四川省南充市南部中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷

四川省南充市南部中學(xué)高2022級(jí)高二第一學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)時(shí)間：120分鐘總分：150分一、單項(xiàng)選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1直線恒過(guò)定點(diǎn)（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由時(shí)，可得到定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】當(dāng)，即時(shí)，，直線恒過(guò)定點(diǎn).故選：B.2.空間四邊形中，（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加減運(yùn)算求解即可.【詳解】根據(jù)向量的加法、減法法則，得.故選：A.3.若圓C與圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則圓C的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱求出圓C的圓心和半徑可得答案.【詳解】由于圓的圓心，半徑為1，圓與圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故、半徑為1，故圓的方程為：，故選：A．4.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的余弦值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量求異面直線DE與AC所成的角的余弦值.【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則D(0,0,0)，E(0，，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，所以＝(0，，1)，＝(－1,1,0)，則,則異面直線DE與AC所成角的余弦值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解，屬基礎(chǔ)題.5.設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則（）A.1或5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的漸近線方程求出，再利用雙曲線的定義，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，可得，解得，又是雙曲線上一點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),，，可得點(diǎn)在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線的定義，則.故答案為：C.6.已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.7.阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)、在軸上，橢圓的面積為，且離心率為，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得，然后列出方程組，從而求解.【詳解】由題意得：，離心率：，從而可得方程組：，解得：.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故A項(xiàng)正確.故選：A.8.過(guò)橢圓：右焦點(diǎn)的直線：交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)可得半焦距c，設(shè)出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求出的關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，焦點(diǎn)，即橢圓C的半焦距，設(shè)，，則有，兩式相減得：，而，且，即有，又直線的斜率，因此有，而，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以橢圓的方程為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)m，n為不同的直線，為不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，逐一分析各選項(xiàng)即可得答案．【詳解】對(duì)A：，則或與相交或與異面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：若，，則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C：若，則或與相交，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：若，則，故選項(xiàng)D正確．故選：BD．10.橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為，則（）A.橢圓的方程為B.橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同C.橢圓過(guò)點(diǎn)D.直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)橢圓離心率公式、短軸長(zhǎng)定義，結(jié)合雙曲線焦點(diǎn)公式、代入法、直線點(diǎn)斜式方程的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)為，所以有，而橢圓的離心率為，所以，所以可得：..A：因?yàn)椋栽摍E圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因此本選項(xiàng)正確；B：由，該雙曲線的焦點(diǎn)在縱軸上，而橢圓的焦點(diǎn)在橫軸，所以本選項(xiàng)說(shuō)法不正確；C：因?yàn)?，所以點(diǎn)在該橢圓上，因此本選項(xiàng)說(shuō)法正確；D：直線恒過(guò)點(diǎn)，而，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，因此直線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，所以本選項(xiàng)說(shuō)法正確，故選：ACD11.已知直線，圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線l恒過(guò)定點(diǎn)B.直線l與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)C.直線l與圓C的相交弦長(zhǎng)的最大值為D.當(dāng)時(shí)，圓C與圓關(guān)于直線l對(duì)稱【答案】ABD【解析】【分析】將直線方程變形為即可判斷直線過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而判斷A；再根據(jù)定點(diǎn)在圓內(nèi)判斷B；根據(jù)直線與圓相交時(shí)，最大弦為直徑判斷C；根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱性求解關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解對(duì)稱圓的方程判斷D.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)橹本€可變形為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線與圓相交，由兩個(gè)公共點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于圓，圓心為，半徑為，當(dāng)直線線與圓相交，故相交弦長(zhǎng)的最大值為圓的直徑，即為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線，故圓圓心關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以圓關(guān)于對(duì)稱的圓的方程為，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD12.已知曲線分別為曲線的左右焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則曲線的兩條漸近線所成的銳角為B.若曲線的離心率，則C.若，則曲線上不存在點(diǎn)，使得D.