2013年江蘇省高考數(shù)學 專題8 向量與復數(shù)

2013年江蘇省高考數(shù)學專題8向量與復數(shù)回顧2008～2012年的考題，2008年第5題，2009年第2題、第15題，2010年第15題，2011年第10題，2012年第9題、第15題分別考查了向量的線性運算、坐標運算或數(shù)量積運算，屬于中低檔題；2008年第3題，2009年第1題，2010年第2題，2011年第3題，2012年第3題分別考察了復數(shù)的概念與四則運算，屬容易題.預測在2013年的高考題中：1復數(shù)題依然是必考題，而且考查相對簡單，在前3題；2向量問題多以填空題的形式考查，也可能在解答題中以條件的形式出現(xiàn).重點考查數(shù)量積的運算及應用.1．(2012·江蘇高考)設a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i為虛數(shù)單位)，則a＋b＝________.解析：∵a＋bi＝eq\f(11－7i1＋2i,5)＝eq\f(25＋15i,5)＝5＋3i，∴a＝5，b＝3，故a＋b＝8.答案：82.設E，F(xiàn)分別是Rt△ABC的斜邊BC上的兩個三等分點，已知AB＝3，AC＝6，則·＝________.解析：·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝·－eq\f(1,9)||2＋eq\f(1,3)·(－)＝eq\f(2,9)||2＝eq\f(2,9)×45＝10.答案：103．(2011·江蘇高考)已知e1，e2是夾角為eq\f(2,3)π的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，則實數(shù)k的值為____．解析：由題意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即keeq\o\al(2,1)＋e1e2－2ke1e2－2eeq\o\al(2,2)＝0，即k＋coseq\f(2π,3)－2kcoseq\f(2π,3)－2＝0，化簡可求得k＝eq\f(5,4).答案：eq\f(5,4)4．(2012·揚州質檢)設＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為________．解析：＝－＝(a－1,1)，＝(－b－1,2)．∵A，B，C三點共線，∴∥.∴2(a－1)＋(b＋1)＝0.∴2a＋b∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\f(2a＋b,a)＋eq\f(4a＋2b,b)＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8.答案：85.如圖，設點P是三角形ABC內一點(不包括邊界)，且＝m＋n，m，n∈R，則m2＋(n－2)2的取值范圍為________．解析：因為點P是三角形ABC內一點(不包括邊界)，所以0<m，n<1,0<m＋n<1，根據(jù)線性規(guī)劃的知識，作出如圖陰影部分，m2＋(n－2)2表示點P(0,2)到陰影內點的距離的平方，顯然到點A(0,1)的距離最近，為1；到點B(1,0)的距離最遠，這時m2＋(n－2)2＝5，故所求取值范圍為(1,5)．答案：(1,5)eq\a\vs4\al([典例1])若z是實系數(shù)方程x2＋2x＋p＝0的一個虛根，且|z|＝2，則p＝________.[解析]設z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，則a2＋b2＝4，且(a＋bi)2＋2(a＋bi)＋p＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝4，,a2－b2＋2a＋p＝0，,2ab＋2b＝0，))解得p＝4.[答案]4利用復數(shù)相等的充要條件，將復數(shù)問題實數(shù)化是處理復數(shù)問題的基本策略．eq\a\vs4\al([演練1])設關于x的方程x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝0有實根，求銳角θ及這個實根．解：設實數(shù)根為a，則a2－(tanθ＋i)a－(2＋i)＝0，即a2－atanθ－2－(a＋1)i＝0.∵a，tanθ∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－atanθ－2＝0，,a＋1＝0.))∴a＝－1且tanθ＝1.