2018年初高中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)材料(已整理)

./WORD格式.整理版2017初高中數(shù)學(xué)銜接教材現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)教材存在以下"脫節(jié)"：1、絕對(duì)值型方程和不等式,初中沒(méi)有講,高中沒(méi)有專門的內(nèi)容卻在使用；2、立方和與差的公式在初中已經(jīng)刪去不講,而高中還在使用；3、因式分解中,初中主要是限于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式的分解,對(duì)系數(shù)不為1的涉及不多,而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式的分解幾乎不作要求；高中教材中許多化簡(jiǎn)求值都要用到它,如解方程、不等式等；4、二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中數(shù)學(xué)中函數(shù)、不等式常用的解題技巧；5初中教材對(duì)二次函數(shù)的要求較低,學(xué)生處于了解水平。而高中則是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教材的始終的重要內(nèi)容；配方、作簡(jiǎn)圖、求值域〔取值范圍、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大最小值、研究閉區(qū)間上的函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)所必須掌握的基本題型和常用方法；6、二次函數(shù)、二次不等式與二次方程之間的聯(lián)系,根與系數(shù)的關(guān)系〔韋達(dá)定理初中不作要求,此類題目?jī)H限于簡(jiǎn)單的常規(guī)運(yùn)算,和難度不大的應(yīng)用題,而在高中數(shù)學(xué)中,它們的相互轉(zhuǎn)化屢屢頻繁,且教材沒(méi)有專門講授,因此也脫節(jié)；7、圖像的對(duì)稱、平移變換初中只作簡(jiǎn)單介紹,而在高中講授函數(shù)時(shí),則作為必備的基本知識(shí)要領(lǐng)；8、含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式初中只是定量介紹了解,高中則作為重點(diǎn),并無(wú)專題內(nèi)容在教材中出現(xiàn),是高考必須考的綜合題型之一；9、幾何中很多概念〔如三角形的五心：重心、內(nèi)心、外心、垂心、旁心和定理〔平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理初中早就已經(jīng)刪除,大都沒(méi)有去學(xué)習(xí)；10、圓中四點(diǎn)共圓的性質(zhì)和判定初中沒(méi)有學(xué)習(xí)。高中則在使用。另外,象配方法、換元法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化,甚至老師根本沒(méi)有去延伸發(fā)掘,不利于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。新的課程改革,難免會(huì)導(dǎo)致很多知識(shí)的脫節(jié)和漏洞。本書當(dāng)然也沒(méi)有詳盡列舉出來(lái)。我們會(huì)不斷的研究新課程及其體系。將不遺余力地找到新的初高中數(shù)學(xué)教材體系中存在的不足,加以補(bǔ)充和完善。目錄第一章數(shù)與式1.1數(shù)與式的運(yùn)算絕對(duì)值乘法公式二次根式分式1.2分解因式第二章二次方程與二次不等式2.1一元二次方程根的判別式根與系數(shù)的關(guān)系2.2二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)二次函數(shù)的三種表達(dá)方式二次函數(shù)的應(yīng)用2.3方程與不等式二元二次方程組的解法第三章相似形、三角形、圓3.1相似形平行線分線段成比例定理相似三角形形的性質(zhì)與判定3.2三角形三角形的五心解三角形：鈍角三角函數(shù)、正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用3.3圓直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系：圓冪定理點(diǎn)的軌跡四點(diǎn)共圓的性質(zhì)與判定直線和圓的方程〔選學(xué)1.1數(shù)與式的運(yùn)算1.１.1．絕對(duì)值絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身,負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù),零的絕對(duì)值仍是零．即絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值,是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示在數(shù)軸上,數(shù)和數(shù)之間的距離．例1解不等式：＞4．解法一：由,得；由,得；①若,不等式可變?yōu)?即＞4,解得x＜0,又x＜1,∴x＜0；②若,不等式可變?yōu)?即1＞4,∴不存在滿足條件的x；③若,不等式可變?yōu)?即＞4,解得x＞4．又x≥3,∴x＞4．綜上所述,原不等式的解為x＜0,或x＞4．13ABx04CDxP|x－1||x－3|圖1．1－1解法二：如圖1．1－1,表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)P到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離|PA|,即|PA|＝|13ABx04CDxP|x－1||x－3|圖1．1－1所以,不等式＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2,可知點(diǎn)P在點(diǎn)C<坐標(biāo)為0>的左側(cè)、或點(diǎn)P在點(diǎn)D<坐標(biāo)為4>的右側(cè)．x＜0,或x＞4．練習(xí)1．填空：〔1若,則x=_________；若,則x=_________.〔2如果,且,則b＝________；若,則c＝________.2．選擇題：下列敘述正確的是〔〔A若,則〔B若,則〔C若,則〔D若,則3．化簡(jiǎn)：|x－5|－|2x－13|〔x＞5．.乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：〔1平方差公式；〔2完全平方公式．我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：〔1立方和公式；〔2立方差公式；〔3三數(shù)和平方公式；〔4兩數(shù)和立方公式；〔5兩數(shù)差立方公式．對(duì)上面列出的五個(gè)公式,有興趣的同學(xué)可以自己去證明．例1計(jì)算：．解法一：原式===．解法二：原式===．例2已知,,求的值．解：．練習(xí)1．填空：〔1〔；〔2；<3>．2．選擇題：〔1若是一個(gè)完全平方式,則等于〔〔A〔B〔C〔D〔2不論,為何實(shí)數(shù),的值〔〔A總是正數(shù)〔B總是負(fù)數(shù)〔C可以是零〔D可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)．二次根式一般地,形如的代數(shù)式叫做二次根式．根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式子稱為無(wú)理式.例如,等是無(wú)理式,而,,等是有理式．1．分母〔子有理化把分母〔子中的根號(hào)化去,叫做分母〔子有理化．為了進(jìn)行分母〔子有理化,需要引入有理化因式的概念．兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘,如果它們的積不含有二次根式,我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式,例如與,與,與,與,等等．一般地,與,與,與互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根號(hào)的過(guò)程在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中,二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行,運(yùn)算中要運(yùn)用公式；而對(duì)于二次根式的除法,通常先寫成分式的形式,然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似,應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式．2．二次根式的意義將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：〔1；〔2；〔3．解：〔1；〔2；〔3．例2計(jì)算：．解法一：＝＝＝＝＝．解法二：＝＝＝＝＝．例3試比較下列各組數(shù)的大?。骸?和；〔2和.解：〔1∵,,又,∴＜．〔2∵又4＞2eq\r<2>,∴eq\r<6>＋4＞eq\r<6>＋2eq\r<2>,∴＜.例4化簡(jiǎn)：．解：＝＝＝＝．例5化簡(jiǎn)：〔1；〔2．解：〔1原式．〔2原式=,∵,∴,所以,原式＝．例6已知,求的值．解：∵,,∴．練習(xí)1．填空：〔1＝_____；〔2若,則的取值范圍是_____；〔3_____；〔4若,則________．2．選擇題：等式成立的條件是〔〔A〔B〔C〔D3．若,求的值．4．比較大?。?－eq\r<3>eq\r<5>－eq\r<4>〔填"＞",或"＜"．1.1.４．分式1．分式的意義形如的式子,若B中含有字母,且,則稱為分式．當(dāng)M≠0時(shí),分式具有下列性質(zhì)：；．上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)．2．繁分式像,這樣,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1若,求常數(shù)的值．解：∵,∴解得．例2〔1試證：〔其中n是正整數(shù)；〔2計(jì)算：；．〔1證明：∵,∴〔其中n是正整數(shù)成立．〔2解：由〔1可知＝．〔3證明：∵＝＝,又n≥2,且n是正整數(shù),∴eq\f<1,n＋1>一定為正數(shù),∴＜eq\f<1,2>．例3設(shè),且e＞1,2c2－5ac＋2a2＝0,求解：在2c2－5ac＋2a2＝0兩邊同除以2e2－5e＋2＝0,∴<2e－1><e－2>＝0,∴e＝eq\f<1,2>＜1,舍去；或e＝2．∴e＝2．練習(xí)1．填空題：對(duì)任意的正整數(shù)n,<>；2．選擇題：若,則＝〔〔A１〔B〔C〔D3．正數(shù)滿足,求的值．4．計(jì)算．