，．點評對于含有兩個以上變量的不等式恒成立問題,可以根據題意依次進行消元轉化,從而轉化為只含有兩變量的不等式問題,使問題得到解決.以上介紹的幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，只是分別從某個側面入手去探討不等式中參數的取值范圍。事實上，這些策略不是孤立的，在具體的解題實踐中，往往需要綜合考慮，靈活運用，才能使問題得以順利解決。鞏固練習1.（1）若關于的不等式的解集為，求實數的取值范圍；（2）若關于的不等式的解集不是空集，求實數的取值范圍．解：（1）設.則關于的不等式的解集為在上恒成立,即解得（2）設.則關于的不等式的解集不是空集在上能成立,即解得或.2.若函數在R上恒成立，求m的取值范圍。分析：該題就轉化為被開方數在R上恒成立問題，并且注意對二次項系數的討論。略解：要使在R上恒成立，即在R上恒成立。時，成立時，，由，可知，3.已知向量若函數在區(qū)間上是增函數，求t的取值范圍.解：依定義在區(qū)間上是增函數等價于在區(qū)間上恒成立;而在區(qū)間上恒成立又等價于在區(qū)間上恒成立;設進而在區(qū)間上恒成立等價于考慮到在上是減函數,在上是增函數,則.于是,t的取值范圍是.4.已知函數，其中是的導函數.對滿足的一切的值，都有，求實數的取值范圍；解法1.由題意，這一問表面上是一個給出參數的范圍，解不等式的問題，實際上，把以為變量的函數，改為以為變量的函數，就轉化為不等式的恒成立的問題，即令，，則對，恒有，即，從而轉化為對，恒成立，又由是的一次函數，因而是一個單調函數，它的最值在定義域的端點得到.為此只需即解得.故時，對滿足的一切的值，都有.解法2.考慮不等式.由知,,于是,不等式的解為.但是,這個結果是不正確的,因為沒有考慮的條件,還應進一步完善.為此,設.不等式化為恒成立,即.由于在上是增函數,則,在上是減函數,則所以,.故時，對滿足的一切的值，都有.5.若對任意的實數，恒成立，求的取值范圍。解法一：原不等式化為令，則，即在上恒大于0。⑴若，要使，即，不存在⑵若，若使，即⑶若，要使，即，由⑴，⑵，⑶可知，。解法二：，在上恒成立。⑴⑵由⑴，⑵可知，。6.已知函數對于一切成立，求a的取值范圍。7.已知函數對于恒成立，，求m的取值范圍。8.若不等式在內恒成立，求a的取值范圍。9.已知函數的定義域為R，求實數的取值范圍。解：由題設可將問題轉化為不等式對恒成立，即有解得。所以實數的取值