2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬卷（2020必修三選修一第1章）01（全解全析）

20232024學(xué)年上學(xué)期期中模擬考試高二數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙．試卷包括試題與答題要求．作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，在試卷上作答一律不得分．3.答卷前，務(wù)必用鋼筆或圓珠筆在答題紙正面清楚地填寫(xiě)姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼等相關(guān)信息．4．測(cè)試范圍：（滬教版2020必修三+選修一第1章）。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一．填空題（共12小題，滿分36分，每小題3分）1．（3分）在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC＝4，E，F(xiàn)分別為棱BB1，DD1上一點(diǎn)，且，則過(guò)點(diǎn)C，E，F(xiàn)的平面截該長(zhǎng)方體所得的面面積為2．【分析】連接A1E，A1F，EF，取C1G＝1，連接B1G，易得截面即為A1FCE且是平行四邊形求解．【解答】解：如圖所示：連接A1E，A1F，EF，取C1G＝1，連接B1G，則由長(zhǎng)方體的特征知：A1F∥B1G，B1G∥CE，所以A1F∥CE，且A1F＝CE，所以四邊形A1FCE是平行四邊形，即為所求截面，因?yàn)锳1F＝，A1E＝，EF＝2，所以cos∠FA1E＝＝，則sin∠FA1E＝，所以截面的面積為S＝2＝＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面的基本性質(zhì)及推論，是基礎(chǔ)題．2．（3分）已知正三棱錐P﹣ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上，其側(cè)棱與底面所成角為，且PA＝2，則球O的表面積為16π．【分析】根據(jù)題意，作出圖形判斷外接球球心的位置，先求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理求出外接球半徑，代入球的表面積公式即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，如圖，設(shè)點(diǎn)Q為△ABC的中心，則PQ⊥平面ABC，三棱錐的側(cè)棱與底面所成角為，即，又由PA＝2，則AQ＝，PQ＝3．則球心O在直線PQ上，連接AO，設(shè)球O的半徑為r，則OA＝OP＝r，OQ＝3﹣r，在Rt△OAQ中，有r2＝（）2+（3﹣r）2，解可得r＝2，故球O的表面積為4πr2＝16π．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐與球的接切問(wèn)題，涉及球的表面積計(jì)算，屬于中檔題．3．（3分）在裝有4個(gè)紅球和2個(gè)白球的盒子中任意取一球，則“取出的球是白球”為隨機(jī)現(xiàn)象（填“隨機(jī)”或“確定性”）．【分析】利用隨機(jī)現(xiàn)象的定義直接求解．【解答】解：在裝有4個(gè)紅球和2個(gè)白球的盒子中任意取一球，有可能取出的球是紅球，也有可能取出的球是白球，則“取出的球是白球”為隨機(jī)現(xiàn)象．故答案為：隨機(jī)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查隨機(jī)現(xiàn)象的判斷，考查隨機(jī)現(xiàn)象的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．4．（3分）若A、B獨(dú)立，P（A）＝0.68，P（B）＝0.36，則P（A﹣B）＝0.44．（答案用小數(shù)表示并保留兩位小數(shù)）【分析】利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式直接求解．【解答】解：A、B獨(dú)立，P（A）＝0.68，P（B）＝0.36，則P（A﹣B）＝P（A）＝P（A）P（）＝0.68×（1﹣0.36）≈0.44．故答案為：0.44．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（3分）已知一組數(shù)據(jù)2ξ1+1，2ξ2+1，…，2ξn+1，的平均數(shù)為4.8，那么數(shù)據(jù)ξ1，ξ2，???，ξn的平均數(shù)為1.9．【分析】設(shè)出數(shù)據(jù)ξ1，ξ2，???，ξn的平均數(shù)，由此表示數(shù)據(jù)2ξ1+1，2ξ2+1，…，2ξn+1的平均數(shù)，列方程求出即可．【解答】解：設(shè)數(shù)據(jù)ξ1，ξ2，???，ξn的平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)2ξ1+1，2ξ2+1，…，2ξn+1的平均數(shù)為2+1＝4.8，解得＝1.9．故答案為：1.9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平均數(shù)的定義與性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．6．（3分）有以下三個(gè)命題：①平面外的一條直線與這個(gè)平面最多有一個(gè)公共點(diǎn)；②直線l在平面α內(nèi)，可以用符號(hào)語(yǔ)言“l(fā)∈α”表示；③已知平面α與β不重合，若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交，則α與β相交．其中真命題的序號(hào)是①③．