習(xí)題1．1A組1．解不等式：<1>；<2>；<3>． ２．已知,求的值．3．填空：〔1＝________；〔2若,則的取值范圍是________；〔3________．B組1．填空：〔1,,則________；〔2若,則____；2．已知：,求的值．C組1．選擇題：〔1若,則〔〔A〔B〔C〔D〔2計(jì)算等于〔〔A〔B〔C〔D2．解方程．3．計(jì)算：．4．試證：對(duì)任意的正整數(shù)n,有＜eq\f<1,4>．1.2因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法,另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法．1．十字相乘法例1分解因式：〔1x2－3x＋2；〔2x2＋4x－12；〔3；〔4．解：〔1如圖1．1－1,將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個(gè)x的積,再將常數(shù)項(xiàng)2分解成－1與－2的乘積,而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為－3x,就是x2－3x＋2中的一次項(xiàng),所以,有x2－3x＋2＝<x－1><x－2>．－ay－by－ay－byxx圖1．1－4－2611圖1．1－3－1－211圖1．1－2－1－2xx圖1．1－1說(shuō)明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí),可以直接將圖1．1－1中的兩個(gè)x用1來(lái)表示〔如圖1．1－2所示．〔2由圖1．1－3,得x2＋4x－12＝<x－2><x＋6>．〔3由圖1．1－4,得－11xy－11xy圖1．1－5〔4＝xy＋<x－y>－1＝<x－1><y+1>〔如圖1．1－5所示．課堂練習(xí)一、填空題：1、把下列各式分解因式：〔1__________________________________________________?！?__________________________________________________?！?__________________________________________________?！?__________________________________________________?！?__________________________________________________?！?__________________________________________________?！?__________________________________________________?！?__________________________________________________?！?__________________________________________________?！?0__________________________________________________。2、3、若則,。二、選擇題：〔每小題四個(gè)答案中只有一個(gè)是正確的1、在多項(xiàng)式〔1〔2〔3〔4〔5中,有相同因式的是〔A、只有〔1〔2 B、只有〔3〔4C、只有〔3〔5 D、〔1和〔2；〔3和〔4；〔3和〔52、分解因式得〔A、B、C、D、3、分解因式得〔A、B、C、D、4、若多項(xiàng)式可分解為,則、的值是〔A、,B、,C、,D、,5、若其中、為整數(shù),則的值為〔A、或B、C、D、或三、把下列各式分解因式1、2、3、4、2．提取公因式法例2分解因式：〔1 〔2解：〔1．=〔2===．或＝＝＝＝＝課堂練習(xí)：一、填空題：1、多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式是_______________。2、__________________。3、____________________。4、_____________________。5、______________________。6、分解因式得_____________________。7．計(jì)算=二、判斷題：〔正確的打上"√",錯(cuò)誤的打上"×"1、………… 〔2、…………… 〔3、…………… 〔4、……………… 〔3：公式法例3分解因式： 〔1〔2解：<1>= <2>=課堂練習(xí)一、,,的公因式是______________________________。二、判斷題：〔正確的打上"√",錯(cuò)誤的打上"×"1、………… 〔2、………………… 〔3、………………… 〔4、………… 〔5、……………… 〔五、把下列各式分解1、2、3、4、4．分組分解法例4〔1〔2．〔2===．或===．課堂練習(xí)：用分組分解法分解多項(xiàng)式〔1〔25．關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c<a≠0>的因式分解．若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、,則二次三項(xiàng)式就可分解為.例5把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：〔1；〔2．解：〔1令=0,則解得,,∴==．〔2令=0,則解得,,∴=．練習(xí)1．選擇題：多項(xiàng)式的一個(gè)因式為〔〔A〔B〔C〔D2．分解因式：〔1x2＋6x＋8；〔28a3－b3；〔3x2－2x－1；〔4．習(xí)題1．21．分解因式：〔1；〔2；〔3；〔4．2．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：〔1；〔2；〔3；〔4．3．三邊,,滿足,試判定的形狀．4．分解因式：x2＋x－<a2－a>．5.〔嘗試題已知abc=1,a+b+c=2,a2+b2+c2=,求++的值.2.1一元二次方程根的判別式{情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例探索二次方程的根的求法,如求方程的根〔1<2><3>}我們知道,對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0,用配方法可以將其變形為．①因?yàn)閍≠0,所以,4a2＞0．于是〔1當(dāng)b2－4ac＞0時(shí),方程①的右端是一個(gè)正數(shù),因此,原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,2＝；〔2當(dāng)b2－4ac＝0時(shí),方程①的右端為零,因此,原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－；〔3當(dāng)b2－4ac＜0時(shí),方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù),而方程①的左邊一定大于或等于零,因此,原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．由此可知,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0的根的情況可以由b2－4ac來(lái)判定,我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0的根的判別式,通常用符號(hào)"Δ"來(lái)表示．綜上所述,對(duì)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0,有當(dāng)Δ＞0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,2＝；〔2當(dāng)Δ＝0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－；〔3當(dāng)Δ＜0時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況〔其中a為常數(shù),如果方程有實(shí)數(shù)根,寫出方程的實(shí)數(shù)根．〔1x2－3x＋3＝0；〔2x2－ax－1＝0；〔3x2－ax＋<a－1>＝0；〔4x2－2x＋a＝0．解：〔1∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0,∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．〔2該方程的根的判別式Δ＝a2－4×1×<－1>＝a2＋4＞0,所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,．〔3由于該方程的根的判別式為Δ＝a2－4×1×<a－1>＝a2－4a＋4＝<a－2>2,所以,①當(dāng)a＝2時(shí),Δ＝0,所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝1；②當(dāng)a≠2時(shí),Δ＞0,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1＝1,x2＝a－1．〔3由于該方程的根的判別式為Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4<1－a>,所以①當(dāng)Δ＞0,即4<1－a>＞0,即a＜1時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,；②當(dāng)Δ＝0,即a＝1時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝1；③當(dāng)Δ＜0,即a＞1時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．說(shuō)明：在第3,4小題中,方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化,于是,在解題過(guò)程中,需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論,這一方法叫做分類討論．分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法,在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來(lái)解決問(wèn)題．根與系數(shù)的關(guān)系〔韋達(dá)定理 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,,則有；． 所以,一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：如果ax2＋bx＋c＝0〔a≠0的兩根分別是x1,x2,那么x1＋x2＝,x1·x2＝．這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理． 