又0<θ<eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,4).eq\a\vs4\al([典例2])如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點，AB＝EF＝1，CA＝CB＝2，若·＋·＝2，則與的夾角θ等于________．[解析]因為△ABC中，CA＝CB＝2，AB＝1，所以cos∠CAB＝eq\f(1,2)·eq\f(AB,AC)＝eq\f(1,4)，所以·＝eq\f(1,2).又因為·＋·＝2，所以·(＋)＋·(＋)＝2，即1＋·＋eq\f(1,2)＋·＝2，所以·＋·＝eq\f(1,2).因為＝－，所以－·＋·＝eq\f(1,2)，即(－)＝eq\f(1,2)，所以·＝eq\f(1,2)，所以cosθ＝eq\f(1,2)，故θ＝eq\f(π,3).[答案]eq\f(π,3)本題中△ABC為確定的三角形，所以以，為基底，通過，與基底的關系，進行計算．這類問題比較難建立未知向量與基底向量之間的關系，本題中關鍵是利用條件·＋·＝2進行轉化．另外本題也可以以B為原點建立直角坐標系，用坐標進行研究．eq\a\vs4\al([演練2])(2012·江蘇高考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若·＝eq\r(2)，則·的值是________．解析：以A為坐標原點，AB，AD所在的直線分別為x軸，y軸建立直角坐標系，則B(eq\r(2)，0)，E(eq\r(2)，1)，D(0,2)，C(eq\r(2)，2)．設F(x,2)(0≤x≤eq\r(2))，由·＝eq\r(2)?eq\r(2)x＝eq\r(2)?x＝1，所以F(1,2)，·＝(eq\r(2)，1)·(1－eq\r(2)，2)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)eq\a\vs4\al([典例3])如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點，設向量＝λ＋μ，則λ＋μ的最小值為________．[解析]以A為原點，為x軸正方向，為y軸正方向，建立直角坐標系．設AB＝1，P(cosθ，sinθ)，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則＝(1,1)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))，＝(cosθ，sinθ)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝\f(1,2)λ＋μcosθ，,1＝－λ＋μsinθ，))解得μ＝eq\f(3,2cosθ＋sinθ).又λ＝μsinθ－1，所以λ＋μ＝μ(sinθ＋1)－1＝eq\f(31＋sinθ,2cosθ＋sinθ)－1.設y＝eq\f(1＋sinθ,2cosθ＋sinθ)，則y′＝eq\f(cosθ2cosθ＋sinθ－1＋sinθcosθ－2sinθ,2cosθ＋sinθ2)＝eq\f(2＋2sinθ－cosθ,2cosθ＋sinθ2)，因為y′＝eq\f(2＋2sinθ－cosθ,2cosθ＋sinθ2)>0，所以y＝eq\f(1＋sinθ,2cosθ＋sinθ)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))遞增．所以(λ＋μ)min＝eq\f(1,2).[答案]eq\f(1,2)解決本題的關鍵是將點P坐標設為三角函數(shù)，從而引入三角函數(shù)來表示參數(shù)λ，μ.難點是對所得函數(shù)的進一步研究，通過導數(shù)確定函數(shù)的單調性，從而求得最小值．eq\a\vs4\al([演練3])設e1，e2是夾角為60°的兩個單位向量，已知＝e1，＝e2，＝x·＋y·(x，y為實數(shù))．若△PMN是以M為直角頂點的直角三角形，則x－y取值的集合為________．解析：由題意得||＝||＝1，·＝eq\f(1,2)，又因為△PMN是以M為直角頂點的直角三角形，所以有·＝0，即(－)·(－)＝0，所以((x－1)＋y)·(－)＝0，得(1－x)＋y＋eq\f(1,2)(x－1－y)＝0，所以－eq\f(1,2)(x－y)＝－eq\f(1,2)，即x－y＝1，故x－y取值的集合為{1}．答案：{1}eq\a\vs4\al([專題技法歸納])(1)向量的數(shù)量積問題主要涉及向量的模、夾角、坐標這三個基本方面，有關向量數(shù)量積的運算都是這三個方面的運算．