空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系

第八章立體幾何與空間向量§8.3空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系內(nèi)容索引根底知識自主學(xué)習(xí)題型分類深度剖析思想與方法系列思想方法感悟提高練出高分根底知識自主學(xué)習(xí)1.四個公理公理1：如果一條直線上的

在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2：過

的三點(diǎn)，有且只有一個平面.公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們

過該點(diǎn)的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線

.兩點(diǎn)不在一條直線上有且只有一條平行知識梳理1答案2.直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類平行相交任何(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的

叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).銳角(或直角)②范圍：.答案3.直線與平面的位置關(guān)系有

、

、

三種情況.4.平面與平面的位置關(guān)系有

、

兩種情況.5.等角定理空間中如果兩個角的

，那么這兩個角相等或互補(bǔ).平行相交在平面內(nèi)平行相交兩邊分別對應(yīng)平行答案判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊台暬颉啊哩?(1)如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.()(2)兩個平面α，β有一個公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線.()(3)兩個平面α，β有一個公共點(diǎn)A，就說α，β相交于A點(diǎn)，并記作α∩β＝A.()(4)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.()(5)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.()(6)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線.()√×××√×答案思考辨析1.以下命題正確的個數(shù)為()①梯形可以確定一個平面；②假設(shè)兩條直線和第三條直線所成的角相等，那么這兩條直線平行；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；④如果兩個平面有三個公共點(diǎn)，那么這兩個平面重合.A.0 B.1 C.2 D.3解析②中兩直線可以平行、相交或異面，④中假設(shè)三個點(diǎn)在同一條直線上，那么兩個平面相交，①③正確.C考點(diǎn)自測2解析答案123452.a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A.一定是異面直線 B.一定是相交直線C.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線解析由得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，假設(shè)b∥c，那么a∥b，與a、b為異面直線相矛盾.C解析答案123453.(教材改編)兩兩平行的三條直線可確定_____個平面.解析三直線共面確定1個，三直線不共面，每兩條確定1個，可確定3個.

1或3解析答案123454.(教材改編)如下圖，在長方體ABCD－EFGH中，AB＝，AD＝，AE＝2，那么BC和EG所成角的大小是___，AE和BG所成角的大小是_____.∴∠EGF＝45°，∴∠GBF＝60°.45°

60°解析答案12345解析答案12345返回在△MON中，MN<OM＋ON∴④正確.答案④

解析

如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接MO、NO，返回題型分類

深度剖析例1如下圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn).求證：(1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面；證明如圖，連接EF，CD1，A1B.∵E、F分別是AB、AA1的中點(diǎn)，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四點(diǎn)共面.平面根本性質(zhì)的應(yīng)用題型一解析答案(2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn).證明∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，如下圖.那么由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA.∴CE、D1F、DA三線共點(diǎn).解析答案思維升華公理1是判斷一條直線是否在某個平面的依據(jù)；公理2及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)；公理3是證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線的依據(jù).思維升華如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝

AD，BE∥AF且BE＝

AF，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn).(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；證明由FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，∴四邊形BCHG為平行四邊形.跟蹤訓(xùn)練1解析答案(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？∴BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面.又D∈FH，∴C、D、F、E四點(diǎn)共面.解析答案例2(1)(2023·廣東)假設(shè)直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，那么以下命題正確的選項(xiàng)是()A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條相交D.l至少與l1，l2中的一條相交判斷空間兩直線的位置關(guān)系題型二解析答案解析假設(shè)l與l1，l2都不相交，那么l∥l1，l∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l(xiāng)至少與l1，l2中的一條相交.答案D(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，那么以下判斷錯誤的選項(xiàng)是()A.MN與CC1垂直B.MN與AC垂直C.MN與BD平行D.MN與A1B1平行解析答案解析連接B1C，B1D1，那么點(diǎn)M是B1C的中點(diǎn)，MN是△B1CD1的中位線，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1與B1D1相交，∴MN與A1B1不平行，應(yīng)選D.答案D(3)在圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，那么表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________.(填上所有正確答案的序號)解析答案解析圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G、H、N三點(diǎn)共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G、M、N共面，但H?面GMN，因此GH與MN異面.所以圖②④中GH與MN異面.答案