特別地,對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程x2＋px＋q＝0,若x1,x2是其兩根,由韋達(dá)定理可知x1＋x2＝－p,x1·x2＝q, 即p＝－<x1＋x2>,q＝x1·x2, 所以,方程x2＋px＋q＝0可化為x2－<x1＋x2>x＋x1·x2＝0,由于x1,x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根,所以,x1,x2也是一元二次方程x2－<x1＋x2>x＋x1·x2＝0．因此有以兩個(gè)數(shù)x1,x2為根的一元二次方程〔二次項(xiàng)系數(shù)為1是x2－<x1＋x2>x＋x1·x2＝0．例2已知方程的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及k的值．分析：由于已知了方程的一個(gè)根,可以直接將這一根代入,求出k的值,再由方程解出另一個(gè)根．但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理,又可以利用韋達(dá)定理來(lái)解題,即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根,再由兩根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一個(gè)根,∴5×22＋k×2－6＝0,∴k＝－7．所以,方程就為5x2－7x－6＝0,解得x1＝2,x2＝－．所以,方程的另一個(gè)根為－,k的值為－7．解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1,則2x1＝－,∴x1＝－．由〔－＋2＝－,得k＝－7．所以,方程的另一個(gè)根為－,k的值為－7．例3已知關(guān)于x的方程x2＋2<m－2>x＋m2＋4＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21,求m的值．分析：本題可以利用韋達(dá)定理,由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于m的方程,從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是,由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,因此,其根的判別式應(yīng)大于零．解：設(shè)x1,x2是方程的兩根,由韋達(dá)定理,得x1＋x2＝－2<m－2>,x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21,∴<x1＋x2>2－3x1·x2＝21,即[－2<m－2>]2－3<m2＋4>＝21,化簡(jiǎn),得m2－16m－17＝0,解得m＝－1,或m＝17．當(dāng)m＝－1時(shí),方程為x2＋6x＋5＝0,Δ＞0,滿足題意；當(dāng)m＝17時(shí),方程為x2＋30x＋293＝0,Δ＝302－4×1×293＜0,不合題意,舍去．綜上,m＝17．說(shuō)明：〔1在本題的解題過(guò)程中,也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的m的范圍,然后再由"兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21"求出m的值,取滿足條件的m的值即可．〔1在今后的解題過(guò)程中,如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí),還要考慮到根的判別式Δ是否大于或大于零．因?yàn)?韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根．例4已知兩個(gè)數(shù)的和為4,積為－12,求這兩個(gè)數(shù)．分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x,y,利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù)．也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來(lái)求解．解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x,y,則x＋y＝4,①xy＝－12．②由①,得y＝4－x,代入②,得x<4－x>＝－12,即x2－4x－12＝0,∴x1＝－2,x2＝6．∴或因此,這兩個(gè)數(shù)是－2和6．解法二：由韋達(dá)定理可知,這兩個(gè)數(shù)是方程x2－4x－12＝0的兩個(gè)根．解這個(gè)方程,得x1＝－2,x2＝6． 所以,這兩個(gè)數(shù)是－2和6．說(shuō)明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn),解法二〔直接利用韋達(dá)定理來(lái)解題要比解法一簡(jiǎn)捷．例5若x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根． 〔1求|x1－x2|的值；〔2求的值；〔3x13＋x23．解：∵x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的兩根,∴,． 〔1∵|x1－x2|2＝x12+x22－2x1x2＝<x1＋x2>2－4x1x2＝＝＋6＝,∴|x1－x2|＝． 〔2． 〔3x13＋x23＝<x1＋x2><x12－x1x2＋x22>＝<x1＋x2>[<x1＋x2>2－3x1x2]＝<－>×[<－>2－3×<>]＝－．說(shuō)明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量,今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問(wèn)題,為了解題簡(jiǎn)便,我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0,則,,∴|x1－x2|＝．于是有下面的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0,則|x1－x2|＝〔其中Δ＝b2－4ac．今后,在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí),可以直接利用上面的結(jié)論．例6若關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：設(shè)x1,x2是方程的兩根,則x1x2＝a－4＜0,①且Δ＝<－1>2－4<a－4>＞0．②由①得a＜4,由②得a＜eq\f<17,4>．∴a的取值范圍是a＜4．練習(xí)1．選擇題：〔1方程的根的情況是〔〔A有一個(gè)實(shí)數(shù)根〔B有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根〔C有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根〔D沒(méi)有實(shí)數(shù)根〔2若關(guān)于x的方程mx2＋<2m＋1>x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是〔〔Am＜〔Bm＞－〔Cm＜,且m≠0〔Dm＞－,且m≠02．填空:〔1若方程x2－3x－1＝0的兩根分別是x1和x2,則＝．〔2方程mx2＋x－2m＝0〔m≠0的根的情況是．〔3以－3和1為根的一元二次方程是．3．已知,當(dāng)k取何值時(shí),方程kx2＋ax＋b＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？4．已知方程x2－3x－1＝0的兩根為x1和x2,求<x1－3><x2－3>的值．習(xí)題2.1A組1．選擇題:〔1已知關(guān)于x的方程x2＋kx－2＝0的一個(gè)根是1,則它的另一個(gè)根是〔〔A－3〔B3〔C－2〔D2〔2下列四個(gè)說(shuō)法：①方程x2＋2x－7＝0的兩根之和為－2,兩根之積為－7；②方程x2－2x＋7＝0的兩根之和為－2,兩根之積為7；③方程3x2－7＝0的兩根之和為0,兩根之積為；④方程3x2＋2x＝0的兩根之和為－2,兩根之積為0．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是〔〔A1個(gè)〔B2個(gè)〔C3個(gè)〔D4個(gè)〔3關(guān)于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一個(gè)根是0,則a的值是〔〔A0〔B1〔C－1〔D0,或－12．填空:〔1方程kx2＋4x－1＝0的兩根之和為－2,則k＝．〔2方程2x2－x－4＝0的兩根為α,β,則α2＋β2＝．〔3已知關(guān)于x的方程x2－ax－3a＝0的一個(gè)根是－2,則它的另一個(gè)根是．〔4方程2x2＋2x－1＝0的兩根為x1和x2,則|x1－x2|＝．3．試判定當(dāng)m取何值時(shí),關(guān)于x的一元二次方程m2x2－<2m＋1>x＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒(méi)有實(shí)數(shù)根？4．求一個(gè)一元二次方程,使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數(shù)．B組1．選擇題:若關(guān)于x的方程x2＋<k2－1>x＋k＋1＝0的兩根互為相反數(shù),則k的值為<>〔A1,或－1〔B1〔C－1〔D02．填空:〔1若m,n是方程x2＋2005x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則m2n＋mn2－mn的值等于．〔2如果a,b是方程x2＋x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,那么代數(shù)式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3．已知關(guān)于x的方程x2－kx－2＝0．〔1求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；〔2設(shè)方程的兩根為x1和x2,如果2<x1＋x2>＞x1x2,求實(shí)數(shù)k的取值范圍．4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0〔a≠0的兩根為x1和x2．求：〔1|x1－x2|和；〔2x13＋x23．5．關(guān)于x的方程x2＋4x＋m＝0的兩根為x1,x2滿足|x1－x2|＝2,求實(shí)數(shù)m的值．C組1．