(2)處理向量問題，一般有兩個途徑，一是建立直角坐標系用坐標運算研究向量間的問題，二是用基底表示后直接運算．(3)平面向量的線性運算中應注意以下幾個關鍵要素：①基底向量的建立；②未知向量與基底向量的關系；③向量條件的幾何意義；④參數(shù)取值范圍的幾何解法．1．(2012·南通第一次調研)若復數(shù)z滿足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則z＝________.解析：z＝eq\f(－3＋4i,1＋2i)＝eq\f(－3＋4i1－2i,5)＝eq\f(5＋10i,5)＝1＋2i.答案：1＋2i2．定義：復數(shù)b＋ai是z＝a＋bi(a，b∈R)的轉置復數(shù)，記為z′＝b＋ai；復數(shù)a－bi是z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復數(shù)，記為eq\x\to(z)＝a－bi.給出下列三個命題：①z′＝i·eq\x\to(z)；②eq\x\to(z)′＋eq\x\to(z′)＝0；③z1′·z2′＝eq\x\to(z)1·eq\x\to(z)2.其中真命題的個數(shù)為________．解析：i·eq\x\to(z)＝i(a－bi)＝b＋ai＝z′，①正確；eq\x\to(z)′＋eq\x\to(z′)＝(a－bi)′＋eq\x\to(b＋ai)＝－b＋ai＋b－ai＝0，②正確；z1′·z2′＝(a1＋b1i)′(a2＋b2i)′＝(b1＋a1i)(b2＋a2i)＝(b1b2－a1a2)＋(b1a2＋a1b2)i，eq\x\to(z)1·eq\x\to(z)2＝eq\x\to(a1＋b1i)·eq\x\to(a2＋b2i)＝eq\x\to(a1a2－b1b2＋a1b2＋b1a2i)＝(a1a2－b1b2)－(a1b2＋a2b1)i，∴z1′·z2′≠eq\x\to(z)1·eq\x\to(z)2，③錯，因此真命題個數(shù)是2.答案：23．在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，設向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，則tanB＋tanC的值為________．解析：x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，由z∥(x＋y)，得cosC(sinB＋cosB)＋cosB(sinC＋cosC)＝0，即sinBcosC＋cosBsinC＝－2cosBcosC.所以eq\f(sinBcosC＋cosBsinC,cosBcosC)＝tanB＋tanC＝－2.答案：－24．平面內兩個非零向量α，β，滿足|β|＝1，且α與β－α夾角為135°，則|α|的取值范圍________．解析：如圖所示，在△OAB中，設∠OBA＝θ，所以eq\f(OB,sin45°)＝eq\f(OA,sinθ)，即|α|＝OA＝eq\r(2)sinθ，又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)π))，故|α|∈(0，eq\r(2)]．答案：(0，eq\r(2)]5．等邊三角形ABC中，P在線段AB上，且＝λ，若·＝·，則實數(shù)λ的值是________．解析：P在線段AB上，所以0≤λ≤1，不妨設等邊三角形ABC邊長為1，∵·＝·，∴(＋)·＝·(－)，從而有·＋·＝·－·，∴－eq\f(1,2)＋2λ＝λ2，解得λ＝1±eq\f(\r(2),2).又0≤λ≤1，∴λ＝1－eq\f(\r(2),2).答案：1－eq\f(\r(2),2)6.如圖放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點A、D分別在x軸、y軸正半軸上(含原點)滑動，則·的最大值是________．解析：設∠OAD＝θ，則OA＝AD·cosθ＝cosθ，點B的坐標為(cosθ＋cos(90°－θ)，sin(90°－θ))，即B(cosθ＋sinθ，cosθ)，同理可求得C(sinθ，sinθ＋cosθ)，所以·＝(cosθ＋sinθ，cosθ)·(sinθ，sinθ＋cosθ)＝1＋sin2θ.所以(·)max＝2.答案：27．等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝eq\r(2)，AD是BC邊上的高，P為AD的中點，點M、N分別為AB邊和AC邊上的點，且M、N關于直線AD對稱，當·＝－eq\f(1,2)時，eq\f(AM,MB)＝________.