【分析】由直線在平面外的定義判斷①；寫(xiě)出直線在平面內(nèi)的符號(hào)語(yǔ)言判斷②；由已知可得兩平面有交點(diǎn)判斷③．【解答】解：①若a為平面α外的一條直線，則a∥α或a與α相交，若a∥α，則a與α無(wú)交點(diǎn)，若a與α相交，則a與α只有一個(gè)交點(diǎn)，∴平面外的一條直線與這個(gè)平面最多有一個(gè)公共點(diǎn)，故①正確；②直線l在平面α內(nèi)，可以用符號(hào)語(yǔ)言“l(fā)?α”表示，故②錯(cuò)誤；③平面α與β不重合，則α與β平行或相交，若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交，則α與β有公共點(diǎn)，即α與β相交，故③正確．∴其中真命題的序號(hào)是①③．故答案為：①③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．7．（3分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，以頂點(diǎn)A為球心，以1為半徑作一個(gè)球，球面將正方體分割成兩部分，則兩部分幾何體體積差的絕對(duì)值為．【分析】求出兩部分的體積，再求出差的絕對(duì)值，即可得到答案．【解答】解：∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體體積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．8．（3分）若數(shù)據(jù)1，2，3，…，9，x的方差為7，則數(shù)據(jù)2，3，…，9，10，x+1的方差為7．【分析】根據(jù)方差公式求解．【解答】解：設(shè)數(shù)據(jù)1，2，3，…，9，x的平均值為，方差為，數(shù)據(jù)2，3，…，9，10，x+1的平均值為+1，方差為，∴＝＝7，∴＝＝＝7，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了方差的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．9．（3分）給出下列四個(gè)命題：①平行于同一平面的兩條直線互相平行；②分別與兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線；③如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直；④一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行．其中真命題為③④．【分析】利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系直接求解．【解答】解：對(duì)于①，平行于同一平面的兩條直線相交、平行或異面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，分別與兩條異面直線都相交的兩條直線不一定是異面直線，如圖，直線AD與BC都是異面直線，AB，AC都與AD，BC相交，但AB，AC是共面直線，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，由線面垂直的判定理得這條直線與這個(gè)平面垂直，故③正確；對(duì)于④，一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行，故④正確．故答案為：③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，是中檔題．10．（3分）在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的玻璃球共有40個(gè)，除顏色外其他完全相同，小明通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球、黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%，則口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是16個(gè)．【分析】由題意：“小明通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)”知所得頻率可以近似地認(rèn)為是概率，再由概率之和為1計(jì)算出白球的頻率，最后由數(shù)據(jù)總數(shù)×頻率＝頻數(shù)計(jì)算白球的個(gè)數(shù)即可．【解答】解：∵摸到紅色球、黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%，∴摸到白球的頻率為1﹣15%﹣45%＝40%，故口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是40×40%＝16個(gè)；故答案為16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率的意義，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．關(guān)鍵是算出摸到白球的頻率．11．（3分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)均為4，且∠ABC＝120°，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)E且與BD1垂直的平面截該四棱柱所得截面的面積為．