選擇題：〔1已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程2x2－8x＋7＝0的兩根,則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于〔〔A〔B3〔C6〔D9〔2若x1,x2是方程2x2－4x＋1＝0的兩個(gè)根,則的值為〔〔A6〔B4〔C3〔D〔3如果關(guān)于x的方程x2－2<1－m>x＋m2＝0有兩實(shí)數(shù)根α,β,則α＋β的取值范圍為〔〔Aα＋β≥〔Bα＋β≤〔Cα＋β≥1〔Dα＋β≤1〔4已知a,b,c是ΔABC的三邊長(zhǎng),那么方程cx2＋<a＋b>x＋＝0的根的情況是<>〔A沒(méi)有實(shí)數(shù)根〔B有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根〔C有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根〔D有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的兩根為x1,x2,且3x1＋2x2＝18,則m＝．3．已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．〔1是否存在實(shí)數(shù)k,使<2x1－x2><x1－2x2>＝－成立？若存在,求出k的值；若不存在,說(shuō)明理由；〔2求使－2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值；〔3若k＝－2,,試求的值．4．已知關(guān)于x的方程．〔1求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)時(shí),這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；〔2若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2滿足|x2|＝|x1|＋2,求m的值及相應(yīng)的x1,x2．5．若關(guān)于x的方程x2＋x＋a＝0的一個(gè)大于1、零一根小于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍．2．2二次函數(shù)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例探索二次函數(shù)的圖象,如作圖〔1<2><3>問(wèn)題1函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問(wèn)題,我們可以先畫出y＝2x2,y＝x2,y＝－2x2的圖象,通過(guò)這些函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系,推導(dǎo)出函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間所存在的關(guān)系．先畫出函數(shù)y＝x2,y＝2x2的圖象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818從表中不難看出,要得到2x2的值,只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了．再描點(diǎn)、連線,就分別得到了函數(shù)y＝x2,y＝2x2的圖象〔如圖2－1所示,從圖2－1我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y＝2x2的圖象可以由函數(shù)y＝x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍得到．同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y＝x2,y＝－2x2的圖象,并研究這兩個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)y＝x2的圖象之間的關(guān)系．通過(guò)上面的研究,我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y＝ax2<a≠0>的圖象可以由y＝x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍得到．在二次函數(shù)y＝ax2<a≠0>中,二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開(kāi)口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開(kāi)口的大?。畣?wèn)題2函數(shù)y＝a<x＋h>2＋k與y＝ax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？圖2.2-2xyO－1y＝2x2y＝2<x＋1>2y＝2<x＋1>2＋1同樣地,我們可以利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來(lái)研究它們之間的關(guān)系．同學(xué)們可以作出函數(shù)y＝2<x圖2.2-2xyO－1y＝2x2y＝2<x＋1>2y＝2<x＋1>2＋1類似地,還可以通過(guò)畫函數(shù)y＝－3x2,y＝－3<x－1>2＋1的圖象,研究它們圖象之間的相互關(guān)系．通過(guò)上面的研究,我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)y＝a<x＋h>2＋k<a≠0>中,a決定了二次函數(shù)圖象的開(kāi)口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移,而且"h正左移,h負(fù)右移"；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移,而且"k正上移,k負(fù)下移"．由上面的結(jié)論,我們可以得到研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c<a≠0>的圖象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a<x2＋>＋c＝a<x2＋＋>＋c－,所以,y＝ax2＋bx＋c<a≠0>的圖象可以看作是將函數(shù)y＝ax2的圖象作左右平移、上下平移得到的,于是,二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c<a≠0>具有下列性質(zhì)：〔1當(dāng)a＞0時(shí),函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開(kāi)口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對(duì)稱軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時(shí),y隨著x的增大而減小；當(dāng)x＞時(shí),y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＝時(shí),函數(shù)取最小值y＝． 〔2當(dāng)a＜0時(shí),函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開(kāi)口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為,對(duì)稱軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時(shí),y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞時(shí),y隨著x的增大而減?。划?dāng)x＝時(shí),函數(shù)取最大值y＝．xyxyOx＝－A圖2.2-3xyOx＝－A圖2.2-4yy＝x2y＝2x2圖2.2-1xOy例1求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值〔或最小值,并指出當(dāng)x取何值時(shí),y隨x的增大而增大〔或減小？并畫出該函數(shù)的圖象．xOyx＝－1A<－1,4>D<0,1>BC圖2.2－5解：∵y＝xOyx＝－1A<－1,4>D<0,1>BC圖2.2－5∴函數(shù)圖象的開(kāi)口向下；對(duì)稱軸是直線x＝－1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為<－1,4>；當(dāng)x＝－1時(shí),函數(shù)y取最大值y＝4；當(dāng)x＜－1時(shí),y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞－1時(shí),y隨著x的增大而減?。徊捎妹椟c(diǎn)法畫圖,選頂點(diǎn)A<－1,4>>,與x軸交于點(diǎn)B和C,與y軸的交點(diǎn)為D<0,1>,過(guò)這五點(diǎn)畫出圖象〔如圖2－5所示．說(shuō)明：從這個(gè)例題可以看出,根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象,可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn),減少了選點(diǎn)的盲目性,使畫圖更簡(jiǎn)便、圖象更精確．函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象作圖要領(lǐng)：確定開(kāi)口方向：由二次項(xiàng)系數(shù)a決定確定對(duì)稱軸：對(duì)稱軸方程為確定圖象與x軸的交點(diǎn)情況,①若△>0則與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),可由方程x2＋bx＋c=0求出②①若△=0則與x軸有一個(gè)交點(diǎn),可由方程x2＋bx＋c=0求出③①若△<0則與x軸有無(wú)交點(diǎn)。確定圖象與y軸的交點(diǎn)情況,令x=0得出y=c,所以交點(diǎn)坐標(biāo)為〔0,c由以上各要素出草圖。練習(xí)：作出以下二次函數(shù)的草圖 〔1 <2> <3>例2某種產(chǎn)品的成本是120元/件,試銷階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x〔元與產(chǎn)品的日銷售量y〔件之間關(guān)系如下表所示：x/元130150165y/件705035若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù),那么,要使每天所獲得最大的利潤(rùn),每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷售利潤(rùn)是多少？分析：由于每天的利潤(rùn)＝日銷售量y×<銷售價(jià)x－120>,日銷售量y又是銷售價(jià)x的一次函數(shù),所以,欲求每天所獲得的利潤(rùn)最大值,首先需要求出每天的利潤(rùn)與銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系,然后,再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤(rùn)的最大值．解：由于y是x的一次函數(shù),于是,設(shè)y＝kx＋〔B將x＝130,y＝70；x＝150,y＝50代入方程,有解得k＝－1,b＝200．∴y＝－x＋200．