解析：由等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝eq\r(2)，AD是BC邊上的高，P為AD的中點知，AD＝1，AP＝eq\f(1,2).由·＝－eq\f(1,2)知(＋)·(＋)＝－eq\f(1,2)，即P2＋(＋)·＋·＝－eq\f(1,2).又M、N關于直線AD對稱，得||×eq\f(1,2)×cos135°＋||×eq\f(1,2)×cos135°＝－eq\f(3,4)，故||＝eq\f(3\r(2),4)，所以eq\f(AM,MB)＝3.答案：38.在平面直角坐標系xOy中，設A、B、C是圓x2＋y2＝1上相異三點，若存在正實數(shù)λ，μ，使得＝λ＋μ，則λ2＋(μ－3)2的取值范圍是________．解析：設與的夾角為θ，則由＝λ＋μ得λ2＋2λμcosθ＋u2＝1，從而由正實數(shù)λ，μ及|cosθ|<1，得－1<eq\f(1－λ2－μ2,2λμ)<1，所以λ＋μ>1，且|λ－μ|<1，作出如圖所示的可行域，則λ2＋(μ－3)2表示區(qū)域內任一點到點(0,3)的距離的平方，而當點(0,3)到直線λ－μ＋1＝0的距離d為最小值時，d2＝2，所以λ2＋(μ－3)2的取值范圍為(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)9．(1)設向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，則β－α＝(2)在△ABC中，AB＝1，AC＝2，O為△ABC外接圓的圓心，則·＝________.解析：(1)由|2a＋b|＝|a－2b|得3a2＋8a·b－3b2＝0，即a·b＝0，從而cos(β－又0<α<β<π，故0<β－α<π，所以β－α＝eq\f(π,2).(2)法一：·＝·(－)＝·－·，又||＝|－|，||＝|－|，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|－|2＝2－2·＋2＝1，,|－|2＝2－2·＋2＝4，))即·－·＝eq\f(3,2)，故·＝eq\f(3,2).法二：過O作OD垂直于BC，垂足為D，因為O是三角形ABC的外接圓圓心，所以D為線段BC的中點，所以＝＋，則·＝(＋)·＝·＝eq\f(1,2)(＋)·(－)＝eq\f(1,2)||2－eq\f(1,2)||2＝eq\f(3,2).答案：(1)eq\f(π,2)(2)eq\f(3,2)10．在平面直角坐標系xOy中，點A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；(2)設實數(shù)t滿足(－t)·＝0，求t的值．解：(1)由題設知＝(3,5)，＝(－1,1)，則＋＝(2,6)，－＝(4,4)．所以|＋|＝2eq\r(10)，|－|＝4eq\r(2).故所求的兩條對角線長分別為4eq\r(2)，2eq\r(10).(2)由題設知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)，由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，從而5t＝－11，所以t＝－eq\f(11,5).11．已知點A(2,0)，B(0,2)，點C(x，y)在以原點為圓心的單位圓上．(1)若|＋|＝eq\r(7)(O為坐標原點)，求向量與的夾角θ；(2)若⊥，求點C的坐標．解：(1)由＝(2,0)，＝(x，y)，得＋＝(2＋x，y)．由|＋|＝eq\r(7)，得(2＋x)2＋y2＝7，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,2＋x2＋y2＝7，))解得x＝eq\f(1,2)，y＝±eq\f(\r(3),2).cosθ＝eq\f(·,||·||)＝eq\f(2y,2\r(x2＋y2))＝y(tǒng)＝±eq\f(\r(3),2)，所以與的夾角為30°或150°.(2)＝(x－2，y)，＝(x，y－2)，由⊥得，·＝0，則x2－2x＋y2－2y＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,x2＋y2－2x－2y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－\r(7),4)，,y＝\f(1＋\r(7),4)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\a