【分析】取BB1靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)G，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，EG，F(xiàn)G，先證出AC⊥BD1，進(jìn)而B(niǎo)D1⊥EF，取A1B1的中點(diǎn)P，連接D1P，BP，由△PB1B∽△GBF可得PB⊥GF，由D1P⊥A1B1可證得D1P⊥平面A1B1BA，所以D1P⊥GF，進(jìn)而證出GF⊥平面D1PB，所以BD1⊥GF，BD1⊥平面GEF，△EFG為過(guò)點(diǎn)E且與BD1垂直的平面截該四棱柱所得的截面，再利用邊長(zhǎng)條件求出△EFG的面積即可．【解答】解：取BB1靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)G，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，EG，F(xiàn)G，如圖所示，∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，∴D1D⊥底面ABCD，∴D1D⊥AC，∵底面ABCD為菱形，∴AC⊥BD，又∵DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面D1DB，∴AC⊥BD1，∵點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴EF∥AC，∴BD1⊥EF，取A1B1的中點(diǎn)P，連接D1P，BP，則△PB1B∽△GBF，∴PB⊥GF，∵△D1A1B1為等邊三角形，∴D1P⊥A1B1，又∵平面A1B1C1D1⊥平面A1B1BA，且平面A1B1C1D1∩平面A1B1BA＝A1B1，∴D1P⊥平面A1B1BA，∴D1P⊥GF，又∵PB∩D1P＝P，∴GF⊥平面D1PB，∴BD1⊥GF，又∵EF∩GF＝F，∴BD1⊥平面GEF，∴△EFG為過(guò)點(diǎn)E且與BD1垂直的平面截該四棱柱所得的截面，易求GE＝GF＝，∵底面ABCD為邊長(zhǎng)是4的菱形，且∠ABC＝120°，∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?cos120°＝48，∴AC＝4，∴EF＝＝2，∴S△EFG＝＝．即過(guò)點(diǎn)E且與BD1垂直的平面截該四棱柱所得截面的面積為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間中直線與平面垂直的位置關(guān)系，考查了平面與平面平行的位置關(guān)系，是中檔題．12．（3分）如圖，二面角a﹣l﹣β等于120°，A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝，則CD的長(zhǎng)等于2．【分析】構(gòu)造二面角的平面角，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角問(wèn)題．【解答】解：過(guò)B作BE⊥l，使BE＝AC，連接CE、DE，因?yàn)锽D⊥l，所以∠DBE是二面角a﹣l﹣β的平面角，于是∠DBE＝120°，又因?yàn)锳C⊥l，AB＝AC，所以四邊形ACEB為正方形，又因?yàn)锽D＝AC＝BE＝，所以DE＝2?BE?sin60°＝3，所以CD＝＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系，考查了二面角及其平面角問(wèn)題，屬于中檔題．二．選擇題（共4小題，滿分12分，每小題3分）13．（3分）下列調(diào)查方式合適的是（）A．為了了解一批炮彈的殺傷半徑，采用普查的方式 B．為了了解一批玉米種子的發(fā)芽率，采用普查的方式 C．為了了解一條河流的水質(zhì)，采用抽查的方式 D．為了了解一個(gè)寢室的學(xué)生（共5個(gè)人）每周體育鍛煉的時(shí)間，采用抽查的方式【分析】利用抽樣調(diào)查和普查的定義、性質(zhì)直接求解．【解答】解：對(duì)于A，為了了解一批炮彈的殺傷半徑，采用抽樣調(diào)查的方式，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，為了了解一批玉米種子的發(fā)芽率，采用抽樣調(diào)查的方式，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，為了了解一條河流的水質(zhì)，采用抽查的方式，故C正確；對(duì)于D，為了了解一個(gè)寢室的學(xué)生（共5個(gè)人）每周體育鍛煉的時(shí)間，采用普查的方式，故D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查調(diào)查方式的判斷，考查抽樣調(diào)查和普查的定義、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．14．（3分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，AB＝3，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，過(guò)BF的平面α與直線C1E平行，則平面α截該長(zhǎng)方體所得截面的面積為（）A．3 B． C． D．【分析】由過(guò)BF的平面α與直線C1E平行，得平面α是矩形BCFE，由此能求出平面α截該正方體所得截面的面積．【解答】解：在ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點(diǎn)，∵過(guò)BF的平面α與直線C1E平行，又AF∥C1E，∴平面α是平面ABF，取DD1中點(diǎn)G，連結(jié)GF，AG，∴平面α截該正方體所得截面為矩形ABFG，∵AB＝3，BF＝＝，∴平面α截該正方體所得截面的面積為S矩形ABFG＝3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面截正方體所得平面面積的求法，考查線面平行的判定定理、線面平行的判定定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．15．