設(shè)每天的利潤(rùn)為z〔元,則z＝<－x+200><x－120>＝－x2＋320x－24000＝－<x－160>2＋1600,∴當(dāng)x＝160時(shí),z取最大值1600．答：當(dāng)售價(jià)為160元/件時(shí),每天的利潤(rùn)最大,為1600元．例3把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個(gè)單位,再向左平移4個(gè)單位,得到函數(shù)y＝x2的圖像,求b,c的值．解法一：y＝x2＋bx＋c＝<x+>2,把它的圖像向上平移2個(gè)單位,再向左平移4個(gè)單位,得到的圖像,也就是函數(shù)y＝x2的圖像,所以,解得b＝－8,c＝14．解法二：把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個(gè)單位,再向左平移4個(gè)單位,得到函數(shù)y＝x2的圖像,等價(jià)于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個(gè)單位,再向右平移4個(gè)單位,得到函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像． 由于把二次函數(shù)y＝x2的圖像向下平移2個(gè)單位,再向右平移4個(gè)單位,得到函數(shù)y＝<x－4>2＋2的圖像,即為y＝x2－8x＋14的圖像,∴函數(shù)y＝x2－8x＋14與函數(shù)y＝x2＋bx＋c表示同一個(gè)函數(shù),∴b＝－8,c＝14．說(shuō)明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題,所以,同學(xué)們要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律．這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一,是直接利用條件進(jìn)行正向的思維來(lái)解決的,其運(yùn)算量相對(duì)較大；而解法二,則是利用逆向思維,將原來(lái)的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的問(wèn)題來(lái)解,具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)．今后,我們?cè)诮忸}時(shí),可以根據(jù)題目的具體情況,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題．例4已知函數(shù)y＝x2,－2≤x≤a,其中a≥－2,求該函數(shù)的最大值與最小值,并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值．分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個(gè)變化的范圍,需要對(duì)a的取值進(jìn)行討論．解：〔1當(dāng)a＝－2時(shí),函數(shù)y＝x2的圖象僅僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)<－2,4>,所以,函數(shù)的最大值和最小值都是4,此時(shí)x＝－2；〔2當(dāng)－2＜a＜0時(shí),由圖2．2－6①可知,當(dāng)x＝－2時(shí),函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)x＝a時(shí),函數(shù)取最小值y＝a2；〔3當(dāng)0≤a＜2時(shí),由圖2．2－6②可知,當(dāng)x＝－2時(shí),函數(shù)取最大值y＝4；當(dāng)x＝0時(shí),函數(shù)取最小值y＝0；〔4當(dāng)a≥2時(shí),由圖2．2－6③可知,當(dāng)x＝a時(shí),函數(shù)取最大值y＝a2；當(dāng)x＝0時(shí),函數(shù)取最小值y＝0．xxyO－2a①xyO－2aa24圖2.2－6xyOa－224a2②－2xyOaa24③說(shuō)明：在本例中,利用了分類討論的方法,對(duì)a的所有可能情形進(jìn)行討論．此外,本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù),而是取部分實(shí)數(shù)來(lái)研究,在解決這一類問(wèn)題時(shí),通常需要借助于函數(shù)圖象來(lái)直觀地解決問(wèn)題．練習(xí)1．選擇題：〔1下列函數(shù)圖象中,頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上的是〔〔Ay＝2x2〔By＝2x2－4x＋2〔Cy＝2x2－1〔Dy＝2x2－4x〔2函數(shù)y＝2<x－1>2＋2是將函數(shù)y＝2x2〔〔A向左平移1個(gè)單位、再向上平移2個(gè)單位得到的〔B向右平移2個(gè)單位、再向上平移1個(gè)單位得到的〔C向下平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的〔D向上平移2個(gè)單位、再向右平移1個(gè)單位得到的2．填空題〔1二次函數(shù)y＝2x2－mx＋n圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為<1,－2>,則m＝,n＝．〔2已知二次函數(shù)y＝x2+<m－2>x－2m,當(dāng)m＝時(shí),函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m＝時(shí),函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m＝時(shí),函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．〔3函數(shù)y＝－3<x＋2>2＋5的圖象的開(kāi)口向,對(duì)稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)x＝時(shí),函數(shù)取最值y＝；當(dāng)x時(shí),y隨著x的增大而減?。?．求下列拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大〔小值及y隨x的變化情況,并畫出其圖象．〔1y＝x2－2x－3；〔2y＝1＋6x－x2．4．已知函數(shù)y＝－x2－2x＋3,當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時(shí),分別求函數(shù)的最大值或最小值,并求當(dāng)函數(shù)取最大〔小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值：〔1x≤－2；〔2x≤2；〔3－2≤x≤1；〔40≤x≤3．二次函數(shù)的三種表示方式通過(guò)上一小節(jié)的學(xué)習(xí),我們知道,二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c<a≠0>；2．頂點(diǎn)式：y＝a<x＋h>2＋k<a≠0>,其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是<－h(huán),k>．除了上述兩種表示方法外,它還可以用另一種形式來(lái)表示．為了研究另一種表示方式,我們先來(lái)研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c<a≠0>的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．當(dāng)拋物線y＝ax2＋bx＋c<a≠0>與x軸相交時(shí),其函數(shù)值為零,于是有ax2＋bx＋c＝0．① 并且方程①的解就是拋物線y＝ax2＋bx＋c<a≠0>與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)〔縱坐標(biāo)為零,于是,不難發(fā)現(xiàn),拋物線y＝ax2＋bx＋c<a≠0>與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程①的解的個(gè)數(shù)有關(guān),而方程①的解的個(gè)數(shù)又與方程①的根的判別式Δ＝b2－4ac有關(guān),由此可知,拋物線y＝ax2＋bx＋c<a≠0>與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式Δ＝b2－4ac存在下列關(guān)系：〔1當(dāng)Δ＞0時(shí),拋物線y＝ax2＋bx＋c<a≠0>與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；反過(guò)來(lái),若拋物線y＝ax2＋bx＋c<a≠0>與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),則Δ＞0也成立．〔2當(dāng)Δ＝0時(shí),拋物線y＝ax2＋bx＋c<a≠0>與x軸有一個(gè)交點(diǎn)〔拋物線的頂點(diǎn)；反過(guò)來(lái),若拋物線y＝ax2＋bx＋c<a≠0>與x軸有一個(gè)交點(diǎn),則Δ＝0也成立．〔3當(dāng)Δ＜0時(shí),拋物線y＝ax2＋bx＋c<a≠0>與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；反過(guò)來(lái),若拋物線y＝ax2＋bx＋c<a≠0>與x軸沒(méi)有交點(diǎn),則Δ＜0也成立．于是,若拋物線y＝ax2＋bx＋c<a≠0>與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A<x1,0>,B<x2,0>,則x1,x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根,所以x1＋x2＝,x1x2＝,即＝－<x1＋x2>,＝x1x2． 所以,y＝ax2＋bx＋c＝a<>=a[x2－<x1＋x2>x＋x1x2]＝a<x－x1><x－x2>．由上面的推導(dǎo)過(guò)程可以得到下面結(jié)論： 若拋物線y＝ax2＋bx＋c<a≠0>與x軸交于A<x1,0>,B<x2,0>兩點(diǎn),則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y＝a<x－x1><x－x2><a≠0>． 這樣,也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3．交點(diǎn)式：y＝a<x－x1><x－x2><a≠0>,其中x1,x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．今后,在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí),我們可以根據(jù)題目所提供的條件,選用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來(lái)解題．