四川省資陽(yáng)市高中2023-2024學(xué)年高三第二次診斷性考試文科數(shù)學(xué)試題

秘密★啟用前資陽(yáng)市高中2021級(jí)第二次診斷性考試數(shù)學(xué)（文科）本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.復(fù)數(shù)，則（）A.1B.C.2D.43.已知向量，則（）A.10B.18C.D.4.已知命題，則為（）A.B.C.D.5.甲?乙兩人進(jìn)行了10輪的投籃練習(xí)，每輪各投10個(gè)，現(xiàn)將兩人每輪投中的個(gè)數(shù)制成如下折線圖：下列說(shuō)法正確的是（）A.甲投中個(gè)數(shù)的平均數(shù)比乙投中個(gè)數(shù)的平均數(shù)小B.甲投中個(gè)數(shù)的中位數(shù)比乙投中個(gè)數(shù)的中位數(shù)小C.甲投中個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比乙投中個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小D.甲投中個(gè)數(shù)的極差比乙投中個(gè)數(shù)的極差大6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為2023，則輸出的值為（）A.B.C.D.7.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則（）A.2B.C.D.8.已知為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，的面積為，則的方程為（）A.B.C.D.9.若直線與曲線相切，則（）A.B.C.D.10.函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值是（）A.B.C.3D.11.在正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A.與所成的角為B.與所成的角為C.與所成的角為D.與所成的角為12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左?右焦點(diǎn)，分別為的左?右頂點(diǎn).為上一點(diǎn)，且軸，直線與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn).若，則的離心率為（）A.B.C.D.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則___________.14.已知實(shí)數(shù)滿足則的最大值為_(kāi)__________.15.在正四棱臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，若，則該四棱臺(tái)的高是___________.16.《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有女子善織，日增等尺，四日織24尺，且第七日所織尺數(shù)為前兩日所織尺數(shù)之積.則第十日所織尺數(shù)為？譯為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第2天開(kāi)始，每天比前一天多織相同量的布，前4天織了24尺布，且第7天所織布尺數(shù)為第1天和第2天所織布尺數(shù)的積.問(wèn)第10天織布尺數(shù)為_(kāi)__________.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（12分）某工注重生產(chǎn)工藝創(chuàng)新，設(shè)計(jì)并試運(yùn)行了甲?乙兩條生產(chǎn)線.現(xiàn)對(duì)這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行評(píng)估，在這兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取了300件進(jìn)行測(cè)評(píng)，并將測(cè)評(píng)結(jié)果（“優(yōu)”或“良”）制成如下所示列聯(lián)表：良優(yōu)合計(jì)甲生產(chǎn)線4080120乙生產(chǎn)線80100180合計(jì)120180300（1）通過(guò)計(jì)算判斷，是否有的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系？（2）現(xiàn)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行進(jìn)一步分析，在測(cè)評(píng)結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取了6件產(chǎn)品.若在這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求這2件產(chǎn)品中至少有一件產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的概率.附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中.18.（12分）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若為銳角三角形，，__________，求面積的取值范圍.從①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.19.（12分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于兩點(diǎn).（1）求；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20.（12分）如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面.（1）求證：；（2）若，在棱上是否存在一點(diǎn)，使得四棱錐的體積為？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21.（12分）已知函數(shù).（1）若，判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)，探究在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線（其中），曲線（為參數(shù)，），曲線（為參數(shù)，）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求的極坐標(biāo)方程；（2）若曲線與分別交于兩點(diǎn)，求面積的最大值.23.[選修4-5：不等式選講]（10分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）令的最小值為，正數(shù)滿足，證明：.文科數(shù)學(xué)參考解答及評(píng)分參考一?選擇題1.【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)集合運(yùn)算問(wèn)題，主要考查一元二次不等式的解法，集合的交集運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【答案】B【解析】由，所以.2.【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)復(fù)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題，主要考查復(fù)數(shù)的除法?加法運(yùn)算，復(fù)數(shù)模的概念等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力.【答案】C【解析】由，所以.3.【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)平面向量運(yùn)算問(wèn)題，主要考查向量的加減法運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【答案】A【解析】.4.