（3分）為了解青少年視力情況，統(tǒng)計(jì)得到10名青少年的視力測(cè)量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個(gè)位數(shù)，葉表示十位數(shù)，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）【分析】將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，由此即可得解．【解答】解：由題意，10名青少年的視力測(cè)量值（五分記錄法）按大小依次排列，可得5.3，5.2，5.1，5.0，4.6，4.4，4.2，4.0，3.9，3.8，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是＝4.5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了莖葉圖的用法，考查了中位數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題．16．（3分）甲、乙、丙三人向一敵機(jī)射擊，射中的概率分別為0.4，0.5，0.7．若一人射中敵機(jī)，則敵機(jī)被擊落的概率為0.2；若兩人射中，則敵機(jī)被擊落的概率是0.6；若三人都射中，則敵機(jī)一定被擊落．則敵機(jī)被擊落的概率為（）【分析】設(shè)B＝“飛機(jī)被擊落”，Ai＝“飛機(jī)被i人擊中“，設(shè)Hi＝“飛機(jī)被第i人擊中“，i＝1，2，3，先由獨(dú)立互斥概率公式求得P（Ai），i＝1，2，3，然后利用全概率公式P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3），能求出P（B）．【解答】解：設(shè)B＝“飛機(jī)被擊落”，Ai＝“飛機(jī)被i人擊中“，i＝1，2，3，則B＝A1B+A2B+A3B，依題意，P（B|A1）＝0.2，P（B|A2）＝0.6，P（B|A3）＝1，由全概率公式：P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3），為求P（Ai），設(shè)Hi＝“飛機(jī)被第i人擊中“，i＝1，2，3，則P（A1）＝P（++）＝0.36，P（A2）＝P（++）＝0.41，P（A3）＝P（H1H2H3）＝0.14，∴P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1＝0.458，∴飛機(jī)被擊落的概率為0.458．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．三．解答題（共5小題，滿分52分）17．（10分）甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工同一種零件，零件由甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床加工的概率分別是0.5，0.3，0.2，合格率分別為0.94，0.9，0.95．求加工此種零件的合格率．【分析】設(shè)“從全部產(chǎn)品中隨機(jī)取出一個(gè)零件，這個(gè)零件是第i個(gè)機(jī)床加工的”為事件Ai（i＝1，2，3），“從第i個(gè)機(jī)床隨機(jī)取一個(gè)零件，這個(gè)零件為合格品”為事件Bi（i＝1，2，3），“從全部產(chǎn)品中隨機(jī)取出一個(gè)零件，這個(gè)零件為合格品”為事件C，利用全概率計(jì)算公式即可得出所求的答案．【解答】解：設(shè)“從全部產(chǎn)品中隨機(jī)取出一個(gè)零件，這個(gè)零件是第i個(gè)機(jī)床加工的”為事件Ai（i＝1，2，3），“從第i個(gè)機(jī)床隨機(jī)取一個(gè)零件，這個(gè)零件為合格品”為事件Bi（i＝1，2，3），“從全部產(chǎn)品中隨機(jī)取出一個(gè)零件，這個(gè)零件為合格品”為事件C，由題意可知：P（A1）＝0.5，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.2，P（B1）＝0.94，P（B2）＝0.9，P（B3）＝0.95，P（C）＝P（A1B1+A2B2+A3B3）＝P（A1B1）+P（A2B2+P（A3B3）＝0.5×0.94+0.3×0.9+0.2×0.95＝0.93．所以加工此種零件的合格率為0.93．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全概率計(jì)算，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．18．（10分）如圖，已知底面邊長(zhǎng)為a的正四棱錐P﹣ABCD，高與斜高的夾角為30°，若截面PAC的面積為4．（1）求a的值；（2）求正四棱錐P﹣ABCD的表面積．【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)AC的中點(diǎn)為O，BC的中點(diǎn)為E，連接PO、PE、OE，解△POE可得PO和PE的長(zhǎng)，由截面PAC的面積可得關(guān)于a的方程，解可得答案；（2）根據(jù)題意，由a的值，分別求出正四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面積和底面積，進(jìn)而相加可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)AC的中點(diǎn)為O，BC的中點(diǎn)為E，連接PO、PE、OE，則正四棱錐P﹣ABCD的高為PO，其中一條斜高為PE，底面ABCD的邊長(zhǎng)為a，則OE＝，又由∠OPE＝30°，則PE＝a，PO＝，又由截面PAC的面積為4，即PO?AC＝××a＝4，解可得a＝4或﹣4（舍），故a＝4；（2）由（1）的結(jié)論，斜高PE＝a＝4，則該四棱錐的側(cè)面積S1＝4S△PBC＝4×（×4×4）＝32，底面積S2＝4×4＝16，故正四棱錐P﹣ABCD的表面積S＝32+16＝48．