例1已知某二次函數(shù)的最大值為2,圖像的頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上,并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔3,－1,求二次函數(shù)的解析式．分析：在解本例時(shí),要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點(diǎn)位置,從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式,再由函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)來(lái)求解出系數(shù)a．解：∵二次函數(shù)的最大值為2,而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．又頂點(diǎn)在直線y＝x＋1上,所以,2＝x＋1,∴x＝1．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔1,2．設(shè)該二次函數(shù)的解析式為,∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔3,－1,∴,解得a＝－2．∴二次函數(shù)的解析式為,即y＝－2x2＋8x－7．說(shuō)明：在解題時(shí),由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo),然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式,最終解決了問(wèn)題．因此,在解題時(shí),要充分挖掘題目所給的條件,并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題．例2已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)<－3,0>,<1,0>,且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2,求此二次函數(shù)的表達(dá)式．分析一：由于題目所給的條件中,二次函數(shù)的圖象所過(guò)的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式．解法一：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)<－3,0>,<1,0>,∴可設(shè)二次函數(shù)為y＝a<x＋3><x－1><a≠0>,展開(kāi),得y＝ax2＋2ax－3a,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離2,∴|－4a|＝2,即a＝．所以,二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝,或y＝－．分析二：由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)<－3,0>,<1,0>,所以,對(duì)稱軸為直線x＝－1,又由頂點(diǎn)到x軸的距離為2,可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,或－2,于是,又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來(lái)解,然后再利用圖象過(guò)點(diǎn)<－3,0>,或<1,0>,就可以求得函數(shù)的表達(dá)式．解法二：∵二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)<－3,0>,<1,0>,∴對(duì)稱軸為直線x＝－1．又頂點(diǎn)到x軸的距離為2,∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,或－2．于是可設(shè)二次函數(shù)為y＝a<x＋1>2＋2,或y＝a<x＋1>2－2,由于函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)<1,0>,∴0＝a<1＋1>2＋2,或0＝a<1＋1>2－2．∴a＝－,或a＝．所以,所求的二次函數(shù)為y＝－<x＋1>2＋2,或y＝<x＋1>2－2．說(shuō)明：上述兩種解法分別從與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)這兩個(gè)不同角度,利用交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式來(lái)解題,在今后的解題過(guò)程中,要善于利用條件,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題．例3已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)<－1,－22>,<0,－8>,<2,8>,求此二次函數(shù)的表達(dá)式．解：設(shè)該二次函數(shù)為y＝ax2＋bx＋c<a≠0>．由函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)<－1,－22>,<0,－8>,<2,8>,可得解得a＝－2,b＝12,c＝－8．所以,所求的二次函數(shù)為y＝－2x2＋12x－8．通過(guò)上面的幾道例題,同學(xué)們能否歸納出：在什么情況下,分別利用函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式來(lái)求二次函數(shù)的表達(dá)式？練習(xí)1．選擇題:〔1函數(shù)y＝－x2＋x－1圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是〔〔A0個(gè)〔B1個(gè)〔C2個(gè)〔D無(wú)法確定〔2函數(shù)y＝－eq\f<1,2><x＋1>2＋2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔〔A<1,2>〔B<1,－2>〔C<－1,2>〔D<－1,－2>2．填空：〔1已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)與x軸交于點(diǎn)<－1,0>和<2,0>,則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y＝a<a≠0>．〔2二次函數(shù)y＝－x2+2eq\r<3>x＋1的函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為．3．根據(jù)下列條件,求二次函數(shù)的解析式．〔1圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)<1,－2>,<0,－3>,<－1,－6>；〔2當(dāng)x＝3時(shí),函數(shù)有最小值5,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)<1,11>；〔3函數(shù)圖象與x軸交于兩點(diǎn)<1－eq\r<2>,0>和<1＋eq\r<2>,0>,并與y軸交于<0,－2>．二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 一、函數(shù)圖象的平移變換與對(duì)稱變換 1．平移變換問(wèn)題1在把二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí),有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn),可以怎樣來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移？ 我們不難發(fā)現(xiàn)：在對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí),具有這樣的特點(diǎn)——只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀,因此,在研究二次函數(shù)的圖象平移問(wèn)題時(shí),只需利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)式研究其頂點(diǎn)的位置即可．例1求把二次函數(shù)y＝x2－4x＋3的圖象經(jīng)過(guò)下列平移變換后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式： 〔1向右平移2個(gè)單位,向下平移1個(gè)單位； 〔2向上平移3個(gè)單位,向左平移2個(gè)單位．分析：由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而不改變其形狀〔即不改變二次項(xiàng)系數(shù),所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置〔即只改變一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),所以,首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點(diǎn)式,然后,再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置求出平移后函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)的解析式．解：二次函數(shù)y＝2x2－4x－3的解析式可變?yōu)閥＝2<x－1>2－1, 其頂點(diǎn)坐標(biāo)為<1,－1>． 〔1把函數(shù)y＝2<x－1>2－1的圖象向右平移2個(gè)單位,向下平移1個(gè)單位后,其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是<3,－2>,所以,平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為y＝2<x－3>2－2． 〔2把函數(shù)y＝2<x－1>2－1的圖象向上平移3個(gè)單位,向左平移2個(gè)單位后,其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是<－1,2>,所以,平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為y＝2<x＋1>2＋2．2．對(duì)稱變換問(wèn)題2在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí),有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn),可以怎樣來(lái)研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí),具有這樣的特點(diǎn)——只改變函數(shù)圖象的位置或開(kāi)口方向、不改變其形狀,因此,在研究二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點(diǎn)位置和開(kāi)口方向來(lái)解決問(wèn)題．