湖北省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

湖北省高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A.B.C.D.2.（）A.B.C.D.3.已知向量，滿足，且，則（）A.1B.2C.D.4.直線關(guān)于軸對稱的直線方程是（）A.B.C.D.5.如圖，在棱長都相等的正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，則直線與直線所成的角為（）A.B.C.D.6.已知是第一象限角，且，則（）A.B.C.D.7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若恒成立，則的最小值是（）A.B.4C.D.58.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動點(diǎn)定理的基石，布勞威爾不動點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個實(shí)數(shù)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點(diǎn)”函數(shù)，為函數(shù)的不動點(diǎn).設(shè)函數(shù)，.若在區(qū)間上存在不動點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，我國今年3月份至10月份社會消費(fèi)品零售總額同比增速如圖所示，則（）A.我國今年3月份至10月份社會消費(fèi)品零售總額同比增速最高為B.我國今年3月份至10月份社會消費(fèi)品零售總額同比增速的中位數(shù)為C.我國今年3月份至10月份社會消費(fèi)品零售總額同比增速的分位數(shù)為D.我國今年3月份至10月份社會消費(fèi)品零售總額同比增速的平均值為10.在橢圓中，為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，為橢圓短軸上的頂點(diǎn)，若橢圓的離心率為，則（）A.B.C.大于D.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（）A.B.C.為奇函數(shù)D.沒有極值點(diǎn)12.如圖，在一個有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長都是，則（）A.這兩個球體的半徑之和的最大值為B.這兩個球體的半徑之和的最大值為C.這兩個球體的表面積之和的最大值為D.這兩個球體的表面積之和的最大值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中，的系數(shù)為___________.14.已知點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為___________.15.已知函數(shù)，的圖象關(guān)于直線對稱，且在上單調(diào)，則的最大值為___________.16.已知函數(shù)，若函數(shù)有4個零點(diǎn)，且其4個零點(diǎn)，，，成等差數(shù)列，則___________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（10分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知，，.（1）求的值；（2）求的值.18.（12分）如圖，在長方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱，上，，，，.（1）證明：.（2）求平面與平面的夾角的余弦值.19.（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，記數(shù)列的前99項(xiàng)和為，求.20.（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程，（2）證明：.21.（12分）已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2），分別為的左?右焦點(diǎn)，過外一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若直線，互相垂直，求面積的最大值.22.（12分）有一位老師叫他的學(xué)生到麥田里，摘一顆全麥田里最大的麥穗，期間只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，他的學(xué)生兩手空空走出麥田，因?yàn)樗恢懊媸欠裼懈玫?，所以沒有摘，走到前面時，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設(shè)該學(xué)生在麥田中一共會遇到顆麥穗（假設(shè)顆麥穗的大小均不相同），最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，為了使他能在這些麥穗中摘到那顆最大的麥橞，現(xiàn)有如下策略：不摘前顆麥穗，自第顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的麥穗都大的，就摘這顆麥穗，否則就摘最后一顆.設(shè)，該學(xué)生摘到那顆最大的麥穗的概率為.（?。?）若，，求；（2）若取無窮大，從理論的角度，求的最大值及取最大值時的值.湖北省高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案1.C，，.2.B.3.D因?yàn)椋?，解?.4.C設(shè)是所求直線上任意一點(diǎn)，則關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，且在直線上，代入可得，即.5.D設(shè)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn)，連接，，，易得，，所以（或其補(bǔ)角）為直線與直線所成的角.設(shè)正三棱柱的棱長為，則，，，，所以，.6.A因?yàn)槭堑谝幌笙藿?，且，所以，，，?7.B，，兩式相減可得，所以.因?yàn)?，所以，?故.8.A由題意可得，在上有解，即有解.令，，則.令函數(shù)，.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.，，故，9.ABD我國今年3月份至10月份社會消費(fèi)品零售總額同比增速從小到大依次為2.5%，3.1%，4.6%，5.5%，7.6%，10.6%，12.7%，18.4%.我國今年3月份至10月份社會消費(fèi)品零售總額同比增速最高為18.4%，A正確.我國今年3月份至10月份社會消費(fèi)品零售總額同比增速的中位數(shù)為，B正確.，我國今年3月份至10月份社會消費(fèi)品零售總額同比增速的分位數(shù)為，C錯誤.我國今年3月份至10月份社會消費(fèi)品零售總額同比增速的平均值為，D正確.10.ACD因?yàn)椋?，即，所以，?因?yàn)?，所以，即大?11.AC令，得，A正確.令，得，令，得，則為奇函數(shù)，C正確.由，可得，當(dāng)時，可設(shè)，則，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時有極值點(diǎn)，D錯誤.的值不確定，B錯誤.12.BC當(dāng)這兩個球體的表面積之和取最大值時，有一個球體和圓錐的底面相切，過底面圓的直徑作截面，如圖所示.過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為.設(shè)圓的半徑為，圓的半徑為r，的最大值為，且取最大值時，，所以，，，，.因?yàn)?，所以①，整理得，解?令函數(shù)，，.令函數(shù)，，所以是增函數(shù).又因?yàn)椋?，所以，，所以，，，，即，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，即這兩個球體的半徑之和的最大值為.由①可得，這兩個球體的表面積之和為.令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即這兩個球體的表面積之和的最大值為.13.15，令，解得，故的系數(shù)為.14.5設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則.由拋物線的定義可得到該拋物線準(zhǔn)線的距離等于，.15.因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，所以，，解得，.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，即，解得.當(dāng)時，.當(dāng)時，，所以當(dāng)，時，單調(diào)遞減.故的最大值為.16.因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，.因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，則.因?yàn)椋?，解得?17.解：（1）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，解?（2）由（1）可得.因?yàn)?，所以，解?18.解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，（1）證明：因?yàn)椋?（2）設(shè)平面的法向量為，則即不妨取，則.易得平面，所以是平面的一個法向量，且..故平面與平面的夾角的余弦值為.19.解：（1）因?yàn)椋?，，累加得，所?（2）因?yàn)?，所?當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以數(shù)列是以3為周期的數(shù)列.故.20.（1）解：，，.故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）證明：由（1）得.令函數(shù)，則，所以是增函數(shù).，，所以存在，使得，即.所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增..因?yàn)椋裕?故.21.解：（1）由題可知，解得故的方程為.（2）由題可知，直線，的斜率均存在，設(shè)，過且與相切的直線，聯(lián)立方程組整理得，則，整理得.將代人，得，則，從而.因?yàn)榍芯€，互相垂直，所以，即.所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故面積的最大值為.22.解：（1）這4顆麥穗的位置從第1顆到第4顆排序，有種情況.要摘到那顆最大的麥穗，有以下兩種情況：①最大的麥穗是第3顆，其他的麥穗隨意在哪個位置，有種情況.②最大的麥穗是最后1顆，第二大的麥穗是第1顆或第2顆，其他的麥穗隨意在哪個位置，有種情況.故所求概率為.（2）記事件表示最