【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，主要考查全稱量詞與存在量詞的意義?含有一個(gè)量詞的命題的否定等基礎(chǔ)知識(shí)；考查數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).【答案】D【解析】依題意，對(duì)有存在量詞的命題的否定為.5.【考查意圖】本小題設(shè)置生活實(shí)踐情境，主要考查直方圖?統(tǒng)計(jì)量的含義等基礎(chǔ)知識(shí)；考查統(tǒng)計(jì)與概率等數(shù)學(xué)思想；考查直觀想象?數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).【答案】C【解析】依直方圖可知，甲投中個(gè)數(shù)的平均數(shù)?中位數(shù)分別比乙投中個(gè)數(shù)的平均數(shù)?中位數(shù)大，錯(cuò)誤；甲投中個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差比乙投中個(gè)數(shù)的平標(biāo)準(zhǔn)差小，C正確；甲投中個(gè)數(shù)的極差比乙投中個(gè)數(shù)的極差小，錯(cuò)誤.6.【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)應(yīng)用情境，設(shè)計(jì)程序框圖問(wèn)題，主要考查對(duì)程序框圖以及循環(huán)結(jié)構(gòu)的理解和應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)；考查讀圖能力和邏輯思維能力；考查邏輯推理素養(yǎng).【答案】D【解析】運(yùn)行程序，輸入，則，滿足，滿足，滿足，不滿足，故輸出的.7.【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)等差數(shù)列和等比數(shù)列問(wèn)題，主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力.【答案】C【解析】由是等差數(shù)列，得，所以，由得，所以，所以.8.【考查意圖】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題，考查雙曲線的定義，解三角形及三角形面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).【答案】B【解析】設(shè)，由得，又因?yàn)椋?，故的面積為，即，故的方程為.9.【考查意圖】本小題設(shè)置有關(guān)切線的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義?導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解?推理論證等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法.【答案】C【解析】設(shè)與曲線相切于點(diǎn)，則切線方程為，即，則，解得.10.【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)置三角函數(shù)圖象問(wèn)題，主要考查三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查化歸與轉(zhuǎn)化能力?運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).【答案】A【解析】由，得，因?yàn)?，所以，所以，將該函?shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為.由已知得，函數(shù)為奇函數(shù)，所以，解得，又，所以的最小值為.11.【考查意圖】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)空間幾何問(wèn)題，主要考查正方體中直線與直線的位置關(guān)系?線線角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能；考查空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化等思想，考查邏輯推理?直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng).【答案】A【解析】如圖，由正方體的性質(zhì)，可得為正三角形，所以為與所成的角，等于選項(xiàng)正確；同理為與所成的角，等于選項(xiàng)錯(cuò)誤；由平面，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，為與所成的角，在Rt中，，顯然選項(xiàng)錯(cuò)誤.12.【考查意圖】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)與橢圓有關(guān)的綜合問(wèn)題，考查利用簡(jiǎn)單圖形的幾何性質(zhì)求解點(diǎn)的坐標(biāo)，線段長(zhǎng)度等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸轉(zhuǎn)化?數(shù)形結(jié)合等思想方法，考查直觀想象?數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).【答案】B【解析】設(shè)，由題知，不妨設(shè)，又因?yàn)?，所以即，則.二?填空題13.【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)情境，考查函數(shù)的奇偶性等基礎(chǔ)知識(shí)；考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；考查邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).【答案】0【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以恒成立，所以.14.【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情景，主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題；查數(shù)形結(jié)合思想；考查直觀想象?數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【答案】11【解析】不等式組所表示的平面區(qū)域是由連接所構(gòu)成的三角形及內(nèi)部區(qū)域，當(dāng)所表示的直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，的值最大，其最大值為11.15.【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)多面體的內(nèi)切球問(wèn)題；主要考查正四棱臺(tái)的底面與高?斜高等基礎(chǔ)知識(shí)；考查數(shù)形結(jié)合?化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法；考查直觀想象?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).【答案】【解析】如圖，取球心?球與上下底面的切點(diǎn)，球與左?右側(cè)面的切點(diǎn)確定的截面.易得，故，從而四棱臺(tái)的高.16.【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)文化情境，設(shè)計(jì)數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題，主要考查等差數(shù)列公差?數(shù)列通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，閱讀理解能力，推理論證能力；考查數(shù)學(xué)文化，邏輯推理素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【答案】21【解析】設(shè)每日所織尺數(shù)為正項(xiàng)等差數(shù)列，公差為，由已知得即解得或（不符合題意，舍去），所以.