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四棱錐的表面積計(jì)算，涉及四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．19．（10分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝BC＝AC＝2，AB＝2，D是AB的中點(diǎn)．（1）求異面直線AC1與BC所成角的大??；（2）在線段A1C上是否存在點(diǎn)E，使得DE∥平面BCC1B1？如果存在，請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)E，（不寫(xiě)作法，但保留作圖痕跡）并加以證明；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由AC∥A1C1，得異面直線AC1與BC所成角的大小為∠AC1B1或其補(bǔ)角，由此能求出異面直線AC1與BC所成角．（2）連接AC1交A1C于點(diǎn)E，連接DE和BC1，推導(dǎo)出DE∥BC1，由此能證明DE∥平面BCC1B1．【解答】解：（1）連接AB1，∵AC∥A1C1∴異面直線AC1與BC所成角的大小為∠AC1B1或其補(bǔ)角，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝BC＝AC＝2，AB＝2，∴AC1＝＝＝2，B1C1＝2，AB1＝＝＝2，∴＝AB12，∴AC1⊥B1C1，∴異面直線AC1與BC所成角∠AC1B1＝90°．（2）存在．連接AC1交A1C于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求．證明：連接DE和BC1，∵四邊形AA1C1C為平行四邊形，∴E為AC1的中點(diǎn)，∵D為AB的中點(diǎn)，∴在△ABC中，DE∥BC1，又DE?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，∴DE∥平面BCC1B1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查滿足線面平行的點(diǎn)是否存在的判斷與證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．（10分）我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（噸），一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi)．為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中a的值；（2）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）若該市政府希望使85%的居民每月均用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)x（噸），估計(jì)x的值，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的特點(diǎn)：高×組距＝頻率，計(jì)算出每組的頻率，根據(jù)所有頻率之和為1，求解即可得出答案；（2）由（1）得100位居民每人的月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02＝0.12，即可得出答案；（3）分別計(jì)算前6組的頻率之和，前5組的頻率之和，可得2.5≤x＜3，列出關(guān)于x的方程，求解即可得出答案．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖得月平均用水量在[0，0.5）中的頻率為0.08×0.5＝0.04，a，0.26，0.15，0.06，0.04，0.02，∴a+0.26+0.15+0.06+0.04+0.02＝1，解得a＝0.40；（2）由（1）得100位居民每人的月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02＝0.12，根據(jù)樣本估計(jì)總體，則該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12＝36000人；（3）由（1）得前6組的頻率之和為0.04++0.08+0.15+0.20+0.26+0.15＝0.88＞0.85，而前5組的頻率之和為0.04++0.08+0.15+0.20+0.26＝0.73＜0.85，∴2.5≤x＜3，∴0.3（x﹣2.5）＝0.85﹣0.73，解得x＝2.9，∴該市政府希望使85%的居民每月均用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)2.9噸．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21．（12分）材料1：三棱錐有4個(gè)頂點(diǎn)，6條棱，4個(gè)面；正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，6個(gè)面；三棱柱有個(gè)6頂點(diǎn)，9條棱，5個(gè)面；...，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：這些幾何體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)及面數(shù)都滿足簡(jiǎn)單的規(guī)律：4+4﹣6＝8+6﹣12＝6+5﹣9＝2；在此基礎(chǔ)上瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了