xyOx＝－1A<1,－1>A1<－3,－1>xyOx＝－1A<1,－1>A1<－3,－1>圖2.2－7 〔1直線x＝－1； 〔2直線y＝1．解：〔1如圖2．2－7,把二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)于直線x＝－1作對(duì)稱變換后,只改變圖象的頂點(diǎn)位置,不改變其形狀． 由于y＝2x2－4x＋1＝2<x－1>2－1,可知,函數(shù)y＝2x2－4x＋1圖象的頂點(diǎn)為A<1,－1>,所以,對(duì)稱后所得到圖象的頂點(diǎn)為A1<－3,1>,所以,二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)于直線x＝－1對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y＝2<x＋3>2－1,即y＝2x2＋12x＋17．xyOy＝1A<1,－1>B<1,3>圖2.2－8〔2如圖2．2－8,把二次函數(shù)xyOy＝1A<1,－1>B<1,3>圖2.2－8 由于y＝2x2－4x＋1＝2<x－1>2－1,可知,函數(shù)y＝2x2－4x＋1圖象的頂點(diǎn)為A<1,－1>,所以,對(duì)稱后所得到圖象的頂點(diǎn)為B<1,3>,且開(kāi)口向下,所以,二次函數(shù)y＝2x2－4x＋1的圖象關(guān)于直線y＝1對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y＝－2<x－1>2＋3,即y＝－2x2＋4x＋1．練習(xí)1．選擇題：把函數(shù)y＝－<x－1>2＋4的圖象向左平移2個(gè)單位,向下平移3個(gè)單位,所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式為〔〔Ay＝<x＋1>2＋1〔By＝－<x＋1>2＋1〔Cy＝－<x－3>2＋4〔Dy＝－<x－3>2＋12某商場(chǎng)銷售一批名脾襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,為了擴(kuò)大銷售,增加盈利,盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)每件襯衫降價(jià)1元,商場(chǎng)平均每天可多售出2件：<1>若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元,每件襯衫要降價(jià)多少元,<2>每件襯衫降價(jià)多少元時(shí),商場(chǎng)平均每天盈利最多?2.3.1一、知識(shí)概述1、二元二次方程含有兩個(gè)未知數(shù),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫二元二次方程．關(guān)于x、y的二元二次方程的一般形式為ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f=0<a、b、c至少有一個(gè)不為0>,其中ax2、bxy、cy2叫做二次項(xiàng),a、b、c分別是二次項(xiàng)的系數(shù)；dx、ey叫做一次項(xiàng),d、e分別是一次項(xiàng)的系數(shù)；f叫做常數(shù)項(xiàng)．例,xy=1,x2－y=0,x－y－2xy=－3都是二元二次方程；x－y=1,x2y=0都不是二元二次方程．2、二元二次方程組由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組組成的方程組,或者由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組叫二元二次方程組．3、解二元二次方程組的思想和方法解二元二次方程組的基本思想是"轉(zhuǎn)化",將二元轉(zhuǎn)化為一元,將二次轉(zhuǎn)化為一次,轉(zhuǎn)化的基本方法是"消元"和"降次"．因此,掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程組的關(guān)鍵．二、重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)突破1、由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的解法<簡(jiǎn)稱"二·一"型方程組><1>代入消元法<即代入法>代入法是解"二·一"型方程組的一般方法,具體步驟是：①先將方程組中的二元一次方程變形,用含有一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)；②把所得的代數(shù)式代入另一個(gè)方程中,使其轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次方程或一元一次方程；③解所得的一元二次方程或一元一次方程,求出一個(gè)未知數(shù)的值；④把所求的未知數(shù)的值代入第一步所得的關(guān)系中求出另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤寫出方程組的解．<2>逆用根與系數(shù)關(guān)系定理法對(duì)"二·一"型二元二次方程組成的形如的方程組,可以根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,把x、y看成一元二次方程z2-az＋b=0的兩個(gè)根,解這個(gè)方程,求得的z1和z2的值,就是x,y的值,當(dāng)x1=z1時(shí),y1=z2；當(dāng)x2=z2時(shí),y2=z1,所以原方程組的解是兩組"對(duì)稱解"．2、對(duì)"二·一"型的二元二次方程組的解的情況的判別"二·一"型的二元二次方程組的實(shí)數(shù)解有三種情況：有一解、兩解和沒(méi)有解．把一元一次方程代入二元二次方程,消去一個(gè)未知數(shù)之后,得到一個(gè)一元二次方程．由根的判別式可知,解的情況可能是有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解或無(wú)實(shí)數(shù)解,這樣的二元二次方程組的解也就相應(yīng)地有三種情況．簡(jiǎn)言之,有一個(gè)二元一次方程的二元二次方程組的實(shí)數(shù)解的情況,一般可通過(guò)一元二次方程的根的判別式來(lái)判斷．3、"二·二"型方程組的解法解"二·二"型方程組的基本思想仍是"轉(zhuǎn)化",轉(zhuǎn)化的方法是"降次"、"消元"．它的一般解法是：<1>當(dāng)方程組中只有一個(gè)可分解為兩個(gè)二元一次方程的方程時(shí),可將分解得到的兩個(gè)二元一次方程分別與原方程組中的另一個(gè)二元二次方程組成兩個(gè)"二·一"型方程組,解這兩個(gè)"二·一"型方程組,所得的解都是原方程組的解．<2>當(dāng)方程組中兩個(gè)二元二次方程都可分解為兩個(gè)二元一次方程時(shí),將第一個(gè)二元二次方程分解所得到的每一個(gè)二元一次方程分別與第二個(gè)二元二次方程分解所得的每一個(gè)二元一次方程組成方程組,可得到四個(gè)二元一次方程組,解這四個(gè)二元一次方程組,所得的解都是原方程組的解．4、"二·二"型方程組的解的情況由同一個(gè)二元二次方程化成的兩個(gè)二元一次方程一般不能組成方程組．值得注意的是"二·一"型方程組最多有兩個(gè)解；"二·二"型方程組最多有四個(gè)解．解方程組時(shí),既不要漏解,也不要增解．三、解題方法技巧點(diǎn)撥1、"二·一"型二元二次方程組的解例1、解方程組分析：此方程組含有一個(gè)二元一次方程,所以可用代入法解,這是第一種解法；如果把①變形為<x＋y>2=4,得x＋y=2或x＋y=－2,則原方程組可變形為兩個(gè)二元一次方程組．解這兩個(gè)二元一次方程組所得的解都是原方程組的解,這是第二種解法．解法1：由②得x=2y＋5③將③代入①,得<2y＋5>2＋2y<2y＋5>＋y2=4．整理,得3y2＋10y＋7=0．點(diǎn)評(píng)：解"二·一"型二元二次方程組,一般常采用前一種解法,即先代入消元,再分解降次<或用公式法>求解．本例的第二種解法是一種特殊解法,它只適合一些特殊形式的方程組．分解：仔細(xì)觀察這個(gè)方程組,不難發(fā)現(xiàn),此方程組除可用代入法解外,還可聯(lián)系通過(guò)構(gòu)造一個(gè)以x,y為根的一元二次方程來(lái)求解．解法1：由①得y=8－x．③把③代入②,整理得x2－8x＋12=0．解得x1=2,x2=6．把x1=2代入③,得y1=6．把x1=6代入③,得y2=2．解法2：根據(jù)韋達(dá)定理可知,x,y是一元二次方程z2－8z＋12=0的兩個(gè)根,解這個(gè)方程,得z1=2,z2=6．點(diǎn)悟："代入法"是解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的二元二次方程組的一般方法,適用范圍廣；"逆用韋達(dá)定理法"雖然簡(jiǎn)便,但它只適用于以兩數(shù)和與兩根積的形式給出的方程組,適用范圍比較小．2、只有一個(gè)方程可分解降次的方程組的解法例3、解方程組分析：觀察方程②,把<x－y>看成整體,那么方程②就可以看作是關(guān)于