三?解答題17.【考查意圖】本小題設(shè)置生活實(shí)踐情境，主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用?概率等基礎(chǔ)知識(shí)；考查統(tǒng)計(jì)與概率等數(shù)學(xué)思想；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算?數(shù)據(jù)處理?數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).【解析】（1）由題，，因此，有的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系.（2）記這6件產(chǎn)品中產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的有2件，記為，產(chǎn)自于乙生產(chǎn)線的有4件，記為.從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件的所有基本事件有：，，，共15個(gè).其中，至少有一件產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的基本事件有9個(gè).所以，抽取的2件產(chǎn)品中至少有一件產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的概率為即.18.【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，主要考查正弦定理，三角形面積公式，銳角三角形等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力；考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，邏輯推理素養(yǎng).【解析】若選①，由正弦定理得，所以，，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以且，所以，所以，所以，故銳角面積的取值范圍為.若選②，由正弦定理得，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以且，所以，所以，所以.故銳角面積的取值范圍為.19.【考查意圖】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)直線與拋物線的綜合問(wèn)題，主要考查直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)?拋物線的對(duì)稱性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查特殊與一股?化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查類比推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【解析】（1）由題知，直線與軸不垂直，故可設(shè)直線的方程為.由得.顯然，，于是.所以.（2）當(dāng)直線軸時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)軸.當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性知，滿足條件的點(diǎn)軸，設(shè)，由得，即，整理得，即，所以.故，解得.綜上，存在定點(diǎn)滿足條件.20.【考查意圖】本小題設(shè)置數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)柱體相關(guān)的綜合問(wèn)題，主要考查直線與平面垂直的判定及性質(zhì)，平面與平面垂直的性質(zhì)，二面角的平面角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能；考查數(shù)形結(jié)合?化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，考查直觀想象?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).【解析】（1）在平面中作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面，從?在三棱柱中，平面平面，所以.又因?yàn)椋云矫?，因?（2）假設(shè)點(diǎn)存在，在平面中，作交于，則，因?yàn)槠矫?，故平?在平行四邊形中，因?yàn)?，?所以.所以，所以.因，所以.故符合條件的點(diǎn)存在，為的中點(diǎn).21.【考查意圖】本小題以冪函數(shù)?三角函數(shù)等通過(guò)四則運(yùn)算構(gòu)成的新函數(shù)為數(shù)學(xué)探究創(chuàng)新情境，主要考查函數(shù)的圖象和性質(zhì)?導(dǎo)數(shù)?不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查化歸與轉(zhuǎn)化?分類與整合?數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想；考查數(shù)學(xué)抽象?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算?直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).【解析】（1）當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，理由如下：思路1：依題意，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，故時(shí)，，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù).思路2：依題意，，由于，則為奇函數(shù)，故可先判斷在上單調(diào)性.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，由于為奇函數(shù)，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù).（2）由，得，依題意，只需探究在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.令，則，（i）當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在恒成立，則即單調(diào)遞增，故，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)，則在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.（ii）當(dāng)，即時(shí)，，使得，即，可知時(shí)，時(shí)，，所以即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于，①若，即時(shí)，在上沒(méi)有零點(diǎn)，所以，在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.②若，即時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，所以，在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為時(shí)，在上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.選考題22.【考查意圖】本小題設(shè)置課程學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的綜合問(wèn)題，考查直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的交點(diǎn)，三角形的面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).【解析】（1）