若為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓與雙曲線的性質(zhì)，依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，漸近線方程為，故漸近線的傾斜角分別為，所以曲線的兩條漸近線所成的銳角為，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，離心率，則曲線為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，，故，所以，所以，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，此時(shí)，設(shè)橢圓的短軸的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則，故為鈍角，所以線上存在點(diǎn)，使得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，此時(shí)，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值為，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于掌握雙曲線與橢圓方程的性質(zhì)，并結(jié)合橢圓焦點(diǎn)三角形的相關(guān)知識(shí)求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知空間向量，則___________.【答案】【解析】【分析】由空間向量的減法法則求得向量的坐標(biāo)，然后由模的定義計(jì)算．【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：．14.已知是直線的方向向量，是平面的法向量，如果，則________________【答案】6【解析】【分析】由平面法向量與平面的垂線的方向向量平行可得．【詳解】∵，∴，∴，∴．故答案為：6．15.已知圓，點(diǎn)為軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意由四邊形的面積與的面積關(guān)系，設(shè)可得，利用單調(diào)性即可求出的最小值為.【詳解】易知圓的圓心為，半徑為，如圖所示：易知，設(shè)，則由圖可得，又，可得，因，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：16.若坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)分別為雙曲線的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)和雙曲線方程解得，設(shè)出點(diǎn)，代入曲線方程，求得橫縱坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)題意坐標(biāo)表示，，代入后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最小值，則可求得的取值范圍.【詳解】解：由題意得：是已知雙曲線的左焦點(diǎn)，即雙曲線方程為設(shè)點(diǎn)，則有，解得，，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性分析可知函數(shù)在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，取得最小值，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知直線，.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用兩條直線垂直的條件，結(jié)合兩條直線的方程可得1×（m﹣2）+m×3＝0，由此求得m的值．（2）利用兩直線平行的條件，結(jié)合兩條直線的方程可得，由此求得得m的值．【詳解】（1）∵直線l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2，可得1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．（2）由題意可知m不等于0,由l1∥l2可得，解得m＝﹣1．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線平行、垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．18.解答下列兩個(gè)小題：（1）雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為2，且雙曲線與橢圓的焦點(diǎn)相同，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知雙曲線：與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求雙曲線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，確定的值，再根據(jù)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)確定的值，然后求出，可寫(xiě)出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)雙曲線有相同的漸近線設(shè)方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】（1）對(duì)橢圓，因?yàn)?，所以，所以焦點(diǎn)為，在軸上，設(shè)雙曲線的方程為，所以，且，所以，所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，所以所求雙曲線方程可設(shè)為：又雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入方程，，即,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為即.19.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn).（1）證明:平面;（2）求三棱錐體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于，連接，證明后得線面平行；（2）由計(jì)算體積．【小問(wèn)1詳解】連接交于，連接，則為的中位線，所以，又平面，平面，平面；【小問(wèn)2詳解】為中點(diǎn)，則，又正方體中，到平面的距離為，20.已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)滿足，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（3）過(guò)點(diǎn)的直線交動(dòng)點(diǎn)的軌跡于，且，求直線的方程.【答案】20.21.22.或.【解析】【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式列式化簡(jiǎn)即可求解；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入點(diǎn)的軌跡方程并化簡(jiǎn)即可求解；（3）分直線的斜率不存在和存在兩種情況，根據(jù)弦長(zhǎng)列式分別求解直線的方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，由題意可得，即，化簡(jiǎn)可得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由（1）知①，又，所以，即代入①得，整理得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；【小問(wèn)3詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，則，當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線與圓交點(diǎn)坐標(biāo)為，滿足，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，由題意，解得，所以直線方程為，故所求直線方程為或.21.如圖甲所示，四邊形為正方形，，為的中點(diǎn).將沿直線翻折使得平面，如圖乙所示.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)得到，再由，即可得到平面，即可得證；（2）取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】解：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，為等邊三角形，則，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，顯然平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成二面角為，則，所以，即平面與平面所成二面角的正弦值為.22.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）橢圓的右頂點(diǎn)為，若點(diǎn)在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，求的面積最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用給定條件，求出長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方