專題03 二次函數(shù)的最值與存在性問題（20題）（原卷版）

專題第03講二次函數(shù)的最值與存在性問題（20題）1．（2023春?鼓樓區(qū)校級期末）在人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材P53的數(shù)學(xué)活動中有這樣一段描述：如圖，四邊形ABCD中，AD＝CD，AB＝BC，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．（1）試猜想箏形的對角線有什么位置關(guān)系，然后用全等三角形的知識證明你的猜想；（2）已知箏形ABCD的對角線AC，BD的長度為整數(shù)值，且滿足AC+BD＝6．試求當(dāng)AC，BD的長度為多少時，箏形ABCD的面積有最大值，最大值是多少？2．（2023?蘇州一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運(yùn)動：同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，2cm/s的速度沿BC運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動的時間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時，△PBQ的面積為2cm2；（2）求四邊形PQCA的面積S的最小值．3．（2023春?漢壽縣期中）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)D為直線OD與拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）在x軸下方的一個交點(diǎn)，點(diǎn)P為此拋物線上的一個動點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）若直線OD為，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時，求△POD面積的最大值．4．（2023?鄄城縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，3），A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）．點(diǎn)P是拋物線上一個動點(diǎn)，且在直線BC的上方．（1）求這個二次函數(shù)及直線BC的表達(dá)式．（2）過點(diǎn)P作PD∥y軸交直線BC于點(diǎn)D，求PD的最大值．（3）點(diǎn)M為拋物線對稱軸上的點(diǎn)，問在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使△MNO為等腰直角三角形，且∠NMO為直角，若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．（2023春?銅梁區(qū)校級期中）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣4的圖象與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)，連接CD．（1）求S△COD；（2）如圖1，點(diǎn)P在直線CD下方拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥CD交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PE∥x軸交CD于點(diǎn)E，求PE+PQ的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線沿著射線DC方向平移個單位長度得到新拋物線y1，點(diǎn)M在新拋物線對稱軸上運(yùn)動，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，若以B、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以BM為邊的菱形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并選擇其中一個點(diǎn)的坐標(biāo)寫出求解過程．?6．（2023?襄陽模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)M（﹣2，）和N（2，﹣）兩點(diǎn)，且拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）若點(diǎn)M是拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)，求拋物線解析式及A、B、C坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)P是A、C之間拋物線上一點(diǎn)，求四邊形APCN面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）若B（m，0），且1≤m≤3，求a的取值范圍．7．（2023?崇川區(qū)校級開學(xué)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣4，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，連接AC．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為線段AC上方的拋物線上一動點(diǎn)，過P作PF⊥AC，當(dāng)PF最大時，求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)以及PF的最大值．8．（2023?平潭縣模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）若M為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，使得△MBC為直角三角形，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）如圖1，P為直線BC上方的拋物線上一點(diǎn)，PD∥y軸交BC于D點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E點(diǎn)．設(shè)m＝PD+DE，求m的最大值及此時P點(diǎn)坐標(biāo)．9．（2023?荔城區(qū)校級開學(xué)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），交y軸于點(diǎn)C（0，6），在y軸上有一點(diǎn)E（0，﹣2），連接AE．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個動點(diǎn)，求△ADE面積的最大值．10．（2023?阜新）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx﹣c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）如圖1，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線AC：y＝x+3交于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是直線AC上方拋物線上的一個動點(diǎn)，求△MCD面積的最大值．（3）如圖2，點(diǎn)P是直線AC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線l與BC平行，則在直線l上是否存在點(diǎn)Q，使點(diǎn)B與點(diǎn)P關(guān)于直線CQ對稱？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．11．（2023?防城區(qū)二模）如圖1，已知拋物線y＝ax2+bx+6與軸交于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，∠ABC＝45°．（1）求拋物線的解析式．（2）如圖2，點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動點(diǎn)，EF⊥x軸與BC交于F，求EF的最大值，并說明此時△BCE的面積是否最大．（3）已知點(diǎn)D（﹣3，10），E（2，10），連接DE．若拋物線y＝ax2+bx+6向上平移k（k＞0）個單位長度時，與線段DE只有一個公共點(diǎn)，請求出k的取值范圍．12．（2023?明水縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，3），A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上一個動點(diǎn)，且在直線BC的上方．（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP'C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP'C為菱形？若存在，請求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，使△BPC的面積最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC的面積最大值．13．（2023?晉中模擬）綜合與探究如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0），B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2，若P是直線BC下方拋物線上的一動點(diǎn)，連接PB，PC，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，求△PBC面積的最大值，并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)和線段PD的長；（3）若E是拋物線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EQ∥y軸，交直線BC于點(diǎn)Q，拋物線上是否存在點(diǎn)E，使以E，Q，O，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．?14．（2022秋?曲周縣期末）如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（2，0），B（﹣4，0）兩點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）若拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）在拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若不存在，請說明理由．15．（2022秋?云陽縣期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．（1）求拋物線得解析式；（2）若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，DE⊥x軸于點(diǎn)E，在y軸上確定一點(diǎn)M，使得△ADM是直角三角形，寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并任選其中一個點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程．16．（2023?湟中區(qū)校級開學(xué)）如圖1，拋物線經(jīng)過A（﹣5，0），B（1，0），C（0，5）三點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)P，使PB+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M是線段AC上的點(diǎn)（不與A、C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請用m的代數(shù)式表示MN的長，并求出MN的最大值．17．（2023?太平區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a＞0）與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上的一動點(diǎn)，PM⊥BC于點(diǎn)M，PN∥y軸交BC于點(diǎn)N．求線段PM的最大值和此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)E為x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q為拋物線上一動點(diǎn)，是否存在以CQ為斜邊的等腰直角三角形CEQ？若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．18．（2023?昭平縣二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝3OA＝3．?（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)M是線段BC下方拋物線上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），過點(diǎn)M作直線MN⊥x軸于點(diǎn)D，交線段BC于點(diǎn)N．是否存在點(diǎn)M使得線段MN的長度最大，若存在，求線段MN長度的最大值，若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的自變量x滿足t≤x≤t+1時，此函數(shù)的最大值與最小值的差為2，求出t的值．19．（2023?芝罘區(qū)一模）如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過坐標(biāo)軸上A、B、C三點(diǎn)，直線y＝﹣x+4過點(diǎn)B和點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）E是直線BC上方拋物線上一動點(diǎn)，連接BE、CE，求△BCE面積的最大值及此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）Q是拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P、Q、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條形的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．20．