<x－y>的一元二次方程,且可分解為<x－y－3><x－y＋1>=0,由此可得到兩個(gè)二元一次方程x－y－3=0和x－y＋1=0．這兩個(gè)二元一次方程分別和方程①組成兩個(gè)方程組：分別解這兩個(gè)方程組,就可得到原方程組的解．解：由②得<x－y－3><x－y＋1>=0．∴x－y－3=0或x－y＋1=0．∴原方程組可化為兩個(gè)方程組：3、兩個(gè)方程都可以分解降次的方程組的解法例4、解方程組分析：方程①的右邊為零,而左邊可以因式分解,從而可達(dá)到降次的目的,方程②左邊是完全平方式,右邊是1,將其兩邊開(kāi)平方,也可以達(dá)到降次的目的．解：由①得<x－4y><x＋y>=0∴x－4y=0或x＋y=0由②得<x＋2y>2=1∴x＋2y=1或x＋2y=－1．原方程可化為以下四個(gè)方程組點(diǎn)評(píng)：不要把同一個(gè)二元二次方程分解出來(lái)的兩個(gè)二元一次方程組成方程組,這樣會(huì)出現(xiàn)增解問(wèn)題,同時(shí)也要注意防止漏解現(xiàn)象．4、已知解的情況,確定字母系數(shù)例5、k為何值時(shí),方程組<1>有一個(gè)實(shí)數(shù)解,并求出此解；<2>有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；<3>沒(méi)有實(shí)數(shù)解．分析：所考知識(shí)點(diǎn)：二元二次方程組的解法及根的判別式,先用代入法消去未知數(shù)y,可得到關(guān)于x的一元二次方程,再根據(jù)根的判別式來(lái)討論．解：將①代入②,整理得k2x2＋<2k－4>x＋1=0③△=<2k－4>2－4×k2×1=－16<k－1>．點(diǎn)悟：解這種題型的規(guī)律是一般將方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程后,利用△=0,△＞0,△＜0來(lái)討論的．解題易錯(cuò)點(diǎn)是一元二次方程中x2的系數(shù)k2不等于0容易被忽略．練習(xí)解方程組〔1；〔2一元二次不等式的解法1、一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系2、一元二次不等式的解法步驟一元二次不等式的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程的兩根為,,則不等式的解的各種情況如下表：二次函數(shù)〔的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根R例1解不等式：〔1x2＋2x－3≤0；〔2x－x2＋6＜0；〔34x2＋4x＋1≥0；〔4x2－6x＋9≤0；〔5－4＋x－x2＜0．例2解關(guān)于x的不等式解：原不等式可以化為：若即則或若即則若即則或例3已知不等式的解是求不等式的解．解：由不等式的解為,可知,且方程的兩根分別為2和3,∴,即．由于,所以不等式可變?yōu)?即－整理,得所以,不等式的解是x＜－1,或x＞eq\f<6,5>．說(shuō)明：本例利用了方程與不等式之間的相互關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題．練習(xí)1．解下列不等式：〔13x2－x－4＞0；〔2x2－x－12≤0；〔3x2＋3x－4＞0；〔416－8x＋x2≤0．2.解關(guān)于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0〔a為常數(shù)．作業(yè)：1.若0<a<1,則不等式<x－a><x－><0的解是<>A.a<x< B.<x<aC.x>或x<a D.x<或x>a2.如果方程ax2＋bx＋b＝0中,a＜0,它的兩根x1,x2滿足x1＜x2,那么不等式ax2＋bx＋b＜0的解是______.3．解下列不等式：〔13x2－2x＋1＜0；〔23x2－4＜0；〔32x－x2≥－1；〔44－x2≤0．<5>4+3x－2x2≥0;<6>9x2－12x>－4;4．解關(guān)于x的不等式x2－<1＋a>x＋a＜0〔a為常數(shù)．5．關(guān)于x的不等式的解為求關(guān)于x的不等式的解．3．1相似形．平行線分線段成比例定理在解決幾何問(wèn)題時(shí),我們常涉及到一些線段的長(zhǎng)度、長(zhǎng)度比的問(wèn)題.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究中,我們發(fā)現(xiàn)平行線常能產(chǎn)生一些重要的長(zhǎng)度比.圖3.1-1在一張方格紙上,我們作平行線〔如圖3.1-1,直線交于點(diǎn),,另作直線交于點(diǎn),不難發(fā)現(xiàn)圖3.1-1我們將這個(gè)結(jié)論一般化,歸納出平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.如圖3.1-2,,有.當(dāng)然,也可以得出.在運(yùn)用該定理解決問(wèn)題的過(guò)程中,我們一定要注意線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,是"對(duì)應(yīng)"線段成比例.例1如圖3.1-2,,且求.圖3.1-2解圖3.1-2例2在中,為邊上的點(diǎn),,求證：.證明〔1∽,證明〔2如圖3.1-3,過(guò)作直線,.過(guò)作交于,得,圖3.1-3因而圖3.1-3從上例可以得出如下結(jié)論：平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊〔或兩邊的延長(zhǎng)線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.例3已知,在上,,能否在上找到一點(diǎn),使得線段的中點(diǎn)在上.解假設(shè)能找到,如圖3.1-4,設(shè)交于,則為的中點(diǎn),作交于.,,且,圖3.1-4,且圖3.1-4為的中點(diǎn).可見(jiàn),當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí),的中點(diǎn)在上.我們?cè)谔剿饕恍┐嬖谛詥?wèn)題時(shí),常常先假設(shè)其存在,再解之,有解則存在,無(wú)解或矛盾則不存在.例4在中,為的平分線,求證：.證明過(guò)C作CE//AD,交BA延長(zhǎng)線于E,AD平分由知圖3.1-5.圖3.1-5例4的結(jié)論也稱為角平分線性質(zhì)定理,可敘述為角平分線分對(duì)邊成比例〔等于該角的兩邊之比.練習(xí)1圖3.1-7圖3.1-61．如圖3.1-6,,下列比例式正確的是〔圖3.1-7圖3.1-6A．B．C．D.2．如圖3.1-7,求.3．如圖,在中,AD是角BAC的平分線,AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的長(zhǎng).圖3.1-8圖3.1-84．如圖,在中,的外角平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),求證：.〔三角形外角平分線定理圖3.1-10圖3.1-95．如圖,在的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn),使BD=CE,DE延長(zhǎng)線交BC的延長(zhǎng)線于F.求證：.圖3.1-10圖3.1-93.12．相似形我們學(xué)過(guò)三角形相似的判定方法,想一想,有哪些方法可以判定兩個(gè)三角形相似？有哪些方法可以判定兩個(gè)直角三角形相似？例5如圖3.1-11,四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,,求證：.證明在與中,∽,,即.圖3.1-11又與中,,圖3.1-11∽,.例6如圖3.1-12,在直角三角形ABC中,為直角,.求證：〔1,；圖3.1-12〔2圖3.1-12證明〔1在與中,,∽,同理可證得.〔2在與中,,∽,我們把這個(gè)例題的結(jié)論稱為射影定理,該定理對(duì)直角三角形的運(yùn)算很有用.例7在中,,求圖3.1-13證：.圖3.1-13證明,為直角三角形,又,由射影定理,知.同理可得..例8如圖3.1-14,在中,為邊的中點(diǎn),為邊上的任意一點(diǎn),交于點(diǎn).某學(xué)生在研究這一問(wèn)題時(shí),發(fā)現(xiàn)了如下的事實(shí)：圖3.1-14當(dāng)時(shí),有.〔如圖3.1-14a圖3.1-14當(dāng)時(shí),有.〔如圖3.1-14b當(dāng)時(shí),有.〔如圖3.1-14c在圖3.1-14d中,當(dāng)時(shí),參照上述研究結(jié)論,請(qǐng)你猜想用n表示的一般結(jié)論,并給出證明〔其中n為正整數(shù).解：依題意可以猜想：當(dāng)時(shí),有成立.證明過(guò)點(diǎn)D作DF//BE交AC于點(diǎn)F,D是BC的中點(diǎn),F是EC的中點(diǎn),由可知,.想一想,圖3.1-14d中,若,則本題中采用了從特殊到一般的思維方法.我們常從一些具體的問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律,進(jìn)而作出一般性的猜想,然后加以證明或否定.數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是不斷探索的歷史.練習(xí)21．如圖3.1-15,D是的邊AB上的一點(diǎn),過(guò)D點(diǎn)作DE//BC交AC于E.已知AD：DB=2：3,則等于〔A．B．C．D．圖3.1-152．若一個(gè)梯形的中位線長(zhǎng)為15,一條對(duì)角線把中位線分成兩條線段.這兩條線段的比是,則梯形的上、下底長(zhǎng)分別是__________.圖3.1-153．已知：的三邊長(zhǎng)分別是3,4,5,與其相似的的最大邊長(zhǎng)是15,求的面積.4．已知：如圖3.1-16,在四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).請(qǐng)判斷四邊形EFGH是什么四邊形,試說(shuō)明理由；圖3.1-16若四邊形ABCD是平行四邊形,對(duì)角線AC、BD滿足什么條件時(shí),EFGH是菱形？是正方形？圖3.1-165．如圖3.1-17,點(diǎn)C、D在線段AB上,是等邊三角形,當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí),∽？圖3.1-17當(dāng)∽時(shí),求的度數(shù).圖3.1-17習(xí)題3.1A組如圖3.1-18,中,AD=DF=FB,AE=EG=GC,FG=4,則〔A．DE=1,BC=7B．DE=2,BC=6C．DE=3,BC=5D．DE=2,BC=8圖3.1-18如圖3.1-19,BD、CE是的中線,P、Q分別是BD、CE的中點(diǎn),則等于〔圖3.1-18A．1：3B．1：4C．1：5D．1：6圖3.1-19圖3.1-19如圖3.1-20,中,E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DE交BC于點(diǎn)F,已知BE：AB=2：3,,求.圖3.1-20如圖3.1-21,在矩形ABCD中,E是CD的中點(diǎn),交AC于F,過(guò)F作FG//AB交AE于G,求證：.圖3.1-20圖3.1-21圖3.1-21B組如圖3.1-22,已知中,AE：EB=1：3,BD：DC=2：1,AD與CE相交于F,則的值為〔圖3.1-22A．B．1C．D．2圖3.1-22圖3.1-23如圖3.1-23,已知周長(zhǎng)為1,連結(jié)三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形,再連結(jié)第二個(gè)對(duì)角線三邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形,依此類推,第2003個(gè)三角形周長(zhǎng)為〔圖3.1-23A．B．C．D．圖3.1-24如圖3.1-24,已知M為的邊AB的中點(diǎn),CM交BD于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積與面積的比是〔圖3.1-24A．B．C．D．如圖3.1-25,梯形ABCD中,AD//BC,EF經(jīng)過(guò)梯形對(duì)角線的交點(diǎn)O,且EF//AD.求證：OE=OF；求的值；圖3.1-25求證：.圖3.1-25C組如圖3.1-26,中,P是邊AB上一點(diǎn),連結(jié)CP.要使∽,還要補(bǔ)充的一個(gè)條件是____________.若∽,且,則=_____.圖3.1-26圖3.1-26如圖3.