②④思維升華空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定.對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決.思維升華如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是________.跟蹤訓(xùn)練2解析答案解析把正四面體的平面展開復(fù)原，如下圖，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.答案②③④例3(1)如下圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AA1∶AB＝∶1，那么異面直線AB1與BD所成的角為___.解析取A1C1的中點(diǎn)E，連接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即為所求，故∠AB1E＝60°.60°求兩條異面直線所成的角題型三解析答案思維升華(2)空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大小.解析答案思維升華解如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，解析答案思維升華由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的補(bǔ)角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補(bǔ)角)為AB與CD所成的角.∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當(dāng)∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°；當(dāng)∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°.故EF與AB所成的角為15°或75°.思維升華(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移.(2)求異面直線所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求〞.其中空間選點(diǎn)任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)〞，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，作出異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問題，進(jìn)而求解.思維升華(1)(2023·大綱全國)正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，那么異面直線CE與BD所成角的余弦值為()跟蹤訓(xùn)練3解析答案設(shè)其棱長為2，取AD的中點(diǎn)F，連接EF，設(shè)EF的中點(diǎn)為O，連接CO，那么EF∥BD，那么∠FEC就是異面直線CE與BD所成的角.△ABC為等邊三角形，那么CE⊥AB，解析畫出正四面體ABCD的直觀圖，如下圖.解析答案答案B故CE＝CF.因?yàn)镺E＝OF，所以CO⊥EF.(2)直三棱柱ABC－A1B1C1中，假設(shè)∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，那么異面直線BA1與AC1所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°解析答案返回∴AC1∥BD1.∴BA1與AC1所成角的大小為∠A1BD1.又易知△A1BD1為正三角形，∴∠A1BD1＝60°.即BA1與AC1成60°的角.答案C解析如圖，可補(bǔ)成一個正方體，返回思想與方法系列典例m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，有以下四個命題：①假設(shè)m⊥α，n⊥β，m⊥n，那么α⊥β；②假設(shè)m∥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；③假設(shè)m⊥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；④假設(shè)m⊥α，n∥β，α∥β，那么m⊥n.其中所有正確的命題是()A.①④ B.②④ C.① D.④思維點(diǎn)撥構(gòu)造一個長方體模型，找出適合條件的直線與平面，在長方體內(nèi)判斷它們的位置關(guān)系.思想與方法系列15.構(gòu)造模型判斷空間線面位置關(guān)系思維點(diǎn)撥解析答案溫馨提醒返回解析借助于長方體模型來解決此題，對于①，可以得到平面α，β互相垂直，如圖(1)所示，故①正確；對于②，平面α、β可能垂直，如圖(2)所示，故②不正確；對于③，平面α、β可能垂直，如圖(3)所示，故③不正確；對于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因?yàn)閚∥β，所以過n作平面γ，且γ∩β＝g，如圖(4)所示，所以n與交線g平行，因?yàn)閙⊥g，所以m⊥n，故④正確.答案A返回溫馨提醒(1)構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，防止了因考慮不全面而導(dǎo)致解題錯誤；(2)對于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長方體或正方體化抽象為直觀去判斷.返回溫馨提醒思想方法

感悟提高1.主要題型的解題方法(1)要證明“線共面〞或“點(diǎn)共面〞可先由局部直線或點(diǎn)確定一個平面，再證其余直線或點(diǎn)也在這個平面內(nèi)(即“納入法〞).(2)要證明“點(diǎn)共線〞可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線.方法與技巧2.判定空間兩條直線是異面直線的方法(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線.(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面.3.求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決.根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無關(guān)，往往可以選在其中一條直線上(線面的端點(diǎn)或中點(diǎn))利用三角形求解.1.正確理解異面直線“不同在任何一個平面內(nèi)〞的含義，不要理解成“不在同一個平面內(nèi)〞.2.不共線的三點(diǎn)確定一個平面，一定不能丟掉“不共線〞條件.3.兩條異面直線所成角的范圍是(0°，90°].失誤與防范返回練出高分12345678910111213141.在以下命題中，不是公理的是()A.平行于同一個平面的兩個平面相互平行B.過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面C.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D.如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線15解析答案1234567891011121314解析

選項(xiàng)A是面面平行的性質(zhì)定理，是由公理推證出來的，而公理是不需要證明的.答案A152.(2023·廣東)假設(shè)空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，那么以下結(jié)論一定正確的選項(xiàng)是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定123456789101112131415解析答案解析在如下圖的長方體中，23456789101112131415不妨設(shè)l2為直線AA1，l3為直線CC1，那么直線l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1；這三組直線相交，平行，垂直，異面，應(yīng)選D.答案D1234567891011121314153.直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，那么直線b和c的位置關(guān)系是()A.相交或平行 B.相交或異面C.平行或異面 D.相交、平行或異面解析依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面，應(yīng)選D.D解析答案123456789101112131415A解析答案123456789101112131415解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，故CD∥AB，那么CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角，即為∠PAB.B解析答案1234567891011121314156.(教材改編)如下圖，平面α，β，γ兩兩相交，a，b，c為三條交線，且a∥b，那么a與c，b與c的位置關(guān)系是________.解析∵a∥b，a?α，b?α，∴b∥α.又∵b?β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.a∥b∥c解析答案1234567891011121314157.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，那么直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為__.解析EF與正方體左、右兩側(cè)面均平行.所以與EF相交的側(cè)面有4個.4解析答案1234567891011121314158.(2023·浙江)如圖，三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，那么異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________.解析答案123456789101112131415解析如下圖，連接DN，取線段DN的中點(diǎn)K，連接MK，CK.∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴MK∥AN，∴∠KMC為異面直線AN，CM所成的角.∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點(diǎn)，解析答案123456789101112131415在△CKM中，由余弦定理，得19.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，那么在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有________條.23456789101112131415解析答案123456789101112131415解析方法一在EF上任意取一點(diǎn)M，直線A1D1與M確定一個平面，這個平面與CD有且僅有1個交點(diǎn)N，M取不同的位置就確定不同的平面，從而與CD有不同的交點(diǎn)N，而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn).如下圖.解析答案1方法二在A1D1上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P與直線EF作一個平面α，因CD與平面α不平行，所以它們相交，設(shè)它們交于點(diǎn)Q，連接PQ，那么PQ與EF必然相交，即PQ為所求直線.由點(diǎn)P的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線A1D1，EF，CD都相交.23456789101112131415答案無數(shù)12345678910111213141510.如圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E、F、G的平面交AD于點(diǎn)H.(1)求AH∶HD；解析答案123456789101112131415∴EF∥AC，∴EF∥平面ACD，而EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH，∴AC∥GH.123456789101112131415(2)求證：EH、FG、BD三線共點(diǎn).∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形.令EH∩FG＝P，那么P∈EH，而EH?平面ABD，又P∈FG，F(xiàn)G?平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三線共點(diǎn).解析答案12345678910111213141511.以下四個命題中，①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②假設(shè)點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，那么點(diǎn)A、B、C、D、E共面；③假設(shè)直線a、b共面，直線a、c共面，那么直線b、c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面.正確命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.3解析答案123456789101112131415解析①中顯然是正確的；②中假設(shè)A、B、C三點(diǎn)共線，那么A、B、C、D、E五點(diǎn)不一定共面；③構(gòu)造長方體或正方體，如圖顯然b、c異面，故不正確；④中空間四邊形中四條線段不共面，故只有①正確.答案B112.如圖，矩形ABCD中，AB＝2AD，E為邊AB的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.假設(shè)M為線段A1C的中點(diǎn)，那么在△ADE翻折過程中，下面四個命題中不正確的選項(xiàng)是()A.|BM|是定值B.點(diǎn)M在某個球面上運(yùn)動C.存在某個位置，使DE⊥A1CD.存在某個位置，使MB∥平面A1DE23456789101112131415解析答案1解析取DC中點(diǎn)N，連接MF，BF，MF∥A1D且MF＝

A1D，23456789101112131415FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B為圓心，MB為半徑的球上，可得A、B正確.由MF∥A1D與FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得D正確；A1C在平面ABCD中的射影與AC